不等式常见考试题型总结
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
不等式的总复习——常见题型总结
不等式的总复习一、知识点归纳1、用不等号连接的式子叫不等式。
2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
思考：举例说明不等式与等式的基本性质的区别？3、不等式的解集：（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫做解不等式。
4、一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1.5、解不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化为1.例：下面是小明同学解不等式223125+<-+x x 的过程： 去分母，得 2315+<-+x x移项、合并同类项，得 22-<-x两边都除以2-，得 1<x他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里。
6、在数轴上表示不等式的解集：取等画实心，不等画空心7、常见的不等关系词：不少于、至少（≥）；不超过、至多（≤）8、一元一次不等式与一次函数的关系：对于一次函数b kx y +=，它与x 轴的交点坐标为（k b -，0） 当0>k 时，不等式0>+b kx 的解为k b x ->，不等式0<+b kx 的解为kb x -< 当0<k 时，不等式0>+b kx 的解为k b x -<，不等式0<+b kx 的解为kb x -> 因此，在做此类题时，先看一次函数（直线）与x 轴的交点，观察交点左右两边函数值y 的大小关系。
9、一元一次不等式组：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集二、常见题型解析例1 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。
基本不等式题型总结
基本不等式题型总结在数学学习中，不等式是一个重要而又常见的概念。
而基本不等式，作为不等式的基础和基本类型，是我们解决更复杂的不等式问题的关键。
本文将对一些常见的基本不等式题型进行总结和探讨，希望能帮助读者更好地掌握和应用这些不等式。
一、根式不等式根式不等式是一种常见的基本不等式题型。
在解决根式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是化简根式表达式，二是确定根式的范围。
以求解不等式$\sqrt{x+1} > 3$为例，可以通过平方两边来消除根式，得到$x+1 > 9$。
然后解得$x > 8$。
但我们需要注意的是，由于根式的非负性质，我们还需要考虑$x+1\geq 0$的条件。
综合考虑，解集为$x > 8$。
二、分式不等式分式不等式是另一类常见的基本不等式题型。
在解决分式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是去分母，二是确定分式的范围。
以求解不等式$\frac{1}{x-2} \geq 2$为例，我们可以通过去分母的方法得到$x-2 \geq \frac{1}{2}$。
然后解得$x \geq\frac{5}{2}$。
但我们需要注意的是，由于分式的定义域，我们需要考虑$x-2\neq 0$的条件。
综合考虑，解集为$x > \frac{5}{2}$。
三、绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的一种特殊类型。
在解决绝对值不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是分情况讨论，二是确定绝对值的范围。
以求解不等式$|2x-1| \leq 3$为例，我们可以分别讨论$2x-1$的正负情况。
当$2x-1\geq 0$时，不等式可以化简为$2x-1 \leq 3$，解得$x \leq 2$。
当$2x-1<0$时，不等式可以化简为$1-2x \leq 3$，解得$x \geq -1$. 综合考虑，解集为$x \in [-1,2]$。
四、幂函数不等式幂函数不等式是一种常见而又稍微复杂的不等式类型。
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。
本文将介绍20种常见的基本不等式题型。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。
例如：解不等式3x+4>10。
解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。
例如：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
例如：解不等式|2x-3|≥5。
解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。
四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。
解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。
五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。
例如：解不等式√(x-4)≥2。
解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。
六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。
例如：解不等式2x(x-1)≤0。
解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。
七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。
例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。
解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。
八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。
例如：解不等式x+2>5。
解：将不等式化简：x>3。
九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。
例如：解不等式2x-5≥1。
基本不等式12种题型
基本不等式12种题型在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。
许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。
1、比较不等式比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。
例如：2a + b > 3，表示2a + b大于3。
2、区间不等式区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。
即表示x介于1和2之间，大于1小于2。
3、极值不等式极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x)<f(2)，表示在函数f(x)中x=2处的值小于其他全部x处的值。
4、组合不等式组合不等式是所有不等式的一个组合，即将几个不同的不等式进行合并，使得总的结果能够得到满足，例如2a + b > 2且b < 4，表示2a + b大于2，并且b小于4。
5、不等关系不等式不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。
6、方程不等式方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。
7、多项式不等式多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。
8、指数不等式指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。
基本不等式的常见题型
12.已知x 0, y 0, x y 1, 则
13.已知2 x y 0,
1
1
的最小值是 _____.
1 x 1 2 y
1
1
1, 则x y的最小值是 _____.
2 x-y x +2 y
1 1
4x
9y
14.已知x 0, y 0, 1, 则
2.基本不等式
一、知识点梳理
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b
称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数.
2
(3)其中
1 a 2＋b2 2ab, a,b R
(当且仅当 a＝ b时取等号 )
2
a＋b
的最小值为_______.
xy
a2 1
的最小值为_______.
ab
x2 3y
的最小值为_______.
xy
[题组训练]
(�+1)(2�+1)
1. (2019 天津,13,5 分)设 x>0,y>0,x+2y=5,则
��
的最小值为
.
1 a
2.设a 0, b >0, 且a b 1, 则 的最小值为_______.
1 1
2.若 2m＋n＝1 上，且 m，n 为正数，则 ＋ 的最小值为________.
m n
1
4
3.已知正数 x,y 满足 x+y=1,则�+1+�的最小值为________.
专题：基本不等式常见题型归纳
变式 1．在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(1，0) ， B(0，1) ，C(a，b) ， D(c，d) ，若不等式
2
CD
≥ (m
2)OC
OD
m(OC
OB)
(OD
OA)
对任意实数
a ，b ，c ，d
都成立，则实数
m 的最大值是
．
【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：
练习 1．已知对满足 x y 4 2xy 的任意正实数 x, y ，都有
x2 2xy y2 ax ay 1 0 ，则实数 a 的取值范围为
.
2．若不等式 x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值为
．
4
1a 1b
最小值为
．
练习 1．设实数 x，y 满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2 的最小值是
．
2．已知正实数 x，y 满足
，则 x + y 的最小值为 ．
3．已知正实数 x, y 满足 (x 1)( y 1) 16 ，则 x y 的最小值为
．
4.若 a 0,b 2 ，且 a b 3，则使得 4 1 取得最小值的实数 a =
专题：基本不等式
基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
三个不等式关系：
（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
（2）a，b∈R＋，a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时取等号． （3）a，b∈R，a2＋2 b2≤(a＋2 b)2，当且仅当 a＝b 时取等号．
将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
不等式考试题型
不等式考试题型题型一：求不等式的特殊解1）求63<+x 的所有正整数解2）求)1(2)3(410-≥--x x 的非负整数解，并在数轴上表示出来3）求不等式0123≥+-x 的非负整数解4）设不等式02≤-a x 只有3个正整数解，求正整数a 的值题型二：不等式与方程的综合题例 关于x 的不等式12-≤-a x 的解集如图，求a 的取值范围不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>+<+1159m x x x 的解集是2>x ，则m 的取值范围是？若关于x 、y 的二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+03135p y x y x 的解是正整数，求整数p 的值已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，求b a 的值题型三：确定方程或不等式中字母取值范围例 k 为何值时方程)(365k x x +=-的值是非正数已知关于x 的方程953-=-x k 的解是非负数，求k 的取值范围已知在不等式03≤-a x 的正整数解是1，2，3，求a 的取值范围若1)1(+>+a x a 得解是1<x ，求a 的范围若⎪⎩⎪⎨⎧>-<+ax x x 148得解集为3>x ，求a 的取值范围题型四：求最小值问题例 x 取什么值时，代数式645+x 的值不小于3187x --的值，并求出x 的最小值题型五：不等式解法的变式应用例 x 取什么值时，6)3()2(2----x x 的值是非负数例 x 取哪些非负数时，523-x 的值不小于312+x 与1的差题型六：解不定方程例 求方程0204=-+y x 的正整数解已知⎩⎨⎧-<->-232a x ax 无解，求a 的取值范围题型七：不等式组解的分类讨论例 解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->-+-<-4)1(22)2(384x a x a ax ax。
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不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。
（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
） 例：求函数224y x =+的值域。
技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
）例：（1）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
（2）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(3)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、利用1cos sin 22=+αα转换式子技巧八、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。
同时还应化简1＋y 2 中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 技巧九：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式。
例：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧十：取平方例、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. （5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式—最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法 1. 已知3a b +=，求33a b +的最小值。
变式1.已知23a b +=，求39a b +的最小值。
变式2.已知2x y -=，求133x y+的最小值。
变式3.已知23x y -=-，求124x y +的最小值。
变式4.已知点(,)x y 在直线112y x =-上，求139x y +的最小值。
基础题型二：对数类最值的求法2. 已知0,0x y >>，且24x y +=，求22log log x y +的最大值。
变式1.已知0,0x y >>，且24x y +=，求1122log log 3x y +的最小值。
变式2.已知点(,)x y 是圆226x y +=在第一象限内的任一点，求x y +的最大值。
能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1. 已知2x >,求1()12f x x x =++-的最小值。
变式1.已知3x >,求4()232f x x x =-+-的最小值。
变式2.已知1x <,求4()21f x x x =+-的最大值。
能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1. 已知0,0x y >>,且21x y +=，求21x y +的最小值。
2. 变式1.已知0,0x y >>,且23x y +=，求23x y +的最小值。
变式2.已知0,0x y <<,且32x y +=-，求12x y+的最大值。
能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1. 已知0,0x y >>,且2221x y +=，求变式1.已知0,0x y >>,且2223x y +=，求2变式2.已知0,0a b >>,且223a b +=，求-的最小值。
能力题型四：对勾函数及其应用 【对勾函数】1y x x =+，由1x x=得顶点的横坐标为1x =±。
b y ax x =+,由bax x=得顶点的横坐标为x =(1)11b b y ax a x a x x =+=-++--,由(1)1ba x x -=-得顶点的横坐标为1x =。
例1.求2([1,4])y x xx=+∈的值域。
变式1.求2([2,1])y x xx=+∈--的值域。
变式2.求23([2,4])y x xx=+∈的值域。
例2.求4(2)1y x xx=+≥+的值域。
变式1.求12(3)2y x xx=+≥-的值域。
变式2.求2(2)1y x xx=+≤--的值域。
例3.求4sin(0)sin2y x xxπ=+≤≤的值域。
变式1.求4sin(0)sin1y x xxπ=+≤≤-的值域。
变式2.求2cos(0)cos1y x xxπ=+≤≤+的值域。
基本不等式例题例1.已知, 且，求的最小值及相应的值.例2. 的最小值为________。
例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）例4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．例5. 若，则的最小值是（）例6．下列各函数中，最小值为2的是()A B. C. D.例7（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值求22242y x x =--+的最大值.练习. 设，则的最大值为例8.已知,，且. 求的最大值及相应的的值例9若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 练习：已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值 例10.若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是 基本不等式证明例 已知a ，b 为正数，求证：ab b a +≥b a +．例实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为82m ，问x y 分别为多少时用料最省基 本 不 等 式 应 用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。