基本逻辑关系
逻辑代数中三种基本逻辑关系
逻辑代数中三种基本逻辑关系逻辑代数中的三种基本逻辑关系逻辑代数是研究逻辑关系的一门学科，其基础是三种基本逻辑关系：包含关系、等价关系和互斥关系。
这三种关系在逻辑推理和数学证明中起着重要的作用，下面将逐一介绍它们。
一、包含关系包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合的关系。
在逻辑代数中，我们用符号“⊆”表示包含关系。
例如，若集合A包含集合B中的所有元素，则可以表示为A⊆B。
包含关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意集合A，都有A⊆A。
2. 反对称性：对于任意集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，则A和B 是相等的集合，即A=B。
3. 传递性：对于任意集合A、B和C，如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
包含关系在逻辑推理中常用于判断一个集合是否是另一个集合的子集，或者用于证明一些集合之间的关系。
二、等价关系等价关系是指一个集合中的元素之间具有相等关系的关系。
在逻辑代数中，我们用符号“≡”表示等价关系。
例如，若元素a和b具有等价关系，则可以表示为a≡b。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素a，都有a≡a。
2. 对称性：对于任意元素a和b，如果a≡b，则b≡a。
3. 传递性：对于任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，则a≡c。
等价关系在逻辑推理和数学证明中常用于判断两个元素是否具有相等关系，或者用于构建等价类等概念。
三、互斥关系互斥关系是指两个命题或集合之间不存在交集的关系。
在逻辑代数中，我们用符号“∩”表示互斥关系。
例如，若集合A和集合B互斥，则可以表示为A∩B=∅。
互斥关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意集合A，都有A∩A=∅。
2. 对称性：对于任意集合A和B，如果A∩B=∅，则B∩A=∅。
3. 传递性：对于任意集合A、B和C，如果A∩B=∅且B∩C=∅，则A∩C=∅。
互斥关系在逻辑推理中常用于判断两个命题或集合是否具有矛盾关系，或者用于构建互斥事件等概念。
包含关系、等价关系和互斥关系是逻辑代数中的三种基本逻辑关系。
数学的逻辑关系
数学的逻辑关系数学作为一门学科，是研究数量、结构、变化以及空间等概念与符号之间的关系的科学。
而数学的逻辑关系则是指数学中所运用的逻辑思维和推理方式，用于描述和解释数学概念、定理和证明的关系。
一、基本逻辑关系在数学中，最基本的逻辑关系是命题之间的关系。
命题是可以判断真假的陈述句，在数学中通常用字母表示。
命题之间存在三种基本的逻辑关系：合取、析取和否定。
1.合取关系合取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∧”表示。
当且仅当两个命题同时为真时，合取关系才为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则合取关系p∧q 表示“2是偶数且3是奇数”。
2.析取关系析取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∨”表示。
当至少有一个命题为真时，析取关系就为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则析取关系p∨q 表示“2是偶数或3是奇数”。
3.否定关系否定关系是指将一个命题的真值取反，形成一个新的命题。
用逻辑符号“¬”表示。
例如，命题p为“2是偶数”，则否定关系¬p表示“2不是偶数”。
二、推理和证明中的逻辑关系数学中的推理和证明是建立在逻辑关系的基础上的。
推理是指从已知的命题出发，根据逻辑关系得出新的命题的过程。
而证明则是通过推理过程来验证或证实一个命题是否成立。
1.演绎推理演绎推理是基于已知命题和逻辑关系，通过一系列逻辑推理，得出结论的过程。
它包括三个部分：前提、推理规则和结论。
例如，已知命题p为“所有A都是B”，命题q为“a是A”，则根据演绎推理的规则，可以得出结论“a是B”。
2.归纳推理归纳推理是从具体事例中归结出一般结论的推理方式。
它通过整体的观察，找出事物之间的规律，从而得出结论。
例如，通过观察一系列自然数的奇偶性可发现，所有的偶数都能被2整除。
因此，可以归纳得出结论“所有偶数都能被2整除”。
3.直接证明直接证明是一种以已知命题为前提，通过逻辑推理得出结论的证明方法。
逻辑代数的三种基本逻辑关系
逻辑代数的三种基本逻辑关系
逻辑代数中有三种基本逻辑关系，分别是：
1. 关系恒等：表示两个命题或逻辑表达式等价。
用符号"="表示。
例如，A=B 表示命题 A 等价于命题 B。
2. 关系包含：表示一个命题或逻辑表达式在另一个命题或逻辑表达式中的包含关系。
用符号"⊆"表示。
例如，A⊆B 表示命题 A 包含于命题 B。
3. 关系互斥：表示两个命题或逻辑表达式之间的互斥关系，即两者不能同时为真。
用符号"∨"表示。
例如，A∨B 表示命题A 和命题 B 互斥。
这三种关系在逻辑代数中常用于判断命题之间的等价性、包含关系和互斥关系。
基本逻辑关系及运算法则
2.几个常用的逻辑函数 下面介绍几个最常用的由“与”“或”“非”组成的 逻辑函数。 (1)“与非”逻辑函数。“与非”逻辑是“与”运算和 “非”运算的复合。先将输入逻辑变量A、B进行“与”运 算，再进行“非”运算，其逻辑表达式为
基本逻辑关系及运算法则
二、 逻辑变量和逻辑函数
(2)“或非”逻辑函数。“或非”逻辑是“或”运算和 “非”运算的复合。先将输入逻辑变量A、B进行“或”运 算，再进行“非”运算，其逻辑表达式为
汽车电工电子技术
基本逻辑关系及运算法则
一、 基本逻辑运算
1.“与”逻辑运算
当决定某一事件发生的所有条件都满足时， 结果才会发生，这种因果关系称为“与”逻辑关 系，如图6-2所示。
若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果， 则只有开关A、B都闭合时，灯F才会亮。若用逻 辑表达式来描述“与”逻辑，则可写成
一、 基本逻辑运算
2.“或”逻辑运算
在决定事件发生的所有条件中，只要有任意 一个满足，结果就会发生，这种因果关系称为“ 或”逻辑关系。如图6-3所示，开关A、B只要有 一个闭合，灯就亮；只有开关全部断开时，灯才 不亮。
基本逻辑关系及运算法则
一、 基本逻辑运算
2.“或”逻辑运算
基本逻辑关系及运算法则
1.逻辑代数的公理 0•0=00+0=0 0•1=00+1=1 1•0=0 1+0=1 1•1=1 1+1=1 若A≠0，则A=1；若A≠1，则A=0。
基本逻辑关系及运算法则
三、 逻辑代数的公理、定理和定律
2.定理和定律 (1)交换律：A•B=B•A；A+B=B+A。 (2)结合律：A•(B•C)=(A•B)•C； A+(B+C)=(A+B)+C。
常见逻辑关系
常见逻辑关系一、因果关系因果关系是指一个事件或行为的发生是由于另一个事件或行为的影响造成的。
因果关系可以分为直接因果和间接因果。
直接因果是指一个事件直接导致了另一个事件的发生，而间接因果是指一个事件通过中间环节影响了另一个事件的发生。
例如，在环境污染日益严重的情况下，人们的健康状况逐渐恶化。
这里环境污染是直接导致人们健康状况恶化的原因。
二、递进关系递进关系是指一个事物或观点在某个方面上比另一个事物或观点更进一步或更深入。
递进关系常常用于对比和比较的语境中。
例如，学习是成功的基础，而勤奋是学习的基础。
这里学习和勤奋之间存在递进关系，勤奋是学习更进一步的要求。
三、转折关系转折关系是指一个观点或行为与前面所述的观点或行为存在明显的矛盾或对立。
例如，他原本是个文静的孩子，但他却参与了抢劫。
这里原本文静与参与抢劫之间存在转折关系，前者暗示他的性格与后者的行为形成了对立。
四、并列关系并列关系是指两个或多个事物或观点在同一层面上平行存在，彼此之间没有上下级别或先后顺序的关系。
例如，他既是一位出色的演员，又是一位杰出的导演。
这里出色的演员和杰出的导演之间存在并列关系，两者在不同领域上表现出的优秀并列存在。
五、总分关系总分关系是指一个事物或观点可以被分为若干个具体的部分或子类别。
例如，汽车可以分为轿车、越野车、卡车等。
这里汽车是总的概念，而轿车、越野车、卡车等是其具体的分支或子类别。
六、因果关系因果关系是指一个事件或行为的发生是由于另一个事件或行为的影响造成的。
因果关系可以分为直接因果和间接因果。
直接因果是指一个事件直接导致了另一个事件的发生，而间接因果是指一个事件通过中间环节影响了另一个事件的发生。
例如，环境污染导致人们的健康状况恶化。
这里环境污染是直接导致人们健康状况恶化的原因。
七、转折关系转折关系是指一个观点或行为与前面所述的观点或行为存在明显的矛盾或对立。
例如，他原本是个文静的孩子，但他却参与了抢劫。
这里原本文静与参与抢劫之间存在转折关系，前者暗示他的性格与后者的行为形成了对立。
基本逻辑关系
基本逻辑关系通常，把反映“条件”和“结果”之间的关系称为逻辑关系。
如果以电路的输入信号反映“条件”，以输出信号反映“结果”，此时电路输入、输出之间也就存在确定的逻辑关系。
数字电路就是实现特定逻辑关系的电路，因此，又称为逻辑电路。
逻辑电路的基本单元是逻辑门，它们反映了基本的逻辑关系。
基本逻辑关系和逻辑门基本逻辑关系和逻辑门逻辑电路中用到的基本逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑，相应的逻辑门为与门、或门及非门。
一、与逻辑及与门与逻辑指的是：只有当决定某一事件的全部条件都具备之后，该事件才发生，否则就不发生的一种因果关系。
如图2.1.1所示电路，只有当开关A 与B 全部闭合时，灯泡Y 才亮；若开关A 或B 其中有一个不闭合，灯泡Ｙ就不亮。
这种因果关系就是与逻辑关系，可表示为Y ＝A •B ，读作“A 与B”。
在逻辑运算中，与逻辑称为逻辑乘。
与门是指能够实现与逻辑关系的门电路。
与门具有两个或多个输入端，一个输出端。
其逻辑符号如图2.1.2所示，为简便计，输入端只用A 和B 两个变量来表示。
与门的输出和输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y ＝A •B ＝AB两输入端与门的真值表如表2.1.1所示。
波形图如图2.1.3所示。
A B Y0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 11（a ）常用符号表2.1.1 与门真值表 图2.1.1 与逻辑举例（b ）国标符号图2.1.2 与逻辑符号图2.1.3 与门的波形图由此可见，与门的逻辑功能是，输入全部为高电平时，输出才是高电平，否则为低电平。
二、或逻辑及或门或逻辑指的是：在决定某事件的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，该事件就会发生；当所有条件都不具备时，该事件才不发生的一种因果关系。
如图2.1.4所示电路，只要开关A或B其中任一个闭合，灯泡Y就亮；A、B都不闭合，灯泡Y才不亮。
这种因果关系就是或逻辑关系。
可表示为：Y＝A＋B读作“A或B”。
在逻辑运算中或逻辑称为逻辑加。
常见的八种逻辑关系
常见的八种逻辑关系
01总分关系
也就是纲目关系，正所谓纲举目张。
好比树的主干与枝丫的关系，主干统领枝丫，二者不能并列也不能颠倒。
02主次关系
通俗来讲就是重点与一般的关系。
二者没有隶属关系，但是在同一篇文章内，相互之间是有关联的，互相影响，互为补充。
03并列关系
相互之间不相隶属又相对独立的一种关系。
譬如天时地利人和，人财物，物质文明、精神文明、政治文明、生态文明；经济建设、政治建设、文化建设、社会建设等。
04递进关系
这是同一事物不同发展阶段的关系。
时间上的递进：古代、近代、现代、当代；空间上的递进：国际、国内、本地；学习上的递进：武装头脑、指导实践、促进工作。
需要注意的是，有些特殊的并列关系也是需要讲求递进，比如季节春
夏秋冬，这都是需要讲求顺序的。
05点面关系
面是由众多点构成的，如果点与面存在内在联系，则在说明面的情况时可以采取以点带面。
06因果关系
事物之间存在必然的客观的因与果关系。
揭示因果关系，可以增强文章的说服力和感染力。
07虚实关系
在写作过程中，可以采取以虚带实，虚实结合。
这里的虚不是虚假，而是灵魂、是高度、是理论支撑；实就是数据、是案例、是事实支撑。
08定性与定量的关系
事物的发展有一个量变到质变的过程。
对一件事情的判断，定性的说服力总不如定量的大。
某种程度上来说，定性是一种大体判断，定量则是一种精确判断。
能定量说明的尽量定量说明，但也不能绝对，数字要用的恰到好处，这样才会更有说服力。
常见的逻辑关系
.
7
八、条件关系分为：必要条件，充分条件和充要条 件
→ 由条件A可以推出B， 即A B，但B不能推出A ，则A为B的必要条件，B为A的充分条件； 而充要条件可视为A也能推出B，B也能推出A 简单地说，就是在必要条件和充分条件中A是条
.
1
二、顺承关系 在描述一个连续的动作或事情时，常遵循一定的时间 、空间或事理逻辑顺序，句子中的分句之间有前后相 承的关系，或描述连续动作的词语之间具有不可颠倒 的前后次序。
示例：构成中华文明的各支源流各有其成长、壮大、 迁徙、融合的历史。
.
2
三、递进关系 后一分句以前一分句为基点，并在程度或范围上比
件，B是结果；在充要条件中A与B可互换。
1、只要掌握正确的学习方法,就一定会取得好成绩。
2、只有持之以恒,才能实现自己的目标。3只要明天
下雨，就不去春游。4、只有。
条件关系关联词
只要……就……、 只有……才…… 、无论……
都…… 、不管……也…… 、即使．．．也．．．
一、转折关系 在句子或语段中，后文不是顺着前文的意思写下来，而是跟 前文的意思相反，或是对前文意思的修改补充。
示例一：事情虽然小，影响却极大。
示例二：这间屋子很大，只是光线差了一点。
在文化领域，只有_____才会呈现出丰富多彩和生机 勃勃的活力，而同质性、统一性必然窒息文化生命。 A别出心裁 B独树一帜 C推陈出新 D不拘一格
.
11
十二、列举（顺序）关系 first（首先）\second（其次）\last（最
后） 十三、举例关系
for example, such as
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本逻辑关系
通常，把反映“条件”和“结果”之间的关系称为逻辑关系。
如果以电路的输入信号反映“条件”，以输出信号反映“结果”，此时电路输入、输出之间也就存在确定的逻辑关系。
数字电路就是实现特定逻辑关系的电路，因此，又称为逻辑电路。
逻辑电路的基本单元是逻辑门，它们反
映了基本的逻辑关系。
基本逻辑关系和逻辑门
基本逻辑关系和逻辑门
逻辑电路中用到的基本逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑，相应的逻辑门为与门、或门及非门。
一、与逻辑及与门
与逻辑指的是：只有当决定某一事件的全部条件都具备之后，该事件才发生，否则就不发生的一种因果关系。
如图2.1.1所示电路，只有当开关A 与B 全部闭合时，灯泡Y 才亮；若开关A 或B 其中有一个不闭合，灯泡Ｙ就不亮。
这种因果关系就是与逻辑关系，可表示为Y ＝AB ，读作“A 与B”。
在逻辑运算中，与逻辑称为逻辑乘。
与门是指能够实现与逻辑关系的门电路。
与门具有两个或多个输入端，一个输出端。
其逻辑符号如图2.1.2所示，为简便计，输入端只用A 和B 两个变量来表示。
与门的输出和输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y ＝AB ＝AB
两输入端与门的真值表如表2.1.1所示。
波形图如图所示。
（a ）常用符号
表2.1.1 与门真值表
由此可见，与门的逻辑功能是，输入全部为高电平时，输出才是高电平，否则为低电平。
二、或逻辑及或门
或逻辑指的是：在决定某事件的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，该事件就会发生；当所有条件都不具备时，该事件才不发生的一种因果关系。
如图2.1.4所示电路，只要开关A 或B 其中任一个闭合，灯泡Y 就亮；A 、B 都不闭合，灯泡Y 才不亮。
这种因果关系就是或逻辑关系。
可表示为：
Y ＝A ＋B
读作“A 或B”。
在逻辑运算中或逻辑称为逻辑加。
或门是指能够实现或逻辑关系的门电路。
或门具有两个或多个输入端，一个输出端。
其逻辑符号如图2.1.5所示。
或门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y ＝A ＋B
两输入端或门电路的真值表和波形图分别如表2.1.2和图所示。
由此可见，或门的逻辑功能是，输入有一个或一个以上为高电平时，输出就是高电平；输入全为低电平时，输出才是低电平。
三、非逻辑及非门
非逻辑是指：决定某事件的唯一条件不满足时，该事件就发生；而条件满足时，该事件反而不发生的一种因果关系。
表2.1.2
图2.1.3 与门的波形图
图2.1.4 或逻辑举例
图2.1.6 或门的波形图
如图2.1.7所示电路，当开关A闭合时，灯泡Y不亮；当开关A断开时，灯泡Y才亮。
这种因果关系就是非逻辑关系。
可表示为Y＝，读作“A非”或“非A”。
在逻辑代数中，非逻辑称为“求反”。
非门是指能够实现非逻辑关系的门电路。
它有一个输入端，一个输出端。
其逻辑符号如图2.1.8所示。
非门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y＝
其真值表和波形图分别如表2.1.3和图所示。
由此可见，非门的逻辑功能为，输出状态与输入状态相反，通常又称作反相器。
图2.1.9 非门的波形图
复合逻辑门
由与门、或门和非门可以组合成其他逻辑门。
把与门、或门、非门组成的逻辑门叫复合门。
常用的复合门有与非门、或非门、异或门、与或非门等。
一、与非门
将一个与门和一个非门按图2.1.10连接，就构成了一个与非门。
与非门有多个输入端，一个输出端。
三端输入与非门的逻辑符号如图所示，它的逻辑表达式为：
Y＝＝
真值表和波形图分别如表2.1.4和图所示。
由此可知，与非门的逻辑功能为：当输入全为高电平时，输出为低电平；当输入有低电平时，输出为高电平。
二、或非门
把一个或门和一个非门连接起来就可以构成一个或非门，如图2.1.13所示。
或非门也可有多个输入端和一个输出端。
三端输入或非门的逻辑符号如图2.1.14所示，它的逻辑表达式为： Y=
真值表和波形图分别如表2.1.5和图所示。
由此可知，或非门的逻辑功能为：当输入全为低电平时，输出为高电平；当输入有高电
平时，输出为低电平。
三、异或门
当两个输入变量的取值相同时，输出变量取值为0；当两个输入变量的取值相异时，输出变量取值为1。
这种逻辑关系称为异或逻辑。
能够实现异或逻辑关系的逻辑门叫异或门。
异或门只有两个输入端和一个输出端，其逻辑符号如图2.1.16（a ）所示。
异或门的逻辑表达式为： Y ＝A·+·B＝A ⊕B
式中，符号⊕表示异或逻辑。
异或门真值表如表2.1.6所示。
波形图如图（b ）所示。
异或门的逻辑功能可简述为：输
入相异，输出为高电平。
输入相同，输出为低电平。
表2.1.6 异或门真值表 表2.1.5
四、与或非门
把两个与门、一个或门和一个非门联结起来，就构成了与或非门。
它有多个输入端、一个输出端，逻辑符号如图2.1.17（a）所示。
其逻辑表达式为： Y＝
真值表如表2.1.7所示，波形图见图（b）。
与或非门的逻辑功能是：当任一组与门输入端全为高电平或所有输入端全为高电平时，输出为低电平；当任一组与门输入端有低平或所有输入端全为低电平时，输出为高电平。
表2.1.7与或非门真值表
逻辑代数基础
逻辑代数是讨论逻辑关系的一门学科，它是分析和设计逻辑电路的数学基础。
逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔（George·Boole）创立的，故又称布尔代数。
逻辑代数也是用字母表示变量，但是逻辑代数和普通代数有着根本的区别。
逻辑代数中的逻辑变量只有两种可能取值—— 0和1，而且这里的0和1不同于普通代数中的0和1。
它只表示两种对立的逻辑状态，并不表示数量的大小。
2.2.1 逻辑代数的基本定理与规则
在逻辑运算中，基本的逻辑关系有与、或、非三种。
在逻辑代数中，相应地也有三种基本运算，即与运算、或运算和非（求反）运算。
1. 与运算（逻辑乘）
图T1101所示与门电路的逻辑关系为Y＝AB，由此可得与运算的规则为：
0·0＝0 0·1＝0 1·0＝0 1·1＝1
A·0＝0 A·1＝A A·A＝Ａ
2. 或运算（逻辑和）
图T1104所示或门电路的逻辑关系为Y＝A＋B，由此可得或运算的规则为：
0+0＝0 0+1＝1 1+0＝1 1+1＝1
A+0＝A A+1＝1 A+A＝A
3. 非运算（求反运算）
图T1107所示非门电路的逻辑关系为Y＝，由此可得非运算的规则为：
＝1 ＝0
A+＝1 A·＝０＝A
2.2.2 逻辑代数的基本定律
逻辑代数不但有与普通代数相似的交换律、结合律和分配律，其本身还有一些特殊定律。
常用的定律如下：
（1）交换律A·B＝B·A A＋B＝B＋A
（2）结合律（A·B）·C＝A·（B·C）
（A＋B）＋C ＝A＋（B＋C）
（3）分配律A·（B＋C）＝Ａ·B＋Ａ·C
A十BC＝（A+B）（A+C）
（4）重迭律A·A＝A A＋Ａ＝A
（5）0-1律0·Ａ＝0 0＋Ａ＝Ａ
1·Ａ＝Ａ1＋Ａ＝1
（6）互补律A·＝0 A＋＝1
（7）摩根定律＝＋＝·
（8）吸收律A·（A＋B）＝A A＋AB＝Ａ
1）与门(AND Gate)
[学生活动] 通过演示实验，学习与门电路的逻辑关系。
观察实验结果，填写真值
表。
我们把输入A与输入B均是高电势时，输出Z才是高电势的逻辑电路叫做与门。
[讨论]与逻辑为：当决定某一事件的所有条件全部具备时，这一事件才会发生。
与门用来实现与逻辑关系的电路。
与门的符号A
Z
B
（2）或门(OR Gate)
[学生活动] 分组实验，填写真值表。
我们把输入A 与输入B
任一个或者两个都为高电势时，输出Z 就为高电势的逻辑电
路叫做或门。
[讨论]或逻辑为：当决定某一事件的各个条件中，只要一个或一个以上条件成立，这一事件就会发生。
与门的符号
（
2）非门(NOT Gate)
观察演示实验，填写真值表。
我们把输入A 为高电势时输出Z 为低电势输入A 为低电势时输出Z 为高电势的逻辑电路叫做非门。
非逻辑为：当某一事件的发生总是和条件相反，即条件成立，事件不发生；条件不成立，事件发生。
非门的符号
A
B Z
A Z。