立体几何中的向量公式

向量法解立体几何

用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。

一. 证明两直线平行

已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使CD AB λ=

二. 证明直线和平面平行

1.已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线，则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使CE CD AB μλ+=

2.已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面 α的法向量n ,则a ∥n AB ⊥⇔α

三.证明两个平面平行

已知两个不重合平面βα,,法向量分别为n m ,,则α∥n m //⇔β

四．证明两直线垂直 已知直线b a ,。b D C a B A ∈∈,,,，则0=•⇔⊥CD AB b a

五.证明直线和平面垂直

已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈,面α的法向量为m ,则m AB a //⇔⊥α

六.证明两个平面垂直

已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为n m ,,则n m ⊥⇔⊥βα

七．求两异面直线所成的角

已知两异面直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线所成的角θ

为：CD

AB •=θcos

八．求直线和平面所成的角

A

B

已知A,B 为直线a 上任意两点，n 为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为:

1．

⎪⎭

⎫ ⎝⎛•2,0π

时-=2πθ 2．

⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2

时2πθ-= 九．求二面角

1．已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ

的大小为：=θ

2.已知二面角,βα--l n m ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的

大小与两个法向量所成的角相等或互补。即-=πθ

注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。

(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。

(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。

十.求两条异面直线的距离

已知两条异面直线b a ,,

m 是与两直线都垂直的向量,b B a A ∈∈,则两条

异面直线的距离d = 十一.求点到面的距离

已知平面α和点A,B 且αα∈∉B A ,,m 为平面α的法向量,则点A 到平面α

的距离d =