噶米数值计算的基本概念
6西格玛计算公式详细讲解
6西格玛计算公式详细讲解
简介
西格玛计算公式（Sigma Calculation Formula）又称为西格玛计算，是一种全面的统计分析方法，可以用来衡量不同组织或过程中的稳定性和
效率。
它可以被用来检测质量的变化，优化程序，并分析其中一种特定事
件的影响。
西格玛计算公式可以量化出其中一群体的变化，可以有效地识
别出数据的偏差。
它也是用来识别可控和不可控因素的有用工具。
一、概念
西格玛计算（Sigma Calculation）是一种Laplace的改进，它可以
量度一组样本数据之间的差异，从而可以得出数据的变化范围。
西格玛计算公式由以下几个参数组成：
1.样本数据的平均数（μ）：是指一组样本数据的取值的数学期望，
即所有取值之和除以样本数的平均数。
2.样本数据的标准差（σ）：是指样本取值与其均值之间的偏差的绝
对值的平均值，即所有取值与均值之差的平方和除以样本数的平均值。
3.样本数据的方差（σ2）：是指样本取值与其均值之间的偏差的平
方均值，即所有取值与均值之差的平方和除以样本数的平均值。
4.样本数据的偏差系数（c）：是指样本取值与其均值之间的偏差的
相对大小，即标准差除以均值的值。
5.西格玛计算的系数（k）：是指计算的参数，用于计算样本数据变
化范围。
数值计算的基本概念
数值计算的基本概念数值计算是一种通过计算机程序进行数值操作和计算的过程。
它是数值分析领域的一个重要分支，用于解决科学和工程领域中的各种实际问题。
1.数值表示：计算机只能处理二进制数字，即0和1，所以需要一种方法将实际的数值转化为计算机可以理解的二进制形式。
数值表示包括整数表示和浮点数表示。
整数表示是将整数转换为二进制形式，而浮点数表示是将实数转换为二进制形式，并用一个符号位、指数位和尾数位来表示。
2.数值误差：数值计算中会出现一些误差，这些误差可以分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于计算中将无限的数值截断为有限位数而引入的误差，而舍入误差是由于计算中进行舍入而引入的误差。
数值误差会随着计算的进行而积累，可能导致最终结果的不准确性。
3.数值稳定性：数值计算中的算法可能会受到输入数据的微小变化而产生很大的输出差异。
数值稳定性指的是算法对于输入数据的微小变化具有较好的鲁棒性，即输出结果相对稳定，不会产生过大的误差。
4.数值精度：数值计算的精度指的是计算结果与实际值之间的差距。
数值精度可以通过数值计算的方法和所使用的计算机精度来确定。
计算机有限的存储空间和位数限制了数值计算的精度，因此需要权衡计算精度和计算速度之间的关系。
5.数值方法：数值计算中用于求解数值问题的具体算法和技术称为数值方法。
数值方法包括数值逼近、数值插值、数值积分、数值微分、线性代数问题的数值解法等。
数值方法的选择取决于具体的问题和计算要求。
在实际应用中，数值计算广泛应用于众多领域，如物理学、化学、工程学、金融学等。
通过数值计算，可以对复杂的数学模型和方程进行求解，预测和模拟实际情况，提供决策支持和优化设计。
然而，数值计算也存在着一些挑战和限制。
首先，数值计算可能会产生舍入误差和截断误差，从而引入不确定性和误差。
其次，数值计算需要计算机指令的执行，这需要时间和计算资源。
因此，对于大规模的数值计算问题，可能需要分布式计算或并行计算。
此外，数值计算也需要对问题进行合理的建模和参数设定，才能得到准确和可靠的结果。
统计物理中的蒙特卡罗方法
统计物理中的蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）是一种基于统计学原理的数值计算方法，它适用于需要通过随机模拟来获得数值结果的问题。
蒙特卡罗方法在物理学中广泛应用，可以用于计算各种问题，从粒子物理中的事件生成和探测器响应模拟，到固体物理中的相变和磁性等。
蒙特卡罗方法的基本思想是通过生成大量的随机数样本，根据这些样本的统计特征来近似计算问题的解。
通过随机抽样和统计分析，可以获得问题的概率分布、期望值和方差等信息。
蒙特卡罗方法的优势在于它是一种通用的方法，可以应用于各种复杂问题，而不需要对问题的数学模型做出任何简化。
在物理学中，蒙特卡罗方法被广泛用于计算各种物理量。
一个经典的例子是用蒙特卡罗方法计算圆周率π的近似值。
考虑一个正方形区域内部有一个单位圆，我们可以随机生成大量的点，并统计落在圆内的点的比例。
根据概率统计的知识，这个比例将近似等于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过大量的随机点样本，我们可以得到高精度的π的近似值。
在粒子物理中，蒙特卡罗方法常用于事件生成和探测器响应模拟。
通过蒙特卡罗模拟，我们可以生成粒子-反粒子对并模拟它们在物质中传输的过程。
这样，我们可以有效地估计在探测器中产生的粒子事件的性质和分布。
蒙特卡罗模拟还可以用于优化物理实验设计，通过模拟优化可以找到最佳的实验条件。
除了粒子物理，蒙特卡罗方法还在凝聚态物理中得到广泛应用。
它可以用于模拟材料的相变行为，比如固液相变、液气相变等。
通过蒙特卡罗模拟，我们可以模拟大量粒子在不同温度和压力条件下的行为，获得系统的平衡态和相变点。
蒙特卡罗方法在磁性材料中的应用也很重要，可以通过模拟磁性粒子的行为来理解材料的磁化过程和磁性相变。
蒙特卡罗方法还可以用于计算统计力学中的相空间积分。
相空间积分是一种通过对系统各个状态进行求和或积分来计算系统性质的方法。
在统计力学中，我们通常需要计算配分函数和平均能量等物理量，这些物理量可以通过蒙特卡罗方法来近似计算。
噶米时间序列分析讲义__第01章_差分方程
第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。
经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i it w y y ∑∑=-=++=011110φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。
噶米第三章连接课后习题参考答案
焊接连接参考答案一、概念题3．1 从功能上分类，连接有哪几种基本类型3．2 焊缝有两种基本类型—对接坡口焊缝和贴角焊缝，二者在施工、受力、适用范围上各有哪些特点3．3 对接接头连接需使用对接焊缝，角接接头连接需采用角焊缝，这么说对吗 3．4 h f 和lw 相同时，吊车梁上的焊缝采用正面角焊缝比采用侧面角焊缝承载力高 3．5 为何对角焊缝焊脚尺寸有最大和最小取值的限制对侧面角焊缝的长度有何要求为什么 【答】（1）最小焊脚尺寸：角焊缝的焊脚尺寸不能过小，否则焊接时产生的热量较小，致使施焊时冷却速度过快，导致母材开裂。
《规范》规定：h f ≥2t ，式中： t 2——较厚焊件厚度，单位为mm 。
计算时，焊脚尺寸取整数。
自动焊熔深较大，所取最小焊脚尺寸可减小1mm ；T 形连接的单面角焊缝，应增加1mm ；当焊件厚度小于或等于4mm 时，则取与焊件厚度相同。
（2）最大焊脚尺寸：为了避免焊缝区的主体金属“过热”，减小焊件的焊接残余应力和残余变形，角焊缝的焊脚尺寸应满足 12.1t h f 式中： t 1——较薄焊件的厚度，单位为mm 。
（3）侧面角焊缝的最大计算长度侧面角焊缝在弹性阶段沿长度方向受力不均匀，两端大而中间小，可能首先在焊缝的两端破坏，故规定侧面角焊缝的计算长度l w ≤60h f 。
若内力沿侧面角焊缝全长分布，例如焊接梁翼缘与腹板的连接焊缝，可不受上述限制。
3．6 简述焊接残余应力产生的实质，其最大分布特点是什么 3．7 画出焊接H 形截面和焊接箱形截面的焊接残余应力分布图。
3．8 贴角焊缝中，何为端焊缝何为侧焊缝二者破坏截面上的应力性质有何区别3．9 规范规定：侧焊缝的计算长度不得大于焊脚尺寸的某个倍数，原因何在规范同时有焊缝最小尺寸的规定，原因何在规范禁止3条相互垂直的焊缝相交，为什么。
举3～5例说明焊接设计中减小应力集中的构造措施。
简述连接设计中等强度法和内力法的含义。
对接焊接时为什么采用引弧板不用引弧板时如何考虑在哪些情况下不需计算对接焊缝 试判断下图所示牛腿对接焊缝的最危险点 焊缝质量检验是如何分级的【答】《钢结构工程施工质量验收规范》规定焊缝按其检验方法和质量要求分为一级、二级和三级。
波莱尔 sigma代数-概述说明以及解释
波莱尔sigma代数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述波莱尔sigma代数是数学中一个重要的概念，主要用于描述集合上的一种代数结构。
它是由法国数学家波莱尔（Emile Borel）于1909年引入的，广泛应用于测度论、概率论以及信号处理等领域。
波莱尔sigma代数本质上是指由某个集合中的子集构成的代数系统。
这个代数系统需要满足几个性质：首先，它必须包含了原始集合以及空集，也就是说，这个代数系统必须是一个包含了全集的代数；其次，它必须对于有限的并、交、差运算封闭，也就是说，这个代数系统必须对于有限个集合的并、交、差运算保持封闭。
波莱尔sigma代数的定义看似简单，然而它具有许多重要的性质。
首先，波莱尔sigma代数满足交换律、结合律和分配律，这使得我们可以按照自己的需求对集合进行操作。
其次，波莱尔sigma代数可以通过一些基本的运算和操作生成新的集合，这使得我们可以在代数结构中逐步建立起更加复杂的集合。
波莱尔sigma代数在测度论中扮演着重要的角色。
通过波莱尔sigma代数，我们可以定义测度函数，进而研究集合的大小、长度以及概率等数值特征。
波莱尔sigma代数也在概率论中扮演着重要的角色，它为我们研究随机事件的概率分布提供了数学工具。
总之，波莱尔sigma代数作为一种重要的代数结构，不仅在理论上具有丰富的性质，而且在实际应用中有着重要的意义。
它为测度论、概率论等领域的研究提供了坚实的基础，也为我们解决实际问题提供了有效的数学工具。
本文将详细介绍波莱尔sigma代数的定义、性质和应用，并展望其未来的发展前景。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将从三个方面展开对波莱尔sigma代数的探讨。
首先，我们将对波莱尔sigma代数进行详细的定义和介绍，包括它的概念、性质和基本特点。
接着，我们将深入探讨波莱尔sigma代数的各种性质，包括其在集合运算中的闭合性、稳定性和性质的推导等。
最后，我们将探讨波莱尔sigma代数的应用领域，并介绍其在概率论、统计学和数学分析等领域的实际应用案例。
tjm2010第1章数值计算概念
(1 . 000002 ) 1 . 000004 0
2
3）
( 本应（ 1 . 000002 ） 1 . 000004
2
1 . 0000040000 0 . 0000000000
16
x x
* *
来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。
18
tjm
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有
x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有 x-x*=0.0000074… 0.000008=0.810-5 例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3 绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好
6
tjm
数值计算方法这门学科有如下特点： 1.面向计算机 2.有可靠的理论分析 3.要有好的计算复杂性 4.要有数值实验 5.要对算法进行误差分析 本课程主要内容：非线性方程求根，解线性方程组 的直接方法，插值法，曲线拟合，数值微分， 数值 积分，解线性方程组的迭代法，计算矩阵特征值和 特征向量，常微分方程的数值解法。
e
* r
e x
* *
x x x
*
*
x
* *
r (x )
*
则称
r (x )
*
r (x )
*
噶米第一节多元函数的基本概念090304
第八章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念教学目的：了解平面点集的相关概念；理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函数连续的性质.重点：理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题. 难点：二元函数的极限不存在问题的证明. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、多维空间的点集 (区域)1、n 维欧氏空间},,,|),,,{(2121R R ∈=n n nx x x x x x . 2、n R 中两点),,,(21n x x x P =与),,,(21n y y y Q =的距离∑=∆-=ni i ix yPQ 12)(||.3、邻域(1) 点P 的δ的邻域}|| | {),(δδ<=PQ Q P U . 简记为)(P U .(2) 点P 的δ的去心邻域}||0 | {),(δδ<<=PQ Q P U.简记为)(P U.4、集合n E R ⊂中的点P(1) P 为E 的内点：E P U ⊂∃)(. 的内点集}|{的内点为E P P E = . (2) P 为E 的边界点：)(P U ∀, φ≠E P U )(且φ≠E P U )(. 的边界}|{的边界点为E P P E =∂.PPP)(P U E)(P U EP(3)P 为E 的聚点：0(),()U P U P E φ∀≠,但P 不一定在E 内.例如： 点集2222{(,)|04}x y x y or x y +=+≥，224x y +=和0为点集的边界，224x y +≥面上的每一个点都是聚点（极限点）. 结论：内点是聚点；边界点不一定是聚点；聚点也不一定是边界点.例如：集合E 的孤立点是边界点但不是聚点. 5、点集n E R ⊂(1) 开集E :2E R ⊂且P E ∀∈均有()U P E ∃⊂，则E 为开集.22{(,)|14}x y x y <+<，22{(,)|2}x y x y +<均为开集.(2) 闭集E :E E ⊂∂.（开集E 并上其边界构成闭集c E ，或开集的余集为闭集）22{(,)|14}x y x y ≤+≤，22{(,)|3}x y x y +≤ 22{(,)|3}x y x y +≥都是闭集.22{(,)|14}x y x y ≤+<既不是开集也不是闭集.(3) 有界集E :),( .. ,0K O U E t s K ⊂>∃. 22{(,)|14}x y x y ≤+≤，22{(,)|3}x y x y +≤都是有界集.(4) 无界集E :φ≠>∀),( ,0K O U E K .22{(,)|3}x y x y +≥，{(,)|3}x y x ≤是无界集.E EE ),(K O U E ),(K O U(5) 连通集E :E 中任意两点均可用E 中折线连结起来.22{(,)|3}x y x y +≥，22{(,)|14}x y x y ≤+≤， 22{(,)|3}x y x y +≤，22{(,)|14}x y x y <+<{(,)|3}x y x ≤，{(,)|13}x y x <≤ {(,)|13,}x y x y R <≤∈都是连通集. {(,)|3}x y x >不具有连通性.6、区域n D R ⊂(1) 开区域D :连通开集,简称区域.例如 22{(,)|14}x y x y <+<为区域，它的边界{}2222(,)|1,4x y x y x y +=+=，边界上的点都是聚点，但边界 点都不是内点.(2) 闭区域∙D :D D D ∂=∙,其中 D 为开区域. 例如 22{(,)|14}x y x y ≤+≤ 为闭区域，边界为{}2222(,)|1,4x y x y x y +=+=，边界上的点都是聚点且又都是内点.例如：点集E ＝2222{(,)|01}x y x y or x y +=+≥为闭区域，(0,0)为E 的点，但(0,0)为边界点，且(0,0)不是聚点. {}(,)|1,x y x y R <∈是无界区域. {}(,)|1,x y x y R ≤∈是无界闭区域.22{(,)|14}x y x y <+<是有界区域.二、多元函数的概念1、【定义】：nn D x x x P R ⊂∈=∀),,,(21 ,|y ∃∈R （存在惟一y R ∈）按法则f 与P 对应,称y 为P 的函数（定义在D 上的一个n 元（实值）函数.其中集合D 为非空集合.记作EPQxyOxyO:n f D R R ⊂→ 或 12()(,,),n y f x f x x x x D ==∈. (1)D 称为函数的定义域, 记作)(f D .(2)n x x x ,,,21 称为函数的自变量, 12(,,,)n y f x x x =称为函数的因变量.(3){|(),}y y f P P D =∈称为函数的值域, 记作)(D f . 说明：1.二元或二元以上的函数均称为多元函数.2.二元函数(,)z f x y =定义域为：曲面(,)z f x y =在xoy平面上的投影. 3.n R ---实n 维空间，2R ---实2维空间. 例1(1 )求2222(,)1ln(9)f x y x y x y =+-+--的定义域．解：2229010x y x y ⎧-->⎪⎨+-≥⎪⎩2219x y ⇒≤+< 所以2222(,)1ln(9)f x y x y x y =+-+--的定义域为{}22(,)|19x y xy ≤+<.（2）22222(,)arccos(3)3x f x y x y x y =++-+-的定义域为{}2222(,)|243D x y x y x y =≤+≤+≠且.（3）2221(,)114f x y x x y =-++-的定义域为22(,)|1D x y x y ⎧⎫=+>≤⎨⎬⎩⎭1且x 4.{}222()(,)|24D f x y x y x y =≤+≤>且．5）求函数1(,)ln()arcsin()2f x y x y x y =+-++的定域.(4)求222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义．解：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤22242y x y x ， 所求函数定义域为yOx提示：1()(,)|12D f x y x y ⎧⎫=<+≤⎨⎬⎩⎭. （6）2221(,)114f x y x x y =-++-的定义域为22(,)|1D x y x y ⎧⎫=+>≤⎨⎬⎩⎭1且x 4说明：１）．在未加说明情况下，函数的定义域均指自然定义域． 如ln()z x y =+定义域是{}(,)|0x y x y +>，22arcsin()z x y =+定义域是{}22(,)|1x y x y +≤．2）．一元函数的单调性、奇偶性、周期性定义在多元函数中不在适用．但有界性定义仍然成立．多元函数有界定义：设有n 元函数12(,,)n z f x x x =，其定义域为n D R ⊂，集合X D ⊂，若存在正数M ..(),s t f x M x X ≤∀∈，则称()f x 在X 上有界．M 称为()f x 在X 上的一个界．例2判断正误(1)在球02222=-++z z y x 内部的点有( ).(a ))2,0,0( (b ))2,0,0(- (c ))21,21,21( (d ))21,0,21(-答 (c ,d ).将球面方程写成标准形式 1)1(222=-++z y x ,球内部的点应满足不等式1)1(222<-++z y x . (2)点)1,1,1(-在曲面( )上.(a )0222=-+z y x （旋转抛物面）(b )z y x =-22（双曲抛物面马鞍面）(c )222=+y x （圆柱面） (d ))ln(22y x z += 答 (a ,c ).曲面上的点应满足曲面方程, (3)点( )在平面052=+y x 上.(a ))3,0,0( (b ))0,3,0( (c ))0,2,5(- (d ))1,2,5(- 答 (a ,c ,d ).平面上的点应满足平面方程,(4)函数)ln(1y x z +=的定义域是( ).(a )0≠+y x (b )0>+y x (c )1≠+y x (d )0>+y x 且1≠+y x答 (d ).⎩⎨⎧≠+>+0)ln(0y x y x ⇒0>+y x 且1≠+y x ⇒选(d ).例3 复合函数（1） 已知3(,)23,(,)2()x xf x y x y f x y x y y y =++=++则.（2） 已知2222(,),(,)()()y y f x y x y f x y x y x x=-+=+-则.（3） 已知2221(,),(,)1y y f x y x y f x y x x y-+=-=+则. 提示：22221(,)()()1y y x y x f x y x y x y x y y x x y x--+=-=+=+++. （4）已知22(,),(,)f x y x y x y f x y xy +-=-=则.2、多元函数(1) 二元函数：2=n 时,函数)(P f u =称为二元函数. 常写成),(y x f z =. (2) 三元函数：3=n 时,函数)(P f u =称为二元函数. 常写成),,(z y x f u =.(3)多元函数：2≥n 时,函数)(P f u =称为多元函数. 另外, 1=n 时,函数)(P f u =称为一元函数.3、二元函数图形——}),(),,(|),,{(D y x y x f z z y x ∈=. 表现为空间中的一个曲面.三、多元函数极限O x yz D ),(y x f z =x yPM1、多元函数极限(1)【定义】：设区域)(f D D ⊂,∙∈D P 0（0P 为区域D 的聚点， 可以不在区域D 内）,A 是一个常数.若0>∀ε,0δ∃> ..s t δ<<||00P P ,D P ∈时,恒有 ε<-|)(|A P f , 则称A 为)(P f 当0P P →时的极限.记作A P f P P =→)(lim 0, 或 A P f →)(, )0(→ρ. 其中||0P P =ρ.（2）特别情况：2=n 时,极限为二元函数极限,常称为二重极限, 记作Ay x f y y x x =→→),(lim 00（22000||()()P P x x y y ρ==-+-）. 例4 求证 01sin)(lim 22220=++→→yx y x y x . 证明:01sin)(2222-++y x y x 22221sin yx y x +⋅+=22y x +≤ ,0>∀ε取,0>=εδ当δ<-+-<22)0()0(0y x 时, 恒有ε<-++01sin)(2222y x y x .所以 01sin )(lim 222200=++→→y x y x y x . 另证：因为22221lim()0,sin1x y x y x y→→+=≤+又因为 所以 01sin)(lim 222200=++→→y x y x y x .(3)0P P →必需具有任意性.多元函数极限的存在，是指P 在D 内以任何方式趋近于0P 时，函数)(P f 都无限接近于A反过来，如果当P 以不同方式趋近于0P 时，函数)(P f 趋近于不同的值，那末就可以断定这函数的极限不存在. 还句话说：要说极限不存在，只需举一个反例就够了.例5 讨论 2200limy x xyy x +→→ 的收敛性.解:令,kx y = 则2200limy x xyy x +→→22220lim 1x y kx x kx k x k x k →=⋅=++＝，极限值随k 的变化而变化所以极限2200limy x xyy x +→→是发散的．例6证明下列极限不存在（１）23300lim x y x y x y →→-：2233333000lim lim 1x x y y kxx y x y kx y x y k →→→===--- 结果随k 变化． （２）00limx y xy x y →→+：00lim x y xyx y →→+20011lim lim x x y kx xxy xk x y k k →→=--===-+结果随k 变化．其极限值随k 的不同而变化，故极限不存在． 2、二重极限计算多元函数极限同样具有一元函数极限类似的运算法则和性质（四则运算、复合函数的极限、两个重要极限、等价无穷小、夹逼原理仍成立）,但罗必达法则不再成立. 例7计算下列极限 解：（１）221lim )sin(lim )sin(lim )sin(lim20202020=⋅=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→→→→→→y xy xy y xy xy x xy y x y x y x y x . （２）22(,)(0,1)1lim sinx y xy x y→+ 因为22(,)(0,1)1sin1lim 0x y xy x y→≤=+且 所以22(,)(0,1)1lim sin x y xy x y→+＝０ （３）20lim 11x y xyxy →→+-＝20lim(11)2x y xy →→++=（４）2001limlim111011lim(1)[lim(1)]x x y y xx x y y x x yxx x y ee e x x→∞→∞→→++⋅+→∞→∞→+=+===（５）2222222222222200020002(sin )1cos()112lim lim lim 2()4()2x y x y x x x y y y x y x y x y x y e e→→→→→→+-+=⋅=++ （６）sin 1sin lim110sin 0011lim(1sin )lim(1sin )1x y xyxy yy xy xy xyxx x y y xy xy e e →∞→⋅⋅⋅⋅→→→→+=+===（7）3322220000lim lim()(1)x x y y x y xyx y x y x y →→→→+=+-++ 又22223112xy xy x y x y -≤+≤++ 且0lim()0x y x y →→+=， 故 332200lim 0x y x y x y →→+=+.（根据：有界变量与无穷小量的积还是无穷小量）.3333333222222200000(1)(1)lim lim lim lim 0(1)(1)x x x x y y kxx y x y x k x k x y x y x k k →→→→→=++++====++++ 计算为什么不正确？（因为只考虑了一种方式向原点趋进.）（8）求 4422lim y x y x y x ++∞→∞→.解：因 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+≤++≤2222224422112120y x y x y x y x y x , 由于 01121lim 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→y x y x , 于是 0lim 4422=++∞→∞→y x y x y x ．例8(06.7) 设xyxy xy y y x f arctan sin11),(π--+=,0>x ,0>y , 求 (Ⅰ)),(lim )(y x f x g y +∞→=; (Ⅱ) )(lim 0x g x +→.解 (Ⅰ))arctan sin11(lim ),(lim )(xyxy xy y y x f x g y y π--+==+∞→+∞→x x x yx yx x xx y y arctan 11)]sin1(arctan 111[lim ππππ--=--+=+∞→. (Ⅱ)0011lim ()lim()arctan x x xg x x xπ++→→-=-0arctan (1)0lim (arctan 0x x x x x x π+→--=型）20arctan (1)0lim (0arctan 0x x x x x x x x π+→--=→型,时，～）22200212(12)(1)1lim lim 22x x x x x x x πππ++→→-+--++===.例9 用极限定义证明 12lim(4)6x y x y →→+=．证明：(,)6464125f x y x y x y ρ-=+-≤-+-≤221)(2)x y ρ=-+-其中（，对于0ε∀>,05εδρδ=<<取则当时恒有(,)65f x y ρε-≤= 故12lim(4)6x y x y →→+=．四、多元函数的连续性 １．【定义】： １）设()(,)f P f x y =则)(P f 在点0P 处连续：)()(lim 00P f P f P P =→．其中, 区域)(f D D ⊂,D P ∈0且0P 为D 的聚点.2）)(P f 在点0P 间断：)(P f 在点0P 处不连续．3）)(P f 在D 内连续：)(P f 在区域D 内每一点连续．例10 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 ,0 ,0 ,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 在)0,0(点连续．例11 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0 ,0 ,0 ,),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点间断．（函数在原点处的极限不存在）例12 函数11sin ),(22-+=y x y x f 在圆周122=+y x 上没有定义,因此),(y x f 在此圆周上的每一点都间断．（注意：多元函数的间断点可以是一条曲线）显然, 例10中的函数),(y x f 在整个2R 内连续．而函数221),(y x y x f --=在闭区域}1|),{(22≤+y x y x 上连续． ２．结论：多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数． 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．从而在定义区域内有)()(lim 00P f P f P P =→， 如：(,)(1,2)22lim 2x y xy xy →++= ，22(,)(1,0)ln()lim ln 2y x y x e x y→+=+ 221(,)(0,)23lim arcsin 1arcsin 23x y x y π→--==． 五、有界闭区域上连续函数的性质【性质1】（有界性）：设)(P f u =在有界闭区域D 上连续，则u在D 上必有界．【性质2】（最大值和最小值定理）：设)(P f u =在有界闭区域D上连续，则u 在D 上必有最大值和最小值．【性质3】（介值定理）：设)(P f u =在有界闭区域D 上连续，ba ,是u 取得的两个不同的函数值,则u 在D 上取得介于b a ,之间的任何值．证明： 设)()(b a P f b P f a =≤=,连续折线βα≤≤=t t P P L ),(:连接b a P P ,．由于对于任一],[b a c ∈,因],[)]([βαC t P f u ∈=,故存在],[*βαC t ∈,使得c t P f P f ==)]([)(**，而D L P ⊂∈*．六、初等函数1、多元初等函数(1) 多元多项式: ∑n n n i i i i ni i i i i x x x a ,,,21,,,212121 例如: xz z y yz x 8532342-+．(2) 多元初等函数：多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数．例如：y z x y x xy y x 4)(cos )ln()3sin(322++++ 2、性质(1) 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.(2) 设)(P f u =在区域D 内为初等函数, D P ∈0,则)()(lim 00P f P f P P =→.注: 0P 为)(f D 的内点时,也有)()(lim 00P f P f P P =→.例13 求 .lim 21xy y x y x +→→ 解: 因xyy x y x f +=),(为初等函数,}0,0|),{()(≠≠=y x y x f D , 而)2,1(是)(f D 的内点,所以有.232121)2,1(),(lim lim 2121=⋅+===+→→→→f y x f xy y x y x y x 例14 )11(11lim 11lim 11lim 000000++-+=-+=-+→→→→→→xy xy xy xy xy xy xy y x y x y x .2111001111lim 00=++⋅=++=→→xy y x 小结：１．多元函数：2≥n 时,函数)(P f u =称为多元函数.另外,1=n 时,函数)(P f u =称为一元函数．一元函数图象为平面图形.二元函数图形——}xyxfzx∈yy=.表现为空z),(,){(D,,(,|)间中的一个曲面．２．一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．３．多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数．多元连续函数在闭区域上仍具有有界性、最大值和最小值定理、介值定理仍成立．4．一元函数的无穷小性质、重要极限、极限的四则运算在多元函数求极限时仍成立，但罗必达法则不再成立．课后记：存在的问题：（1）多元函数极限不存在证明不知从何下手．（2）计算多元函数极限时乱用罗必达法则，另外用证明极限不存在的方法沿一条曲线极限存在就说函数极限存D f的集合表示写不好，在，运算错误较多．（3）定义域()D f的图形画不出来．二元函数的定义域()。
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课程名称 _______ 计算方法 ____________________ 实验项目名称
数值计算的基本概念（误差） _____________________________
一.实验目的和要求
1•了解误差的种类及其来源； 2. 了解算法的数值稳定性的概念。
二.实验内容和原理
分析应用题要求将问题的分析过程、 算法的分析等写在实验报告上。
2-1分析应用题
函数sin x 有幕级数展开
3
5
7
X + X x , s i IX = x -
3 !
5 !
7 !
利用幕级数计算sinx 的Matlab 程序为
fun cti on s=powers in(x)
% POWERSIN. Power series for sin(x)
% POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series s=0; t=x; n=1;
while s+t~=s
s=s+t;
t=-x A 2/(( n+1)*( n+2))*t; n=n+2; end
1) 解释上述程序的终止准则； 当t=0时，程序终止。
2）对于X =M /2,11二/2,21二/2，计算的精度是多少？分别需要计算多少项?
实验成绩 _______ 指导老师（签名）
日期 2011-9-9
Matlab 源程序、运行结果和结果的解释、
dx
X nx + 5 1—0
-
计算的精度是10 °6。
分别计算11次，37次，60次。
fun cti on
s=powers in(x)
% POWERSIN. Power series for sin(x)
% POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series s=0; t=x; n=1; m=0; while s+t~=s s=s+t;
t=-x A 2/(( n+1)*( n+2))*t; n=n+2; m=m+1; end m
2-2分析应用题
1）从I o尽可能精确的近似值出发，利用递推式
1
I n =-5咕—n= 1,12, , 20)
n
计算I20的近似值；
fun cti on 1= ln( n )
1=0.1823;
j=1；
while j<=n;
l=-5*l+1/j;
j=j+1;
end
2)从丨20较粗糙的估计值出发，利用递推式
1 1
I n x-—I n - (n =20,19川,1)
5 5n
计算I。
的近似值；
fun cti on 1= ln( n )
I=-2.0000e+009;
j=20;
while j>n;
I=-0.2*I+1/(5*j);
j=j-1；
end
)Tiiidov -!□! x| File Edi t Dehus Desktop 世ind 艸Help 強
Hew ta NAT1AB? Watch this V_i dem D EIWE.or r GettinE EtartecL 其u »1= In(O)
0. 1323
[ovT Z 3) 分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。
第二个更准确
2-3分析应用题
设f (x) =x(J x +1 _丘)g(x)= ——=，用软件工具或自编程序计算
J x+1 —仮
x =1,x =105, x =1010时f (x)和g(x)的值，并对计算结果和计算方法进行分析。
fun cti on a=f(x)
a=x*((x+1)A(0.5)-xA(0.5));
fun cti on b=g(x)
b=1/((x+1)A(0.5)-x A(0.5));
2-4分析应用题
把函数e x用Taylor展开至9阶，然后分别用下面两个公式计算近似值，要求
保留三位有效数字，并与真解6.74 10-进行比较，说明那个公式更精确并说明理由。
.
(1). e，
s=0;
9 (
①二1
⑵e$ r
e :-1M'—心
n!
n
=0
n!
s=0;
n=0;n=0;
for x=0:9for x=0:9
if x==0if x==0
n=1;n=1;
else else
n=n*x;n=n *x;
end end
s=s+((-5)A(x))/n;s=s+((5)A(x))/n;
end end
s=vpa(s,3)s=1/s;
s=vpa(s,3)第二个更准确
. 操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）四. 实验结果与分析。