高中数学考点12 零点定理(讲解)(解析版)知识点解析
考点12 零点定理——2021年高考数学专题复习讲义
考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。
2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x -2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。
2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。
3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。
4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
高中数学考点12 零点定理(练习)(解析版)知识点解析
2．若函数 f x log2 x a 的零点为 2 ，则 a ________.
【答案】3
【解析】根据题意，若函数 f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2，
则 f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即 a﹣2＝1，解可得 a＝3，故答案为 3
3．设函数
f
(x)
2x 2, x 1,
x2
交点,故原函数有 2 个零点.
3．函数 f（x）＝cosπx﹣（ 1 ）x+1 在区间[﹣1，2]上的零点个数为
.
2
【答案】3
【解析】根据题意可知，函数 f (x) cos x ( 1 )x 1在区间[1, 2] 上的零点的个数， 2
即为函数 y cos x 的图象与函数 y (1)x 1的图象在区间[1, 2] 上的交点的个数， 2
如上图所示，则 f x 的零点个数为1.故答案为：1
6．定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x) f (4 x),且当 x [0, 2]时, f (x) cos x ,则 g( x) f ( x) lg x 的
零点个数为____________. 【答案】10
【解析】由于定义在 R 上的偶函数 y f x 满足 f ( x) f 4 x , 所以 y f x 的图象关于直线 x 2 对称, 画出 x [0, ) 时， y f x 部分的图象如图,在同一坐标系中画出 y lg x 的图象,
在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：
可以发现有三个公共点，所以函数 f (x) cos x ( 1 )x 1在区间[1, 2] 上有三个零点， 2
4．函数 f x ln x x2 的零点个数是
.
( ) 【解析】因为 y ln x 与 y = x2 均在 0, +¥ 上为增函数，所以函数 f x ln x x2 至多一个零点
第12讲 零点定理与根的分布(08)陈
△>0
4.三次方程解的个数问题。 三次方程解的个数问题。 三次方程解的个数问题 若函数f(x)=ax3-1.5(a+2)x+6试讨论曲线 试讨论曲线y=f(x) 例6.若函数 若函数 试讨论曲线 轴的公共点的个数. 与x轴的公共点的个数 轴的公共点的个数
全国理二)若函数 例7.(2007全国理二 若函数 全国理二 若函数f(x)=x3-x, (1)求曲线 求曲线y=f(x)在点 在点M(t,f(t))处的切线方程 处的切线方程; 求曲线 在点 处的切线方程 (2)设a>0,如果过点 设 如果过点(a,b)可作曲线 可作曲线y=f(x)的三条 如果过点 可作曲线 的三条 切线求证:-a<b<f(a). 切线求证
2007年广东高考数学压轴题 年广东高考数学压轴题 例3.若函数 若函数f(x)=2ax2+2x-3-a在区间 在区间[-1,1]上有零点 求实 上有零点,求实 若函数 在区间 上有零点 数a值. 值
理清思路 分级分类讨论
一级分类 函数类型 二级分类 开口方向 三级分类 根的个数
分 类 标 准
一 二
3.函数极值点的存在条件。 函数极值点的存在条件。 函数极值点的存在条件
若函数f(x)=x3+ax+a2-6有三个单调区间 求实数 取 有三个单调区间,求实数 例 4.若函数 若函数 有三个单调区间 求实数a取 值范围. 值范围
问题:三次函数是否一定有极值点 问题 三次函数是否一定有极值点? 三次函数是否一定有极值点 三次函数f(x)有极值 有极值 三次函数 方程f`(x)=0有不等实根 有不等实根 方程
第一 次课
1.零点定理与几何图形特征。 零点定理与几何图形特征。 零点定理与几何图形特征
考点12 零点定理(讲解)(原卷版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记
考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。
2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。
2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。
3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。
4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
【高考数学】三角函数零点问题
函数零点是近年来高考既是热点，又是重点，更是高频考点内容，在全国各个省的高考题，及各市各套模拟试卷都屡见不鲜，尤其是三角函数的零点问题，常考常新，但解答题都是通过分类讨论研究零点，分离参数划归为曲线的交点，分离函数等研究零点问题，下面就解答题加以分析： 一．理论基础，解题原理对函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
1.函数零点定义：2. 等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔曲线y=g(x)与y=h(x)的交点⇔函数y=f(x)有零点； 3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。
二 例题枚举例1.（19课标1）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 三角函数零点问题∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.例2（17山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22xg x e x x x =-+-其中 2.71828e =L 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（Ⅰ）易求：222y x ππ=--（Ⅱ）由题意得 2()(c o ss i n 22)(2c o s )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x xh x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x > 当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上递增，在()ln ,0a 上递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，【点睛】 1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道较难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.例3（19天津）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.解：(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第12讲 函数的零点问题-解析版
第12讲 函数的零点问题知识与方法1确定函数()f x 零点所在区间的常用方法函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的3种不同表达形式.确定零点、方程根、函数图像与x 轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式,所以常用解法有3种.(1)解方程法;(2)利用函数零点的存在性定理;(3)数形结合法. 同样,判断函数零点个数也是这3种方法.2已知函数有零点(方程有根),求参数取值常用的方法(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法.先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.典型例题【例1】已知:,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根,且2αβ<<,求m 的取值范围.(2)若220x ax ++=的两个根都小于1-,求a 的取值范围. 【解析】(1)【解法一】()()()2,220,240αβαβαβαβ<<∴--<∴-++<利用韦达定理1242,mm αβαβ+=-⎧⎨=-⎩代人(1)式得()4221240m m ---+<,解得3m <-.m ∴的取值范围为(),3∞--.【解法2】令()()22142f x x m x m =+-+-,拋物线开口向上.由实根分布2αβ<<,只要()20f <即可,即()()24212420f m m =+-⨯+-<,解得3m <-,即m 的取值范围为(,∞-,()3.-(2)【解法1】设()22f x x ax =++,当两根都小于1-时,函数()f x 的图像与x 轴的交点在一1的左侧,可得)()0,1,3,? .210a a a f ∆≥⎧⎪⎪⎡-<-⇒≤<⎨⎣⎪->⎪⎩即的取值范围为【解法2】设12,x x 是方程的两个实根,有()()()()111212122212120,0,0,0,1,,10,1101011011020x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧∆≥∆≥∆≥∆≥⎧⎪⎪⎪⎪<-+<⇒++>⇒+++>⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<+++<++<⎩⎩⎩⎩利用韦达定理,解不等式组得3a ≤<,即a的取值范围为)⎡⎣.【例2】(1)已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()4f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=(2)设函数()()()20,20,x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩若()()()40,22f f f -=-=-,求关于x 的方程()f x x =的解的个数.【解析】(1)定义在R 上的奇函数,满足()()()()4,4f x f x f x f x -=-∴-=-.∴由()f x 为奇函数得函数图像关于直线2x =对称且()00f =;由()()4f x f x -=-知()()()()8444,f x f x f x f x -=--=--=∴函数是以8为周期的周期函数,又()f x 在区间[0,2上上是增函数，() f x ∴在区间[]2,0-上也是增函数,如图121-所示,则方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<.由对称性知1234123412,4,1248.x x x x x x x x +=-+=∴+++=-+=-(2)【解法1】由()()()40,22f f f -=-=-,可得164,4,2422,b c c b c b c -+=⎧∴==⎨-+=-⎩.()()()242020x x x f x x ⎧++≤⎪∴=⎨>⎪⎩∴方程()f x x =等价于()0,2,x x f x >⎧⎨==⎩或20,42x x x x ≤⎧⎨++=⎩即2x =或20,2320,x x x x ≤⎧∴=⎨++=⎩或1x =-或2x =-,即()f x x =有3个解. 【解法2】同【解法1】可得()()()24204,2,20x x x b c f x x ⎧++≤⎪==∴=⎨>⎪⎩如图122-所示,方程()f x x =解的个数即函数()y f x =与y x =图像交点个数,由图知两图像有3A B C 、、个交点,故方程有3个解.【例3】设函数()()()2,1,42, 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为________.(2)若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________.【解析】()1当1a =时,()()()21,1412,1,xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩当1x <时,()11f x -<<,无最小值;当1x ≥时,()()()412f x x x =--=24128.x x -+由二次函数的性质知,32x =时,()f x 的最小值为()1,f x -∴的最小值为 1.- (2)当0a ≤时,20xa -=无解,()()420x a x a --=有两解,分别为a 与2a ,但均小于1,不合题意,故0a ≤时不成立;当0a >时,20xa -=有解()()2log ,420x a x a x a =--=有解x a =或2x a =,要使()f x 恰有2个零点,需3个根中有1个不合题意,只有22log 1,log 11,1,2121a a a a a a ⎧≥<⎧⎪⎪≥<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩或 综上,实数a 的取值范围是[)1,12,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭.【例4】设函数()222f x ax bx =+,若存在实数()00,x t ∈,使得对任意不为零的实数,a b 均有()0f x a b =+成立,则t 的取值范围是________. 【解析】【解法1】(零点存在性定理)由题意222ax bx a b +=+在区间()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有解. 故()()222g x ax bx a b =+-+在()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有零点.()()()0,1.g a b g a b =-+=+故()()()2010g g a b =-+≤若0a b +=,则t 一定要大于1; 若1t >,则()()()2010g g a b =-+≤. 故()g x 在区间()0,t 上必有零点. 由零点存在性定理可得 1.t > 【解法2】(一“定”一“动”,数形结合)222ax bx a b +=+在区间()0,t 上对于任意的0,0a b ≠≠有解,即212122b x x a ⎛⎫⎛⎫-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,t 上对于任意0,0a b ≠≠均有解. 即2121y x =-与()2102y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭在 区间()0,t 上有交点,如图123-所示,故1t >强化训练1.已知函数()2223f x ax x =+-,如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点,则实数a 的取值范围为________.【解析】若,则得不合题意,故. (i)若时，在上至少有一个零点.有即解得(ii)当时，在上有零点的条件是 解得 综上,实数的取值范围为.2.设()22f x x ax b =++在区间[]1,2上有两个零点(可重合),则a b +的取值范围是________. 【解析】0a =()()23,0f x x f x =-=[]31,1.2x =∉-0a ≠()()110f f -⋅()f x []1,1-()()2232230,a a --+-()()25210,a a --15.22a ()()110f f -⋅>()f x []1,1-()()()110,2111,2110,f f a a f f ⎧⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-⋅>⎪⎩5.2a >a 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解法1】易知,设, 则故即 【解法2】设的两根为,且.由韦达定理可得 将(1)式看作关于的一次函数,又3.已知函数()254,0,22,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.【解析】画出函数的图像如答图所示.函数有4个零点,即函数的图像与函数的图像有4个交点根据图像知需.当时,函数的图像与函数的图像有3个交点,故.当与相切时,在整个定义域内,的图像与的图像有5个交点.此时,由得. 由得,解得或(舍去).则当时,两个函数图像有4个交点,故实数的取值范围是.1124a b f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()()()12f x x x x x =--121211111.22222f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121113,,.2222x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦119,,244f ⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]0,2.a b +∈220x ax b ++=12,x x []12,1,2x x ∈()121212212122,111.,222x x a a b x x x x x x x x x b +=-⎧⎛⎫∴+=-++=--⎨⎪=⎝⎭⎩1x []2211321,2,,.22x x x a b --⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦][21,2,0,2.x a b ⎡⎤∈∴+∈⎣⎦()f x 121-()y f x a x =-1y a x =()f x (0a >2a =()f x 1y a x =2a <()0y a x x =254y x x =++()f x 1y a x =2,54y ax y x x =-⎧⎨=---⎩()2540x a x +-+=Δ0=2(5)160a --=1a =9a =12a <<a ()1,24.若在区间1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上存在两个不同的实数,a b ,使得2a b k a ++=和2b a k b ++=同时成立,求k 的取值范围. 【解析】【解法1】将式子和相减并整理,可得,即,故且.方程在区间上有两个不等实根.令结合图像可得解得即 【解法2】将和相减并整理,可得,即. 故且方程在区间上有两个不等实根.令即直线与抛物线有两个不同的交点，结合图像可得，即 5.(1)若()(0xf x a x a a =-->且1a ≠有2个零点,则实数a 的取值范围是________.2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-2220a a k -++=2220b b k -++=∴2220x x k -++=1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x k =-++111,22102x f ⎧⎛⎫>= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩对称轴在右边51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-222k a a =-+-22 2.k b b =-+-∴222k x x =-+-1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x =-+-y k =()222f x x x =-+-51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】 (1)函数的零点的个数就是函数与函数的交点的个数.如答图所示,由函数的图像可知时两函数图像有两个交点,时两函数图像有唯一交点,故.(2)函数()2ln f x x x=-的零点所在的区间是(). A.()1,2B.()2,3C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()e,3【解析】∴函数在区间内存在零点， 【答案】B.6.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是().A.()41f x x =-B.()()21f x x =-()f x xy a =y x a =+122-1a >01a <<1a>()()()210220,2ln 210,3ln 30,3f f f =-=-<=-<=->()()()2110,120,230,f e f e f f ee ⎛⎫=->=--<∴< ⎪⎝⎭()2ln f x x x=-()2,3C.()e 1x f x =-D.()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】的零点为的零点为, 的零点为的零点为接下来我们估算的零点，的零点又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过只有的零点符合此要求,【答案】A.7.已知函数()42x xmf x +=是R 上的奇函数.(1)求m 的值. (2)设()12x g x a +=-,若函数()f x 与()g x 的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由函数是上的奇函数可知,解得.(2)函数与的图像至少有一个公共点.则方程至少有一个实根， 即方程至少有一个实根. 令则方程变为令,由于,只需解得实数的取值范围为()41f x x =-()21,(1)4x f x x ==-1x =()e 1x f x =-()10,ln 2x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3.2x =()422xg x x =+-()101,1,2g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ∴10,.2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()422xg x x =+-0.25,∴()41f x x =-()f x R ()010f m =+=1m =-()f x ()g x 14122x x xa +-=-4210x xa -⋅+=20,xt =>210.t at -+=()21h t t at =-+()010h =>∴2Δ400,2a a ⎧=-⎪⎨>⎪⎩2,a ∴a [)2,∞+。
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考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是。
【答案】9【解析】∵幂函数()f x x α=的图象过点，∴2α=，解得1=2α，∴()12f x x =∴()123g x x =-由()1230g x x =-=，得9x =．2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.【答案】1,4-【解析】令f （x ）=0，即x 2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点,则令()10y f x =-=,即()1f x =,又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =.综上所以,函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：04．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于.【答案】8【解析】函数y 1=11x-与y 2=2sinπx 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，由图象可知,两个函数在[-2,4上共有8个交点,两两关于点(1,0)对称设对称的两个点的横坐标分别为m 、n 则m+n=2×1=2，故所求的横坐标之和为8，故答案为8.考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是()A ．(1,0)-B ．1(0,4C ．11(,42D ．1(,1)2【答案】D【解析】易知函数()f x 为减函数，又121111(402424f -=-=->，11(1)042f =-<，根据零点存在性原理，可知函数()42xx f x -=-的零点所在的区间是1(,1)2,故选D.2．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2，故选B ．3．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【解析】∵f （x ）=ln x +x -3在（0，+∞）上是增函数f （1）=-2＜0，f （2）=ln2-1＜0，f （3）=ln3＞0∴f （2）•f （3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f （x ）=ln x +x -3的零点所在区间为（2，3）故选：C ．4．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e 【答案】C【解析】设()2ln 2xf x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-，因为()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，所以由解析式可知，()f x 在()0,∞+上单调递增．而()12f e t =-+，()1f t e =-，故1t =，即()2ln 1xf x e x =+-．因为()110f e =->，11112ln 13ee f e e e e ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，由于11ln ln 3ln 30ee e-=-<，即有13e e <，所以1130e f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭．故()110f f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 的零点所在区间为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．考点三：零点个数1．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为。
【答案】2【解析】分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.2．方程20181log 2019xx⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是。
【答案】2【解析】作出12019xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和2018log y x =的函数图象,如图所示:由图象可知两函数图象有2个交点.故方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数也为2个.3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为。
【答案】8【解析】由2sin(2)103x π+-=得1232sin x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[]04x ,π∈，分别画出1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和212y =在[)04x ,π∈的图像，如图：两函数图像有8个交点，故方程22103sin x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)04,π上的解的个数为8个4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.【答案】6【解析】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--=可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像如上图所示:由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点所以1()()13g x f x x =--共有6个零点故答案为:65．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.【答案】7【解析】方程()()20f x f x -=可解出0f x =（）或1f x =（）方程()()20fx f x -=的不相等的实根个数即两个函数0f x =（）或1f x =（）的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数0y =，1y =的图象与函数()f x的图象的交点个数相同，如图：1y =的图象与函数()f x 的图象的交点个数有四个0y =的图象与函数()f x 的图象的交点个数有三个，故方程()()20f x f x -=有7个解，故答案为76．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为。
【答案】3【解析】当10x -<时，则011x +<，此时有()(1)1f x f x x =-+=--，∵()()1f x f x +=-，∴()()21[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，∴函数()y f x =是周期为2的周期函数．令()()ln 0g x f x x =-=，则()ln f x x =，由题意得函数()()ln g x f x x =-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数y ln x =的图象交点的个数．在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数y ln x =的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点，∴函数()()ln g x f x x =-的零点个数为3．7．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为。
【答案】5【解析】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =，则()1f x =-有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解，故方程()()3ff x =有5个解.8．已知函数20,01()log ,()12,12x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x -=实根的个数为。
【答案】4【解析】当01x <≤时，()2log f x x =-，()0g x =，∴()()2log 1f x g x x -=-=有一实根12；当1x >时，()2log f x x =，()122g x x =--，∴()()21log 212f xg x x x -=--+=，∴21log 22x x =-+或23log 22x x =--|，分别画出函数()2log 1y x x =>以及122y x =-+，322y x =--的图象如图，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个．9．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为。
【答案】4【解析】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈.结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解.所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个.考点四：根据零点求参数1．已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是。
【答案】()2,0-【解析】函数f (x )=x 2+x +a 的图象的对称轴方程为12x =-,故函数在区间(0,1)上单调递增，再根据函数f (x )在(0,1)上有零点,可得()()00120f a f a ⎧=<⎪⎨=+>⎪⎩，解得−2<a <0.2．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是。