西北工业大学矩阵论课件PPT第五章例题 特征值的估计与表示
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矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
矩阵分析第5章课件
例：取n维线性空间的分量全为1的向量 e=(1,…,1)T为例. 易见 ‖e‖=1; ‖e‖2=n; ‖e‖1=n. 它们之间的大小关系是: ‖e‖<‖e‖2<‖e‖1. 命题:对n维线性空间的任意向量x成立 ‖x‖ ‖x‖2 ‖x‖1 n‖x‖ n‖x‖2 n‖x‖1 n2‖x‖ … 证:‖x‖= max{|x1|,…,|xn|} (i=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 ((|x1|+…+|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 n max{|x1|,…,|xn|} = n‖x‖
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
第五章矩阵的特征值与特征向量
用 利 λ1 + λ2 +⋯+ λn = a11 + a22 +⋯+ ann;
λ1λ2 ⋯λn = A；
及 题 有 以 依 意 f (λ) = (λ − 4)(λ −1)(λ + 2).
α = (1 , 1) 为A的属于特征值5的特征向量.
T
李正兴2011-11-10 3
说明： 说明：
(1)如果α1，α 2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则 k1α1 + k2α 2 (k1α1 + k2α 2 ≠ 0)也是A的属于特征值λ0的特征向量.
特别地
(2)如果α 是A的属于特征值λ0的特征向量， 则kα (k ≠ 0)也是A的属于特征值λ0的特征向量. (3)如果α1，α 2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则
所以
2E − A = (2 − λ1 )(2 − λ2 )⋯ (2 − λn ).
例7 设A，B均为n阶矩阵，且B = P −1 AP P为n阶可逆矩阵）， （
证明: tr ( B ) = tr ( P −1 AP ) = tr ( APP −1 ) = tr ( A ) .
李正兴2011-11-10 19
李正兴2011-11-10 18
4. tr ( AB ) = tr ( BA )
例6 已知n阶矩阵 的n个特征值是 λ1 , λ2 ,⋯ , λn , 已知 阶矩阵A的 个特征值是 阶矩阵 求 2E − A . 依题意， 解 依题意，2E − A 的特征值是
2 − λ1 , 2 − λ2 ,⋯ , 2 − λn ,
第五章 矩阵的特征值与特征向量 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 §5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化
λ1λ2 ⋯λn = A；
及 题 有 以 依 意 f (λ) = (λ − 4)(λ −1)(λ + 2).
α = (1 , 1) 为A的属于特征值5的特征向量.
T
李正兴2011-11-10 3
说明： 说明：
(1)如果α1，α 2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则 k1α1 + k2α 2 (k1α1 + k2α 2 ≠ 0)也是A的属于特征值λ0的特征向量.
特别地
(2)如果α 是A的属于特征值λ0的特征向量， 则kα (k ≠ 0)也是A的属于特征值λ0的特征向量. (3)如果α1，α 2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则
所以
2E − A = (2 − λ1 )(2 − λ2 )⋯ (2 − λn ).
例7 设A，B均为n阶矩阵，且B = P −1 AP P为n阶可逆矩阵）， （
证明: tr ( B ) = tr ( P −1 AP ) = tr ( APP −1 ) = tr ( A ) .
李正兴2011-11-10 19
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4. tr ( AB ) = tr ( BA )
例6 已知n阶矩阵 的n个特征值是 λ1 , λ2 ,⋯ , λn , 已知 阶矩阵A的 个特征值是 阶矩阵 求 2E − A . 依题意， 解 依题意，2E − A 的特征值是
2 − λ1 , 2 − λ2 ,⋯ , 2 − λn ,
第五章 矩阵的特征值与特征向量 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 §5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化
线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)
互不相等的特征值.
§
20
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§
4
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
性质3：已知 为n阶矩阵A的一个特征值，则
（1） kA 必有一个特征值为 k ;
（2） A2 必有一个特征值为
2
;
§
8
（3） Am (m Z ) 必有一个特征值为 （4）A可逆时，A1必有一个特征值为 （5）A可逆时，A* 必有一个特征值为
m
;
1 ;
A
；
（6）多项式( A)必有一个特征值为 ( ).
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§
1
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§
2
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为
定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量.
西北工业大学《线性代数》课件-第5章
定理5.2 设 是A 的特征值, x 是对应的特征
向量,f (x)是多项式，则
(1) f ()是f (A)的特征值,对应的特征向量仍是x; (2) 若f ( A) O,则对A的任意一个特征值,有f () 0，
即 是f (x)的零点.
证明
(1)由Ax x Ak x Ak1(Ax) Ak1x k x
pm1, pm2, , pmrm是对应m的线性无关特征向量，
则向量组 p11, p12 , , p1r1 p21, p22 , , p2r2
pm1, pm2 , , pmrm 线性无关.
例5 (2005 数一 4分)
设1, 2 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的 特征向量分别为 1,2 ，则 1, A(1 2) 线性无关
特征值,对应的特征向量分别为p1, p2, , pm ,则 p1, p2, , pm线性无关. 证明 对 m 用数学归纳法证明.
1。当 m 1 时，p1 0 p1 线性无关；
。
2
假设在m-1时，结论成立，则当
m
时，设
k1 p1 k2 p2 km pm 0 (1)
用A乘(1)式两边，由Ap1 1 p1，Ap2 2 p2， , Apm m pm，
(A i E)x 0 的非零解向量------基础解系， 即为 i对应的特征向量。
2 1 1
例1 求Α 0 2 0 的特征值和特征向量.
4
1
3
解 ⑴ A的特征多项式
2 1 1 det(Α Ε) 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
⑵ 因此A的特征方程 det(ΑΕ) ( 1)( 2)2 0
的充要条件是 B
(A) 10 (B) 20 (C) 1=0
向量,f (x)是多项式，则
(1) f ()是f (A)的特征值,对应的特征向量仍是x; (2) 若f ( A) O,则对A的任意一个特征值,有f () 0，
即 是f (x)的零点.
证明
(1)由Ax x Ak x Ak1(Ax) Ak1x k x
pm1, pm2, , pmrm是对应m的线性无关特征向量，
则向量组 p11, p12 , , p1r1 p21, p22 , , p2r2
pm1, pm2 , , pmrm 线性无关.
例5 (2005 数一 4分)
设1, 2 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的 特征向量分别为 1,2 ，则 1, A(1 2) 线性无关
特征值,对应的特征向量分别为p1, p2, , pm ,则 p1, p2, , pm线性无关. 证明 对 m 用数学归纳法证明.
1。当 m 1 时，p1 0 p1 线性无关；
。
2
假设在m-1时，结论成立，则当
m
时，设
k1 p1 k2 p2 km pm 0 (1)
用A乘(1)式两边，由Ap1 1 p1，Ap2 2 p2， , Apm m pm，
(A i E)x 0 的非零解向量------基础解系， 即为 i对应的特征向量。
2 1 1
例1 求Α 0 2 0 的特征值和特征向量.
4
1
3
解 ⑴ A的特征多项式
2 1 1 det(Α Ε) 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
⑵ 因此A的特征方程 det(ΑΕ) ( 1)( 2)2 0
的充要条件是 B
(A) 10 (B) 20 (C) 1=0
矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵
0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1
矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
定理5.5. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.
事实上, 设P –1AP = B, 则
|I–A| = |P –1|·|I–A|·|P|= |I–B|.
注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.
例如 A =
1 0
1 1
, B=
1 0
0 1
,
它们的特征多项式都是(1)2.
注: A的零化多项式的根未必都是A的特征值.
例如f(x) = x21,
A1 =
1 0
0 1
,
A2 =
1 0 0 1
,
A3 =
0 1
1 0
.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
§5.2 相似矩阵
一. 相似矩阵的定义和性质
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得
P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为A~B.
P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.
易见, 矩阵间的相似关系满足
(1) 反身性: A~A;
(2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系.
且A与B相似 A与B相抵. 但反之未必.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
命题: 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B).
证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P 1f(A)P
= P 1(anAn+…+a1A+a0I)P
= anP 1AnP+…+A1p 1AP+a0 P 1IP = an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0I = anBn+…+a1B+a0I
矩阵特征值ppt课件
24
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
2. P 1A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
13
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
16
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
f
( A)
Pf () P1
P
f
(1)
PO P1 O.
P
1
f ( n)
30
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
2. P 1A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
13
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
16
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
f
( A)
Pf () P1
P
f
(1)
PO P1 O.
P
1
f ( n)
30
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
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令 z x i y，则由 z 1 z 0.4 得Cassini卵形线 的标准方程 1 2 1 2 1 2 1 4 2 2 2 4 [( x ) y ] 2( ) [( x ) y ] (0.63) ( ) 2 2 2 2 其中心在 0.5，左端点 (0.3, 0)， 右端点 (1.3, 0)， 最高点 (0.2, 0.4), (0.8, 0.4)；最低点 (0.5, 0.38)。 作图：
2 2 p1 ， p2 1 1
例 已知实对称矩阵A和正定矩阵B分别为 0 2 1 1 A ， B ， 2 0 1 4 求B-正交矩阵Q使得 Q T AQ 为对角矩阵。 解 先求解广义特征值问题 Ax Bx。 2 det(B A) 2 4
32 4 4 ( 2)(3 2) 2 1 2， 2 广义特征值为 3 对应的广义特征向量分别为
解 AT的三个盖尔圆为： G1 : z 20 10，G 2 : z 10 4，G3 : z 3
作图：
G1 G3
0
G2
10 20
取 1 2 1, 3 0.5， D diag(1, 1, 0.5)，则 20 2 4 1 T B D A D 3 10 0.5 2 4 0 B的三个盖尔圆为： ~ ~ ~ G1 : z 20 6，G 2 : z 10 3.5，G 3 : z 6
作图：
G2
取 1 0.5, 2 1, 3 1 ，
D diag( 0.5, 1, 1) 9 2 2 1 则 B D AD 0.5 i 1 0.5 1 3
i 0 3
G3
9
G1
B的三个盖尔圆为： ~ ~ ~ G1 : z 9 4， G 2 : z i 1.5，G3 : z 3 1.5 作图：
0 1 2 3
1 0.8 的特征值分布区域。 例 试估计矩阵 A 0.5 0
解 A的两个盖尔圆为：
G1 : z 1 0.8，
作图：
G 2 : z 0.5
G1 G2
0 0.5 1.0
A的一个Cassini卵形为： O12 : z 1 z 0.8 0.5 0.4
由于A是实矩阵，所以 3(3 1) Im( ) 0.2 3 0.2 0.3464 2 即A的特征值在虚轴上区间 (0.3464 i, 0.3464 i) 之内。
实际计算可求得A的特征值为
0, 0.3 i, 0.3 i
估计的效果较好。
§2 特征值的包含区域
1 1 2 1 2 4 4 1 1 2 i 0 1 4 4 例 估计矩阵 A 1 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 2 i 4 2
G4
2i
G2
~ G2
G3 ~
-2 -1
i 0 -i -2i
1
G3
~ 2 1G
G1
可见A的四个特征值位于 ~ ~ 四个孤立圆盘 G1， G 2， G3， G4 中，
~ G4
且各圆盘中仅有A的一个特征值。
0.11 0.02 1 例 试估计矩阵 A 0.02 0.5 0.01 的特征值 0.01 0.14 0.9 分布范围，并适当选择一组正数， 使A的三个盖尔圆 互不相交。
例 设矩阵 A (aij )nn (n 1) 满足
aii 0，
aij aii
j 1 j i
n
(i 1,2,, n)
应用Gerschgorin定理证明A的特征值的实部小于零。 证 因为 n
z aii aij aii
j 1 j i
(i 1,2,, n)
~ G2
0
G2
~ G1
i
~ G G3 3
3
G1
9
~ ~ 综合考虑知，在G1， G 2， G3 中各有A的一个特征值。
0 1 0.1 1 10 0 例 应用盖尔定理隔离 A 0.1 0 2 1 1 0
1 1 0 3
的特征值(要求画图表示)，并利用实矩阵特征值 的性质改进所得结果。 解 A的四个盖尔圆为 G1 : z 2.1 G1 G 2 : z 10 2 G3 G3 : z 2 0.1 -2 0 G4 : z 3 2
~ G2
0
G2
G3
0.5
~ ~ G G3 G1 1
1.0
~ ~ 在G 综合考虑知， G 2， G3中各有A的一个特征值。 1，
9 1 1 例 试分离矩阵 A 1 i 1 的特征值。 1 1 3 解 A的三个盖尔圆为：
G1 : z 9 2，G 2 : z i 2，G3 : z 3 2
解 A的三个盖尔圆为 G1 : z 1 0.13，G 2 : z 0.5 0.03，G3 : z 0.9 0.15 作图:
G2
0.5
G3
1.0
G1
0
取 1 1, 2 0.1, 3 1 ， D diag(1, 0.1, 1)，则 0.011 0.02 1 1 0.5 0.1 B D AD 0.2 0.01 0.014 0.9 B的三个盖尔圆为： ~ ~ ~ G1 : z 1 0.031，G 2 : z 0.5 0.3， G3 : z 0.9 0.024
的特征值范围。 解 A的四个盖尔圆为
2i
G2 G1
1
1 G1 : z 2 1 ，G 2 : z 1 2 i 2 5 5 G3 : z 1 ， G4 : z 2 2i 4 4
G3
-2 -1 0
i
2
G4
-i -2i
画在复平面上如图： 于是A的全部特征值在这四个 盖尔圆的并集中。
作图：
~ G3
0
G1
G3
~G G2 2
10
~ G1
20
Hale Waihona Puke ~ ~ 它们已分离，故在 G G 2， G3中各有A的一个特征值。 1，
20 1 2 例 隔离矩阵 A 6 9 9 的特征值(要求 1 1 i 画图表示)。 解 A的三个盖尔圆为
G1 : z 20 3，G2 : z 9 15，G3 : z i 2
G4
3
G2
10
作图：
取 D diag(1, 0.4, 1, 1)，则
0 0.4 0.1 1 2.5 10 0 2.5 1 B D AD 0.1 0 2 0 1 0.4 0 3
B的四个盖尔圆为 ~ G1 : z 1.5 ~ G 2 : z 10 5 G 1 ~ ~ G1 ~ G 3 G 3 : z 2 0.1 G -23 0 ~ G 4 : z 3 1.4
2 解 det(B A) 2 4 32 4 4 ( 2)(3 2)
2 1 2， 2 广义特征值为 3 求解 (2 B A) x 0 得对应 1 2 的广义特征向量为 2 p1 1 2 全部广义特征向量为 k ( k 0) 1 2 2 求解 ( B A) x 0 得对应 2 的广义特征 3 3 2 p2 向量为 1 2 (l 0) 全部广义特征向量为 l 1
解 A的三个盖尔圆为：
G1 : z 20 4， G 2 : z 10 4，G3 : z 9
作图：
G3 G2
0 10
G1
20
， 但G1与G2靠太近， 无法分。 应取 1 1, 2 3 1
20 3 1 例 试分离矩阵 A 2 10 2 的特征值， 8 1 0 并在复平面上画图。
作图：
0
10
20
则 2 3，令 D diag(1,3,1)， ， 取 1 3 1 20 3 2 1 B D AD 2 9 3 1 3 i B的三个盖尔圆为 ~ ~ ~ G2 : z 9 5，G3 : z i 4 G1 : z 20 5， 作图：
G4 ~ G4
3
G2
10
作图：
~ G2
~ ~ 故在 G1， G 2， G3， G4 中各有A的一个特征值。 于是在区间 [1.5, 1.5]， [8, 12]，[2.1, 1.9]，[1.6, 4.4]
中各有A的一个特征值。
20 3 1 例 试分离矩阵 A 2 10 2 的特征值， 8 1 0 并在复平面上画图。
作图：
G1
0 1 2
G2
3
G3
1 而A的三个Ostrowski圆为（取 ) 2 O1 : z 2 2.1 2 2.049
O2 : z 3 2.8 2.2 2.48 O3 : z 3 2.3 3 2.63
作图：
G 23 O O GO 2 1 G 1 3
从而由 aii 0 知A的第 i 个盖尔圆 Gi (i 1,2,, n) 在左半平面，故A的特征值的实部小于零。
的特征值范围。 解
1 1 2 1 2 4 4 1 1 2 i 0 1 4 4 例 估计矩阵 A 1 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 i 4 2 2
0
10
20
~ ~ ~ 在 G1，G2，G3 中各有A的一个特征值。
1.1 1 2 例 试估计矩阵 A 0.8 3 2 的特征值 1.2 1.1 3 分布区域。