历年国际奥数题
奥数题
什么是奥数？奥数就是奥林匹克数学的简称。
1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。
1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。
从此每年一次，至今已举办了50届。
奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。
通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。
近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。
北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。
由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。
小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。
其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。
家长如何辅导学生学习奥数一、对奥数讲义，我们要复习，不要预习因为奥数是分专题的，每个专题都有它自己的体系和解题方法，家长虽然能够解答出其中的一部分题，但那是大人的思维，孩子的大脑很可能还没有发展到接收这种逻辑的程度，这样对孩子的学习是一点帮助都没有的，甚至会适得其反，让孩子觉得理解不了，打击自信心。
但有一些基础知识比如一二年级的计算问题家长完全可以帮助孩子练习，打好基本功。
但复习是必不可少的。
因为我们课上时间有限，时间安排的又紧，再加上难度和深度大，孩子可能上课的时候听明白了，但回到家就又忘了，需要及时反复巩固。
如果家长陪听了，孩子有不会的家长可以按照老师思路讲解一下，如果家长没有陪听，可以让孩子问问老师。
每天学的要复习，每半学期也要进行一下综合复习。
50道奥数题及答案解析
50道奥数题及答案解析以下是50道奥数题及答案解析。
希望对你有帮助。
1. 小明有三只球，他把其中一只球放进一个盒子里。
请问，小明有多少种放置球的方式？答案解析：小明可以把球放在第一只、第二只或者第三只盒子中，所以有3种放置方式。
2. 如果A和B是两个正整数，且A的平方减去B的平方等于15，问A和B的值分别是多少？答案解析：设A>B，由(A+B)(A-B)=15得出，只有3和5满足要求，所以A=4，B=1。
3. 一个矩形的宽度是20厘米，周长是70厘米。
请问这个矩形的长度是多少？答案解析：设矩形的长度为L，则2(L+20)=70，解得L=15厘米。
4. 甲、乙两位学生正在一起排队，甲比乙在队伍中靠前4人，甲在队伍中的位置是第7位，问乙在队伍中的位置是第几位？答案解析：甲比乙靠前4人，所以乙在队伍中的位置是第7+4=11位。
5. 有一个三位数恰好能被5和7整除，且每一位上的数字都不相同，问这个三位数是多少？答案解析：我们知道这个三位数必须是5和7的倍数，即35的倍数。
35的倍数中，只有105满足题目要求，所以答案是105。
6. 一个年龄为x岁的人，这个人的年龄2倍之后再加2岁得到的结果是44，那么这个人现在多少岁？答案解析：设这个人的年龄为x岁，则2x+2=44，解得x=21岁。
7. 在一个等差数列中，它的首项是4，公差是3，第10项是多少？答案解析：第n项的公式为a(n) = a(1) + (n-1)d，代入a(1)=4，d=3，n=10得到a(10) = 4 + (10-1)3 = 4 + 27 = 31。
8. 一个数字的百位、十位和个位分别是1、2和3。
把这个数字的百位和个位互换，得到的新数字是多少？答案解析：将百位和个位互换得到新数字是321。
9. 两个数之和是8，它们的差是4，这两个数分别是多少？答案解析：设这两个数分别为x和y，则x+y=8，x-y=4。
解以上方程组，得到x=6，y=2。
行程问题奥数题及答案
行程问题奥数题及答案行程问题奥数题及答案“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛，接下来就由店铺带来行程问题奥数题及答案，希望对你有所帮助！行程问题奥数题及答案1甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是____分钟？答案与解析：甲行走45分钟，再行走70—45=25（分钟）即可走完一圈。
而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈。
所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程。
甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126（分钟）。
即乙走一圈的时间是126分钟。
店铺今天给同学们带来的这道奥数题是关于行程问题的五年级奥数题，希望同学们跟店铺能一起解决这从道奥数题。
更多有关奥数试题尽在。
行程问题奥数题及答案21、汽车往返于A ，B 两地，去时速度为 40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？2、。
赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？济南小学五年级奥数题答案1、解答：假设AB两地之间的距离为480÷2=240 （千米），那么总时间=480÷48=10 （小时），回来时的速度为240÷（10—240÷4）=60 （千米/时）．2、解答：设赵伯伯每天上山的路程为12千米，那么下山走的路程也是12千米，上山时间为12÷3=4 小时，下山时间为12÷6=2 小时，上山、下山的平均速度为：12×2÷（4+2）=4 （千米/时），由于赵伯伯在平路上的速度也是4 千米/时，所以，在每天锻炼中，赵伯伯的平均速度为 4千米/时，每天锻炼3 小时，共行走了4×3=12 （千米）=12000 （米）．行程问题奥数题及答案31、行程问题甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙。
英国10年级奥数比赛试卷【含答案】
英国10年级奥数比赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是质数？A. 21B. 23C. 27D. 302. 若一个三角形的两边长分别是8cm和10cm，那么第三边的长度可能是多少？A. 5cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm3. 一个等差数列的前三项分别是2, 5, 8，那么第四项是多少？A. 7B. 10C. 11D. 124. 下列哪个图形是正方形？A. 四边相等的四边形B. 四个角都是直角的四边形C. 对角线相等的四边形D. 以上都是5. 若 $ x + y = 10 $ 且 $ x y = 4 $，则 $ x $ 和 $ y $ 的值分别是多少？A. $ x = 6, y = 4 $B. $ x = 7, y = 3 $C. $ x = 8, y = 2 $D. $ x = 9, y = 1 $二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何一个偶数都可以表示为两个奇数之和。
（）2. 平行四边形的对角线互相平分。
（）3. 若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a = b $。
（）4. 一个等边三角形的每个角都是60度。
（）5. 任何两个奇数相加的结果都是偶数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个等差数列的通项公式是 $ a_n = a_1 + (n 1)d $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，那么第10项的公式是 $ a_{10} = \_\_\_ + 9 \times \_\_\_ $。
2. 若 $ \frac{2}{3} $ 的倒数是 $ \_\_\_ $。
3. 一个圆的半径是5cm，那么这个圆的直径是 $ \_\_\_ $ cm。
4. 若 $ x^2 5x + 6 = 0 $，则 $ x $ 的值可以是 $ \_\_\_ $ 或 $ \_\_\_ $。
5. 若 $ \sin(\theta) = \frac{1}{2} $，则 $ \theta $ 的度数可以是 $ \_\_\_ $ 度或$ \_\_\_ $ 度。
英国10年级奥数比赛试卷【含答案】
英国10年级奥数比赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 如果一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第10项是多少？A. 19B. 21C. 23D. 252. 下列哪个数是素数？A. 29B. 35C. 39D. 453. 一个正方体的体积是64立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 96B. 128C. 144D. 2164. 若一个等比数列的首项是2，公比是3，那么第5项是多少？A. 16B. 24C. 48D. 815. 下列哪个多边形既是轴对称图形又是中心对称图形？A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 菱形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。
（）2. 任何有理数都可以表示为分数的形式。
（）3. 平方根和立方根都是唯一的。
（）4. 一个数的算术平方根是非负数。
（）5. 任何实数都有立方根。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个数列的前n项和为n^2 + n，那么第n项是______。
2. 若x^2 5x + 6 = 0，则x的值是______和______。
3. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，那么它的体积是______立方厘米。
4. 若|a 3| = 4，则a的值是______或______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数是______度。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列和等比数列的定义。
2. 什么是算术平方根？它有什么性质？3. 什么是因式分解？举例说明。
4. 什么是二次函数？它的图像有什么特点？5. 什么是相似三角形？相似三角形有哪些性质？五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的前3项和为12，前6项和为42，求这个数列的首项和公差。
2. 解方程：2(x 3) + 3(x + 2) = 5(x 1)。
3. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米和4厘米，求它的对角线长度。
经典的奥数难题
经典的奥数难题经典的奥数难题1、一天一小伙子拿一百元假钱去买东西。
东西原价十八元，售价二十一元，王老板找不开去和邻居换了找给小伙子。
过了几天邻居找老板，老板又赔了邻居一百元。
问老板赔了多少钱？2、“小明钓鱼回来，小玲问他钓了几条鱼，小明答：‘6条没头，9条没尾，8条只有半个身躯。
’你知道小明到底钓了几条鱼？”3、“有五个数字A、B、C、D、E，ABCDE×A=EEEEEE，求这几个数字是什么？”(根据验证，发现题目少打了一个E，故更正，谢谢网友的提醒！)4、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块钱卖给另外一个，问他赚了多少？5、A城一个商人有一头驴子和3000根胡萝卜.要将萝卜拉到1000公里外的B城去卖，只能用驴子驮。
已知驴子一次性可驮1000根胡萝卜,但每走一公里要吃掉一根胡萝卜.问商人共可卖出多少胡萝卜?（驴吃萝卜吗？不知道，这可是一道韩国智力题）6、有一个岔路口,有两条路.一条是活路,而另一条是死路.路口上有两个人一个说真话,另一个说假话.你可以问他们一人一个问题,但他们的回答只能是"是"或者"不是".从而你自己判断出哪条是活路来.7、有4个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。
“我看这块石头有17公斤重，”第一个孩子说。
“我说它有26公斤，”第二个孩子不同意地说。
“我看它重21公斤”，第三个孩子说。
“你们都说得不对，我看它的'正确重量是20公斤，”第四个孩子争着说。
他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。
最后他们把石头拿去称了一下，结果谁也没猜准。
其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差2公斤，另外两个人所猜的重量与石头的正确重量之差相同。
当然，这里所指的差，不考虑正负号，取绝对值。
请问这块石头究竟有多重？8、1，3，12，40，（？）猜猜第5个数是几？9、某班30名同学，数学测验22人优秀，语文25人优秀，英语20人优秀，三科全优的至少多少人？10、现在有12袋硬币（每袋硬币数量为100），但已知其中有一袋是假币，请问：需要称量多少次方可找出这袋假币？（已知真币：10g/枚；假币9g/枚）11、1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？12、有一百个鸡蛋，九个碗。
牛吃草问题的奥数题及答案
牛吃草问题的奥数题及答案
牛吃草问题的奥数题及答案
“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
以下是店铺帮大家整理的牛吃草问题的奥数题及答案，仅供参考，欢迎大家阅读。
有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的`草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
分析：根据题意先把将三块草地的面积统一起来，变为典型的牛吃草的基本类型的题目，只要求出每天新长出的草以及草地原有草，就可以求出答案。
解：因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5=24，所以120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天，因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6=20，所以120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天．又因为120÷8=15，问题变为：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”设1头牛1天吃的草为1份，每天新长出的草有：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份），草地原有草（264—180）×10=840（份），可供285头牛吃840÷（285—180）=8（天）．所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
【牛吃草问题的奥数题及答案】。
国际数学奥林匹克竞赛真题集
国际数学奥林匹克竞赛真题集国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最大规模、最高水平的青少年数学竞赛。
每年，来自世界各国的优秀中学生齐聚一堂，通过数学思维和解题能力的比拼，展示自己在数学领域的才华。
本文将介绍一些历年IMO竞赛的真题，以展示这一赛事的难度和魅力。
1. 第42届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：给定正整数n，证明存在正整数a，b，和不全为0的非负整数c1，c2，...，cm，使得:(sqrt(2)+sqrt(3))^n = a + b*sqrt(2)+ c1*sqrt(5)+...+cm*(2^(m/2) + 3^(m/2))问题2：设a，b，c为实数，满足a+b+c=3，证明：(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ a^2+b^2+c^2-1这些问题要求参赛选手在限定的时间内解决，对于数学知识的掌握和思维能力的发挥都提出了极为严格的要求。
解决这些问题需要结合数学定理和巧妙的思路，考验了选手的数学素养和逻辑推理能力。
2. 第56届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设ABC为等边三角形，D为BC的中点，点E在BC上，使得BE=2CD。
若角BAD的度数为x，求角EAC的度数。
问题2：已知n为正整数，证明存在正整数a，b，c，使得:a^2 + b^2 + c^2 = 1981n这些问题涉及到了平面几何和代数方程的求解，在解题过程中要运用到各种几何定理和代数技巧。
选手需要具备较强的图形分析和代数运算能力，同时发挥创造性思维，寻找解决问题的新思路。
3. 第58届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设a，b，c为正整数，满足a^2 + b^2 + 2014 = c^2，求a的最小值。
问题2：给定一个100×100的方格纸，问最多能用多少条线将方格纸划分成互不相交的部分。
这些问题融合了数论和组合数学的思想，要求选手在解题过程中综合运用多个数学知识点，寻找问题的规律和特殊性质。
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第一届（1959）1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 acos2x + bcos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第二届（1960）1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2<2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan a = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。
(a).求证：V1不等于V2 ；(b).求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
第三届（1961）1.设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a;x2 + y2 + z2 = b2;xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件2.设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2 >= 4√3 A. 并求出等号何时成立。
3.解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。
是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5.作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。
求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) <= c < b.又问上式何时等号成立。
6.三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么第四届（1962）1.找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。
2.试找出满足下列不等式的所有实数 x：√(3-x)- √(x+1) > 1/2.3.正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。
一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA 作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。
点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。
求线断XY的中点的轨迹。
4.解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。
5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。
试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。
7.求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
第五届（1963）1.找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）：√(x2-p)+2√(x2-1) = x.2.给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。
3.在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是a1 >= a2 >= ... >= an，求证：所有边长都相等。
4.设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。
5.求证 cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6.五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。
但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。
实际恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。
试讨论最后的名次如何第六届（1964）1.(a)求所有正整数 n 使得2n - 1 能被 7整除；(b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。
2.假设a、b、c是某三角形的三边长，求证： a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.3.△ABC的三边长为别为a、b、c.分别平行于ABC的各边作△ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。
4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。
6.四面体ABCD的中心是D0，过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A0、B0、C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果D0为△ABC内的任意一点，结果是否仍然成立第七届(1965)1.试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .2.如下方程组的系数 aij，a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0,a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0,a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0满足：、a22、a33 是正数，其余是负数； b.每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。
3.四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍。
试求出这两部分的体积比。
4.四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。
5.△OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。
设△OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在△OAB内部移动是H的轨迹又是什么6.平面上给定了 n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。
第八届（1966）1.在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。
在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B2.三角形ABC，如果， BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).则该三角形为等腰三角形。
3.求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。
4.对任何自然数 n以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数x，求证：1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.（i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4） |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。
6.在△ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证△AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于或等于△ABC的四分之一。
第九届（1967）1.平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1,角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D 为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是a ≤ cos A + √3 sin A.2.若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积≤ 1/8., m, n 是自然数且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck)可被乘积 c1c2 ... cn整除。