2014初中数学基础知识讲义—全等三角形
《怎样判定三角形全等》 知识清单
《怎样判定三角形全等》知识清单在初中数学的学习中，三角形全等是一个非常重要的知识点。
能够准确判定三角形全等不仅有助于我们解决几何问题，还能为后续学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
那么，怎样判定三角形全等呢？下面就来为大家详细介绍。
一、全等三角形的定义首先，我们要清楚什么是全等三角形。
全等三角形指的是能够完全重合的两个三角形。
这意味着它们的三条边和三个角都分别对应相等。
二、三角形全等的判定方法1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么就能够得出三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，这样就可以判定它们全等。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
就像在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形就是全等的。
5、 RHS（直角、斜边、边）在两个直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
这是专门用于判定直角三角形全等的方法。
三、三角形全等判定方法的应用1、证明线段相等如果两个三角形全等，那么它们对应的边就相等。
所以，要证明两条线段相等，可以通过证明它们所在的三角形全等。
2、证明角相等同样，全等三角形的对应角相等。
因此，要证明两个角相等，可以先证明它们所在的三角形全等。
初中数学知识归纳全等三角形
初中数学知识归纳全等三角形全等三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用全等三角形。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
两个三角形全等的条件是：两边对应相等且夹角对应相等，或三边对应相等。
二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角都相等。
2. 全等三角形的各边对应的中点连线互相平行，且长度相等。
3. 全等三角形的高、中线、角平分线等都互相平行，且长度相等。
4. 全等三角形的高度、中线、角平分线等的交点都在各个对应边上。
三、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边分别相等且夹角相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两角分别相等且夹边相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角分别相等且夹边的对应边相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形全等。
四、全等三角形的应用1. 利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题，如求线段长度、角度大小等。
2. 利用全等三角形的判定法可以帮助我们判断是否存在全等三角形，解决相应的几何问题。
3. 全等三角形在建筑、工程测量等实际问题中具有广泛的应用，如通过测量已知边长的三角形来计算未知边长的三角形。
五、常见的全等三角形1. 等腰三角形：如果一个三角形两边相等，则它是等腰三角形，等腰三角形的底角及顶角相等。
2. 等边三角形：如果一个三角形的三条边相等，则它是等边三角形，等边三角形的三个内角均为60°。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个角为90°，则它是直角三角形，直角三角形是全等三角形中常见的一种形式。
通过对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳，我们可以更好地理解和应用全等三角形。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。
下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。
2、全等三角形的对应角相等。
对应角的度数完全相同。
3、全等三角形的周长相等。
因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。
4、全等三角形的面积相等。
由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。
三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。
5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。
四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。
例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。
2014年苏州市初三数学中考复习专题五、三角形及其全等、相似
五、三角形及其全等、相似徐国红吴中区木渎实验中学【课标要求】1.三角形的有关概念：(1)了解三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系；(2)理解三角形内角和定理及推论；(3)理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.2.特殊三角形的性质和判定：(1)了解等腰三角形及等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定；(2)掌握线段中垂线和角平分线的性质及判定；(3)了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定；(4)掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.3.全等三角形：(1)理解全等三角形的定义和性质；(2)掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明；4.相似三角形：(1)比例线段：了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题.(2)相似图形：了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用；(3)相似三角形：①了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；②能利用图形的相似解决一些实际问题；③通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的涵义；(4)位似了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【课时分布】【知识回顾】1.知识脉络(1)三角形的概念及性质三角形的概念：由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.三角形的性质：①三角形的内角和是180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；③三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.(2)三角形中的重要线段三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高.三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的中位线①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.②定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.(3)三角形的外心、内心①三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.②三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等.(4)等腰三角形等腰三角形的有关概念及分类：①有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；②等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形；等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；③等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形的判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).(5)等边三角形的性质与判定等边三角形的性质：①等边三角形的内角相等，且都等于60°；②等边三角形的三条边都相等；等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②三个角相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.(6)线段的垂直平分线线段的垂直平分线概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.(7)角平分线的性质及判定角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形的判定：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两角互余的三角形是直角三角形；③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形；④勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.(8)全等三角形的性质与判定 全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形的判定：①有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；②有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； ③有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； ④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； ⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL). (9)比例线段比例线段的概念：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即dcb a = (或a ∶b =c ∶d )，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 比例线段的性质： ①基本性质：a b =cdad =bc ； ②合比性质：a b =cdddc b b a +=+； ③等比性质：若a b =c d =···=mn (b ＋d ＋···＋n ≠0)，那么ba n db mc a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.黄金分割的概念：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB =BCAC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. (10)相似多边形相似多边形的概念： 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等. 相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例； ②相似多边形周长的比等于相似比；③相似多边形面积的比等于相似比的平方. (11)相似三角形 相似三角形概念各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形判定：① 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②两角对应相等，两三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ④三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方. (12)图形的位似 图形位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比. 图形的位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.能力要求例1 如图5-1-1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上.(1)求证：BE=CE ；(2)如图5-1-2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC =45°，原题设其它条件不变.求证：△AEF ≌△BCF . 【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得AD 是BC 边上的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的性质定理，可直接证明BE=CE ；(2)先判定△ABF 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF ，再根据同角的余角相等求出∠EAF =∠CBF ，然后利用“角边角”证明△AEF 和BCF 全等即可.【解】 (1)∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∴BE=CE . (2)∵∠BAC =45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形. ∴AF=BF .∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC .∴∠EAF +∠C =90°. ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF +∠C =90°.∴∠EAF =∠CBF . 在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBFAF BF AFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AEF ≌△BCF （ASA ）.【说明】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记和灵活运用三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.例2 如图5-2，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC =∠ACB =90°，E 为AB 的中点.(1)求证：2AC =AB ·AD ；(2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD =4，AB =6，求ACAF的值. 【分析】(1)由AC 平分∠DAB ，∠ADC =∠ACB =90°，可证得△ADC ∽△ACB ，然后由相似三角形的对应边成比 例，证得2AC =AB ·AD ；(2)由E 为AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE =BE =AE ，继而可证得∠DAC =∠ECA ，得到CE ∥AD ；(3)易证得△AFD ∽△CFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得ACAF的值. 【解】(1)∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠CAB . ∵∠ADC =∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB . ∴AD ：AC =AC ：AB .∴AC 2=AB ·AD .(2)∵E 为AB 的中点，∠ACB=90°∴CE =12AB =AE .∴∠EAC =∠ECA . ∵∠DAC =∠CAB ，∴∠DAC =∠ECA .∴CE ∥AD . (3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE .∴AD ：CE =AF ：CF . ∵CE =12AB ，∴CE =12×6=3. ∵AD =4，∴43AF CF =.∴74AC AF =. 【说明】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.相似三角形相似的判定方法有：(1)平行于三角形的一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法.其基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；(2) 两角对应相等，两三角形相似，此种判定方法最为常用，应熟练掌握； (3) 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4) 三边对应成比例，两三角形相似.例3 如图5-3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P ′），当AP 旋转至AP ′⊥AB 时，点B ，P ，P ′恰好在同一直线上，此时作P ′E ⊥AC 于点E .(1)求证：∠CBP =∠ABP ；(2)求证：AE =CP ； (3)当32CP PE =，BP ′=AB 的长【分析】(1)根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P ，再根据等角的余角相等证明即可；(2)过点P 作PD ⊥AB 于D ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP ，然后求出∠P AD=∠AP′E ，从而证明△APD 和△P′AE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP ，从而得证；(3)设CP=3k ，PE=2k ，表示出AE=CP=3k ，AP ′=AP=5k ，然后利用勾股定理列式求出P ′E=4k ，再证明△ABP ′和△EPP ′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P ′A=12AB ，然后在Rt △ABP ′中，利用勾股定理列式求解即可. 【解】(1)∵AP′是AP 旋转得到，∴AP=AP ′. ∴∠APP′=∠AP′P . ∵∠C =90°，AP′⊥AB ， ∴∠CBP +∠BPC =90°，∠ABP +∠AP′P又∵∠BPC =∠APP′，∴∠CBP =∠ABP . (2)如图5-3-1，过点P 作PD ⊥AB 于D . ∵∠CBP =∠ABP ，∠C =90°，∴CP=DP ， ∵P′E ⊥AC ，∴∠EAP′+∠AP′E =90°. 又∵∠P AD +∠EAP′=90°，∴∠P AD =∠在△APD 和△P′AE 中，'''PAD AP EADP P EA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△P′AE （AAS ）. ∴AE=DP . ∴AE=CP . (3)∵32CP PE =，∴设CP =3k ，PE =2k ，则AE=CP =3k ，AP ′=AP =3k +2k =5k . 在Rt △AEP′中，P′E 4k ，∵∠C =90°，P′E ⊥AC ，∴∠CBP +∠BPC =90°，∠EP′P +∠P′PE =90°， ∵∠BPC =∠EPP′（对顶角相等）， ∴∠CBP =∠PP′E .∵∠CBP =∠ABP ，∴∠ABP =∠PP′E . 又∵∠BAP′=∠P′EP =90°，∴△ABP′∽△EPP′. ∴''AB P A P E PE =，即'42AB P A k k =，解得P′A =12AB . 在Rt △ABP′中，AB 2+P′A 2=BP′2，即AB 2+14AB 2=(2，解得AB =10. 【说明】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在解题中可以发现，图形的全等或相似往往不是解决问题的最终目的，而是一种手段和途径，体现了图形的全等和相似的“工具性”.类似于本题这种“一题多问”的出题形式，应注意上下题之间的内在联系，把握住这种联系，就容易找到解题的突破口.如本题中较难的第(3)小题，利用(2)中的结论能很快的表示出AP′的长度，结合已知条件BP′=55，就容易想到用k 来表示出AB 的长度，最后利用勾股定理得出关于k 的方程，从而解决问题.例4 如图5-4，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD .(1)若AB =9，CD =4，BD =15，请问在BD 上是否存在P 点，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，则有多少个这样的P 点，并求BP 的长；若不存在，请说明理由；(2) 若AB =m ，CD =n ，BD = l ，请问在m ，n ，l 满足什么关系时，存在以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点? 两个P 点? 三个P 点?【分析】由于问题中没有明确两个直角三角形的对应关系，因此每 小问应按两种对应关系来说明. 【解】(1)设BP =x ，则DP =15−x . 若△ABP ∽△CDP ，则AB BP CD DP =，即9415x x=-，解得13513x =. 若△ABP ∽△PDC ，则AB BP PD CD =，即9154x x =-，得方程：212360x x -+=.解得x =3或12. 所以BP =13513，3或12. (2)设BP =x ，则DP =l −x . 若△ABP ∽△CDP ，则AB BPCD DP =，即m n x l x =-，解得ml x m n =+. 若△ABP ∽△PDC ，则AB BP PD CD =，即m xl x n=-.得方程：20x lx mn -+=，24l mn ∆=-.当240l mn ∆=-<时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点；当240l mn ∆=-=时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的两个P 点；当240l mn ∆=->时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的三个P 点.【说明】三角形相似如果没有明确对应关系，需要分情形来讨论，这个知识点也是相似问题中常考内容之一，要会利用图形中的已知条件来排除不必要的分类情况.由于本题是两个直角三角形，所以对应关系有两种.由于数量关系的制约，本题有一种对应关系是始终存在的，另一种对应关系则需要通过一元二次方程的判别式来进行讨论.解题时注意数形结合、分类讨论、方程思想的应用.例5 如图5-5-1，矩形ABCD 中，∠ACB =30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F .(1)当PE ⊥AB ，PF ⊥BC 时，如图5-5-1，则PEPF的值为 ； (2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图5-5-2，求PEPF的值； (3)在(2)的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC =1：2时，如图5-5-3，PEPF的值是否变化？证明你的结论.【分析】(1)证明△APE ≌△PCF ，得PE=CF ；在Rt △PCF 中，解直角三角形求得PEPF的值； (2)如图5-5-4所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME ∽△PNF ，并利用（1）的结论，求得PE PF的值；(3)如图5-5-5所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM ∽△PCN ，求得PMPN的值；然后证明△PME ∽△PNF ，从而由PE PM PF PN =求得PE PF 的值.与(1)、(2)问相比较，PEPF的值发生了变化. 【解】(1)∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC ，P A=PC .∵PE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴PE ∥BC . ∴∠APE =∠PCF .∵PF ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴PF ∥AB . ∴∠P AE =∠CPF . ∵在△APE 与△PCF 中，PAE CPF PA PC APE PCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.∴△APE ≌△PCF （ASA ），∴PE=CF .在Rt △PCF 中，PF PF CF PE ==t a n 30°，∴PEPF(2)如图5-5-4，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN . ∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ，∴∠EPM=∠FPN .又∵∠PME =∠PNF =90°，∴△PME ∽△PNF .∴PE PM PF PN=. 由(1)知，PM PN∴PEPF(3)答：变化.如图5-5-5，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN ，PM ∥BC ，PN ∥AB . ∵PM ∥BC ，PN ∥AB ，∴∠APM =∠PCN ，∠P AM=∠CPN . ∴△APM ∽△PCN . ∴21==PC AP CN PM ，得CN =2PM . 在Rt △PCN 中，2PN PN CN PM ==t a n 30°，∴PMPN. ∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ， ∴∠EPM =∠FPN . 又∵∠PME =∠PNF =90°，∴△PME ∽△PNF .∴PE PM PF PN ==. ∴PEPF 的值发生变化. 【说明】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点.本题三问的解题思路是一致的：都是通过直接作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形转化为题(1)或类似于题(1)的问题，从而解决.对于此类从特殊到一般的思路设置问题情境的综合题，解题的思路往往是将一般情况转化为特殊情况来解决.因此，在分析和解决此类问题的过程中要善于从特殊情况中总结和归纳出解题的基本思路和方法，并应用于一般情形.要特别注意从特殊到一般和化归思想的应用.例6 如图5-6，在△ABC 中，∠B =45°，BC =5，高AD =4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H .(1)求证：AH EFAD BC=； (2)设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围. 【分析】(1)由相似三角形，列出比例关系式，即可证明，或利用相似三角形对应高的比等于相似比也可解决； (2)首先求出矩形EFPQ 面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积； (3)本问是运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ 的运动过程：(I)当0≤t ≤2时，如图5-7-1所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形； (II)当2＜t ≤4时，如图5-7-2所示，此时重叠部分是一个三角形. 【解】(1)∵矩形EFPQ ，∴EF ∥B C ，∴△AHF ∽△ADC . ∴AH AFAD AC=. ∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC . ∴EF AF BC AC=. ∴AH EFAD BC =. (2)∵∠B =45°，∴BD=AD =4. ∴CD =BC −BD =5−4=1. ∵EF ∥BC ，∴△AEH ∽△ABD . ∴AH EHAD BD=. ∵EF ∥BC ，∴△AFH ∽△ACD . ∴AH HFAD CD=. ∴EH HF BD CD =，即41EH HF=. ∴EH=4HF . 已知EF=x ，则EH=45x . ∵∠B =45︒，∴EQ=BQ=BD −QD =BD −EH =4−45x . ∴S 矩形EFPQ =EF ·EQ =x ·(4−45x )=−45x 2+4x =−45(x −52)2+5. ∴当x=52时，矩形EFPQ 的面积最大，最大面积为5. (3)解：由(2)可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长为52，宽为4−45×52=2. (I)当0≤t ≤2时，如图5-5-1所示.word 格式-可编辑-感谢下载支持设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 分别交于点H 1，D 1. 此时DD 1=t ，H 1D 1=2，∴HD 1=HD －DD 1=2－t ，HH 1=H 1D 1－HD 1=t ，AH 1=∵KN ∥EF ，∴1AH KN EF AH =，即2522KN t -=，得KN =54S =S 梯形KNFE +S 矩形EFP 1Q 1=12(KN +EF )·HH 1+E F ·EQ 1=12 [54(2−t )+52]×t +52(2−t )=258t -+5. (II)当2＜t ≤4时，如图5-5-2所示.设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 交于点D 此时DD 2=t ，AD 2=AD －DD 2=4－t ，∵KN ∥EF ，∴2AD KN EF AH =，即4522KN t -=，得KN =5S =S △AKN =12K N ·AD 2 =12 (5－54t )(4－t )=58t 2－5t +10.综上所述，S 与t 的函数关系式为：S =2255(085510(24)8t t t t t ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩.【说明】本题是相似三角形的判定和性质与二次函数的最值相结合的综合题.本题的(1)、(2)两小题改编自教材中的习题，因此在复习过程中，要注意教材中典型问题和基本图形的复习、归纳和延伸.第(3)小题这类题要注意自变量的取值范围.对于图形运动的问题，往往需要将图形的运动转换到图形的线段长度上，实现这一转换的主要途径常是通过图形的相似来实现.【复习建议】1.三角形的全等、相似是平面几何中的重要的内容，在中考中不论是基础题还是压轴题往往都要涉及到全等或相似的有关知识.事实上，许多中考题在教材中都能找到它的“源头”，有鉴于此，在进行复习时，应以教材为“纲”，紧扣教材.重视双基训练.要掌握典型的例题、习题，能对典型试题进行拆分和组合，引导学生学会从多角度、多侧面来分析解决典型试题，从中抽离出基本图形和基本规律方法；要结合三角形全等和相似的特点进行专项有针对性的训练，加大知识的横向与纵向联系，提高答题速度和质量，提高应变能力.要指导学生掌握解题方法，对例题、习题能举一反三，达到触类旁通；2.复习时要注意总结和归纳例题、习题中所体现的数学思想和方法，重视解题方法和解题策略的教学.涉及三角形全等、相似的问题中常用到的数学思想方法有：化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，这些思想方法在中考试题中都有体现.要注重培养学生用数学思想方法解决问题的意识，引导学生审题时要透过现象看本质，注意隐含条件的挖掘，学会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，从而解决问题；3.复习中要重视数学逻辑推理能力的训练和书写规范的训练，要及时纠正学生在解题时，出现的答题不规范，抓不住得分要点，思维不严谨等问题.避免学生出现题题会做，题题被扣分的现象.。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
初中数学知识点：全等三角形
初中数学知识点：全等三角形初中数学知识点：全等三角形，包括知识点总结、常见考法及误区提醒。
知识点总结一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。
2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。
3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。
同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等;全等三角形的周长，面积也都相等。
这里要注意：(1)周长相等的两个三角形，不一定全等;(2)面积相等的两个三角形，也不一定全等。
二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定(1)边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”)。
(2)边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。
(3)角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。
(4)角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。
2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”).注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。
三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么;3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。
常见考法(1)利用全等三角形的性质：①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等;(2)利用判定公理来证明两个三角形全等;(3)题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。
八年级数学全等三角形新课讲义完整版（全8讲）
⼋年级数学全等三⾓形新课讲义完整版（全8讲）⼋年级数学全等三⾓形新课讲义全⾯完整版（全⼋讲）A B C 1 E DA B C D O 1 2（1）（2） A B D C （1）（2） AB C E D第⼀讲全等三⾓形概念及其性质（⼀）知识要点1、全等三⾓形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做形。
2）能够完全重合的两个三⾓形叫做全等形。
把两个全等的三⾓形重合在⼀起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的⾓叫做对应⾓。
3）全等三⾓形表⽰⽅法：“全等”⽤“≌”表⽰，读作“全等于”，如△ABC ≌△DEF 。
4）对应元素：①对应顶点：点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点②对应边：AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是对应边③对应⾓：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 是对应⾓当两个三⾓形全等时，通常把表⽰对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所⽰，△ABC 和△DEF 全等，是，记作△ABC ≌△DEF 。
其中，。
2、常见的全等三⾓形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。
（1）平移型：如下左图，若△ABC ≌△DEF ，则BC=EF 。
将△DEF 向左平移得到下右图，则仍有BC=EF ，在右图中，若知BC=EF ，则可推出BE=CF 。
（2）旋转型：如下左图，两对三⾓形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中⼼为点A ，有公共部分∠1；图2的旋转中⼼为点O ，有⼀对对顶⾓∠1=∠2。
（3）翻折型：如右图，两个三⾓形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、全等三⾓形的性质1）全等三⾓形的对应边相等； 2）全等三⾓形的对应⾓相等。
3）知识延伸：如果两个三⾓形全等，则三⾓形的对应边上的中线、⾼线及对应⾓的⾓平分线也相等。
AB C DE F AB C DE FAC D FB AD EEAB C D OA B C DFE 4、规律⽅法⼩结：在寻找全等三⾓形的对应边和对应⾓时，常⽤的⽅法有：（1）全等三⾓形对应⾓所对的边是对应边，两个对应⾓所夹的边是对应边；（2）全等三⾓形对应边所对的⾓是对应⾓，两条对应边所夹的⾓是对应⾓；（3）公共边⼀定是对应边，公共⾓⼀定是对应⾓，对顶⾓⼀定是对应⾓；（4）全等三⾓形中⼀对最短的边（或最⼩的⾓）是对应边（或对应⾓）。
沪科版八年级上册数学课件(第14章 全等三角形)
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，所以
∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ 1 ∠DAF＝ 1 ×34°＝17°.
2
2
总结
解决折叠问题的关键是弄清在折叠 过程中发生的是全等变换，即折叠前后 的两个图形(本例是三角形)全等，其折 叠前后的对应边相等，对应角相等．类 似地，还有平移和旋转问题．在此过程 中，往往产生了全等三角形，然后根据 全等三角形的性质解题．
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别 相等的两个三角形
1 课堂讲解 判定两三角形全等的基本事实：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
知3－讲
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠BAC＝∠DCE. 又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴∠ACB＋∠BAC＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
总结
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法： 利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换，从而求出所要求的角的度数．
总结
两种解法的入手点分别是“同底等高、等底 等高的三角形面积相等”，这一结论要结合具体 图形理解．如图，l1∥l2，点A，B，F在l1上， AB ＝BF，点C，D，E是l2上任取的点，则根据上述 结论，知S△ABC＝S△ABD＝S△BFE.
知3－讲
知3－练
1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D
知1－讲
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1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．
3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 4．全等三角形的表示：
（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （2）如图，
和
全等，记作
．通常对应顶点字母写在对应位置上．
【例题】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：
(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；
(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角
【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
5．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等；对应角相等． （2）全等三角形的周长、面积相等．
6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换． 7．全等三角形基本图形：
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
初中数学基础知识讲义—全等三角形
⎧⎧⎨⎪
⎩⎪
⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩⎩
⎧
⎨
⎩对应角相等
性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
D
A
B
C
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素
平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
8．全等三角形的判定方法
判别两个三角形全等：
（1）已知两边 •
（2）已知一边一角 •
（3）已知两角
9.角平分线的性质及判定
（1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN （2）判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 ∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠
AOB
专题一 全等三角形的性质
【例题1】 （海南省中考） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50°
【例题2】（2012柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【 】
A ．PO
B ．PQ
C ．MO
D ．MQ 【例题3】如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．
A B
C P
M
N
O
A
A 1
【例题
4】（2013年广西玉林市）如图，两块相同的三角形完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B 逆时针旋转到△A ′B ′C ′的位置，点C ′在AC 上，A ′C ′与AB 相交于点D ，则C ′D= . 专题二 全等三角形的判定
【例题1】如图，AB=AD ，BC=CD 求证：∠BAC=∠DAC 。
【例题2】已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ．求证：DC ∥AB ．
【例题3】已知：如图，∠AOD=∠BOC ，∠A=∠C ，O 是AC 的中点。
求证：△AOB ≌△COD
【例题4】已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，
求证：BE =CD
【例题5】已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE
求证：OB=OC
A
C B
D
E
F
C A
B D 专题三 角的平分线的性质与判定
【例题1】（2013云南省）如图，在ABC
中，0
67B ∠=,0
33C ∠=, AD 是ABC
的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）
A ．o
40 B. o 45 C. o 50 D. o
55 【例题2】（2013湘西州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
1、（2013柳州）如图，△ABC ≌△DEF ，请根据图中提供的信息，写出x= ．
2、（2012黑龙江）如图．点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE ．请写出图中的全等三角形 (写出一对即可)．
2、（2013浙江台州）已知△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1=A 2B 2，A 1C 1=A 2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2；
②若∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2，则△A 1B1C1≌△A 2B 2C 2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ） A ．①正确， ② 错误 B ． ①错误， ②正确 C ．①，② 都错误 D ． ①，② 都正确 3、如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A 20° B．30° C ．35° D ．40°
4、（2013郴州）如图，点D 、E 分别在线段AB ，AC 上，AE=AD ，不添加新的线段和字母，要使△ABE ≌△ACD ，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
5、（2013娄底）如图，AB AC =，要使ABE ACD △≌△，应添加的条件是_______________.（添加一个条件即可）.
6、（2013巴中）如图，已知点B 、C 、F 、E 在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一个）
7、（2013宁德市）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，AC ∥DF ，AC =DF ，AD =BE ．求证：BC =EF
C
B
B '
A '
A
F
C E
B
D
8、（2013四川泸州）如图AB ⊥BD 于点B,DE ⊥BD 于D,AE 交BD 于C,且BC=DC,求AB=ED 9、（2013宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ．
10、（2013泉州）如图，已知AD 是△ABC 的中线，分别过点B 、C 作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：BE=CF ．
11、（2013广东肇庆）如图5，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于O ，AC =BD ． 求证：（1）BC =AD ； （2）△OAB 是等腰三角形．
12、（2013福州）（1）如图，点E 、F 在AC 上，AB ∥CD ，AB=CD ，AE=CF 。
求证：△ABF ≌△CDE 。
A
B C
D
O
图
5
13、（2013浙江省嘉兴市）如图,Rt △ABC 中,∠ C=90° ,AD 平分∠BAC,交BC 于点D,CD=4,则点D 到AB 的距离为________. 14、（2013泉州）如图，∠AOB=70°，QC ⊥OA 于C ，QD ⊥OB 于D ，若QC=QD ，则∠AOQ= °．
15、（2013丽水）如图，在Rt △ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC
的面积是__________
16、(2013浙江温州市)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .
（1）求证：△ACD ≌△AED ； （2）若∠B =30°，CD =1，求BD 的长.
第13题。