2014初中数学基础知识讲义—分式
七年级分式的知识点总结
七年级分式的知识点总结在七年级的数学学习中，分式是一个非常重要的知识点。
分式可以帮助我们更好地理解数学运算的规律和方法，也是未来数学学习的基础。
下面就让我们来总结一下七年级分式的知识点吧！一、分式的定义分式就是将一个整体分成若干份的一种表示方法。
分式通常由分子和分母两部分组成，中间用分数线隔开，例如：$\frac{1}{2}$，其中1是分子，2是分母。
二、分数的化简化简分数就是将一个分数约分到最简形式的操作。
化简分数有两种方法：1. 找出分子和分母的最大公约数，然后分子和分母同时除以最大公约数即可。
例如：$\frac{24}{36}$可以化简为$\frac{2}{3}$.2. 将分数进行因式分解，然后将分子和分母约掉相同的因数。
例如：$\frac{27}{45}$可以化简为$\frac{3\times 3\times 3}{3\times 3\times 5}$，然后约掉相同的因数得到$\frac{3}{5}$。
三、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法四种。
1. 加法和减法：将两个分式的分母化为相同的，然后将分子相加或相减，最后化简即可。
例如：$\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5\times 1}{3\times5}+\frac{3\times 2}{3\times 5}=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}$$\frac{5}{6}-\frac{3}{4}=\frac{5\times 2}{6\times 2}-\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{1}{12}$2. 乘法：将两个分式的分子和分母分别相乘，然后化简即可。
例如：$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3\times 5}=\frac{8}{15}$3. 除法：将两个分式的分子和分母对调，然后进行乘法运算，最后化简即可。
八年级数学知识点分式
八年级数学知识点分式八年级数学知识点——分式分式在数学中是一个非常重要的知识点。
它常常涉及到计算和应用问题，因此对于学生来说，学习和掌握分式是至关重要的。
本文将为大家详细介绍八年级数学中的分式知识点，包括分式的定义、分式的性质、分式的化简、分式的加减乘除等内容。
一、分式的定义分式是一种表示比例和部分的数学表达式，通常用“a/b”的形式表示。
其中，a表示分子，b表示分母。
分子和分母都是整数，而且分子与分母的最大公约数为1，这种分数称为真分数。
如果分子大于或等于分母，那么这种分数称为假分数。
例如：4/5、1/2、3/4等都是分式。
二、分式的性质1.同分母分式的加减法当分式的分母相同时，可以直接进行加减法运算，即分子相加（减），分母不变。
例如：1/4+3/4=4/4=1；3/5-1/5=2/5。
2.异分母分式的加减法当分式的分母不同时，需要通过通分化简，将分母变成相同的数，然后再进行加减法运算。
通分公式为：a/b+c/d=(ad+bc)/bd。
例如：2/3-1/4=8/12-3/12=5/12。
3.分式的乘除法分式的乘法：分式的乘积等于分子的乘积作为新分子，分母的乘积作为新分母。
例如：2/3×3/4=6/12=1/2。
分式的除法：分式与倒数的乘积等于分子乘以倒数的分子作为新分子，分母乘以倒数的分母作为新分母。
例如：2/3÷3/4=2/3×4/3=8/9。
三、分式的化简分式的化简是指将一个复杂的分式化简成简单的分式，或将分式化成整数、小数等简单形式。
1.约分约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，得到与原数值相等的最简分数。
例如：6/8可以约分为3/4。
2.分式的化简一些分式可以通过使用公式或分式的性质化简为简单的分式或整数。
例如：(8x+12)/(4x)=(4x(2+x))/(4x)=2+x。
四、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，比如用于计算家庭预算、进行商业比较、计算地图比例尺等。
八年级分式知识点
八年级分式知识点在数学中，分式通常是一个分子除以一个分母的形式。
分式在数学和自然科学中被广泛应用，在八年级的数学学习中也是一个非常重要的知识点，本文将为大家详细介绍八年级分式的相关知识点。
一、分式的定义分式指的是一个数的形式，通常是一个分子除以一个分母。
分数通常用于表示有理数或任何数量，它们可以用作比率，可以扩大或缩小一个数量。
通常，一个分式被写成a/b的形式，其中a和b是整数，b不等于0。
分数还可以有不同的表示形式，例如百分数和小数。
二、分式的化简分式的化简是指让分式变得更简单，更易于计算。
化简分式的方法有很多，其中最常见的方法是约分。
当分式的分子和分母有最大公约数时，可以将分子和分母同时除以最大公约数得到最简分式。
例如，将16/24化简为2/3，可以将分子和分母都除以8。
另外，当分母不是一个完整的数时，分式也可以进行化简。
例如，将3/5化为分数时，我们可以将分母扩大10倍，得到30/50，然后将分子和分母同时除以最大公约数10，得到3/5，这就是化简后的分式。
三、分式的加减乘除分式的加减乘除都是基于两个或多个分式的相应操作来完成的。
对于加法和减法，我们需要将分母约分，然后将分子相加或相减，最后将结果写成最简形式。
对于乘法，我们可以将分子和分母分别相乘，然后将结果写成最简形式。
对于除法，我们需要将被除数与除数的倒数相乘，然后将结果写成最简形式。
例如，将1/2加上1/3，我们需要将两个分母约分，得到6，然后将分子相加，得到5，因此1/2+1/3=5/6。
将1/2乘以2/3，我们需要将分子和分母分别相乘，得到2/6，然后将结果化简为1/3，因此1/2×2/3=1/3。
最后，将1/2除以2/3，我们可以将1/2乘以3/2，得到3/4，因此1/2÷2/3=3/4。
四、分式应用分式在数学中应用广泛，特别是在代数、几何、概率和统计等领域。
在代数学习中，分式通常用于表示未知数的比率，例如，x/3表示x与3的比率。
《分 式》初中数学课件
=
—5 8
02
分式的乘除法
■ 运算法则 ■ 分式的乘方 ■ 经典例题
分
式
分式乘除法运算法则
的
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
乘
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。
除
法
fg·
u v
＝
fu gv
f g
÷
u v
＝
f g
v ·u
＝
fv gu
答：甲广告公司每天能制作20个宣传栏，乙广告公司每天能制作24个宣传栏。
谢谢观赏
幂
am am
＝1
am am
＝am-m ＝a0
a0＝1
负整数指数幂
( ) a-n ＝
1 a
n1 ＝ an
(a≠0,n为正整数)
a-n＝a0-n＝
a0 an
＝
1 an
整
数
科学计数法的定义
指
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式
数
（1≤a<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
单
的
分 式
例题11、解方程
x
x
3
3 x2
9
1
例题12、解方程 x 2 1
x 1 x
方
解：去分母得： x(x 3) 3 x2 9
解：去分母得： x2 2(x 1) x(x 1)
程
解得： x 2
解得：x 2
把解代入方程检验：
把解代入方程检验，
x2 9 5 0
方程左右两边相等，
初中数学课件 之
八年级下册数学知识点分式
八年级下册数学知识点分式八年级下册数学知识点——分式一、定义分式是指由分子和分母以及分割符号（如：横线或斜线等）组成的算式，通常表示为a/b的形式，其中a、b均为整数，b不为0。
二、基本概念1. 真分数：分子小于分母的分式称为真分数，如1/2、2/3等。
2. 假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数，如5/3、9/4等。
3. 通分：对于分母不同的分式，将它们的分母约分至相同，即将它们化为相同分母的分式，这个过程称为通分。
4. 约分：对于分子分母有公共因数的分式，可以将它们约分成最简分式，即分子分母同时除以它们的公共因数，得到的分式称为最简分式。
三、分式的四则运算1. 加减法分式的加减法其实就是先通分，再将分子按照加减法的规则相加减，然后将结果约分为最简分式。
例如：7/10 + 5/6 = 21/30 + 25/30 = 46/30 = 23/152. 乘法分式的乘法就是将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分为最简分数。
例如：2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/23. 除法分式的除法相当于将分式的乘数乘上被除数的倒数，即将分子与被除数的分母相乘，分母与被除数的分子相乘，得到的结果再约分为最简分数。
例如：3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用分式在比例问题中的应用非常广泛，例如在解题时需要求出比例中某一部分的值，在这种情况下，就可以通过分式的运算来求解。
例如：若三个数的比例为a : b : c，且a = 3/4，b = 1/2，求c的值。
根据比例的定义，可得a : b = 3/4 : 1/2 = 3/2，那么c : a = 3/2 : 1，即c = (3/2) ÷ 1 × a = (3/2) × (3/4) = 9/8。
因此c = 9/8。
2. 分式在解方程中的应用在解方程中，有时需要将方程变形成分式的形式，然后进行分式的运算，最后再将分式恢复为方程，从而得到方程的解。
七年级上册数学分式知识点
七年级上册数学分式知识点分式是数学中的一个重要概念，也是初中数学里的一大难点。
在七年级上册的数学课程中，学生需要掌握分式的基本知识点，为以后的学习打好基础。
本文将围绕七年级上册数学分式的知识点展开阐述。
一、基本概念分式是指一个整体被分成若干份，其中每一份都是整体中的一部分，它由分子和分母两个部分组成，用“分子/分母”的形式表示。
例如，1/2是一个分式，其中1为分子，2为分母。
二、分式的化简1.相除化简如果分子和分母都可以被同一个数整除，那么我们可以利用这个数来将分式进行相除化简。
例如，12/18可以化简为2/3，因为12和18都可以被2整除。
2.分子分母约分分子和分母中存在公因数时，可以将分子和分母同时除以它们的公因数，并保持等式的真实性。
例如，16/24可以化简为2/3，因为16和24都可以被8整除。
三、分式的乘法与除法1.乘法两个分式的乘积可以通过将它们的分子相乘得到新分子，将它们的分母相乘得到新分母。
例如，(2/3)×(4/5)=8/15。
2.除法两个分式的商可以通过取一个分式的倒数，再将另一个分式乘上这个分式的倒数得到。
例如，(2/3)÷(4/5)=(2/3)×(5/4) =10/12 =5/6。
四、分式的加法与减法1.通分对于两个分式，如果它们的分母不同，我们需要将它们通分，即将它们的分母化为相同的数。
例如，1/2+1/3可以化简为3/6+2/6。
在这里，我们需要将两个分式的分母化为6，然后将它们的分子相加。
2.加减通分之后，我们可以将它们的分子相加或相减，并保持相同的分母。
例如，1/2+1/3=5/6，1/2-1/3=1/6。
五、练习题1.将1/3和2/5通分并求和。
2.将2/3和5/6通分并求差。
3.将3/4和4/5相乘并化简。
解答：1. 将1/3和2/5分别乘上5/5和3/3，通分后得到：5/15+6/15=11/15。
2. 将2/3和5/6分别乘上2/2和1/1，通分后得到：4/6-5/6=-1/6。
初中数学知识归纳分式的运算
初中数学知识归纳分式的运算分式运算是初中数学中的一个重要概念，它涉及到分子、分母、约分、通分、加减乘除等运算规则。
在本文中，我们将对初中数学知识归纳分式的运算进行详细讨论。
一. 分式的定义与基本概念分式，又称有理数分式，是指由整数和整式构成的带有分数形式的数。
分式由分子和分母两部分组成，分子表示分子的数值，分母表示分母的数值。
例如，$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{5}{6}$都是分式。
二. 分式的约分与通分1. 约分：分式的约分是指将分子与分母的公因数约去，使其不能再约分为整数或者不含公因数。
例如，$\frac{12}{24}$可以约分为$\frac{1}{2}$。
2. 通分：分式的通分是指使两个或多个分式的分母相等，从而可以进行加减乘除等运算。
通分有两种方式：公倍数通分和分母乘积法通分。
三. 分式的加减运算分式的加减运算要求通分后，将分子进行加减运算，分母不变。
具体步骤如下：1. 确定两个分式的公分母；2. 通分，使分母相等；3. 进行加减运算，分子相加减，分母不变；4. 若结果为真分数，则将其化简为假分式。
四. 分式的乘除运算分式的乘除运算即将两个分式进行乘法或除法运算。
具体步骤如下：1. 乘法运算：- 将两个分式的分子相乘，分母相乘；- 化简结果，约去公因数；- 若结果为真分数，则将其化简为假分式。
2. 除法运算：- 将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘；- 化简结果，约去公因数；- 若结果为真分数，则将其化简为假分式。
五. 分式的运算法则1. 分式加法交换律：$a+b=b+a$；2. 分式乘法交换律：$a \cdot b = b \cdot a$；3. 分式加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$；4. 分式乘法结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$；5. 分式加法与乘法的分配律：$a(b+c)=ab+ac$。
2014初中数学基础知识讲义—分式方程及应用
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：找等量关系分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .5．易错知识辨析：（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.题型一 解分式方程（注意因式分解）【例题1】（2013南平市）分式方程x x 332=-的解是 【例题2】（2013宜宾）分式方程的解为 题型二 分式方程解的判定【例题1】(福建中考)若关于x 方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 关键：把使最简公分母为0的x 值代人化简的一元一次方程后即可求出。
【例题2】（2013牡丹江）若关于x 的分式方程的解为正数，那么字母a 的取值范围是 关键：这类题型解法是化简后求出x 值（其中x 是含字母的值），再用不等式解法求解。
初中数学基础知识讲义—分式及分式方程应用题型三 分式方程应用（找等量关系）【例题1】（2013河北省）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是A ．120x ＝100x －10B ．120x ＝100x +10C ．120x －10＝100x D ．120x +10＝100x 【例题1】(2013嘉兴）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为1、（2013黄石）分式方程3121x x =-的解为（ ） A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x = 2、（2013襄阳）分式方程的解为（ ） A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=﹣13、（2013吉林省）分式方程132+=x x 的解为x = 4、（2013铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原 D10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需 +=1 +8（+）=1 D ）台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器7、（牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = 8、（湖北襄樊）当m=_________时,关于x 的分式方程213x m x +=--无解. 9、（2013绥化）若关于x 的方程=+1无解，则a 的值是 10、（2013威海）若关于x 的方程无解，则m= 11、（2013大兴安岭）若关于x 的分式方程112=--x a x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是 12、（2013武汉）解方程：x x 332=-13、（2013龙岩）解方程：412121x x x =+++14、（2013漳州）解方程：2112-=-x x 15、（2013宁夏）解方程：16、（2013红河）解方程 212xx x +=+17、（2013宁波）解方程：=﹣518、（2013南京）解方程 2x x -2 =1- 12-x 19、（2013珠海）解方程：20、（2013深圳）解方程：0)1x (x 2x 1x 3=-+--21、（2013泰州） 解方程：22222222x x x x x x x ++--=--22、（2013十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？23、（2013泰州）某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.24、（2013长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．25、（2013三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）。
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【知识点链接】分式⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩分式有理式分式的有关概念最简分式最简公分母分式的基本性质
分式的运算分式方程的解法与应用
1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B
为分式． 下列式子是分式的是（ ） A 、2x B 、1+x x C 、y x +2
D 、3x 2.分式有无意义及分式的值为0：若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B
＝0. （2013湖南郴州）函数y=中自变量x 的取值范围是（ ）A ．.x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D ．x≠﹣3
、（2013深圳）分式242
x x -+的值为0，则x 的取值是（ ） A ．2x =- B ．2x =± C ．2x = D ．0x = 2、（2013湖南娄底）式子
有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣12且x≠1 B ．x≠1 C ．x≥﹣12 D ．x>﹣12
且x≠1 3．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子
表示为 .
1、（2013•淄博）下列运算错误的是（ ）
（A ）2
2()1()a b b a -=- （B ）1a b a b --=-+ （C ）0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- （D ）a b b a a b b a
--=++ 2、把分式)0,0(≠≠+y x y
x x 中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 改变原来的
41 D. 不改变 x y =3，则x y y +=（ ） A ．43
B ．xy
C ．4
D ．x y
初中数学基础知识讲义—分式及分式方程应用
知识梳理：
4. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．（目标：最简分式） 化简分式：22544______,202
ab x x a b x -+=-=________ 5．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
通分的关键是确定最简公分母
6．最简公分母：最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积
7．分式的运算（注意：因式分解）
⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .
② 异分母的分式相加减： .
⑵ 乘法法则： .乘方法则： .
⑶ 除法法则：
1、（2013衡阳）计算：=
2、分式223111,,342x y xy x
-的最简公分母是_______ 3、（2013凉山州）化简：11(1)1m m ⎛
⎫-+ ⎪+⎝⎭
的结果为 4、（2013江苏南京）计算a 3．( 1 a
)2的结果是（ ） (A) a (B) a 5 (C) a 6 (D) a 9 5、（2013莆田）先化简，再求值：
，其中a=3．
、（2012杭州）化简得
2、（2013沈阳）计算2311x x +-- 的结果是( ) A ．11x - B ．11x - C ．51x - D ．51x
- 3、（2013黄冈）计算：()()=---221313x x x 4、（2013上海市）计算：23b a a b
⨯= _________ 5、（2013龙岩）先化简，再求值：
231234923
x x x x 缸--+，其中2x =
1、在代数式3,252,43,3,2
,1
,32
222x
x x x x xy x x -++中，分式共有 ( )．
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
2、（2012义乌市）下列计算错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、（2013成都）要使分式15
-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x ≠1 （B ）x>1 （C ）x<1 （D ）x ≠-1
4、（2013凉山州）如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A ．x≥0
B ．x≠1
C ．x ＞0
D ．x≥0且x≠1
5、（2013温州）若分式43
+-x x 的值为0，则x 的值是
A. 3=x
B. 0=x
C. 3-=x
D. 4-=x
6、（2013山东莱芜）方程24
2x x --=0的解为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 1
2
- 7、（2013漳州）计算111x
x x ---结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1
D ．x 8、（2013•三明）计算﹣的结果是（ ）A ．1 B ．-1 C ．0
D
．-5 9、(2013山东滨州)化简3
a a ，正确的结果为（ ）
A ．a
B ．a 2
C ．a －1
D ．a －2
10、（2013福建福州）计算：2a －1
a ＝________
11、（2013湖南永州）已知0a
b a b +=，ab
ab 则的值为
12、（2013广西钦州）当x= 时，分式无意义
13、（2013湖南邵阳）计算：3a
3a -2b - 2b
3a -2b =
14、（2013河北省）若x +y ＝1，且，则x ≠0，则(x +2xy +y 2x ) ÷x
+y
x 的值为_______
15、（2013湖北省咸宁市）化简+的结果为
16、（2012山西）化简的结果是
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17、（2013广州）先化简，再求值：y
x y y x x ---2
2，其中321+=x ,321-=y
18、（2013吉林省）先化简，再求值：
b a b a b ++-1222其中a =3，b =1
19、（2013泸州）先化简：
2223(1)11a a a a --÷---，再求值，其中a =.
20、
（2013南宁）先化简，再求值：，其中x=﹣2．
21、（2013•东营）先化简再计算：22112111
a a a a a a a --?-++-，再选取一个你喜欢的数代入求值.。