高考数学一轮复习第章集合与常用逻辑用语第讲命题充分条件与必要条件

第3讲 命题、充分条件与必要条件1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2016·大连质检)命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B ．“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C ．“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D ．“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”解析：选D.根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．3．(2016·蚌埠质检)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期大于π的充分不必要条件是( )A ．ω＝1B ．ω＝2C ．ω<1D ．ω>2解析：选A.f (x )的最小正周期大于π⇔T ＝>π⇔0<|ω|<2，故选A. 2π|ω|4．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得A ∪B ＝{x ∈R |x <0或x >2}，C ＝{x ∈R |x <0或x >2}，故A ∪B ＝C ，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．5．(2016·江西省八校联考)在△ABC 中，“·＝·”是“||＝||”成立的( ) AB → AC → BA → BC → AC → BC →A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.·＝·⇔·(＋)＝0⇔AB 与AB 边上的中线垂直⇔||＝||. AB → AC → BA → BC → AB → AC → BC → AC → BC →6．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝－4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题解析：选C.根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故选C.7．(2016·宿州质检)“a >－1”是“函数f (x )＝x ＋a |x －1|在R 上是增加的”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.函数f (x )＝x ＋a |x －1|＝在R 上是增加的充要条件{（1＋a ）x －a ，x ≥1，（1－a ）x ＋a ，x <1，)是即－1<a <1，故选B.{1＋a >0，1－a >0，（1－a ）＋a ≤1＋a －a ，)8．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B.9．(2015·高考浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．10．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xB ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2abD ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1 x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.11．(2015·高考陕西卷)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由cos 2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos 2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.12．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B.由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.13．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案：314．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图像关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.答案：m ＝－215．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得 {a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，)解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]16．(2016·榆林一模)已知命题p ：实数x 满足－2≤1－≤2；命题q ：实数x 满足x 2－x －132x ＋(1－m 2)≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |－2≤1－≤2}＝{x |－2≤x ≤10}， x －13B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m >0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．因为“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”，而綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，即A B ，故(等号不同时取到)，解得m ≥9.{m >0，1－m ≤－2，10≤1＋m)答案：[9，＋∞)1．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ． (－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A.由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.2．已知集合A ＝，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，{y |y ＝x 2－32x ＋1，34≤x ≤2})并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－x ＋1. 32配方得y ＝＋. (x －34)2716因为x ∈，所以y min ＝，y max ＝2. [34，2]716所以y ∈. [716，2]所以A ＝. {y |716≤y ≤2)}化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝.{x |x ≥1－m 2}因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A ⊆B .所以1－m 2≤，解得m ≥或m ≤－. 7163434所以实数m 的取值范围是∪. (－∞，－34][34，＋∞)3．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，所以{Δ1＝16（1－m）≥0，Δ2＝16m2－4（4m2－4m－5）≥0，)[－54，1]解得m∈.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以{4m∈Z，4m∈Z，4m2－4m－5∈Z.)所以m为4的约数．[－54，1]又因为m∈，所以m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；而当m＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.。