2014北京石景山高考一模数学理(word解析)

2014年石景山区高三统一测试数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =I ð（ ）．A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ）．A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（ ）．A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt ABC △中，90,C ∠=o 5,AB =4BC =，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）． A ．2B ．8C ．3D ．46．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）．A ．4B ．95C ．125D ．165A ．612B ．33C ．64D ．36ACDB 1主视图左视图俯视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）．A ．2-B ．12C ．1-D ．28．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =uuu r 且0MP MF ⋅=uuu r uuu r ，则||PM uuu r的最小值为（ ）．A ．3B ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知命题p ：,e 0x x ∃∈<R ，则p ⌝是____________________．10．在等比数列}{n a 中，14=2,=16a a ，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．12．已知变量x y ，满足约束条件20,1,70,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是_________．13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________．否开始1i i =+11A A=-2014i >是 输出A 结束02i A ==，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b c <<，32sin a b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和ABC △的面积．16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．01235567889135567罗非鱼的汞含量（ppm）17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．A1A1B1CCDB18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N ． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．xOy P1l 2lMN20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -()12,3,4,,i n =L 作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列1,2,3,4,5的一个生成数列是1,2,3,4,5--．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|,,2}2n nk x x k k *--=∈≤N ．2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBDDBCA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为32sin a b A =，所以3sin 2sin sin A B A =，…………………………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以3sin 2B =， ………………………… 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =o ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，7b =，所以由余弦定理得2221(7)2222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==， ∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591． …………………………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==，………………5分ξ可能取0，1，2，3． …………………………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 题号 9 10 11 12 13 14 答案 e 0x x ∀∈≥R ， 2n ；(1)2n n + 22+=4x y ；52k =± [95，6] 180 22y x =-223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．……………………10分 其分布列如下：ξ 0 1 2 3P827 49 29127…………………………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点． 因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………2分 所以MD ∥1B C ．…………………………3分 因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ．…………………………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -． 因为2AB =，13AA =，D 是AC 的中点．所以(1,0,0)A ，(1,0,0)B -，(0,0,3)C ，1(1,3,0)A ，…………………………5分 所以13(,0,)22D ，33(,0,)22BD =uu u r ，1(2,3,0)BA =uuu r． 设(,,)n x y z =r是平面1A BD 的法向量， 所以10,0,n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r 即330,22230,x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令3x =-，则2y =，3z =，所以(3,2,3)n =-r是平面1A BD 的一个法向量．…………………………6分 由题意可知1(0,3,0)AA =uuu r是平面ABD 的一个法向量，…………………………7分 所以1231cos ,243n AA <>==r uuu r ．…………………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π．…………………………9分 x yz OBDA1A1B 1CCMA1A1B1CBCD（Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1,3,3)C E x =--uuu r ，11(1,0,3)C B =--uuu u r设平面11B C E 的法向量1111(,,)n x y z =u r，所以11110,0,n C E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r r uuuu r 即11111(3)30,30,x x y z x z ⎧-+-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令13z =-，则13x =，163y x=-，16(3,,3)3n x=--u r，…………………………12分又10n n ⋅=u r r ，即1233+3303x --=-，解得33x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且33AE =．…………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1a =时，2()ln (0)f x x ax x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-=，…………………………1分 11(0),()0,(,),()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，()f x 的减区间为1(0,)2，增区间1(,)2+∞．…………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x Q 在区间(01]，上是减函数，()0f x '∴≤对任意(0,1]x ∈恒成立，即120x a x+-≤对任意(0,1]x ∈恒成立，…………………………5分 12a x x ∴≤-对任意(0,1]x ∈恒成立， 令1()2g x x x =-，min ()a g x ∴≤，…………………………7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-． 1a ∴≤-．…………………………8分（Ⅲ）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =，()12f t t a tt=+-，即：222ln 21,1ln 0t at t t at t t +-=+-∴-+=，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根．…………………………11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()120t t tϕ'=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()10ϕ=，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2,3,1c a b ==∴=Q ，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(0,2)P ，设过点(0,2)P 且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由222,1,3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分 所以12,l l 方程为2,2y x y x =+=-+．………………………………7分 121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±，当1l ：3x =时，1l 与准圆交于点(3,1),(3,1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12,l l 垂直；同理可证当1l ：3x =-时，直线12,l l 垂直．………………………………10分②当12,l l 斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中2204x y +=． 设经过点00(,)P x y 与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(),1,3y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=．由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=． 设12,l l 的斜率分别为12,t t ，因为12,l l 与椭圆相切，所以12,t t 满足上述方程222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12,l l 垂直．………………………………12分综合①②知：因为12,l l 经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点,M N ，且12,l l 垂直．所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN =，所以线段MN 的长为定值．………………………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴2311,48b b =±=±，由于1117111511131111,,,2488248824882488++=+-=-+=--=，∴3S 可能值为1357,,,8888．…………………………3分（Ⅱ）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ，…………………………5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列，∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n nb =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421,,()888n n n n n nb b b n *--==-=-∈N 时，才成立． ∴1,32,21,3 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N （）．…………………………8分（Ⅲ）2311112222n n S =±±±±L 共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++L L ，即12122n n n n S -≤≤， 又12322212n n n n nS ---±±±±=L ，分子必是奇数，满足条件121222n n n n x -≤≤的奇数x 共有12n -个．…………………………10分设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k ka b ==，不妨设0,0k k a b ><， 11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++L L12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++L 1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．……12分∴2311112222n n S =±±±±L 共有12n -种情形，其值各不相同． ∴n S 可能值必恰为13521,,,,2222n n n n n -L ，共12n -个．即n S 所有可能值集合为121{|,,2}2n nk x x k k *--=∈≤N ．…………………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】北京市石景山区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：有题可知{|02},{|1}A x x B x x =<<=≥，所以{|1}U B x x =<ð,故{|01}U A B x x =<<I ð． 故选A ．2．【答案】C【解析】解：因为2y x =在(0,)+∞上是单调递增，故A 错；因为1y x =+在(0,)+∞上单调递增且为非奇非偶函数，故B 错；同理D 错． 故选C ．3．【答案】B【解析】解：由二项式定理可知1C r n rrr nT ab -+=，所以()()521021551C C 1rrr r rr r r T xx x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 当1021r r --=时满足题意，即3r =，所以x 的系数为()335C 110-=-． 故选B ．4．【答案】D【解析】解：在Rt ABC △中，2229AC AB BC =-=，因为AC 为圆的 切线，由切割线定理可知29AC AD AB =⋅=，即95AD =， 所以916555BD AB AD =-=-=． 故选D ．5．【答案】D【解析】解：因为抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，有抛物线的定义可知 该点到抛物线2p y =-的距离为3，即132p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以4p =． 故选D ．6．【答案】B【解析】解：由三棱柱三视图可知直观图为：由左视图与俯视图可知1BD =，因为ABC ∆为等腰直角三角形，所以2AC =，PBC ∆为等边三角形，所以D 为AC 的中点，故3PD =．113=213=323P ABC V -⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭．故答案为B ．7．【答案】CDBACPxyAFMP【解析】解：列表i 0 1 2 3L2015 循环结束A2121- 2L x显然数据的周期为3，2015被3整除与2，所以2015与2对应的值一样，所以1x =-． 故答案选C ．8．【答案】A【解析】解：已知()3,0F ，因为1MF =uuu r ，所以M 点为 圆：F 上的动点；因为0MP MF ⋅=uuu r uuu r，所以MF MP ⊥，故直角FMP ∆中，2||=1PM PF -uuu r，当线段PF 取到最小值是满足题意；有椭圆的性质可知2||8PF ≤≤，即当点P 与点A 时，2||=13PM PF -=uuu r． 故答案选A ．二、 填空题9．【答案】,e 0x x ∃∈≥R【解析】解：由全称命题的否定为特称命题；所以p ⌝为,e 0x x ∃∈≥R ． 故答案为,e 0x x ∃∈≥R ．10．【答案】2n ；()12n n +【解析】解：由12a =，34116a a q ==，得38q =即2q =； 由等比数列的通项公式可得112n n n a a q -==，因为22log log 2n n n b a n ===；显然n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()12n n n S +=;故答案为2n ；()12n n +．11．【答案】22+=4x y ;52k =±【解析】解：因为2ρ=，所以24ρ=，即22+=4x y ； 因为直线与圆相切，所以点()0,0到直线的距离d r =，即2321d k ==+，解得52k =±．故答案为22+=4x y ;52k =±．12．【答案】9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：画出20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，表示的区域，如图所示：由00y k x -=-，得k 为(),x y 与()0,0两点所确定的直线的斜率，画出如图所示的图像，当过(1,6)时，k 取得最大值； 当过59(,)22时，k 取得最小值．即k 的取值范围为9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦．13．【答案】180【解析】解：方法一（分类）由题可知满足题意得有三类： 第一类：志愿不含甲、乙两专业有35A 60=；第二类：志愿含甲但不含乙有2353C A 60=； 第三类：志愿含乙但不含甲有2353C A 60=； 可知共有180种．方法二（补集思想）不限专业共有37A 210=，甲、乙同时兼报有1353C A =30，所以共有210-30=180种． 故答案为180．14．【答案】22y x =-【解析】解：有题可知函数()21f x x =-与函数()2ln g x x =有公共点(1,0)，由隔离直线的定义可知只有二者的公切线才能满足，2()2,g ()f x x x x''==，可知()()222k f g ''===，可知直线方程为22y x =-． 故答案为22y x =-．xy(52,92)(1,6)x-1=0x-y+2=0x+y-7=0。