数学模古塔的变形
数学建模竞赛古塔的变形
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
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随着人类社会的进步，人们对古建筑物的保护越来越重视，观测古塔模型得出数据控制古塔的变形以便对古塔进行修复，从而达到保护的效果。
文中建立模型预测古塔的变形情况，利用数学软件计算拟合出古塔变形趋势。
针对问题一，首先根据附件1给出的数据，对古塔每一层的八个位置进行测量，用MATLAB 作最小二乘拟合，得到古塔的空间三维图形。
2013数学建模——古塔的变形
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如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。
因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
古塔变形情况的分析与改进—
古塔变形情况的分析与改进【摘要】“盛世修古建”随着我国经济实力的不断发展，古建的保护和改善也成为了国家所关注的事。
因为自然灾害所带来的影响，使古建发生了不同的形变。
本案例研究的是古塔变形的问题，要求是在自然的影响下对古塔的变形进行假设和分析。
而对本文所提出的问题，我们采用了数据的平均与分析处理，倾斜、弯曲、扭曲各因素之间相互独立互不影响和模型的大胆想象与小心求证使我们得出了该塔具体的倾斜，弯曲，扭曲的情况。
通过对问题的假设及分析求解中，我们所建立的模型简单且改进措施方便，并且能推广到更多的古塔保护问题上，具有很大的优势。
最后我们组员结合对本次数学建模的学习，实践，写出了我们的感想。
我们的理解阐述了数学建模的概念，步骤以及我们在此过程中遇到的问题。
【关键词】数据分析投影线性规划函数对比影响措施Ⅰ、问题重述由于长时间承受自重，气温，风力等各种作用，偶然还要受地震，飓风的影响，古塔会产生各种变形，比如倾斜，弯曲，扭曲等。
为保护古塔，文物部门需要适合时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月，1996年8月，2009年3 月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题；1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜，弯曲，扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
Ⅱ、符号说明A——职工工资总额，元；A——2000-2024年职工工资总额，元；1Ⅲ、模型假设1.假设第一问中所得的图为八边形；2.假设塔的变形过程中倾斜，弯曲，扭曲是互不影响的；3.假设在倾斜过程中没有弯曲与扭曲，在扭曲过程中没有倾斜与弯曲，在弯曲过程中没有扭曲与倾斜。
Ⅳ、问题分析1. 对于问题一，是一个数据平均处理问题，它涉及到许多变量及假设。
假设附件1给出的每层8个数据均选在塔的方位所测，并且这8个点恰好能够成一个平面，若要求塔的中心相当于求这几个面的中心，再将其连接所得就是塔的中心。
古塔的变形数学建模课程答辩
古塔的变形数学建模课程答辩【最新版】目录一、引言1.简述古塔的历史和文化价值2.介绍变形数学建模课程的背景和意义3.说明答辩的目的和重要性二、古塔的变形分析1.古塔的结构特点2.古塔变形的原因3.古塔变形的影响三、变形数学建模方法1.变形数学建模的基本原理2.建立古塔变形的数学模型3.数学模型的求解和验证四、答辩过程及结果1.答辩的准备工作2.答辩过程中的主要环节3.答辩结果及其意义五、结论1.总结古塔变形数学建模的意义2.对未来相关研究的展望正文一、引言古塔作为我国历史文化遗产的重要组成部分，承载着丰富的历史和文化信息。
对古塔的变形进行数学建模研究，不仅有助于我们更好地保护和修复古塔，同时也具有重要的理论和实践意义。
变形数学建模课程是一门研究物体在变形过程中数学规律的学科，对于培养学生的创新能力和实际操作能力具有重要作用。
古塔的变形数学建模课程答辩，旨在检验学生对古塔变形问题的理解和掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
二、古塔的变形分析1.古塔的结构特点古塔结构多样，有砖塔、木塔、石塔等，其中砖塔最为常见。
砖塔结构主要包括塔基、塔身和塔刹三部分。
塔基是塔的承重部分，塔身是塔的主体部分，塔刹是塔的顶部装饰。
2.古塔变形的原因古塔变形的原因多种多样，主要包括地基不均匀沉降、材料老化、地震、风荷载等。
其中，地基不均匀沉降是最常见的原因，会导致塔身倾斜、裂缝等变形现象。
3.古塔变形的影响古塔变形不仅影响其美观，还会对其结构安全产生威胁。
严重的变形可能导致塔体崩塌，造成不可挽回的损失。
三、变形数学建模方法1.变形数学建模的基本原理变形数学建模的基本原理是将物体的变形过程抽象为一个数学问题，通过建立数学模型来描述物体的变形规律。
2.建立古塔变形的数学模型根据古塔的结构特点和变形原因，可以建立古塔变形的数学模型。
例如，可以采用有限元方法对古塔的结构进行离散化，建立有限元模型，进而分析古塔在不同荷载下的变形情况。
古塔的变形数学建模课程答辩
古塔的变形数学建模课程答辩摘要：一、古塔简介二、变形数学建模课程概述三、古塔变形数学建模案例分析四、答辩环节介绍五、课程收获与反思正文：一、古塔简介古塔，作为一种古老的建筑形式，在我国历史悠久的传统文化中具有重要地位。
古塔的建筑风格独特，形式各异，堪称古代建筑的瑰宝。
随着时间的推移，古塔在自然环境和人为因素的影响下，可能会出现不同程度的变形。
为了更好地保护和研究古塔，专家学者们采用了数学建模的方法来分析古塔的变形情况。
二、变形数学建模课程概述变形数学建模课程是一门理论与实践相结合的课程，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在这门课程中，学生们学习了数学建模的基本方法、技巧和软件应用，并通过实际案例分析，提高了自身的动手实践能力。
三、古塔变形数学建模案例分析以某座具有代表性的古塔为例，课程小组对其进行了详细的实地考察和数据采集。
在考察过程中，学生们测量了古塔的各项几何参数，并采集了现场的照片和视频。
随后，学生们利用数学建模软件，对古塔的变形情况进行了分析。
通过对古塔结构的研究，学生们找出了可能导致变形的原因，并提出了相应的保护措施。
四、答辩环节介绍在课程的最后阶段，学生们需要对自己的数学建模成果进行答辩。
答辩环节分为两个部分：PPT展示和现场问答。
学生们通过制作精美的PPT，向评委和观众展示了自己的建模过程和成果。
在问答环节，评委们针对建模过程中的关键问题进行了提问，学生们则需要根据自己的实际操作和理论知识来进行回答。
五、课程收获与反思通过古塔变形数学建模课程的学习和实践，学生们纷纷表示受益匪浅。
一方面，学生们提高了自己的数学建模技能，学会了如何将理论知识运用到实际问题中；另一方面，学生们对古塔的历史和文化有了更深入的了解，增强了自己对文物保护的意识。
同时，学生们也认识到了数学建模在解决实际问题中的局限性，意识到跨学科合作的重要性。
总之，古塔变形数学建模课程为学生们提供了一个理论与实践相结合的平台，使得他们在解决实际问题的过程中，不仅提高了自己的专业素养，还培养了团队协作精神和跨学科思维。
关于古塔变形的数学模型
关于古塔变形的数学模型摘 要本文主要研究古塔在自重、气温、风力等因素的影响下产生变形的问题。
采用中垂线求解外切圆圆心的模型以及多次平均除误差的方法，找到了确定古塔中心的通用方法，并用多元线性回归模型及插值拟合等方法对倾斜、弯曲、扭曲等变形情况进行分析，从而通过残差拟合得出预测数据对古塔变形趋势进行描述。
针对问题一：论文采用古塔八个角点中任意三个角点构成的两两连线，取其中垂线的交点得到外接圆圆心，已知正八边形的中心与外接圆圆心一致，但古塔八角点构成的八边形存在轻微不规则，所以我们采用多次取点求外接圆圆心，并用其平均值消除误差，最后对不同取点方式进行了精度分析（答案详见表一）。
针对问题二：首先是古塔倾斜分析，根据测量学本文取塔尖和塔底的中心连线作为倾斜角计算的倾斜方程，算出塔顶在水平面投影与塔底中心的间距S ∆，引入实测高程数据H ∆，可以得到古塔四次测量的倾斜角（HD∆∆=arctan α），对其倾斜情况经行描述；然后是弯曲情况分析，根据问题一中古塔各层中点坐标，本文对其进行多元回归分析及多项式拟合，得出函数曲线，并将其和倾斜方程进行比较得到最大差值即挠度（材料力学中对弯曲的描述量）；最后是扭曲分析，本文分垂直和水平两个方向进行讨论，垂直方向上涉及高程Z ，即对各层中心点多元线性回归得到的拟合值与实测值进行残差分析，得到扭曲描述量（Ny y r i ∑-=2')(）。
水平方向，本文参考材料力学中扭转角的计算，对古塔各层间的轴向扭转进行分析，得到扭转角对古塔扭曲情况进行描述。
针对问题三：在分析了四次观测值中倾斜、弯曲，扭曲的情况下，本文采用加权平均的方法各产生影响数据进行处理后，进行残差拟合，得到下一次观测的模拟数据，对古塔的变形进行变形趋势描述关键词 多边形中心确定 多元回归分析 多项式拟合 残差分析由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
古塔的变形
古塔的变形摘要本论文研究的是古塔的变形问题，首先对古塔的基本情况进行了解、分析，本文使用了较为简单实用的方法得到了结果，进而对古塔的变形情况进行分析，最后再对古塔在未来几年的变形趋势进行描述。
针对问题一，本文采用平均值等两种算法分别进行求解最终求得古塔各层在1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月时的中心坐标（具体坐标见5.1.3）。
针对问题二，本文对古塔的变形情况粗略地描述了一部分，并根据已知的一部分信息最终选择了以倾斜度为主要指标对古塔的变形成都进行了粗略的描述，结果为：1986199620092011046'33",047'9",048'39",048'46"θθθθ==== 。
针对问题三，本文根据前两问求得的数据作为基础进行分析，仍旧从倾斜变形入手分别对倾斜的方向变化趋势和倾斜增量进行了分析，由于有偶然的大型因素的影响，如2006年的超强台风“桑美”，2008年的汶川地震等，本文将变形趋势分为两类，所得结果如下：（1） 无大型因素影响趋势：古塔有由原本倾斜方向向南倾斜的趋势。
古塔10年倾斜角偏移量为00'35.5"α=（2） 有大型因素影响趋势：古塔有由原本倾斜方向向南倾斜的趋势。
古塔10年倾斜角偏移量为01'17.4"β=对于缺失的数据本文采用了近似值的方法进行补全（详见5.1.1）。
关键词：古塔变形 Matlab 文物保护 变形趋势 Lingo11 Excel一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
2013数学建模-古塔的变形.
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）日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对古塔变形问题的数学建模摘要中国古语有云，“救人一命胜造七级浮屠”，所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。
在中国辽阔的大地上，古塔的踪影随处可见。
它们造型精美、结构巧妙，成为可多得的独特景观。
早起的古塔，主要是阁楼式的建筑，从唐朝经过两宋至辽、金，是我国古塔发展的高峰时期，特别是唐和两宋，古塔的建造达到了空前繁荣度，总量较以前大增，材料也更为丰富，除了木材和砖、石以外，还使用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主，平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。
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因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。
首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。
然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。
最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。
用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。
古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。
所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。
再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。
古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。
然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。
对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。
再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。
关键字：线性回归变化趋势拟合预测一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
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请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3. 分析该塔的变形趋势。
二、问题分析（一）、对问题一的分析问题一中确定古塔各层中心位置的通用方法。
因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。
然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。
根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。
（二）、对问题二的分析问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。
对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。
然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。
最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。
对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差t i h,，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。
再根据每层出现高程绝对差t i h,的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。
对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。
然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。
（三）、对问题三的分析问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。
对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。
三、模型假设1.假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况；2.假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补；3.忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据；4.假设古塔的变形是连续的；四、符号说明五、模型的建立与求解5.1问题一的求解：为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔内同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图：图1-1图1-1是通过1986年每层各测量点的坐标点连起来的（用CAD 制）图，每层所测的点相交构成一个多边形，得到每层的近似平面图，可以近似地把每层当作正八边形。
根据正八边形图形特征，古塔各层测量点坐标（j x ，j y ，j z ）的平均值作为各层中心点坐标。
即：818jj i xX ==∑， 818jj i yY ==∑ ， 818jj i zZ ==∑算出的各层中心坐标如下：表1-1.所测年数各层中心坐标表1986年1996年 楼层i X YZ楼层i X Y Z 1 566.6648 522.7105 1.7874 1 566.665522.71021.7102 2 566.7196 522.6684 7.3203 2 566.7205 522.6674 7.3146 3 566.7735 522.6273 12.7553 3 566.7751 522.6256 12.7508 4 566.8161 522.5944 17.0783 4 566.8183 522.5922 17.0751 5 566.8621 522.5591 21.7205 5 566.8649 522.5563 21.716 6 566.9084 522.5244 26.2351 6 566.9118522.52126.2295 7566.9468 522.5081 29.83697566.9506 522.504229.8323用上表得到的数据，把每层中心点的X，Y，Z坐标分别对时间t（设1986年为第一年，即t=1）做回归，得到下表的一系列回归方程，用以下的方程就能算出古塔任意一年任意一层的中心坐标,即为确定古塔各层中心位置的通用方法。
5.2问题二的求解：问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。
5.2.1倾斜变形求解：1) 倾斜度大小的求解 首先用第t 年中,各层中心点坐标的t i Z ,对t i X ,，t i Y ,做多元线性回归。
t i Z ,=t i t i Y a X a a ,2,10++ （1）该回归方程在空间直角坐标系中是一个平面，表示各层中心近似所处的平面。
运用Excel 软件根据（1）式求解各年回归方程。
统计各年回归方程系数可得下表：表2-1 回归方程系数运用Matlab 做出2009年回归方程对应的回归平面（过程见附录1）。
图2-1由图2-1可以直观地看出各层中心点贴近回归平面，证明上面所建立模型的准确性。
上述方法所得的回归平面与z 轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。
原理解释如下：图2-2如图，空间直角坐标系（由CAD 制作）中有下列关系： 其中，平面ABC 是同一年塔内各层中心点的回归平面。
AB 垂直于OD ，AB 垂直于OC ，即AB 垂直于CD ，即∠ODC 为平面OAB 与平面ABC 夹角。
所以平面ABC 与z 轴夹角α为： ODC ∠-=︒90α即角α为回归平面与z 轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。
令t i Z ,=0，即方程为t i t i Y a X a a ,2,10++=0为AB 所在直线方程，所以OD 为点O 到AB 的距离，根据点到直线的距离公式可得：22210222121000a a a aa a a a OD +=+⨯+⨯+=令x 和y 等于0，可以得出 0a OC = 根据正切性质得：2221)90tan(a a ODOC +==-︒α 根据反三角函数，可知：)arctan()90(2221a a +=-︒α (2)根据（2）式可以得算出古塔每年的倾斜角α，列表如下：表2-2 塔的倾斜角度，单位：（°）夹角α的值可以表示古塔的倾斜程度大小。
2) 倾斜方向的求解根据古塔各层中心点在水平面xoy 中的投影的分布和变化趋势，来确定古塔的倾斜方向。
下面以2009年数据为例。
用Matlab 作2009年各测点与中心点的平面图（过程见附录2）：年份 1986 1996 2009 2011 塔的倾斜角α0.47390.47820.61530.620812345678图2-3由图2-3可以看出，各层中心点都大致分布在第2，6个测量点的对角线上。
再根据中心点投影位置随楼层的增加而自测量点2向测量点6移动。
可以知道古塔的倾斜方向大致是沿测量点2向测量点6方向倾斜。
5.2.2弯曲变形求解1) 弯曲程度大小的求解对于古塔的弯曲情况，我们通过每层平面倾斜的变化程度初步分析，然后再结合整栋古塔，得出古塔的大概外形，从局部到整体分析古塔的变形。
首先，计算第t 年，i 层测量点高程的绝对差t i h ,，为：min max ,jj t i z z h -= 它能直观地反映在各层内最大倾斜程度，但绝对差不能全面的表现出弯曲的情况。