实数的概念性质和运算
实数运算知识点总结
实数运算知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义及性质实数是指包括有理数和无理数的数集。
实数的性质包括封闭性、传递性、结合律、交换律和分配律等。
2. 实数的大小比较对于任意实数a和b，有两个重要性质：反对称性和三角不等式。
3. 实数的绝对值绝对值是实数a到原点的距离。
绝对值的性质包括非负性、非零性、三角不等式和绝对值的运算法则。
4. 实数的方根与幂实数的n次方根、实数的n次幂的运算法则和性质。
二、实数的运算1. 实数的加法运算实数的加法运算法则，包括交换律、结合律和单位元素等性质。
2. 实数的减法运算实数的减法定义，以及减法的性质和规律。
3. 实数的乘法运算实数的乘法运算法则，包括交换律、结合律、分配律和零因子等性质。
4. 实数的除法运算实数的除法定义，包括零的倒数、分数的相乘和相除等性质。
5. 实数的乘方运算实数的乘方运算法则，包括同底数幂的乘法法则和除法法则等。
三、实数的运算法则1. 基本的实数运算法则包括整数的加减法和乘法运算、有理数的加减法和乘法运算、实数的加减法和乘法运算等基本法则。
2. 实数的化简运算将实数的表达式化为最简形式，包括有理数的四则运算和乘方运算、无理数的运算等。
3. 实数的合并与分解将实数的表达式进行合并或分解，以便进行进一步的运算。
四、实数的应用1. 实数的应用于代数方程实数的应用包括一元一次方程、一元二次方程等的求解和实数的性质应用等方面。
2. 实数的应用于不等式实数的应用包括一元一次不等式、一元二次不等式等的求解和实数的性质应用等方面。
3. 实数的应用于几何问题实数的应用包括平面几何和立体几何中实数的运用、问题的建立和解决。
五、实数的推论与应用1. 实数的应用问题实数的运算和性质在实际生活中的应用，如金融、工程、物理等领域的问题解决。
2. 实数性质的证明实数的性质和运算法则的证明，以及实数应用问题的解题过程。
3. 实数性质的应用实数的性质在代数方程、不等式、几何问题和实际应用问题中的具体应用。
实数的性质与运算方法
实数的性质与运算方法实数是由有理数和无理数组成的数域，包括正数、负数和零。
实数具有一些特定的性质和运算方法，下面将对实数的性质和运算方法进行探讨。
一、实数的性质1. 有序性：实数具有明确的大小关系，可以比较大小。
对于任意实数a和b，存在以下三种情况：a>b，a<b，或a=b。
这种有序性使得实数可以进行排序和排列。
2. 稠密性：实数集中的任意两个数之间都可以找到其他实数。
简单来说，对于任意两个实数a和b，a<b，必然存在一个实数x，使得a<x<b。
这种稠密性使得实数集合没有缝隙，可以进行无限次运算。
3. 无限性：实数集合是无限的，没有最大值和最小值。
对于任意实数a，存在一个比a更大的实数，也存在一个比a更小的实数。
这种无限性使得实数可以进行无限次连续运算。
4. 密度性：实数集合中的有理数和无理数是密布在一起的。
有理数是可以表示为两个整数之间的比值的数，而无理数是不能表示为有理数的数。
实数集合中的任意一个小区间内，都同时存在有理数和无理数。
二、实数的运算方法1. 加法运算：实数加法满足交换律、结合律和分配律。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：- 交换律：a+b=b+a- 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)- 分配律：a(b+c)=ab+ac2. 减法运算：减法是加法的逆运算，可以将减法转化为加法运算。
对于任意实数a和b，a-b=a+(-b)。
3. 乘法运算：实数乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：- 交换律：ab=ba- 结合律：(ab)c=a(bc)- 分配律：a(b+c)=ab+ac4. 除法运算：除法是乘法的逆运算，可以将除法转化为乘法运算。
对于任意实数a和b（其中b≠0），a/b=a乘以1/b。
5. 幂运算：实数的幂运算是指将一个数乘以自身若干次。
对于实数a和正整数n，a的n次幂表示为an，满足以下性质：- a^m * a^n = a^(m+n)- (ab)^n = a^n * b^n- (a^n)^m = a^(n*m)- (a/b)^n = (a^n)/(b^n)6. 开方运算：开方是求一个数的平方根。
实数知识点
实数知识点实数是数学中重要的概念之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从实数的概念、性质、分类以及实数在数学和实际生活中的应用等方面进行详细介绍。
一、实数的概念及性质实数是数学中最基本的数集之一，包括有理数和无理数。
它们可以用数轴来表示，数轴上的每个点都对应着一个实数。
实数具有以下性质：1. 实数的有序性：对于实数集中的任意两个数a、b，必定存在三种关系：a＜b，a＝b或a＞b。
这个性质使得实数可以进行大小比较。
2. 实数的稠密性：对于任意两个实数a、b (a＜b)，必定存在一个实数c (a＜c＜b)，即实数集中不存在空隙。
这个性质可以用来证明实数集的连续性。
3. 实数的无穷性：实数集是无界的，即没有最大和最小值。
无论给定多大或多小的数，总可以找到比它更大或更小的数。
4. 实数的完备性：实数集中满足某个性质的数列必定收敛于一个实数。
这个性质使得实数集可以用来描述物理量的测量结果。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
有理数可以表示为无限循环小数，例如1/3＝0.3333...。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的小数表示无限不循环。
常见的无理数有开方数（如√2）和圆周率π。
无理数在数轴上是无限不重复的。
三、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，同时也贯穿于实际生活的各个领域。
1. 几何学：实数可以用来度量和描述几何图形的属性，例如线段的长度、角的度数等。
实数的大小和比较关系可以帮助我们确定图形的大小和位置。
2. 物理学：实数可以用来表示物理量的不同数值，例如速度、质量和能量等。
实数的运算规律可以帮助我们进行物理量的计算和分析。
3. 经济学：实数可以用来表示货币的数额、价格的变动等经济指标。
实数的运算可以用于货币的兑换和经济指标的计算。
4. 统计学：实数可以用来表示数据的测量结果，例如年龄、身高、体重等。
实数的性质与运算
实数的性质与运算实数是数学中的一种基本数集，包括有理数和无理数。
实数具有多种性质和运算规则，这些性质和运算规则为数学领域中的各种问题提供了解决方法和基础。
一、实数的性质1. 实数的有序性：任意两个实数可以进行大小比较，即实数集合是一个有序集合。
对于任意实数a和b，其中a<b，a>b，a=b三种情况之一成立。
2. 实数的稠密性：在实数直线上，两个实数之间总是存在其他实数。
无论多么接近的两个实数，总有其他实数位于它们之间。
3. 实数的无限性：实数集合是无限的。
在实数集合中，不存在最大值和最小值。
4. 实数的稳定性：实数集合对加法和乘法运算封闭，即两个实数的和或积仍然是实数。
例如，实数a和b相加的结果a+b和相乘的结果a*b仍然是实数。
5. 实数的截断性：对于实数集合中的任意非空子集，存在一个有上界或下界的实数。
这个性质被称为实数的截断性。
二、实数的运算1. 实数的加法：对于任意实数a、b和c，加法满足交换律、结合律和存在零元素的性质。
即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，存在0使得a+0=a。
2. 实数的减法：实数的减法可以转化为加法运算。
对于任意实数a和b，a-b=a+(-b)。
其中，-b表示b的相反数。
3. 实数的乘法：对于任意实数a、b和c，乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)，存在1使得a*1=a。
4. 实数的除法：实数的除法可以转化为乘法运算。
对于任意实数a和b，a/b=a*(1/b)。
其中，1/b表示b的倒数。
5. 实数的幂运算：实数的幂运算满足乘方的基本性质。
对于任意实数a、b和c，满足a^b*c=a^(b+c)和(a^b)^c=a^(b*c)。
6. 实数的开方运算：实数的开方运算满足一些基本规则和性质。
例如，对于非负实数a和b，满足(b^2=a)或(sqrt(a))^2=a。
三、实数的运算法则1. 实数的加法法则：实数的加法满足对称性、传递性和存在唯一性。
(完整版)初三数学总复习实数的概念及实数的运算
初三数学第一轮总复习第一讲实数的概念及实数的运算（一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念(1)有理数: 和 统称为有理数。
（2）无理数： 小数叫做无理数。
（3）实数： 和 统称为实数。
（4）实数和 的点一一对应。
（5） 实数的分类①按定义分: ②按符号分:实数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩； 实数()()()0()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（6）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（7）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（8）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为1a. 。
（9）绝对值：=a2.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号 时，先算 里面，再算括号外。
同级运算从左到右，按顺序进行。
4.实数的大小比较5.零指数幂和负指数幂:当a ≠0时a 0=____;当a ≠0时且n 为整数时,a -n=(a1)n6.三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】 例1 ①a 的相反数是-15,则a 是_______。
(3－2)的倒数是_______，相反数是______． ②．数a ，b 在数轴上的位置如图所示: 化简2()()||a ab a b a b -+--.a b③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．例2 下列实数227、sin60°、3π、）0、3.14159、 -3、（-2（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4例3 计算：(1)(3-1)0+113-⎛⎫ ⎪⎝⎭-0.1259×89-)5(-2; (2) （1） 30cos )31(31-+--（304sin 45(3)4︒+-π+- （4）120114520104-⎛⎫-++︒+ ⎪⎝⎭三：【课后训练】1、一个数的倒数的相反数是115 ,则这个数是（）A ．65B ．56C ．-65D ．－562、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ．非负数 B ．非正数 C ．负数 D ．正数3. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ） A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人4. 若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．5.已知x y y x -=-，4,3x y ==，则()3x y +=6.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)7. . 已知(x-2)2=0，求xyz 的值8. 回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，若|AB|=2，那么x=_________． ③当代数式|x+1|+|x －2| 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________. 9．已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+2444,1515=⨯ 255552424+=⨯，…，若10+b a =102×b a符合前面式子的规律，则a+b=________．10．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万 11. 下列说法中，正确的是（ ）A ．|m|与—m 互为相反数B 11互为倒数C ．1998．8用科学计数法表示为1．9988×102D ．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．5012．在(0022sin 4500.2020020002273π⋅⋅⋅、、、、这七个数中，无理数有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个 13下列命题中正确的是（ ）A ．有理数是有限小数B ．数轴上的点与有理数一一对应C ．无限小数是无理数D ．数轴上的点与实数一一对应13当0＜x ＜1时，21,,x x x的大小顺序是（ ） A ．1x ＜x ＜2x ；B ．1x ＜2x ＜x ；C ．2x ＜x ＜1x ；D ．x ＜2x ＜1x14.现规定一种新的运算“※”：a ※b=a b，如3※2=32=9，则12※3=（ ）A ．18；B ．8；C ．16；D ．3215.计算(1) -32÷(－3)2+|－ 16|×(－（ 2)3(2-3)×3278-(-2)0+tan600-│3-2│（3）220)145(sin --3tan300100221()(2001tan 30)(2)316--++-⋅（4）│-12│÷（-12+23-14-56）16.已知x 、y 是实数，2690,3,.y y axy x y a -+=-=若求实数的值17. 已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒数，y 不能作除数，求20022001200012()2()a b cd y x+-++的值．18. 观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来19*. 已知非负数a ，b ，c 满足条件a ＋b ＝7，c －a ＝5，设S ＝a ＋b ＋c 的最大值为m ，最小值为n ，则m －n ＝ .20. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a＞b ，化简a a b b a-+--21在数学活动中，小明为了求12+23411112222n+++的值（结果用n 表示）,设计如图（1）所示的几何图形． （1）请你利用这个几何图形求12+23411112222n+++的值为_______．22.如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）． （1）求抛物线对应的函数关系式．（2分） （2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分）0ba。
初二实数的概念及运算
初二实数的概念及运算实数是数学中最基本的数集之一，包括正数、负数和零。
初二数学课程中，学生开始接触实数的概念和运算。
本文将详细介绍初二实数的概念以及基本运算。
1. 实数的概念实数是一种用来表示具体数量的数。
它们可以是有理数或无理数的集合。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和可以有限或无限循环的小数。
无理数是无法表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π等。
初二阶段，学生主要学习实数的基本概念，包括正数、负数和零。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是不大于也不小于零的唯一数。
2. 实数的运算实数具有四种基本的运算，分别是加法、减法、乘法和除法。
下面我们将逐一介绍这些运算。
2.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
给定实数a、b和c，a + b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 + 3 = 5，-5 + 7 = 2。
2.2 减法实数的减法也是一种加法运算，可以将减法转化为加法的形式。
给定实数a和b，a - b的结果可以表示为a + (-b)。
例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。
2.3 乘法实数的乘法也满足交换律和结合律。
对于给定的实数a、b和c，a × b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 × 3 = 6，-5 × 7 = -35。
2.4 除法实数的除法也可以转化为乘法的形式。
给定实数a和b，a ÷ b的结果可以表示为a × (1/b)。
需要注意的是，除数b不能为零，否则结果将无意义。
例如，6 ÷ 3 = 6 × (1/3) = 2，-15 ÷ (-5) = -15 × (1/(-5)) = 3。
3. 实数的性质实数具有许多重要的性质，下面我们简要介绍其中几个。
3.1 闭合性实数的加法和乘法都满足闭合性。
也就是说，对于任意的实数a和b，a + b和a × b仍然是实数。
实数的概念与性质
实数的概念与性质实数是数学中的一种数集，包括有理数和无理数两部分。
有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则无法精确表示为有理数的比值。
实数的概念与性质对于数学的发展和应用起着重要的作用。
下面将对实数的概念和性质进行探讨。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数集，包括所有的有理数和无理数。
有理数是可以表示成两个整数之比的数，它们可以无限制地进行有限的或无限循环的小数表示。
无理数是不能表示为有理数之比的数，例如根号2和π等。
实数的概念可以用数轴来表示，数轴是一条直线，上面的每个点都与实数对应。
实数可以根据其在数轴上的位置进行分类，比如正数、负数和零等。
二、实数的性质1. 实数的稠密性：实数的稠密性指的是，对于任意两个实数a和b （a<b），一定存在一个实数c满足a<c<b。
换句话说，实数在数轴上没有间隙，任意两个实数之间都可以找到其他实数。
2. 实数的有序性：实数可以根据大小进行比较。
对于任意两个实数a和b，有以下关系：a=b、a<b或a>b。
这种有序性使得实数可以进行数值大小的比较和排序。
3. 实数的闭区间性：实数可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。
闭区间指的是包含了区间两端点的实数集合，开区间不包含两端点，而半开半闭区间则包含一个端点但不包含另一个端点。
4. 实数的运算性质：实数具有加法、减法、乘法和除法等运算。
实数的运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
5. 实数的无理数性质：无理数具有无限不循环的小数表示，并且无理数之间可以进行加法、减法和乘法等运算。
无理数的加法和乘法结果仍为无理数。
6. 实数的有理数性质：有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，并且有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
有理数的运算结果仍为有理数。
总结：实数是数学中最基本的数集，包含有理数和无理数。
实数具有稠密性、有序性、闭区间性、运算性质、无理数性质和有理数性质等特点。
这些性质使得实数在数学中有着广泛的应用，同时也为数学的发展奠定了基础。
实数概念例题和知识点总结
实数概念例题和知识点总结实数是数学中的一个重要概念，它涵盖了有理数和无理数。
理解实数的概念对于进一步学习数学知识，解决数学问题至关重要。
下面我们通过一些例题来深入理解实数的相关概念，并对重要知识点进行总结。
一、实数的定义和分类实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数，例如√2、π等。
二、实数的性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。
2、实数的稠密性：在任意两个不同的实数之间，都存在无穷多个实数。
3、实数的运算封闭性：实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，其结果仍然是实数。
三、例题解析例 1：判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数？22/7，√5，0，－314，***********（相邻两个 1 之间依次多一个 0）解：22/7 是分数，属于有理数；√5 是无限不循环小数，是无理数；0 是整数，属于有理数；－314 是有限小数，可化为分数，属于有理数；***********（相邻两个 1 之间依次多一个 0）是无限不循环小数，是无理数。
例 2：比较大小：√3 ＋ 1 和 2 ＋√2解：因为（√3 ＋ 1）²＝ 3 ＋2√3 ＋ 1 ＝ 4 ＋2√3 ，（2 ＋√2）²＝4 ＋4√2 ＋ 2 ＝ 6 ＋4√2 。
而 4 ＋2√3 ＜ 6 ＋4√2 ，所以√3 ＋ 1 ＜ 2 ＋√2 。
例 3：已知一个实数的绝对值是√5，求这个实数。
解：设这个实数为 x ，则｜x| ＝√5 ，所以 x ＝±√5 。
四、实数的运算1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
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第一章实数的概念、性质和运算
【考试大纲内容精要解析】
第一节“条件充分性判断”——解题策略与应试技巧
MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。
内容涉及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。
从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。
因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。
以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析：
一、充分条件的有关概念
1、四种命题及其关系：
原命题互逆逆命题
若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ
【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假）
2、充分条件、必要条件
)，称p是q的充分条件，q是p的必要条件
若p，则q（即p q
充分条件：有之则必然，无之未必不然
必要条件：有之未必然，无之则必不然
【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语”
（2）推导方向
对于具体问题可以有以下情况：（1）充分不必要
(2) 必要不充分
（3）充分而且必要（充要）
（4）既不充分也不必要
3、MBA 联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然
（1）若p 是q 的充分条件，也说：p 具备了使q 成立的充分性；
（2）若p 不是q 的充分条件，即 p q ⇒，也即：p 不具备使q 成立的充分性。
由于在MBA 联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p q ⇒”与“p q ⇒”两种类型的命题真假。
解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。
例1：x,y 是实数，︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣
(1)x ＞0, y ＜0 (2) x ＜0, y ＞0
【解题分析】：（1）“有之” x ＞0,y ＜0
“则” ︱x ︱+︱y ︱=x －y
︱x －y ∣= x －y (∵x －y ＞0)
“必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣
故条件（1）充分
（2）“有之” x ＜0,y ＞0
“则” ︱x ︱+︱y ︱＝﹣x ＋y
︱x －y ∣＝﹣x ＋y (∵x －y ＜0）
“必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣
故条件（2）也充分
注：对“无之未必不然”可以这样理解。
如上例中条件（1）为结论成立的充分条件，但若无条件（1）（即“无之” ），结论未必不成立（“未必不然”）。
如上述的条件（2）仍然使结论成立。
这说明充分条件不一定唯一。
4、从集合的角度分析
若从集合的观点对条件充分性问题加以分析。
我们可以发现：条件充分性问题实质上是两个集合之间的一种蕴含关系。
对于命题：“若A ，则B ”，实质上是指A 蕴含B 。
回顾集合之间的包含关系：若A ⊂B （即A 是B 的子集），指“对任意的x ∈A,有x ∈B ”。
这正是关系“A B ⇒”。
因而我们有：若能够判断出A ⊂B ，即A 是B 的子集，则A 就是B 的充分条件。
MBA 中的很多问题，可以用集合的方法进行判断。
例2：关于x 的不等式x ≤1.
(1) x ＜1 (2)x ＝1
解题分析：设B ＝｛x ∣x ≤1｝，A 1＝｛x|x ＜1｝，A 2=｛x ∣x ＝1｝
虽然有A 1⊂B ，A 2⊂B
故条件（1）充分，条件（2）也充分。
注：对于任意两个集合A 与B ，它们之间可能的关系有：
（ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ）
MBA 联考中的“条件充分性判断”问题，由于只考虑充分性，如判断A 是否为B 的充分条件，则只有图(ⅲ)、(v) 满足A ⊂B 。
即A 是B 的充分条件，其它关系下，A 都不是B
A B A B B A A B A （B ）
的充分条件。
二、联考题型的结构及其逻辑关系
MBA联考大纲“条件充分性判断”问题解题说明如下：
本大题要求判断所给的条件能否充分支持题干中陈述的结论，阅读条件（1）和（2）后选择：
A 条件（1）充分，但条件（2）不充分
B 条件（2）充分，但条件（1）不充分
C 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
D 条件（1）充分，条件（2）也充分
E 条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
1、从结构上分析
从结构上分析可知，“条件充分性判断”题型中
条件是：（1）、（2）
结论是：题干
因而我们的推理方向是：
（1）
⇒题干
（2）
2、从逻辑关系上分析
从逻辑关系上分析可知，选择项A、B、C、D、E实质上就是命题“（1）⇒题干”和“（2）⇒题干”的真假情况的不同组合。
其逻辑关系如下：
A：条件（1）充分，但条件（2）不充分，即：
（1）⇒题干
（2）⇒题干
B：条件（2）充分，但条件（1）不充分，即有：
（1）⇒题干
（2）⇒题干
C：条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分，即有：
(1) ⇒题干
（1）
但⇒题干
（2）
(2)⇒题干
D ：条件（1）充分，条件（2）也充分。
即有：
E ：条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分。
即有：
三、解题策略与应试技巧 从以上关于题型的结构及逻辑关系分析可知，对于这一题型我们的解题策略与应试技巧如下：迅速准确地对以下三种类型命题的真假给出判断：
（Ⅰ） （1） 题干
（Ⅱ） （2） 题干
当以上两类命题均不成立时，则再考虑（否则没有必要考虑Ⅲ）
（Ⅲ）（1）
题干
（2）
以上三类命题的真假情况的不同组合，构成最后的选项A 、B 、C 、D 、E （如下表所示，其中“+”表示真命题，“-”表示假命题）。
命题
真假情况 I
+ - - + - Ⅱ
- + - + - III
+ - 选项
A B C D E
四、典型例题及真题示例
例1 方程4x 2 + (a - 2)x + a – 5 = 0 有两个不等的负实根。
（1） a ＜ 6 (2) a ＞ 5
（1） ⇒ 题干
（2） ⇒ 题干
(1) ⇒ 题干 (1) 而且 ⇒ 题干 (2) (2) ⇒ 题干
例2 实数a,b满足：a(a + b ) ＞ a b
a+
(1) a＜0 (2) b ＞– a
例3 某公司得到一批货款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元，24万元和8万元。
（1）甲、乙、丙三个工厂按1/2：1/3：1/9的比例分配贷款
（2）甲、乙、丙三个工厂按9：6：2的比例分配贷款
例4 不等式∣1－x∣＋∣1＋x∣＞a对于任意x成立
（1）a∈（－∞,2）（2）a＝2
例5 方程：
2
670
x x a
-+=有两个实根，且1⁄x
1
和1⁄x2的几何平均值是3
（1）a＝3 （2）a＝2
例6 x1.x2是方程x2 – 2 (k+1) x + k2 + 2 = 0的两个实根（1）k＞1／2 （2）k＝1／2
例7由方程组x＋y＝a
y＋z＝4 x、y、z成等差数列
z＋x＝2
（1）a＝1 （2）a＝0。