小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx
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六年级奥数第三讲工程问题
顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方
面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：
工作量 =工作效率×工作时间，
工作时间 =工作量÷工作效率，
工作效率 =工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可
工作效率指的是干工作的
快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、
分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效
例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？
分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”
例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要
甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？
分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所
以甲队实际工作了
例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张
师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？
分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，
例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？
例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？
分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者
的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发15
分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干
还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。
1.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？
2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新
回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？
则完成任务时乙比甲多植50 棵。这批树共有多少棵？
5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750 米处相遇。这段公路长多少米？
6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？
7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8 时，比快车从
40千米。求甲、乙两地的距离。
答案与提示练习 5
天。
天。
时。提示：甲管12 时都开着，乙管开
千米。
一、单独修一条公路，甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。甲、乙两工程队合修 50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？
解：设全部工程量为“ 1”，则甲队的工作效率为：，
乙队的工作效率为：，
余下的工作量为：。
故还需：（天）。
答：余下的工程由乙独做还需25 天完成。
（综合算式为：（天））
二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、 15 小时、 20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？
解法一：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：
（小时）。
解法二：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：
（小）。
三、一件工作，甲 5 小完成了全部工作的，乙 6 小又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，需几小才能完成？
解：甲的工作效率：，
乙的工作效率：，
余下的工作量：，
甲、乙的工作效率和：。
于是，需（小）。
答：需小才能完成任。
（合算式：（小））四、一工程，甲独做 9 小完成，乙独做需 12 小。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙??的序流工作，每天每次工作 1 小。那么，完成工程共需要几小？
解：甲的工作效率，乙的工作效率，甲工作 1 小，乙再工作 1 小，即一个循完成工作量，由知，最多可以有 5 次循，而 5 次循将完成工作量：，剩下的工作量，剩下的工作量甲需（小）即可完成。因此，共需（小）完成工程。
五、一批零件，甲独做 20 小完成，乙独做 30 小完成。如果甲、乙两人同做，那么完成任乙比甲少做
60 个零件。批零件共有多少个？
解：甲的工作效率，乙的工作效率，两人合做所需：（小）。
甲、乙两人的工作效率之差。
从而两人的工作量的差。
的工作量 60 个零件，因此，共有零件（个）。
合算式：（个）
答：批零件共有300 个。
六、一工程，甲独做需 12 天完成，乙独做需 9 天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，甲做了多少天？
一、某工程，甲独做 24 天完成，乙独做 30 天完成。甲、乙两合做 8 天后，余下的工作由丙独做，又做了 6 天才完成。工程由丙独做需几天完成？
解：（天）。
答：余下的工程由丙独做需15 天完成。
二、一工程，甲独做20 天完成，乙独做30 天完成。由两一起做，其甲休息了3天，乙也休息了若干天，，从开始到工程完成共用了16 天。乙休息了多少天？
解：（天）。
三、一件工程，小明 4 小完成了全部工作的，小 5 小又完成了剩下任的，最后余下的部分由小明与小
合做。完成工作共用多少小？
解：（小）。
答：完成工作共用了小。
四、一件工程，甲独做需 24 小，乙独做需 18 小。若甲先做 2 小，然后乙接替甲做 1 小，再由甲接替乙做 2 小，再由乙独做 1 小??两人如此交替工作。完成任共用多少小？
解：甲做 2 小，乙做 1 小一个循。
一个循完成工作量：，
七个循完成工作量：，
余下的工作量由甲完成，需：（小）。
于是，完成任共需：（小）。
答：完成任共用小。
五、有一批待加工的零件，甲独做需 4 天，乙独做需 5 天，如果两人合作，那么完成任，甲比乙多做了
20 个零件。批零件共有多少个？
解：完成任所需的（天），
此，甲比乙多完成工作量，
于是，批零件共有（个）。
答：批零件共有180 个。
六、独完成一件工程，甲需要 24 天，乙需要 32 天。若甲先独做若干天后乙独做，共用 26 天完成工作。甲做了多少天？
七、打印一份稿件，甲单独打需 50 分钟完成，乙单独打需 30 分钟完成。现在甲单独打若干分钟后乙
接着打，共 42 分钟打完。问甲完成了这份稿件的几分之几？
一、单独修一条公路，甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。甲、乙两工程队合修 50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？
解：设全部工程量为“ 1”，则甲队的工作效率为：，
乙队的工作效率为：，
余下的工作量为：。
故还需：（天）。
答：余下的工程由乙独做还需25 天完成。
（综合算式为：（天））
二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、 15 小时、 20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？
解法一：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。
解法二：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：
（小时）。
答：甲实际工作了 3 小时。
三、一件工作，甲 5 小时完成了全部工作的，乙 6 小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？
解：甲的工作效率为：，
乙的工作效率为：，
余下的工作量为：，
甲、乙的工作效率和为：。
于是，还需（小时）。
答：还需小时才能完成任务。
（合算式：（小））
四、一工程，甲独做 9 小完成，乙独做需 12 小。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙??的序流工作，每天每次工作 1 小。那么，完成工程共需要几小？
解：甲的工作效率，乙的工作效率，甲工作1小，乙再工作1小，即一个循完成工作量，
由知，最多可以有 5 次循，而 5 次循将完成工作量：，
剩下的工作量，剩下的工作量甲需
（小）即可完成。因此，共需（小）完成工程。
五、一批零件，甲独做 20 小完成，乙独做 30 小完成。如果甲、乙两人同做，那么完成任乙比甲少做
60 个零件。批零件共有多少个？
解：甲的工作效率，乙的工作效率，两人合做所需：（小）。
甲、乙两人的工作效率之差。从而两人的工作量的差。的工作量60个零件，因此，
共有零件（个）。合算式：（个）答：批零件共有300 个。
六、一工程，甲独做需 12 天完成，乙独做需 9 天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，甲做了多少天？
一、答：甲做了 4 一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠，甲、乙合挖 5 天挖了水渠的1
，乙、丙合3
挖 2 天挖了余下的1
，剩下的又由甲、丙合挖 5 天好挖完，甲、乙、丙三人独挖条水渠4
分需要多少天？
解：甲、乙的工作效率之和15 1 ，
315
乙、丙的工作效率之和1112 1 ，
3412甲、丙的工作效率之和11115 1 。
3410由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和
1112 1 。
1512108
从而甲的工作效率为
1 1 1 ，
8 12
24
乙的工作效率为
1 1 1 ，
8 10 40
丙的工作效率为
1 1 7 。
8 15 120 于是，甲单独完成需 24 天，乙单独完成需 40 天，丙单独完成需 120
17 1
天。
7 7
答：甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需
24 天、40 天、 171
天。
7
二、
将一空池加满水，若同时开启 1、2 、 3 号进水管，则 20 分钟可以完成；若同时开启
2、 3 、
4 号进水管，则 21 分钟可以完成；若同时开启
1 、3 、4 号进水管，则 28 分钟可以完成；若同
时开启 1 、2、4 号进水管，则 30 分钟可以完成。求若同时开启
1、 2、 3、 4 号进水管，则需多
少分钟可以完成？若单开 1 号进水管，则多少分钟可以完成？
解： 1 、2、3 号进水管的工作效率和为 1
，
20
2 、3、 4 号进水管的工作效率和为 1
，
21 1 、3、 4 号进水管的工作效率和为 1
，
28 1 、2、 4 号进水管的工作效率和为 1
。
30
相加后除 3 即得 1 、2、3 、4 号进水管的工作效率和：
1 1 1 1 3
1 。 20 21 28 30
18
从而同时开启 1、 2、 3、 4 号进水管需时
1 1
18 （分）。
18
再结合前面的条件可知， 1 号进水管的工作效率为
1 1 1 18 21
126
1
于是，单开 1 号进水管需时 1
126 （分）。
126
答：同时开启 1、 2、 3、 4 号进水管，需时 18 分钟。单开 1 号进水管需时 126 分钟。
三、单独完成一件工作，甲比规定时间提前 2 天完成，乙则要比规定时间推迟 3 天完成。如果先
让甲、乙两人合做 2 天，再由乙单独完成剩下的工作，那么刚好在规定时间完成。问甲、乙两人
合干需多少天完成？规定时间是几天？
解：由题设知 ,乙比甲多用 2+3=5( 天 ),且甲做 2 天相当于乙做 3 天,即乙所需时间为甲所需时间的
3
倍,
2
从而 ,甲所需时间为 5
3 10 (天)。
1
2
（这是差倍问题），乙所需时间为 10
3
15 （天），
2
于是，甲、乙合做需时
1 1 （天）。
1
6
10
15
规定时间为 10+2=12 （天）（或 15-3=12 （天））。
答：甲、乙合做需 6 天，规定时间为 12 天。
四、
一件工作甲先做 6 小时，乙再接着做 12 小时可以完成；甲先做
8 小时，乙接着做 6 小时也
可以完成。问：如果甲先做 3 小时，那么乙再做几小时就可以完成？甲、乙单独完成分别要多少
小时？
解：比较可知，甲 1 小时的工作量等于乙 3 小时的工作量，由此，
甲单独做需： 6+12 ÷3=10（小时）。
乙单独做需： 12+ 3 ×6=30（小时）。
若甲先做 3 小时，则乙还需做
12+3×（6-3）=21（小时），
或 3 ×（ 10-3）=21（小时）。
答：甲先做 3 小时，乙再做 21 小时完成；甲、乙单独完成分别需
10 小时、 30 小时。
五、
甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成。
若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用
1
天；若按丙、甲、乙的顺序每人一
2
天轮流去做，则比原计划多用
1
天。已知甲单独做完这件工作要 13 天，问：甲、乙、丙三人一
3
起做这件工作要用多少天完成？
解：由题设甲的工作效率为
1
，而对于甲、乙、丙次序的安排，结束工作的只可能为甲或乙。分两
13
种情况讨论：
（ 1）结束工作的是甲。此时，第一种安排的收尾是甲做
1 天，第二种安排的收尾为乙做 1 天，丙做
1
天，第三种安排的收尾为丙做 1 天，甲做
1
天。但这三种收尾的工作量相等。所以，比较可知，
2
3
丙的工作效率为甲的 2 ，乙的工作效率也为甲的 2
。从而，原计划的工作时间为
3
3
1
1
1 1 1
2 1 2
3 163
，
13 13 13 3 13 3
7
不是整数，与题设矛盾，即这种情况不可能。
（ 2）结束工作的是乙。此时，第一种安排的收尾为甲做
1 天，乙做 1 天；第二种安排的收尾为乙做 1 天，丙做 1 天，甲做 1 天；第三种安排的收尾为丙做
1 天，甲做 1 天，乙做 1
天。但这三种收尾
2
3
工作量都相等，所以，比较可知，丙的工作效率为甲的
1
，乙的工作效率为甲的 3
。从而，原计划的
2
4
工作时间为
1 1 3 1 1 3 1 1
2 1
13 4 13 13 4 13 3 17 （天）
13
2
为整天，符合要求。
因此，甲、乙、丙一起完成这件工作需
1
1 1 3 1 1 5 7 （天）。 13 13 4 13 2
9
答：甲、乙、丙合做需 5
7
天。
9
元。已知甲、乙先合做 8 天完成工程的 1
六、
甲、乙、丙三人合作完成一件工程， 共得报酬 1800
，
3
接着乙、丙合做 2 天完成余下的 1
，最后三人合做
5 天完成全部工程。今按劳取酬，问甲、乙、
4
丙三人每人可得报酬多少元？
解：甲、乙的工作效率和为 1 8
1 ，
3 24
乙、丙的工作效率和为
1 1
1 2 1 ，
3
4 12
甲、乙、丙的工作效率和为
1
1 1
1 5
1 ，
3
4
10
于是甲的工作效率为
1 1 1 ，
10 12
60
乙的工作效率为
1 1 1 ，
24 60 40
丙的工作效率为
1
1 7 ，从而，
10 24 120
甲应得报酬
1800
1 8 5 390 （元）， 60
乙应得报酬
1800
1 8
25
675 （元），
40
7
丙应得报酬
1800 2 5
735 （元）， 120
或 =735 （元）
答：甲、乙、丙三人每人可得报酬
390 元、 675 元、 735 元。
天。一项工程，甲、乙两队合做需 12 天完成，乙、丙两队合做需 15 天完成，甲、丙两队合做需 20 天完成。问甲、乙、丙单独完成分别需多少天？三队合作需多少天完成？
解：甲、乙的工作效率和为 1
，
12
乙、丙的工作效率和为 1
， 15
甲、丙的工作效率和为
1
。
20
于是，甲、乙、丙三人的工作效率和为
1 1 1 2
1 ，
12 15 20
10
即甲、乙、丙三人合做需 10 天。
甲、乙、丙的工作效率分别为
1 1 1，1 1 1，1 1 1 10 15
30 10
20
20
10 12
60
于是，甲、乙、丙 独做分 需要 30 天、 20 天、 60 天。
答：甲、乙、丙 独完成分 需要 30 天、 20 天、 60 天，三 合作需 10 天。
一、
某工程由一、二、三三个小 合干需 8 天完成；由二、三、四三个小 合干需
10 天完
成；由一、四两个小 合干需 15 天完成。 二、三 合干需多少天完成？四小 合干需多少天完成？
解：一、二、三小 的工作效率和
1
，二、三、四小 的工作效率和
1
，一、四小 的工
作效率和 1
。
8
10
15
于是，一、二、三、四小 的工作效率和 ：
1 1 1
2 7 。
8 10
15
48
由此，二、三 合干需
240
1212
（天），
19
19
四个 合干需
48
6
6
（天）。
7
7
答：二、三 合干需
12
12
天，四小 合干需 6 6
天。
19 7
二、
一件工程，甲、乙合做
6 天能完成 5
。如果 独做，那么甲完成
1
与乙完成 1
所需的
6
3
2
相等。 甲、乙 独做分 需多少天？若按甲、乙、甲、乙??的 序每人一天 流， 需多少 天完成任 ？
三、
某工程由哥哥 独做 40 天，再由弟弟做 28 天可以完成。 在兄弟两人合做 35 天就
完成了。如果先由哥哥独做
30 天，再由弟弟 独做，那么 要工作多少天才能完成 工程？
解：由比 可知，哥哥（
40-35 ）天的工作量等于弟弟（
35-28 ）天的工作量，即哥哥
5 天的
工作量等于弟弟 7 天的工作量。
于是，弟弟 要工作
35+7 ×[(35-30) 5]=42÷（天）
答：弟弟 要工作
42 天才能完成 工程。
四、 甲、乙、丙三人做一件工作，原 划按甲、乙、丙的 序每人一天 流去做，恰好整数
天做完，并且由乙结束工作。若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用
1
天；若按丙、甲、
1
2
乙的顺序轮流去做，则比原计划多用
天。已知甲单独做完这件工作需要 22 天，那么甲、乙、丙三
3
人合做要用多少天才能完成？
解：只考虑收尾工作，
第一种安排收尾为甲 1天，乙 1 天；
第二种安排收尾为乙
1天，丙 1 天，甲 1
天；
2 第三种安排收尾为丙
1天，甲 1 天、乙 1
天。
3
比较可知，丙的工作效率为甲的
1
，乙的工作效率为甲的 3
，由此可得原计划需
2
4
1 1 3 1 1 3 1
1
（天）
1
1
4 22
22
4
22 3229 22
22 2
符合题意，因此，甲、乙、丙三人合做需：
1
1
1 3 1 1 9 7
（天）
22 22 4 22 2
9
答：甲、乙、丙三人合做要用 9 7
天才能完成。
9
工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时， 16 小时 .丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解： 1/20+1/16＝9/80 表示甲乙的工作效率
9/80×5＝45/80 表示 5 小时后进水量
1-45/80＝ 35/80 表示还要的进水量
35/80÷（ 9/80-1/10）＝ 35 表示还要 35 小时注满
答： 5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低， 甲队的工作效率是原来的五分之四， 乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工效为 1/20*4/5+1/30*9/10 ＝7/100，可知甲乙合作工效 >甲的工效 >乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少” ，所以应该让做的快的甲多做， 16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少” 。设合作时间为 x 天，则甲独做时间为（ 16-x ）天
1/20* （ 16-x ）+7/100*x ＝ 1
x ＝10 答：甲乙最短合作 10 天
3．一件工作，甲、乙合做需 4 小完成，乙、丙合做需 5 小完成。在先甲、丙合做 2 小后，余下的乙需做 6 小完成。乙独做完件工作要多少小？
解：由意知， 1/4 表示甲乙合作 1 小的工作量， 1/5 表示乙丙合作 1 小的工作量
（ 1/4+1/5）× 2＝9/10 表示甲做了 2 小、乙做了 4 小、丙做了 2 小的工作量。
根据“甲、丙合做 2 小后，余下的乙需做 6 小完成”可知甲做 2 小、乙做 6 小、丙做 2
小一共的工作量1。
所以 1－9/10＝1/10 表示乙做 6-4＝2 小的工作量。
1/10÷2＝1/20 表示乙的工作效率。
1÷1/20＝20 小表示乙独完成需要20 小。
答：乙独完成需要20 小。
4．一工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，交替流做，那么恰好用整数天完工；
如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，交替流做，那么完工要比前一种多半天。
已知乙独做工程需 17 天完成，甲独做工程要多少天完成？解：由意可知
1/甲 +1/乙 +1/甲+1/乙+?? +1/甲＝ 1
1/乙 +1/甲 +1/乙+1/甲+?? +1/乙+1/甲×＝ 1
（1/甲表示甲的工作效率、 1/乙表示乙的工作效率，最后束必如上所示，否第二种做法就不比第一种
多天）
1/甲＝ 1/乙+1/甲×（因前面的工作量都相等）得
到 1/甲＝ 1/乙× 2
又因 1/乙＝ 1/17
所以 1/甲＝ 2/17，甲等于 17÷2＝天
5．徒人加工同多的零件。当傅完成了 1/2 ，徒弟完成了 120 个。当傅完成了任，徒弟完成了 4/5 批零件共有多少个？
答案 300 个
120÷（ 4/5÷2）＝ 300 个
可以想：傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可
以推算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5，好是 120 个。
6．一批苗，如果分男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果份女生栽，平均每人栽 10 棵。份男生栽，平均每人栽几棵？
答案是 15 棵
算式： 1÷（ 1/6-1/10）＝ 15 棵
7．一个池上装有 3 根水管。甲管水管，乙管出水管， 20 分可将池水放完，丙管也是出水管，30 分可将池水放完。在先打开甲管，当水池水溢出，打开乙 ,丙两管用了 18 分放完，当打开甲管注水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分将水放完？
答案 45 分。
1÷（ 1/20+1/30）＝ 12 表示乙丙合作将池水放完需要的分数。
1/12*（ 18-12）＝1/12*6 ＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，多放了 6 分的水，也就是甲18 分的水。
1/2÷18＝1/36 表示甲每分水
最后就是 1÷（ 1/20-1/36）＝ 45 分。
8．某工程需要在定日期内完成，若由甲去做，恰好如期完成，若乙去做，要超定日期三天完成，若
先由甲乙合作二天，再由乙独做，恰好如期完成，定日期几天？
答案 6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：
乙做 3 天的工作量＝甲 2 天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2： 3
时间比的差是 1 份
实际时间的差是 3 天
所以 3÷（ 3-2）× 2＝6 天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：[1/x+1/（ x+2）] ×2+1/（ x+2）×（ x-2）＝ 1 解得 x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完一根细蜡烛要 1 小时，一天晚上停电，小
芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细
蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟？
答案为 40 分钟。
解：设停电了x 分钟
根据题意列方程
1-1/120*x ＝（ 1-1/60*x ）*2
解得 x＝40
明明和乐乐在同一所学校学习，一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远。明明说：“我放学回
家要走10 分钟”，乐乐说：“我比明明多用 4 分钟到家”。老师又问：“你俩谁走的速度快一些呢？”乐乐说：“我走得慢一些，明明每分钟比我多走 14 米，不过，我回家的路程要比明明多 1/6 ”。
班主任根据这段对话，很快算出他俩的路程。你会算吗？
解：设乐乐的速度为x，则明明的速度为（ x+14 ）。
6/7*14x=10 （x+14 ）
12x=10x+140
x=70
明明：（ 70+14 ）*10=840 （m）
乐乐： 840*(1+1/6)=980 （m）
有一堆围棋子 ,其中黑子与白子个数的比是4:3 从中取出 91 枚棋子，且黑子与白子的个数比是8：5，
而剩下的棋子中黑子与白子个数的比是3:4。那么这堆围棋共有多少枚？
假定取出的 91 子中黑棋为 1 份，则
其中黑棋数： 91/ （1+5/8 ）=56
其中白棋数： 91-56=35
如果再假定取出的 91 子中白棋也是黑子的 3/4 ，因 3/4 大于 5/8 ，白棋多算（ 56*3/4-35 ）子，多算的
比例为（ 4/3-3/4 ），多算（ 56*3/4-35 ） /（4/3-3/4 ） =12 子，就是拿完 91 子后剩的黑子。
则剩下的白子为 4/3*12=16 子总棋子数 =91+12+16=119 子只
设一个设共有 x 个
91*5/5+8=3591-35=56
3/7x-35=3/4(4/7x-56)x=119
一项工程 ,甲先做 2 天 ,乙在做 3 天 ,完成全工程的四分之一 ,甲再做 3 天完成余下的四分之一 ,最后再由乙
做 ,完成这项工作还要多少天？甲在做 3 天完成余下的四分之一
即 3 天完成总工程的 (1/4)*(3/4)=3/16
甲一天完成 1/16甲先做3天,乙在做2天,完全工程的四分之一
六年级奥数-牛吃草问题-教师讲义
第八讲牛吃草问题 牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 五大基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝草量差÷时间差； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 求天数 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100份或 15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：150-10×5=100份 100÷（25-5）=5天 答：这片牧草可供25头牛吃5天？
奥数 六年级 千份讲义 14 01应用题综合
1. 细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，粗蜡烛可以点12个小时，细蜡烛可以点7个小时，两根蜡烛同时点燃，那么多少小时后细蜡烛的长度是粗蜡烛的13？ 2. 甲乙丙丁四车同时在一条路上行驶：甲车12点追上丙车，14点与丁相遇，16点与乙相遇；乙车17 点与丙相遇，18点追上丁。那么丙和丁几点几分相遇？ 3. 甲、乙两船速度相同，同时出发向上游行驶，乙落后甲30千米。出发时甲船上一物品落入水中，10 分钟后此物距甲船3千米，甲船在共行驶10千米后折向下游追赶此物，追上时恰遇乙船，那么水流的速度为多少？ 4. 一批工人到甲、乙两个仓库进行搬运工作，甲仓库工作量是乙仓库工作量的1.2倍，第一天去甲仓库 的人数是去乙工地仓库的1.5倍，第二天甲仓库3/8的工人转移到乙仓库工作，第三天又将乙仓库现有工人的3/5转回甲仓库工作。三天过后，甲仓库还需9人再搬1天，乙仓库还需27名工人再搬1天，那么这批工人共有多少人？ 5. 工厂接到两个订单，第1个订单需要30个零件A ，x 个零件B ；第2个订单需要x 个零件A ，30个零件B 。甲车间生产零件B 的效率是生产零件A 效率的2倍；乙车间无论生产哪种零件效率都比甲高13。已知甲生产第1个订单会比乙生产第1个订单多用100分钟，甲生产第2个订单会比乙生产第2个订 单多用110分钟。求x 等于多少？ 6. 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡底为A ，坡顶为B ）．两人同时从A 点出发， 在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒6米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第2007次相遇的地点离A 点多少米？
小学奥数系统总复习
小学奥数系统总复习Revised on November 25, 2020
《小学奥数系统总复习》试题精选——四年级 试题 1.难度：★★★★ 将1～9这九个数字分别填入下面算式的九个□中，使每个算式都成立。 【分析】①审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从1～9这九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复. ②选择解题的突破口.由①的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键. ③确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有2×3＝6和2×4＝8.如果第三式填2×3＝6.则剩下的数是1，4，5，7，8，9，共两个偶数， 四个奇数.由整数的运算性质知，两个样填：（答案不是惟一的，这里只填出一个）.如果第三式填2×4＝8，则剩下的数是1，3，5，6，7，9.其中只有一个偶数和五个奇数，由整数的运算性质知，无论怎样组合都不能填出前两个算式. 解：本题的一个答案是：
2.难度：★★★★ 数出下图中总共有多少个角. 【分析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠ C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠ C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个）. 解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 试题 1.难度：★★★★ 由数字0、1、2、3共可组成多少个三位数可组成多少个没有重复数字的三位数【解答】由乘法原理 ①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数； ②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数． 2.难度：★★★★
小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx
百度文库- 让每个人平等地提升自我 六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方 面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量 =工作效率×工作时间， 工作时间 =工作量÷工作效率， 工作效率 =工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、 分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效 例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”
例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要 甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所 以甲队实际工作了 例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张 师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者 的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发15
(整理)奥数 六年级 千份讲义 7 01分数、小数四则运算、繁分数和百分数
? 参考书目：导引六年级第1讲；课本上没有相应的专题。 ? 本讲重点内容总结： 一、繁分数的定义和运算的方法。 二、放缩法：利用放大和缩小的方法进行数值结果的估算。 三、分数计算中裂项的技巧。 四、与多位数相关的计算问题。 五、百分数相关基本概念及应用方法.成本、利润、价格等基本经济术语以及它们之间的关系。 ? 例题以及练习 1. 20062005(0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11++0.999)(0.2+0.4+0.6+0.8+0.10+0.12++0.9998)-个个=________ 2. 6911631742313713121(2)3217173433 3271121-?--?+-=________ 3. 174.571123620.251412813 3.750.31251+31553??+? ?÷?+ ? ?-÷-+ ???=________ 4. 112131 41 56+ - +-=________ 5. 把繁分数 1111 1 11 11+ ++（共有10条分数线）化成最简分数为_______； 6. 在方框中填入大于0的自然数，使得200611200911=+ ++，那么方框中的四个数之和为多少？
7. 1111123456 20052006A =++++????，11111003100410052006B =++++，那么A 与B 的差为多少？ 8. 计算111111111335192124111111111111123234345192021 ++++++++????????=_________。 9. 定义：1 111111*********n n a n =????????+?+?+??+ ? ? ? ????????? 求12342006a a a a a ++++ +=_________。 10. 1 11112001200220032010++++的整数部分为多少？小数点后的第1位是多少？ 11. 已知：11661267136814691570100011651266136714681569 a ?+?+?+?+?= ??+?+?+?+?，那么a 的整数部分是多少？ 12. 求200720072007200720062006111000111000111111?????????????+???????个个个个个个的各位数字之和是多少？ 13. 14. 1）一件商品进价360，售价450，则商品的利润率为 。 2）一件商品涨价25%后售价为250元，现在要按照原价销售，应打 折。 3）一件皮衣进价1200元，标价1620，结果没人要。于是打折卖，但要求利润率不得低于12%，那么最低可以达到 折。 15. 16. 同样一批商品，小型超市的进货价比大型超市贵出12%，大型超市按照16%的利润率来定价，小型超
小学奥数系统总复习
奥数教学简介 一、课程特色： 1、教材与现行小学奥数教程同步； 2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。 二、教学理念： 通才教育和趣味教育。 三、教学目标： 以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下坚实的基础。 如何学好奥数？ 1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。 2、倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。 3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。 4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。 5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。 6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。
六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义
牛吃草问题讲义 牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。 典例评析 例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？ 例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。 从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它， 【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份， 原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15天 例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天? 【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量 【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20 +4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。 总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。 知识衍变
小学六年级奥数辅导讲义(无答案)
第一章 数与代数 例1、计算12×3 + 13×4 + 14×5 + 1 5×6 例2、计算?8.0+? ?31.0 例3、计算121 + 3032121 + 50505 212121 + 例4、2016的所有因数是多少个 例5、一个大于100的自然数，它减去12或者加上11都是完全平方数，求这个数是多少。 * 例6、将数字1到9做成9张卡牌，从中任意取出3张卡牌，用它们组成六个没有重复数字的三位数，求这六个三位数之和是所取出的三个数之和的多少倍。 例7、幼儿园小朋友分糖果，若给每个小朋友5块糖果，则剩下7块，若给每个小朋友6块糖果，则还缺4块，请计算有多少块糖果。 例8、2016个83相乘，其末尾数是多少 例9、若a 、b 、c 均为非0的自然数，a 16 + b 4 + c 2 的近似值是，那么它的准确值是多少 例10、有一种算法叫阶乘，用“！”表示，规定如下： % 0！=1, 1！=1, 2！=2×1=2， 3！=3×2×1=6， 5！=5×4×3×2×1=120 求4！等于多少。请写一个算式，算式中的数字只有4个0，运算符号可以包括加减乘除、括号和阶乘，使该算式的结果等于24。 第二章 ]
第三章推理 例1、右图表格中每个方格填入一个图形，使得表格中每行、每列及对角线上的四个方格中的图形都是且不重复。 △□☆○ ☆| ? 例2、黑盒中放有180个白色棋子和181个黑色棋子，白盒中放有181个白色棋子，每次任意从黑盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，就从白盒中拿出一个白子放入黑盒；如果两个棋子不同色，就把黑子放回黑盒．那么最多可以拿多少次，黑盒中最后剩下的棋子是什么颜色的 例3、一个正方体木块，每个面上分别标着数字1～6。2对着的数字是（），3对着的数字是（）。 例4、从1到100的自然数中，至少取多少个不同的数，其中必有两个数的 和为102说明理由。（抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则 至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体） 例5、一个岛上有两种人，一种只说真话，一种只说假话。第一天，2015 个人随机围成一圈，他们每人都说：“我左右的两个人都是骗子。”第二 天，活动继续，但有一人因病未到，剩余2014个人再次随机坐成一圈，每 个人都说：“我左右的两个人都是与我不同类型的人。”问题：那个生病 的人说真话还是假话说假话的一共有多少人 例6、A,B,C,D,E五个数，A比B大，C比D大却比E小，D比B 大，E比A小，这五个数从大到小排列是： 例7、有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有11个车站。如果有一辆车从起点站出发，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有1位乘客从这一站坐到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少需要有多少个座位
学而思 小学六年级奥数教师讲义版 工程问题精编版
六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效 例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15
六年级数学奥数讲义练习第17讲浓度问题(全国通用版,含答案)
六年级数学奥数讲义练习第17讲浓度问题（全国通用版,含 答案） 一、知识要点 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题,即浓度问题。我们知道,将糖溶于水就得到了糖水,其中糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液。如果水的量不变,那么糖加得越多,糖水就越甜,也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地,酒精溶于水中,纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值,通常用百分数表示,即, 浓度＝溶质质量/溶液质量×100％＝溶质质量/（溶质质量＋溶剂质量）×100% 解答浓度问题,首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时,根据题意列方程解答比较容易,在列方程时,要注意寻找题目中数量问题的相等关系。 浓度问题变化多,有些题目难度较大,计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析,也可以分步解答。 二、精讲精练 【例题1】有含糖量为7％的糖水600克,要使其含糖量加大到10％,需要再加入多少克糖？ 【思路导航】根据题意,在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖的质量增加了,糖水的质量也增加了,但水的质量并没有改变。因此,可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量,再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量,用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的质量：620－600＝20（克） 答：需要加入20克糖。 练习1： 1、现在有浓度为20％的糖水300克,要把它变成浓度为40％的糖水,需要加糖多少克？ 2、有含盐15％的盐水20千克,要使盐水的浓度为20％,需加盐多少千克？ 3、有甲、乙两个瓶子,甲瓶里装了200毫升清水,乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶,第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶,此时甲瓶里含纯酒精多,还是乙瓶里含水多？ 【答案】1.需要加糖100克。 2.需加盐1.25千克。 3.甲瓶里含的纯酒精和乙瓶里含的水一样多。 【例题2】一种35％的新农药,如稀释到1.75％时,治虫最有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水,才能配成1.75％的农药800千克？ 【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中,溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。 800千克1.75％的农药含纯农药的质量为800×1.75％＝14（千克） 含14千克纯农药的35％的农药质量为14÷35％＝40（千克） 由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800－40＝760（千克）答：用40千克的浓度为35％的农药中添加760千克水,才能配成浓度为
推荐10本小学奥数参考书
推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材，大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社：吉林出版集团 主编：毛文凤，单墫等 华数奥赛教材.png 简介：一本有着较长历史的书，可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国著名的数学竞赛教练，同时编书很严谨。书正如其标题所示，是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事，其知识点覆盖面很全，同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题，可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点：同时解决知识框架和华赛备考 缺点：书中欠缺知识点总结 适合学员：五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度： 2、《小学奥数举一反三》 出版社：陕西人民教育出版社 主编：蒋顺，李济元 小学奥数举一反三.png 简介：也是分年级的一本书，难度相对来说较为简单，无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛，可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版，A版是教材，有知识点讲解和例题；B版是同步练习册，用于课后巩固。 优点：入门必备，编排板式不错，有单独练习册 缺点：难度、深度均不足 适合学员：1-3年级推荐使用此书进行初步学习，4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度： 3、《明心数学资优教程》 出版社：湖北教育出版社 主编：刘嘉 明星数学资优教程.png 简介：这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材，内容非常详细，每个知识点的介绍都有很多的背景介绍，不仅传授方法和知识，也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错，对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点：对于单个知识点挖掘得很深，同时有很多背景知识介绍，丰富孩子的见闻 缺点：可能这套丛书只是部分完成，很多重要专题没有涉及，另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员：对数学有较强兴趣，同时有一定数学竞赛基础的同学，此书只有4—6年级 难度：
六年级奥数讲义第29讲抽屉原理
抽屉原理 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 例题1： 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 练习1： 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，
为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 例题2： 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？ 例题3： 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？
六年级奥数讲义下
六年级奥数讲义下：巧求面积习题
直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC、BC为边向形外分别作正方形ACDE 与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T.问：图中阴影部分(△ANE、△NPD与梯形BTFG)的总面积等于多少? 从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是______平方厘米。 下图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA 的中点，计算图中红色八边形的面积。
求面积答案： 至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示. 【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MO F的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN 面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.
如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。 如图，已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C，正方形CEFG绕点C旋转60°，连接BE、DG，则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是_____. 1、有10张扑克牌，点数分别为1，2，3，…，9，10。从中任意取出若干张牌，为了使其中必有几张牌的点数之和等于15，问最少要取多少张牌? 2、在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，其中AE＝3AF，并且延长BF与AC相交于D，如下图所示。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少？
六年级奥数举一反三第25讲 最大最小问题含答案
第25讲 最大最小问题 一、知识要点 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 二、精讲精练 【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求 a －b a+b 的最大值。 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99 a － b a+b 的最大值是99－199+1 =49 50 答：a －b a+b 的最大值是4950 。 练习1： 1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y 的最大值。 2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b 的最小值。 3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y 的最大值；②求x+y x －y 的最小值。
【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数2 7 等于乙数的 2 3 。这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=2 3 ： 2 7 =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量 最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。 练习2： 1.有甲、乙两个两位数，甲数的 3 10 等于乙数的 4 5 。这两个两位数的差最多是多少？ 2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的5 6 恰好等于乙数的 1 4 。这两个两位数的和最小是多少？ 3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？ 【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？ 在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。 答：这样的数对共有79个。 练习3 1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
六年级奥数讲义
第一讲立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面 分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面， 那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3 就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重 合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张 展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长 方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面， 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面 爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
小学奥数之倍数问题
八、倍数问题 “和倍”与“差倍”问题的应用题，一般都在条件中告诉我们：两个数量的和（或差）与这两个数量的倍数关系，要我们求这两个数量分别是几。解答这类应用题时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和(或差)相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数，解题公式是： 1、和倍问题 和÷（倍数＋1）=1倍数 1倍数×几倍=几倍数 或 和－1倍数=几倍数 2、差倍问题 差÷（倍数—1）=1倍数 1倍数×几倍=几倍数 或 1倍数+差=几倍数 在解答这类题目时，线段图是一个很好的帮手。我们要根据题意，画出线段图进行分析，这样能很快地理清解题思路，找到解题的方法。 【例1】弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。哥哥给弟弟多少本后，弟 弟的课外书是哥哥的 2 【点拨】.画线段图如下： 哥哥： 弟弟： 在观察上图的基础上，可先思考以下几个问题： （1） 哥哥在给弟弟课外书前后，题目里不变的数量是什么？ （2） 要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （3） 如果把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时（哥哥给弟弟课外 书后）弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的几倍？ 在思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩课外书的总数始终是不变的数量。 【解答】 （20＋25）÷（2＋1）=15（本） 25—15=10（本） 答：哥哥给弟弟10本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍。 【操身演练】 1、甲、乙两数之和是180，已知甲数是乙数的2倍，甲、乙两数各是多少？
《小学奥数》小学六年级奥数讲义之精讲精练第37讲 对策问题含答案
第37讲对策问题 一、知识要点 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。 生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 二、精讲精练 【例题1】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。 先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。 设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。 所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。 练习1： 1、一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以拿1至3根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？
2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？ 3、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么？ 【例题2】有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？ 从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。 练习2： 1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？
六年级奥数第17讲-最大最小问题(教)
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第17讲-最大最小问题 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 教学目标①学会在题目中判断出限制条件； ②学会分数知识的综合运用； ③从题目限制条件中分析最大最小问题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 知识梳理 典例分析
考点一：简单最大最小问题 例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？ 【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。 （2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72 例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？ 【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。 根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知： 最重的一堆是14＋0.5=14.5千克， 即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。 例3、一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 【解析】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。 根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。 例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？
小学奥数系统讲义完整版
小学奥数知识点分类 小学奥数大约 80 个知识点，可分成 5 大类，数论和行程是重点也是难点。 求和公式二：12+22+32+……n 2 = 求和公式三：13+23+33+……n 3 = 6． 速算巧算基本方法 凑整法、改变运算次序法、连 续数求和、基准法、分组法、拆分法 7． 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】， 【构造法】等较难的计算方法。 拆分裂项公式： 等差数列公式： 第一部分 计算能力 万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根 基，必须高度重视！ 基本公式 1． 运算顺序 第一级：括号：（ ）→[ ] → { } 第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序 第三级：＋－： 同一级别可以交换运算次序 2． 去括号
① a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c ② a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c ③a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c ④a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3．分配律/结合律 乘法: a×(b＋c) = a×b ＋a×c a×b＋a×c = a×(b＋ c) 除法：(a＋b) ÷c= a÷c ＋b÷ c a÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c 4．两个必须掌握的性质两个数 的和一定，则两数越相近，积 越大两个数的积一定，则两数 越分散，和越大 5．几个计算公式 完全平方和（差）公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2 平方差公式：a2-b2 = (a+b)(a-b) 求和公式一:1+2+3+……+n = 简单等比公式： 例题分析 1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+402 2. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009×2009，B=2008×2010 3. 结果末尾有多少个零 4. 100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1