ch5留数
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ch5设备管理
把对一个数据块的读(或写)为单位的干预，减少为对一组数据 块的读(或写)及有关的控制和管理为单位的干预。同时，又可 实现CPU、通道和I/O设备三者的并行操作，从而更有效地提高 整个系统的资源利用率。
14
CPU在执行主程序时遇到I/O请求，它启动指定
通道上选址的外围设备，一旦启动成功，通道开始控 制外围设备进行操作。CPU就可执行其他任务并与通 道并行工作，直到I/O操作完成。通道发出操作结束 中断时，CPU才停止当前工作，转向处理I/O操作结 束事件。
物理特性各异的外围设备能以标准的接口连接到系统中，计算 机系统引入了自成独立体系的通道结构。
通道是专门用于负责输入输出操作的一种特殊的处理机。它独
立于CPU控制着I/O设备与内存直接进行数据传输，具有执行 I/O指令的能力，并通过执行通道(I/O)程序来控制I/O操作。
通道方式是DMA方式的发展，它可进一步减少CPU的干预，即
的控制方式分类，可分为四种I/O方式: (1)轮询方式(PollingI/O，程序控制方式/直接控制方式，Programmed I/O) (2)中断方式(Interrupt-driven I/O) (3)DMA方式( Direct memory access，DMA) (4)通道方式(Channel I/O)
几个设备同时要求I/O，可对每个设备都编写I/O数据 缺点：
处理程序，轮流查询这些设备的状态位，当某个设备 CPU轮询设备状态时，会暂停原程序的执行； 准备好允许I/O数据时，就调用这个设备的I/O处理程 I/O准备就绪后，需要CPU参与数据传输，CPU和设 序进行数据传输，否则依次轮询下个设备是否准备好。 备只能串行工作。
(Character Device)和块设备(Block Device)。
14
CPU在执行主程序时遇到I/O请求，它启动指定
通道上选址的外围设备，一旦启动成功，通道开始控 制外围设备进行操作。CPU就可执行其他任务并与通 道并行工作，直到I/O操作完成。通道发出操作结束 中断时，CPU才停止当前工作，转向处理I/O操作结 束事件。
物理特性各异的外围设备能以标准的接口连接到系统中，计算 机系统引入了自成独立体系的通道结构。
通道是专门用于负责输入输出操作的一种特殊的处理机。它独
立于CPU控制着I/O设备与内存直接进行数据传输，具有执行 I/O指令的能力，并通过执行通道(I/O)程序来控制I/O操作。
通道方式是DMA方式的发展，它可进一步减少CPU的干预，即
的控制方式分类，可分为四种I/O方式: (1)轮询方式(PollingI/O，程序控制方式/直接控制方式，Programmed I/O) (2)中断方式(Interrupt-driven I/O) (3)DMA方式( Direct memory access，DMA) (4)通道方式(Channel I/O)
几个设备同时要求I/O，可对每个设备都编写I/O数据 缺点：
处理程序，轮流查询这些设备的状态位，当某个设备 CPU轮询设备状态时，会暂停原程序的执行； 准备好允许I/O数据时，就调用这个设备的I/O处理程 I/O准备就绪后，需要CPU参与数据传输，CPU和设 序进行数据传输，否则依次轮询下个设备是否准备好。 备只能串行工作。
(Character Device)和块设备(Block Device)。
CH5存储器
1字节=8 bit；1KB=210字节=1024字节；1MB=210KB=1024KB； 1GB=210MB=1024MB；1TB=210GB=1024GB。
2. 最大存取时间： ——访问一次存储器（对指定单元写入或读出）所需要的时间，
这个时间的上限值即最大存取时间，一般为十几ns到几百ns。 从CPU给出有效的存储器地址到存储器输出有效数据所需要的时间
地址总线余下的高位地址线经译码后，做各存储芯片的片选。
通常IO/M信号也参与片选译码。
低位地址线A12~A0直接接在存储芯片上，寻址片内 8K单元； 次高位地址线A15~A13译码后产生片选信号区分 4个存储芯片；
最高位地址线A19~A16及IO/M用作片选信号有效的使能控制。
实际应用中，存储器芯片的片选信号可根据需要选择上述某 种方法或几种方法并用。
这样，32K的地址范围在4个芯片中的分配为：
8K×8芯片 0＃ 1＃ 2＃ 3＃
A14 A13
0 0 1 1 0 1 0 1
A12～A0
0…00至1…11 0…00至1…11 0…00至1…11 0…00至1…11
地址范围
0000H—1FFFH 2000H—3FFFH 4000H—5FFFH 6000H—7FFFH
注意：
软件上必须保证这些片选线每次寻址时只能有一位有效，决不允 许多于一位同时有效。
第5章 半导体存贮器
例：用4片6264构成32K×8的存贮区。
1. 全译码法 ——高位地址线A19~A13全部参加译码，产生6264的片选信号。
整个32K×8存储器的地址范围： 00000H— 07FFFH 次高位地址线 A 15~A13译码后产生 仅占用 容量的 8088 1M 32K地址范围。 片选信号区分4个存储芯片； 地址唯一实现 地址唯一实现 最高位地址线A19~A地址连续 全译码的优点 16及IO/M用作 地址连续 全译码的优点 片选信号有效的使能控制。 便于扩充 便于扩充
2. 最大存取时间： ——访问一次存储器（对指定单元写入或读出）所需要的时间，
这个时间的上限值即最大存取时间，一般为十几ns到几百ns。 从CPU给出有效的存储器地址到存储器输出有效数据所需要的时间
地址总线余下的高位地址线经译码后，做各存储芯片的片选。
通常IO/M信号也参与片选译码。
低位地址线A12~A0直接接在存储芯片上，寻址片内 8K单元； 次高位地址线A15~A13译码后产生片选信号区分 4个存储芯片；
最高位地址线A19~A16及IO/M用作片选信号有效的使能控制。
实际应用中，存储器芯片的片选信号可根据需要选择上述某 种方法或几种方法并用。
这样，32K的地址范围在4个芯片中的分配为：
8K×8芯片 0＃ 1＃ 2＃ 3＃
A14 A13
0 0 1 1 0 1 0 1
A12～A0
0…00至1…11 0…00至1…11 0…00至1…11 0…00至1…11
地址范围
0000H—1FFFH 2000H—3FFFH 4000H—5FFFH 6000H—7FFFH
注意：
软件上必须保证这些片选线每次寻址时只能有一位有效，决不允 许多于一位同时有效。
第5章 半导体存贮器
例：用4片6264构成32K×8的存贮区。
1. 全译码法 ——高位地址线A19~A13全部参加译码，产生6264的片选信号。
整个32K×8存储器的地址范围： 00000H— 07FFFH 次高位地址线 A 15~A13译码后产生 仅占用 容量的 8088 1M 32K地址范围。 片选信号区分4个存储芯片； 地址唯一实现 地址唯一实现 最高位地址线A19~A地址连续 全译码的优点 16及IO/M用作 地址连续 全译码的优点 片选信号有效的使能控制。 便于扩充 便于扩充
信号与线性系统(管致中)
1 5rad / s
T1 2 5
sin t 的角频率和周期分别为 1 rad / s T1 2 2
T1和T2 的不存在最小公倍数，因此原信号不是周期信号
连续正弦信号一定是周期信号； 两个连续周期信号之和不一定是周期信号 。
例1：判断下列信号是否为周期序列，若是，求其周期。 （1） f (k ) cosk 解：
两个周期序列之和一定是周期序列 。
2 8 N1 3 4 3
f (k ) sin k cos
k
2
信号的分类
能量信号与功率信号
假设信号f(t)在实际应用中是一个电路网络输出的电流或 者电压，将它施加在一个电阻值为1欧的负载电阻上，则在一 定时间间隔（t1,t2）里，负载电阻中消耗的信号能量为：
传输和处理连续时间信号系统的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定的意义连续时间系统传输和处理离散时间信号系统的激励和响应都是不连续的离散序列离散时间系统在实际工程中离散时间系统常常与连续时间系统联合运用同时包含有这两者的系统称为混合系统
信号与线性系统
主讲： 俞菲 建雄院 211室 无线谷 5209室
正弦序列不一定是周期序列
例1：判断下列信号是否为周期序列，若是，求其周期。
解： 序列由两个周期序列组成 sin 3k 4 的角频率和周期分别为
3k k （2） f (k ) sin cos 4 2
1 3 4 rad / s
cosk 2的角频率和周期分别为 2 1 2 rad / s N1 4 2 N1和N 2的最小公倍数为8，因此其周期为8。
信号的分类
连续信号与离散信号
离散信号（discrete signal）可以在均匀的时间间隔上给 出函数值，也可以在不均匀的时间间隔上给出函数值，本课 程一般考虑均匀间隔的情况。 离散信号的描述：
05 木材数量检验
(2) 检尺径=8 cm
Ｖ＝0.4902*L*1/100
CH5 木材数量检量 原木材积计算
§2 材积计算
圆台体
Ｖ＝(π/４)· L[Ｄ＋0.5Ｌ＋0.05Ｌ2＋0.000125（14－Ｌ）2（D-10）］ 2/10000
木材材积表
CH5 木材数量检量 原木材积计算
§2 材积计算
CH5 木材数量检量 原木材积计算
CH5 木材数量检验
尺寸检量
材积计算
进口木材
CH5 木材数量检验
1.1 原木
材 长
§1 尺寸检量
原木大小头两断面之间相距最短处取直检量
量至厘米 不足1厘米，舍去
CH5 木材数量检验
§1 尺寸检量
CH5 木材数量检验
1.1 原木
长级进位 最小长度 2.0m
2.2m 2.8m 2.4m 3.0m 3.1m
CH5 木材数量检量
（2）材积计算 板英尺法 和 立方英尺法。
§3 进口木材
板英尺法：单位 板英尺BF=1ft*1ft*1ft(长*宽*厚)
V = A*L/12
V = (D2-3D)*L/20 （斯克莱布诺材积估算公式） 立方英尺法：单位 立方英尺
§1 尺寸检量
进级单位 0.2 ｍ
2.6m 3.2m
2.5m
……
检 尺 长
CH5 木材数量检验
1.1 原木
允许公差 3.1m 3.0m +6 -2 310cm 3.2m cm
§1 尺寸检量
3.0m
检尺长
特级原木：针叶树4-6m；阔叶树2-6m，按0.2m进级。 锯切用原木：针叶树2-8m；阔叶树2-6m，按0.2m进级。
图5
Ch5-复变函数
Ch5-复变函数186-192第五章复变函数复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推⼴，明⽩了这⼀点对于学习复变函数有很⼤的帮助。
但是复变函数有很⼤的帮助。
但是复变函数⼜有它⾃⾝的特点，某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推⼴，但是⼜有明显不同于实变函数的特点。
本章讲述的是MA TLAB在复变函数中的运⽤。
正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以⼤多数处理复变函数的MA TLAB命令和处理实变函数的命令是同⼀个命令。
5-1 复数5-1-1 复数的表⽰1.复数的表⽰我们知道在数学中复数z有实部和虚部组成，表⽰为：z=x+iy，x和y为实数，i为虚数单位。
在MATLAB中也是采⽤这种表⽰⽅式来表⽰复数，只不过除了⽤i表⽰复数单位外，还常常使⽤j表⽰复数单位。
所以我们以后在定义变量时最好不要使⽤i和j，以免让MATLAB系统发⽣混淆，出现错误。
我们可以使⽤直接输⼊的⽅法定义⼀个复数，例如：>> z=2+3iz =2.0000 +3.0000i也可以使⽤命令函数complex()来定义⼀个复数、复数数组和复数矩阵。
范例5-1使⽤命令函数complex()来定义⼀个复数、复数数组和复数矩阵。
程序设计：>> clear>> z1=complex(2,3)z1 =2.0000 +3.0000i>> a=(1:4);b=(5:8);>> z2=complex(a,b)z2 =1.0000 + 5.0000i2.0000 + 6.0000i3.0000 + 7.0000i4.0000 + 8.0000i>> A=[1,2,3;4,5,6];B=[7,8,9'0,1,2];>> A=[1,2,3;4,5,6];B=[7,8,9;0,1,2];>> z3=complex(A,B)z3 =1.0000 + 7.0000i2.0000 + 8.0000i3.0000 + 9.0000i4.00005.0000 + 1.0000i6.0000 + 2.0000i2．有关复数的⼏个命令real(X): 显⽰复数X的实部，这⾥X还可以使复数数组和fushu矩阵。
工程数学ch5留数
Ch5留数 Ch5留数
§1 孤立奇点
1. 孤立奇点 2. 零点与奇点的关系 3. 无穷远点
工程数学---------复变函数 工程数学
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1. 孤立奇点
定义： 定义： 如果函数 f (z)在z0点不解析，而在z0的某个去心
邻 0 < z − z0 < δ内 析 那 z0称 f (z)的 立 点 域 解 ， 么 为 孤 奇 .
f (z) =
∞ ∞ n=−∞ n=1
cn (z − z0 )n = ∑c−n (z − z0 )−n +∑cn (z − z0 )n. ∑
n=0
∞
孤 立 奇 点
可去奇点： 可去奇点： 洛朗级数中不含(z − z0 )的负幂项 . 极 点： 洛朗级数中只有有限多个(z − z0 )的负幂项 . 本性奇点： 本性奇点： 洛朗级数中含有无穷多个(z − z0 )的负幂项 .
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例1.
指 下 函 在 点 = 0的 . 出 列 数 零 z 级 2 z2 z (e −1)
2 z2
令 f (z) = z (e −1)， 则 f ′(z) = 2z + 2(z + z)e ，
3 z2
f (0) = 0,
f ′(0) = 0,
f ′′(z) = (4z +10z + 2)e − 2 ，
工程数学---------复变函数 工程数学
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思考： 思考：
若 z0 分别是f (z), g(z)的m, n级极点，则 级极点，
z0 为 f(z)/g(z)的 么 ？ 什 点
如：函数
z − sin z f (z) = z6
§1 孤立奇点
1. 孤立奇点 2. 零点与奇点的关系 3. 无穷远点
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1. 孤立奇点
定义： 定义： 如果函数 f (z)在z0点不解析，而在z0的某个去心
邻 0 < z − z0 < δ内 析 那 z0称 f (z)的 立 点 域 解 ， 么 为 孤 奇 .
f (z) =
∞ ∞ n=−∞ n=1
cn (z − z0 )n = ∑c−n (z − z0 )−n +∑cn (z − z0 )n. ∑
n=0
∞
孤 立 奇 点
可去奇点： 可去奇点： 洛朗级数中不含(z − z0 )的负幂项 . 极 点： 洛朗级数中只有有限多个(z − z0 )的负幂项 . 本性奇点： 本性奇点： 洛朗级数中含有无穷多个(z − z0 )的负幂项 .
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例1.
指 下 函 在 点 = 0的 . 出 列 数 零 z 级 2 z2 z (e −1)
2 z2
令 f (z) = z (e −1)， 则 f ′(z) = 2z + 2(z + z)e ，
3 z2
f (0) = 0,
f ′(0) = 0,
f ′′(z) = (4z +10z + 2)e − 2 ，
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思考： 思考：
若 z0 分别是f (z), g(z)的m, n级极点，则 级极点，
z0 为 f(z)/g(z)的 么 ？ 什 点
如：函数
z − sin z f (z) = z6
复变函数-留数定理
dz 例 计算积分 ， 其中，C 为 8 2 C ( z i ) ( z 1) ( z 3) 正向圆周： z 2.
1 解 记 f (z) ， 则 8 2 ( z i ) ( z 1) ( z 3) 除 点外，被积函数的有限奇点为： i， 1， 3， 由留数总和定理得 Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ] 0 由于奇点 i， 1在圆周C 得内部，由留数定理 及上式得
三、留数定理
定 理 设 函 数 f ( z ) 在 区 域D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 zk ( k 1,2, , n) 外 处 处 解 析 , C 为 D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线 ,则
C
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
4、若z0为f ( z )的m级极点，则
1 d m 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] Re s[ f ( z ), z0 ] ( m 1)! z z0 dz
5、若z0为f ( z )的本性奇点，
将f ( z)在0 z z0 内展开成洛朗级数，求a1;
dz C ( z i )8 ( z 1)2 ( z 3) 2 i{Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1]}
2 i{Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ]}
而
1 1 Re s[ f ( z ), 3] lim( z 3) f ( z ) lim 8 2 z 3 z 3 ( z i ) ( z 1) 4(3 i )8
数学物理方法姚端正CH 作业解答
3
∑ ∑ cos
1 = ∞ (−1)k (
1 )2k z
=
∞
(−1)k z−k
z k =0 (2k )!
k =0 (2k )!
所以 resf (0) = − 1 ， resf (∞) = 1
2
2
z −1
的系数为：
C −1
=
−
1 2
2.计算下列围道积分
∫ （2）
zdz
l (z −1)(z − 2)2
iπ
z1 = e 4
f
(z)
= 1+ 1+
z2 z4
的奇点为： z
i (2k +1)π
=e 4
，分别为: z2
z3
i 3π
=e 4
i 5π
=e 4
z4
=
i 7π
e4
其中，上半平面有两个奇点，分别为
z1
=
iπ
e4
和
i 3π
z2 = e 4
，它们都是函数 f (z)
的单极点，由公式 resf (b) = φ(b) ，得函数在这两个奇点的留数分别为： ψ '(b)
a2
是奇函数;
f (z) =
z z2 + a2
,
满
足条件： ①在实轴上无奇点；②在上半平面除有限个奇点外单值解析；③当
z → ∞ 时， f (z) → 0
∫ 所以
∞
0 x2
x +
a2
sin
bxdx
=
π
函数
zeibz z2 + a2
在上半平面的奇点的留数之和
函数
zeibz z2 + a2
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1 2 ( z 1)( z 2) 1 1 1 ( z 2) ( z 2) 2 (0 z 2 1) ( z 2) 2 z 2
故 z 1为f ( z)的一级极点， z 2为f ( z)的二级极点. 故
工程数学---------复变函数
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解：1)
z ( z 1)(1 z 2 ) 2
7
z7 1 1 7 f ( z) z 2 2 3 ( z 1)(1 z ) ( z 1) ( z 1)2
z 1 是三级极点；z 1是二级极点；
1 1 令 z , 得 (t ) f ( z ) t t 2 (1 t )3 (1 t ) 2
1 z2 3! 5!
0 z
z 0 是可去奇点；
z 是本性奇点.
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§2 留数
1. 留数定义 2. 留数定理 3. 留数计算 4. 无穷远点的留数
1. 留数定义
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2). 极点 定义： 如果洛朗级数中只有有限多个( z z0 )的负幂项，
且其中关于( z z0 ) 的最高幂为( z z0 ) ,即
1
m
f ( z ) cm ( z z0 )
m
c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
Ch5留数
§1 孤立奇点
1. 孤立奇点 2. 零点与奇点的关系 3. 无穷远点
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1. 孤立奇点
定义： 如果函数 f ( z )在z0点不解析，而在z0的某个去心
邻域0 z z0 内解析，那么z0称为f ( z)的孤立奇点.
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2) z (e 1)
2 z2
令 f ( z ) z (e 1)， 则
2 z2
f (0) 0,
z2
f ( z) 2 z 2( z z )e ，
3
f (0) 0, f (0) 0, f (0) 0,
t 0 是 (t ) 的二级极点，
故 z 是 f ( z ) 的二级极点.
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z 1 2) 2 2 z ( z 1)
6
z4 z2 1 f ( z) z ( z i)( z i)
z 0, z i, z i 都是一级极点；
z 0是一级极点；
z i 是二级极点；
zk (2k 1)i (k 0,1,)是一级极点；
1 z (k ) (k 0,1,)是二级极点. 2
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定理： f ( z )的孤立奇点z0为极点的充要条件是
z2
f ( z) (4 z 10 z 2)e 2，
4 2 z2
f ( z ) (8z 36 z 24 z)e ，
5 3 z2
f
( 4)
f (4) (0) 24 0, ( z) (16 z 112 z 156 z 24)e ，
6 4 2
故 z 0是函数的4级零点.
1) 6 sin z z ( z 6)
3 3 6
2) z (e 1)
2 z2
解：1) 6 sin z 3 z 3 ( z 6 6)
1 9 1 15 6( z z z ) z 9 6z 3 z15 ( z ) 3! 5!
3
1 1 6 其中 ( z ) 6( z ) 在 z 内解析， 5! 7! 6 且 (0) 0， 故 z 0是函数的 级零点. 15 5!
z i 是本性奇点； z 0 是本性奇点；
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2. 函数的零点与极点的关系
定义 若 f ( z ) ( z z0 ) m ( z ), m Z , ( z )在z0解析，
且 ( z0 ) 0, 则称z0为f ( z )的m级零点.
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1 如果 (t )在0 t 内的洛朗级数为 R
(t ) cnt n c0 cnt n
n 1 n 1
那么 f ( z )在R z 内，
f ( z ) c n z n c0 cn z n
1 f ( z) g ( z) m ( z z0 )
(m 1, cm 0)
其中 g ( z )在z0的邻域内解析，且 g ( z0 ) 0.
1 (3) g ( z ) 以z0为m级零点. f ( z)
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例如
z 1 z ( z 2 1) 2 1 ez 1 ez sin 2 z tan 2 z cos 2 z
z
lim f ( z ) ;
z
lim f ( z )不存在.
z
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例2. 指出下列函数在扩充复平面上的奇点， 并说明类型.
z 1) ( z 1)(1 z 2 ) 2
7
z6 1 2) z ( z 2 1)
1 1 3) 2 3 z z
sin z z 4) 3 z
定理 如果f ( z )在z0点解析，那么z0为f ( z )的m级零点
的充要条件是
i) f ( n ) ( z0 ) 0, (n 0,1,, m 1) ii ) f
( m)
( z0 ) 0
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例1. 指出下列函数在零点z 0的级.
n 1 n 1
cn z n c0 cn z n
n 1 n 1
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定理 如果f ( z)在R z 洛朗级数中，
i) 不含z的正幂项;
ii ) 只有有限多个z的正幂项，且 z (m 0)为最高正幂;
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定理 设 是 f ( z )的孤立奇点，那么
(1) 为可去奇点 (2) 为极点 (3) 为本性奇点
注： 的性态分析法
(1) 洛朗级数法 (2) 极限法
工程数学---------复变函数
lim f ( z ) c( )
如 z 0, 是函数 e 的孤立奇点.
1 z
z 0, 是函数
1 1 sin z
的非孤立奇点.
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分类
如果z0 是f ( z )的孤立奇点，那么f ( z )可在z0的某邻域
0 z z0 内展开为洛朗级数 :
f ( z)
当 z 时，
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1 z (1 6 ) 2 z f ( z) z (1 2 ) 2 1 z 5 z (1 2 4 ) z z z 是一级极点.
6
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sin z z 4) 3 z sin z z f ( z) 3 z 1 z3 z5 3 [( z ) z ] z 3! 5!
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1). 可去奇点
定义： 如果洛朗级数中不含( z z0 )的负幂项， 即
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) 2
那么孤立奇点z0称为f ( z )的可去奇点.
sin z sin z z2 z4 的可去奇点. 例如： 1 , z 0为 z z 3! 5!
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定理： 如果z0为f ( z )的孤立奇点，那么下列三条件等价.
(1) 洛朗级数中不含( z z0 )的负幂项;
(2) lim f ( z ) c( ); 有限数
z z0
(3)
f ( z )在z0的某去心邻域内有界.
1 cos z 又因为 的孤立奇点， 例如：z 0为 2 z 1 cos z 1 lim , 2 z 0 z 2 1 cos z 故 z 0为 的可去奇点. 2 z 工程数学---------复变函数
2
1
c0 c1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) 2 (m 1, cm 0)
那么孤立奇点z0称为f ( z )的m级极点.
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例如：
1 ( z 1)( z 2) 2
1 ( z 1) 2( z 1) 2 3( z 1)3 (0 z 1 1) z 1
lim f ( z )
c
有限数 无限数
即 lim f ( z )不存在.
z z0
A, {zn } : zn z0 , 使 lim f ( zn ) A 任意数 n
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故 z 1为f ( z)的一级极点， z 2为f ( z)的二级极点. 故
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解：1)
z ( z 1)(1 z 2 ) 2
7
z7 1 1 7 f ( z) z 2 2 3 ( z 1)(1 z ) ( z 1) ( z 1)2
z 1 是三级极点；z 1是二级极点；
1 1 令 z , 得 (t ) f ( z ) t t 2 (1 t )3 (1 t ) 2
1 z2 3! 5!
0 z
z 0 是可去奇点；
z 是本性奇点.
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§2 留数
1. 留数定义 2. 留数定理 3. 留数计算 4. 无穷远点的留数
1. 留数定义
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2). 极点 定义： 如果洛朗级数中只有有限多个( z z0 )的负幂项，
且其中关于( z z0 ) 的最高幂为( z z0 ) ,即
1
m
f ( z ) cm ( z z0 )
m
c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
Ch5留数
§1 孤立奇点
1. 孤立奇点 2. 零点与奇点的关系 3. 无穷远点
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1. 孤立奇点
定义： 如果函数 f ( z )在z0点不解析，而在z0的某个去心
邻域0 z z0 内解析，那么z0称为f ( z)的孤立奇点.
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2) z (e 1)
2 z2
令 f ( z ) z (e 1)， 则
2 z2
f (0) 0,
z2
f ( z) 2 z 2( z z )e ，
3
f (0) 0, f (0) 0, f (0) 0,
t 0 是 (t ) 的二级极点，
故 z 是 f ( z ) 的二级极点.
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z 1 2) 2 2 z ( z 1)
6
z4 z2 1 f ( z) z ( z i)( z i)
z 0, z i, z i 都是一级极点；
z 0是一级极点；
z i 是二级极点；
zk (2k 1)i (k 0,1,)是一级极点；
1 z (k ) (k 0,1,)是二级极点. 2
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定理： f ( z )的孤立奇点z0为极点的充要条件是
z2
f ( z) (4 z 10 z 2)e 2，
4 2 z2
f ( z ) (8z 36 z 24 z)e ，
5 3 z2
f
( 4)
f (4) (0) 24 0, ( z) (16 z 112 z 156 z 24)e ，
6 4 2
故 z 0是函数的4级零点.
1) 6 sin z z ( z 6)
3 3 6
2) z (e 1)
2 z2
解：1) 6 sin z 3 z 3 ( z 6 6)
1 9 1 15 6( z z z ) z 9 6z 3 z15 ( z ) 3! 5!
3
1 1 6 其中 ( z ) 6( z ) 在 z 内解析， 5! 7! 6 且 (0) 0， 故 z 0是函数的 级零点. 15 5!
z i 是本性奇点； z 0 是本性奇点；
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2. 函数的零点与极点的关系
定义 若 f ( z ) ( z z0 ) m ( z ), m Z , ( z )在z0解析，
且 ( z0 ) 0, 则称z0为f ( z )的m级零点.
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1 如果 (t )在0 t 内的洛朗级数为 R
(t ) cnt n c0 cnt n
n 1 n 1
那么 f ( z )在R z 内，
f ( z ) c n z n c0 cn z n
1 f ( z) g ( z) m ( z z0 )
(m 1, cm 0)
其中 g ( z )在z0的邻域内解析，且 g ( z0 ) 0.
1 (3) g ( z ) 以z0为m级零点. f ( z)
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例如
z 1 z ( z 2 1) 2 1 ez 1 ez sin 2 z tan 2 z cos 2 z
z
lim f ( z ) ;
z
lim f ( z )不存在.
z
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例2. 指出下列函数在扩充复平面上的奇点， 并说明类型.
z 1) ( z 1)(1 z 2 ) 2
7
z6 1 2) z ( z 2 1)
1 1 3) 2 3 z z
sin z z 4) 3 z
定理 如果f ( z )在z0点解析，那么z0为f ( z )的m级零点
的充要条件是
i) f ( n ) ( z0 ) 0, (n 0,1,, m 1) ii ) f
( m)
( z0 ) 0
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例1. 指出下列函数在零点z 0的级.
n 1 n 1
cn z n c0 cn z n
n 1 n 1
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定理 如果f ( z)在R z 洛朗级数中，
i) 不含z的正幂项;
ii ) 只有有限多个z的正幂项，且 z (m 0)为最高正幂;
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定理 设 是 f ( z )的孤立奇点，那么
(1) 为可去奇点 (2) 为极点 (3) 为本性奇点
注： 的性态分析法
(1) 洛朗级数法 (2) 极限法
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如 z 0, 是函数 e 的孤立奇点.
1 z
z 0, 是函数
1 1 sin z
的非孤立奇点.
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如果z0 是f ( z )的孤立奇点，那么f ( z )可在z0的某邻域
0 z z0 内展开为洛朗级数 :
f ( z)
当 z 时，
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1 z (1 6 ) 2 z f ( z) z (1 2 ) 2 1 z 5 z (1 2 4 ) z z z 是一级极点.
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sin z z 4) 3 z sin z z f ( z) 3 z 1 z3 z5 3 [( z ) z ] z 3! 5!
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1). 可去奇点
定义： 如果洛朗级数中不含( z z0 )的负幂项， 即
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) 2
那么孤立奇点z0称为f ( z )的可去奇点.
sin z sin z z2 z4 的可去奇点. 例如： 1 , z 0为 z z 3! 5!
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定理： 如果z0为f ( z )的孤立奇点，那么下列三条件等价.
(1) 洛朗级数中不含( z z0 )的负幂项;
(2) lim f ( z ) c( ); 有限数
z z0
(3)
f ( z )在z0的某去心邻域内有界.
1 cos z 又因为 的孤立奇点， 例如：z 0为 2 z 1 cos z 1 lim , 2 z 0 z 2 1 cos z 故 z 0为 的可去奇点. 2 z 工程数学---------复变函数
2
1
c0 c1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) 2 (m 1, cm 0)
那么孤立奇点z0称为f ( z )的m级极点.
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例如：
1 ( z 1)( z 2) 2
1 ( z 1) 2( z 1) 2 3( z 1)3 (0 z 1 1) z 1
lim f ( z )
c
有限数 无限数
即 lim f ( z )不存在.
z z0
A, {zn } : zn z0 , 使 lim f ( zn ) A 任意数 n
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