北师大版八年级下册数学第一节等腰三角形
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级数学下第一章1.1等腰三角形第一课时教学设计
1.分组讨论等腰三角形的性质及应用
我会将学生分成若干小组，让他们讨论等腰三角形的性质在实际问题中的应用。例如，如何利用等腰三角形的性质求解底边长度、底角大小等。
2.分组探讨等腰三角形的判定定理
各小组学生还需探讨等腰三角形的判定定理，并尝试运用定理解决实际问题。在此过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
-对于作业中的共性问题，将在课堂上进行集中讲解，确保学生理解到位。
-表现优秀的作业将在课堂上展示，以激发学生的学习积极性。
2.学会使用等腰三角形的判定定理，判断一个三角形是否为等腰三角形。
-学生能够理解并掌握“两边相等的三角形是等腰三角形”这一判定定理，并能够运用到实际问题的解决中。
3.掌握等腰三角形的周长和面积计算方法，能够解决相关问题。
-学生能够根据等腰三角形的性质，运用周长和面积公式进行计算，解决实际应用问题。
（二）过程与方法
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-教学过程中，教师鼓励学生进行小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力。
3.培养学生勇于探索、积极思考的精神，树立正确的价值观。
-教师引导学生面对问题，勇于尝试，不怕困难，培养积极思考、解决问题的精神。
-学生在学习过程中，认识到数学知识在解决实际问题中的价值，树立正确的价值观。
3.提高学生的应用意识，将等腰三角形的知识与实际生活相结合。
-重难点：将理论知识应用于解决生活中的问题。
-设想：设计真实的情境问题，如建筑物的平面设计、艺术作品的对称性分析等，让学生在解决问题的过程中体验数学的价值。
（二）教学设想
1.采用探究式学习法，激发学生的求知欲和主动性。
-设想：通过引入富有挑战性的问题，如“如何确定等腰三角形的高线和中线？”激发学生的好奇心，引导学生通过实验、观察、推理等手段自主探索答案。
北师大版数学八年级下册1.1 等腰三角形
AD=AD (公共边)，
B
∴ △BAD≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
DC
探究新知
结论 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可简述为：“等边对等角”.
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外， 你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？
探究新知
可以作一条辅助线，运用全等三 角形的性质“对应角相等”来证.
思考：如何构造两个全等的三角形？
探究新知
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
证明： 作底边的中线AD，则BD=CD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
（2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由此你得到什么结论?
A
结论 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
E
D
B
C
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两腰上的中线相等．
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的
思考2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
探究新知 证明定理：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C.
思考：如何证明两个角相等呢？
A
B
C
探究新知 在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
1.1 等腰三角形第2课时(课件)八年级数学下册(北师大版)
D
B
E
C
五、当堂达标检测
5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
B
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
C
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °-∠DBA) ÷2 = (180°-30°)÷2=75°.
两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.
你能证明你
的猜想吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：等腰三角形的重要线段的性质
猜想证明
1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等．
A
已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是
△ABC的角平分线．
D
E
求证:BD=CE.
B
1 2
C
二、自主合作，探究新知
D
C
二、自主合作，探究新知
(4)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?
A
为什么？
E
解：（4）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= AC，AE= AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
6.已知:如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，
N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证:DM=DN.
证明: ∵AM=2MB,∴AM= AB.
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第2课时)优秀教学案例
3.鼓励学生提出自己的问题，培养学生的提问能力和批判性思维。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，每组成员共同讨论和探索等腰三角形的性质。
2.设计具有合作性的任务，如共同完成一个等腰三角形的拼图游戏，或者一起解决一个实际问题。
4.教师通过观察学生的学习行为和表现，了解学生的学习状况，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些生活中常见的等腰三角形形状的物体，如金字塔、梯子等，引发学生对等腰三角形的关注。
2.提出与等腰三角形相关的问题，如“你们观察过这些物体的形状吗？它们有什么特点？”等，激发学生的思考和探索兴趣。
2.问题导向的教学策略：通过设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动思考和探索，培养了学生的逻辑思维能力和问题解决能力。同时，教师还鼓励学生提出自己的问题，培养了学生的提问能力和批判性思维。
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够共同探索等腰三角形的性质，培养团队合作意识和沟通能力。同时，小组合作也能够激发学生的学习积极性和主动性，提高学习效果。
4.教师在课后与学生进行交流，了解学生在作业过程中遇到的问题，给予针对性的指导和建议。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入金字塔、梯子等实际生活中的等腰三角形形状的物体，激发了学生的学习兴趣，使学生能够更好地理解和应用所学的数学知识。这种生活情境的创设，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够让学生认识到数学与生活实际的联系，提高学生运用数学解决问题的能力。
本节课的教学目标是让学生掌握等腰三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。同时，通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探索、发现和总结等腰三角形的性质，从而提高他们的数学素养和解决问题的能力。
北师大版八年级下等腰三角形的性质课件
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角
等腰三角形的“三线合一”性质
知识点
想一想 在图1 -3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由 此你能得到什么结论?
归纳
推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
中考链接，小试牛刀
1 【中考】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的 中点，∠BAD＝38°，则∠C的度数为( A) A．52° B．53° C．55° D．56°
E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则
△ABE的面积为( D )
A. 12 7
C. 48 7
B. 24 7
D. 50 7
等腰三角形的边、角性质
பைடு நூலகம்
1．等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
知识总结
（1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角 形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线， BE＝CF，则下列说法正确的有( D ) ①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD； ③BD＝CD；④AD⊥BC. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1.1第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质-北师大版八年级下册数学教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的定义、判定方法以及等腰三角形的性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.培养学生的空间想象力：通过观察和分析等腰三角形的性质，使学生能够在脑海中构建和想象几何图形，发展空间想象力。
3.培养学生的数据分析能力：引导学生运用全等三角形和等腰三角形的性质解决实际问题，让学生学会收集、整理和分析数据，提高解决实际问题的能力。
4.培养学生的数学抽象能力：使学生能够从具体的几何图形中抽象出全等三角形和等腰三角形的性质，形成数学概念，并运用这些概念进行推理和解决问题。
在教学中，教师应通过以下方法帮助学生突破难点：
-使用直观的教具和动画演示全等三角形的判定过程，增强学生的直观感受。
-设计具有层次性的练习题，从简单到复杂，逐步提升学生的应用能力。
-结合实际情境，让学生通过小组合作和讨论，探索几何知识在生活中的应用。
-提供详细的解题步骤和思路，让学生在模仿中学习，逐步培养独立解决问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的基本概念。全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，它们的对应边和对应角都相等。全等三角形的判定在几何学中非常重要，它帮助我们解决实际问题，如土地测量、建筑设计等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用SSS、SAS、ASA、AAS判定法来判断两个三角形是否全等，以及这些性质在实际中的应用。
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
知识清单全练>科学设计 对应梳理
知识点一 全等三角形的性质及判定
1.全等三角形的对应边 、对应角 .
2.判定两三角形全等的方法有： 、SAS 、 、 . 知识点二 等腰三角形的性质和判定圆
3.等腰三角形的两个底角 ，简称 .
4.等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合.
5.等腰三角形两腰上的中线 ，两底角的平分线 ，两腰上的高 .
6.等腰三角形的判定：有 的三角形是等腰三角形，简称为 . 知识点三 等边三角形的性质和判定
7.等边三角形的三个角都 ，并且每个角都等于 . 8.有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形. 9.三个角都 的三角形是等边三角形. 10.三条边都 的三角形是等边三角形. 知识点四 有一个锐角是30°的直角三角形的性质 11.在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的 等于 的一半.
基础闯关全练>水滴石穿 全面过关 知识点一 全等三角形的性质及判定 1.如图.则
的度数为
( )
2.如图1 -1 -2，下列条件中，不能证明
的是 ( )
3.如图1-1-3所示，︒=∠=∠90F E ,,C B ∠=∠ AE =AF,结论：①EM=FN; ②CD=DN; ③;EAM FAN ∠=∠④△ACN ≌△ABM. 其中正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图1-1-4，在则 .
5.如图1-1-5，AD是△ABC的中线，分别过点C、B作中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F求证：BF=CE.
6.如图1-1-6，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米／秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C 向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，
请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇，在△ABC的哪条边上相遇？
知识点二等腰三角形的性质和判定
7.一个等腰三角形两个内角的和为，则它的顶角度数为 ( )
8.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为 ( )
9.如图1-1-7所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
10.如图1-1-8，BD是△ABC的角平分线，∠则图中的等腰三角形有个 .
11.已知，如图1-1-9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是
矩形，点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在
BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标
为 .
12.如图1-1- 10所示，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上的一点，且AE∥BC，证
明：AE平分∠DAC.
知识点三等边三角形的性质和判定圆
13.下面给出几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的有( )
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
14.如图1-1-11所示.已知△ABC为等边三角形且AD⊥BC于D，以AD为一边作一个△ADE，且DE ⊥AC，∠CAE=30°.求证：△ADE为等边三角形.
15.如图1-1-12，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
知识点四有一个钝角是30°的直角三角形的性质
16.如图1-1-13，在△ABC中，于
则DB等于 ( )
知识点五反证法
17.求证：等腰三角形的底角必为锐角.
三年模拟全练>努力攀登综合提升
一、选择题
1.（2013陕西西安十七中期中，1，★☆☆）等腰三角形的顶角为则它的底角是( )
二、填空题
2.（2013山东青岛胶南月考，2，★★☆）某市在“旧城改造”中计划在一块如图1-1-14所示的
三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮一共需要 元.
三、解答题
3.（2013重庆南开中学期中.9，★★☆）已知：如图1-1-15，点D 为△ABC 的边BC 上一点，且AB=AD ，点E 为△ABC 外一点，连接AE ，DE ，使得∠ADE=∠B ，∠CAE=∠BAD ，求证：BC ＝DE.（6分）
4.（2012辽宁沈阳七模，23，★★☆）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.（12分）
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论：当点E 为AB 的中点时，如图1-1-17①，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“>”“<”或“=”）.
(2)特例启发，解答题目：
解：题目中，AE 与DB 的大小关系为AE DB （填“>”“<”或“=”）.理由：如图1-1 -17②，过点E 作EF∥BC，交AC 于点F.（请你完成解答过程） (3)拓展结论，设计新题：
△ABC 为等边三角形，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC.若△ABC 的边长为1，AE =2，
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED =EC ，如图1-1 -16，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.
求CD的长（请你直接写出结果）.
五年中考全练>实战演习勇夺第一
一、选择题
1.（2013四川成都，4，★☆☆）如图1-1-18，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，
则AC的长为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.（2013四川广安，7，★☆☆）等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为 ( )
A.25
B.25或32
C.32
D.19
3.（2012山东淄博，5.★★☆）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是 ( )
A.两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
B.两个角是β，它们的夹边为4
C.三条边长分别是4，5，5
D.两条边长是5，一个角是β
4.（2012广东深圳，12，★★☆）如图1-1-19，已知：点在射线ON上，点在射线均为等边三角形，若则的边长为 ( )
A.6
B.12
C.32
D.64
二、填空题
5.（2012吉林，14，★★☆）如图1-1-20，在等边△ABC中，D是边AC上一点，
连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED.若BC=10，BD=9，
则△AED的周长是 .
6.（2012贵州贵阳.15，★★☆）如图1-1-21，在△AB，中，
，在上取一点延长AA
到使得
1
上取一点D，延长到，使得按此做法进行下去，∠的度数为 .
三、解答题
7.（2012广东河源，15，★★☆）如图1-1-22，已知∠
和BD相交于点D，E是AD的中点，连接OE.（6分）
(1)求证:
(2)求AEO的度数.
探究创新全练>思维开放天天向上
1.如图1-1-23所示，△ABC是正三角形，△BDC是∠BDC =120°的等腰三角形，以点D为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.
2.（2013山东东营中考）(1)如图1-1-24 (1)，已知：在△ABC中，.直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：
1-1-24(2)，将(1)中的条件改为：在中，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中仅为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
(3)拓展与应用：如图1-1-24(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC的平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.。