正难则反的智慧——浅谈逆向思维在解题中的体现
高中数学解题中逆向思维的运用分析
高中数学解题中逆向思维的运用分析在高中数学中，有许多解题方法都是基于正向思维的。
即从问题的条件开始，逐步推导出结论和解决方法。
这种方法在大多数情况下依然有效，但有时候，问题的条件是不确定的，难以准确地推导出结论或者解决方法。
这时可以采用逆向思维的方法来解决问题，即从已知的结论或者结果，反向推导出问题的条件和解决方法。
逆向思维在数学解题中的运用可以提高解题的效率和精度。
下面分几个方面分析逆向思维在高中数学解题中的运用。
一、逆向解法在解不等式中的应用在解不等式中，我们常常需要根据不等式的条件来确定其解集，这通常需要进行繁琐的计算。
例如：解2x+3>5x-2，需要将两边的x分别移项，化简得x<5/3。
但是，有时候，根据结论和已知条件，我们可以直接确定不等式的解，而无需进行繁琐的计算。
例如：已知a<b，求a+1<b的解。
我们可以使用逆向思维，设a+1=b，得到a=b-1，由于a<b，所以b-1<b，解得b>1，因此a+1<b的解为a<b-1。
在概率问题中，我们常常需要根据已知事件的概率来确定一系列相对应的事件的概率，这常常需要进行繁琐的计算。
例如：已知一扑克牌中共有52张牌，其中红心、黑桃、方块、梅花各13张，请问从中随机抽出一张牌，得到梅花或者红心的概率是多少？我们需要计算梅花和红心各自的概率，再求和得到答案。
但是，有时候，根据结论和已知条件，我们可以直接确定一系列相对应的事件的概率，而无需进行繁琐的计算。
例如：已知从1~100中随机选择两个数a和b，其中a+b=133，则a和b的和是奇数的概率是多少？我们可以使用逆向思维，因为a和b的和是奇数，则它们的差是偶数，即a-b是偶数。
而我们可以从1~100中选出50对相互对应的数，使得它们的差分别为1，3，5，7……99，因此a-b是偶数的概率为50/100=0.5，因此a和b的和是奇数的概率也是0.5。
正 难 则 反, 由 逆 促 正(浅析在数学教学中逆向思维能力的培养)
正难则反，由逆促正——浅析在数学教学中逆向思维能力的培养【内容摘要】在学习过程中学生一般习惯于顺向思维，逆向思维能力显得很薄弱。
学习一个新概念，新方法，解决一个新问题的过程中不自觉抑制和掩盖了另一个过程，致使顺向思维的惯性一定程度上影响了逆向思维的建立，进而直接影响着学生分析问题、解决问题能力的提高。
作为思维的一种形式，逆向思维蕴育着创造思维的萌芽，是人们学习和生活中必备的一种思维，在数学教学中充分认识逆向思维的作用，能完学生的知识结构，开阔思路，还能激发学生创造精神，提高学生的学习能力。
【关键词】逆向思维逆向叙述多向分析思维训练逆向思维是与正向思维相对而言的。
所谓逆向思维，是指和一般的正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想一想”，它要求思维的活动时，从两个相反的方向去观察与思考，从相向的视角来看待和认识客观事物。
心理学研究证明：“数学能力不同的学生，是以一种顺向思维系列转向另一种逆向思维能力的不同程度为特征的。
”我们常用司马光砸缸的故事来教育学生学习司马光的机智和聪明。
司马光就是把一般思维中的“人离开水”变换成“水离开人”，这就是一种逆向思维的思考。
现行的小学数学课本中，存在着大量的顺逆素材，即顺逆运算如加与减、乘与除等，顺逆性质如加减法的运算性质、乘除法的运算性质等，顺逆关系如正、反比例关系，小数和百分数互化关系等，甚至空间关系也是成对的，如上和下、左和右、前和后等等。
可以说，许多数学知识，也正是通过这种可逆转换来发展和深化的。
而现实教学中，学生不习惯于逆向思维，思维缺乏灵活性，从而导致学生学习成绩不好，影响教学质量。
因此，加强逆向思维训练对学好数学，培养创造思维，激发兴趣都有重要作用。
那么该如何培养学生的逆向思维能力呢？通过对现有教材的研究，我们挖掘了一些素材，愿能起到抛砖引玉的作用！一、要重视数学概念教学中培养学生的逆向叙述能力数学概念中的数学命题都包含有前提和结论两个部分，一般的叙述都是正向的，还有一些定理、公式、法则的运用，一般也是正向的居多，学生若是不经过逆向训练，对这些知识的掌握是不全面的，他们一旦碰到逆向叙述的数学命题，就会难以适应，也就不能很好地融汇贯通，以致造成思维呆滞。
逆向思维在数学解题中的运用探析
逆向思维在数学解题中的运用探析逆向思维是一种相对于直观而言的思维模式。
它是指通过从与问题相反的方向出发来解决问题，通过逆向的思考方式来达到预期的目标。
在数学解题中，逆向思维可以帮助我们找到更加简单、直接的解决方案，从而提高数学解题的效率和准确性。
本文将探讨逆向思维在数学解题中的运用，并分析其实质和具体操作方法。
逆向思维在数学解题中的应用可以体现在以下几个方面：逆向思维可以帮助我们理清解题思路。
在解决数学问题时，往往会出现思路不清晰的情况，导致难以找到解题的思路和方法。
而通过逆向思维，可以从问题的反面出发，从解答的要求出发，找到解决问题的方向。
举个例子，对于一个复杂的方程题目，我们可以从最终要求的解答出发，逆向思考如何得到这个解答，从而找到解题的思路。
逆向思维可以帮助我们发现问题的关键。
有时候，一个数学问题看似复杂，实际上只需要从另一个角度去考虑，就可以找到解决问题的关键。
逆向思维可以帮助我们在解题过程中，从另一个角度去审视问题，找到问题的本质和关键点，并从而更加直接地解决问题。
逆向思维可以帮助我们简化复杂的问题。
在数学中，有些问题看似很复杂，需要运用大量的定理和公式才能解决，但是通过逆向思维，可以简化问题，找到更加直接的解决方法。
通过逆向思维，我们可以尝试把复杂的问题分解成一系列简单的步骤，从而更加容易地解决问题。
逆向思维可以帮助我们检验解答的正确性。
有时候，我们在解答数学问题时，会得到一个看似正确的答案，但是这个答案未必是正确的。
通过逆向思维，我们可以反向验证我们的解答是否正确，从而提高数学解答的准确性。
逆向思维在数学解题中有着重要的应用价值。
通过逆向思维，我们可以更加清晰地理解和解决数学问题，发现问题的关键，简化复杂的问题，并且提高解答的准确性。
在日常的数学学习和解题中，我们应该不断地培养逆向思维，以提高数学解题的效率和准确性。
明确问题的要求。
在解决数学问题时，我们首先要明确问题的要求，即从问题中找到需要解决的难点和重点。
浅谈逆向思维在解题中的应用
注： 逆用了 １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ … …＋ ｎ ＝
， ｃ ｌ ＋ ｃ 一 ｌ ＋ … …＋ ｃ ２ ｎ
三、 运 用互 为 逆否 的命 题 的等 价 关 系
．
．
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｃ
有时将某命题转换成与它等价的命题， 即逆否命题 ， 以降低解
答 的难 度 ．
为奇数 ， 叶ｂ ＋ ｃ为奇数或 ａ ， ｂ 、 Ｃ同为奇数 或 ａ ， ｂ同为偶数且 ｃ
・
、
逆 用 定 义
本来数学定义总是可逆的 ，但学生在解题 中往往 习惯于正向 使用 ， 而对定义的逆用缺乏 自觉性和敏感性。 例 １ ．已知点 Ａ （ ２ ， ０ ） ， Ｂ（ ２ ， ｏ ） 和动点 Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ， Ａ Ａ Ｂ Ｐ的周长为 １ ０ ， 求点 Ｐ的轨迹方程 。 解析： 本题可直接用两点的距离公式 ， 求动点 Ｐ的轨迹方程。 但 运算量 大， 考虑到 Ａ Ｂ ＋Ｐ Ａ ＋Ｐ Ｂ＝ １ ０， 即Ｐ Ａ ＋Ｐ Ｂ＝ ６ ＞ ４， Ａ Ｂ＝４ ．逆
【 关键词 】逆向思维 应用 浅谈 【 中图分类号 】Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码 】Ａ
一
【 文章编号 】１ ６ ７ ４ — ４ ７ ７ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ６ ２ — ０ １
则 命题 Ｐ的否定 “ ｔ 【 ｌ ， ｘ ／ ） － ］ ， Ｉ ｌ ２ Ｈ ＋ ２ ｌ ＜ 恒 成立 ”
又２ ｉ ｅ Ｉ ＋ ｃ Ｉ ｔ ＋ ｃ ｌ ＋ ……＋ ｃ ＝ １ ＋ ｎ 一 １ ＋ ｃ １ ＋ ・ …・ ‘ ＞ｎ
２— ｆ ＝ ２ １ ×２ ２ ×２ … … ×２ ． － １ ＞１ ×２×３ … … ×ｎ ＝ ｎ ！
逆向思维在数学解题中的运用探析
逆向思维在数学解题中的运用探析逆向思维是指通过从结果反推产生的思维方式。
在数学解题中，运用逆向思维可以帮助学生更好地理解问题，提高解题能力。
下面就是一些逆向思维在数学解题中的运用探析。
1.题目转换：逆向思维常常从反面看问题。
有时候，我们需要把题目用逆向思维重构，然后找到新问题的解答，最后根据结果反推题目的答案。
例如：15个学生中有9个人喜欢打篮球，那么不喜欢打篮球的人数有多少个？由于题目给出的是喜欢打篮球的人数，所以我们可以用 15-9=6 来得到不喜欢打篮球的人数。
2.数轴思维：逆向思维在数轴上表现为反向移动。
数轴思维常常用于解决数值差异问题。
例如：不太圆的圆轮的直径约为 1.4 米，那么它的半径应该是多少呢？我们可以通过数轴思维将 1.4 变换为 1.4÷2=0.7，即直径为 0.7 米，然后根据圆周率计算出半径为 0.35 米。
3.正反思维：逆向思维可以让我们正反思维并行，从而从及其不同的角度解决问题。
例如：如果将一个蛋糕平均分成 10 个部分，那么每个部分应该有多少层？我们可以正向思考，即将蛋糕的总层数除以 10。
由于一层蛋糕上下两部分的样式相同，所以最终答案为(1+2+3+...+10 ) ÷ 10=5.5。
但我们也可以从逆向思维来解决问题：如果每个部分都有 5 层，那么整个蛋糕就有 50 层，刚好平均分成 10 份。
4.组成法：逆向思维常常从组成物品出发，确定整体，再用逆向思维解决问题。
例如：某班级发布了一张照片，由于露出了一部分，所以学生数未知。
但是我们知道：这张照片上有 8 个女生和三个男生。
从这些信息出发，我们可以假设这个班级有 n 个学生，由于这个班级是满班，所以 3+n=11，而8+n就是女生的数量。
通过求解方程组(3+n)+（8+n）=n，则可得出这个班级总人数为16人。
综上所述，逆向思维在数学解题中，不仅有利于加深学生对数学概念的理解，还可以帮助学生灵活处理问题，提高解题能力。
逆向思维在解题中的运用
逆向思维在解题中的运用逆向思维是一种与常规思维相反的思维方式，它鼓励我们跳出常规思维模式，从不同的角度出发，寻找解决问题的新方法。
逆向思维在解题中的运用可以帮助我们打破框架，发现隐藏的问题，提供创新的解决方案。
下面我将结合具体问题，详细介绍逆向思维在解题中的运用。
首先，逆向思维可以用来分析问题并发现隐藏的问题。
许多问题在表面上看起来很简单，但实际上可能隐藏着困扰我们的核心问题。
通过逆向思维，我们可以反向思考，从问题的最终目标出发，逐步追溯到问题的根本原因。
例如，假设我们遇到一个销售额下滑的问题，常规思维可能会建议推出更多促销活动来吸引顾客。
然而，通过逆向思维，我们可以反向推理，问自己为什么顾客不再购买我们的产品。
也许是产品质量下降了，或者竞争对手提供了更好的替代品。
通过逆向思维，我们可以找到真正影响销售额的核心问题，并采取相应措施来解决它。
其次，逆向思维可以帮助我们突破传统思维模式，寻找创新的解决方案。
当我们面对一个看似无解的问题时，常规思维可能会让我们束手无策。
然而，通过逆向思维，我们可以转变角度，从不同的视角出发，可能会发现新的解决方案。
例如，假设我们面临着一个资源有限的情况，无法满足所有需求。
常规思维可能会让我们在现有资源上进行权衡和取舍。
但通过逆向思维，我们可以考虑倒过来的问题：如果我们有无限的资源，我们会怎么解决这个问题？这样一来，我们可能会找到一些创新的解决方案，例如与其他组织或个人合作，共享资源。
此外，逆向思维还可以帮助我们预见问题，并采取相应的预防措施。
通过逆向思维，我们可以反向考虑，从问题的结果出发，逐步分析可能产生问题的原因，并采取相应的预防措施。
例如，如果我们想要避免一个产品质量问题，我们可以逆向考虑：如果产品质量出现问题，可能的影响是什么？我们可能会失去客户信任，影响销售额。
然后，我们可以从这些影响出发，逐步查找可能导致质量问题的原因，并采取相应的措施来避免问题的发生。
最后，逆向思维还可以用来鼓励创造性思维，并促进团队的创新。
逆向思维在初中数学解题教学中的应用探究
逆向思维在初中数学解题教学中的应用探究
逆向思维是指从背道而驰、反其道而行的角度出发，寻找更简单、更有效的解决问题
的方法。
在初中数学解题教学中，逆向思维具有重要的应用价值。
首先，逆向思维能够帮助学生理解和掌握解决问题的方法。
传统的解题方法通常是按
照题目给出的提示逐步推进，而这样的方法往往比较约束式的思维，会让学生在解题时不
得不依赖题目中给出的信息，难以自主地探索和思考。
逆向思维则不同，它能够引导学生
从不同角度考虑问题，从而使学生对解题方法有更加深入的理解和掌握。
其次，逆向思维有助于发掘数学题的内在规律。
很多数学题目有自己的规律和特点，
会反复出现在考试中。
逆向思维能够协助学生通过梳理自身解题过程中的思路和体验，自
行发现和总结这些规律和特点。
这样，将能够使学生更加自信和熟练的应对类似题目，提
高解题能力和效率。
最后，逆向思维有利于学生思维能力的提高。
逆向思维在初中数学中的应用，需要学
生在解决问题的过程中依据已知条件，去发现隐藏的、未曾发现的信息，而在多次练习中，学生需要展开自己的思维能力，应用逆向思维方法在思考问题、推导解答中去找到自己未
曾发掘出现的思路。
这样，能够激发学生思考的乐趣，并借此提升了学生的思维能力。
因此，对于初中数学解题教学来说，引导学生运用逆向思维，在解题方法的掌握、内
在规律的发掘、学生思维能力的培养以及学习效果的提升方面都会有重要的作用。
逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析
逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析
逆向思维是指从目的出发，通过反向思考，寻找问题的解决方案的一种思维模式。
在初中数学解题教学中，逆向思维可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高解题能力。
一、应用逆向思维解题
1.推理问题：对于一些需要进行推理和判断的问题，可以通过逆向思维，在确定结果的基础上反向推导出解题的过程。
3.分类问题：对于一些需要分类的问题，可以通过逆向思维，先确定各类别的合理分界点，并检验分界的可行性。
二、逆向思维提高数学解题能力
1.问题分析能力：通过逆向思维，学生可以更准确地识别和阐述问题的关键信息，以及问题解决的核心思路。
2.创新能力：逆向思维能够激发学生的创新思维，使他们能够更灵活地应用数学知识和技能，解决各种难题。
3.思维能力：逆向思维方法能够激励学生用不同的角度去思考问题，在思维上更加灵活和深入。
4.逻辑推理能力：逆向思维不仅可以帮助学生加强问题分析和解决能力，还能够培养他们的逻辑推理能力，提高他们的思辨能力和科学精神。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正难则反的智慧
——浅谈逆向思维在解题中的体现
浙江省宁海县知恩中学 王丽亚（315600）
数学问题的解决，有许多是可以从条件出发，进行正面的、顺向的思考而获得结论，这种思考在思维方式上具有定向性、聚合性，强化这种思维定势，在数学解题中有着决定性的作用，这是我们首先应该承认的. 然而，任何事物都有正反两个方面，也有许多问题正面入手困难重重，若改由反面入手却常常能出奇制胜. 千古传诵的“草船借箭”与“司马光砸缸”的历史故事都充分说明了逆向思维的巨大威力，正难则反易，数学问题的解决也是这样.
下面就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.
一．集合中体现为补集思想
当题目直接求解较繁、较杂甚至不能求解时，通过先求得问题的反面进而求其补集以达到解决问题之目的.
例1. 三个方程x 2＋4mx －4m ＋3=0，x 2＋(m －1)x ＋m 2=0，x 2＋2mx －2m=0中至少有一个方程有实根，试求m 的范围.
分析：本题从正面入手应分类求解，繁不堪言，若从反面“三个方程均无实数根”思考，在实数范围内除去反面求得的解即为m 的取值范围.
解：若三个方程都没有实根，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<--<+--0
8404)1(0)34(4162222m m m m m m 解得123-<<-m ∴三个方程至少有一个方程有实根m 的取值范围是2
3-
≤m 或1-≥m . 二. 命题中体现为逆否命题 逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的，也就是原命题真，则它的逆否命题也真。
在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中，正面判断比较难或者不容易理
解，那么不妨跳出思维框架，转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.
例2. 0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是 .
分析：从正面入手2-ab 与2-b 中至少有一个不等于0， 即02≠-ab 或02≠-b ， 2≠ab 或2≠b ，得到1≠a 或2≠b ，这对很多同学而言都有一定的理解障碍，但如果从反面来看，0)2()2(22=-+-b ab 的充要条件是：2=ab 且2=b 能得到1=a 且2=b . 那么利用逆否命题即能得到0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是1≠a 或2≠b .
从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.
三．证明中体现为反证法
反证法也是逆否命题的一个应用，即在证明若p 则q 中转化为证明若非q 则非p ，通过否定结论后再作为条件推出与题设的矛盾. 特别对于一些有否定词的命题或“至多”“至少”型的命题尤为适宜.
例3. 如图：已知在△ABC 中，∠BAC=60°，线
段AD ⊥平面ABC ，AH ⊥平面DBC ，H 为垂足，求
证：H 不可能是△DBC 的垂心.
分析：对于一个不是垂心的点，感觉无从下手，
对于垂心，则可以应用它的一些垂直关系。
本题要想
从条件入手证明十分困难，我们可以通过反面采用反
证法证明.
证明：（反证法）假设H 是△DBC 的垂心，
则CD ⊥ BH ，又AH ⊥平面DBC
∴BH 是AB 在平面DBC 的射影，由三垂线定理得CD ⊥AB
又∵AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥AB ∴AB ⊥平面ACD ，
得AB ⊥AC 即∠BAC=90°与∠BAC=60°矛盾
∴假设不成立，即证H 不可能是△DBC 的垂心.
反证法是一种重要的数学思想方法. 牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”.这就
充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位，也充分体现了正难则反思想在解题中的应用.
四．排列组合、概率中体现为间接法
对于某些排列的正面情况较复杂，而其反面情况较简单时，可先考虑无限制条件下的排列，再减去其反面情况的总数. 在概率计算中则可以通过1减去其对立事件的概率.
例4. 1 四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.
（A ）150 （B ）147 （C ）144 （D ）141 [97年全国理（15）]
分析与解：该题当然可以用直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”；若有考生能想到“通过求得问题的对立面”（即4个点共面的情况）
这种间接方法求解的话，则问题变得较为明朗、易解，具体解法如下：
从10个点中取出4个点的取法有410C 种，而四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有464C 种；第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFGH ）；第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种（如△BCG ）；所以符合条件的取法数为：
410C － 464C －3－6＝141种. 故选D. 例4.2 抛掷两个骰子，至少出现一个5点或6点的概率为（ ） A. 3
1 B. 125 C. 365 D. 95 分析：该题若采用直接分类，可以记“恰好出现一个6点而没有5点”为事件A ；“恰好出现一个5点而没有6点”为事件B ；“恰好出现一个5点和一个6点”为事件C ；“恰好出现两个5点”为事件D ；“恰好出现两个6点”为事件E.
则)()()()()(E P D P C P B P A P P ++++=
但若能从反面入手，考虑到“至少出现一个5点或6点”的反面是“两个骰子既不出现5
A
B C D
E
F
G
H
点也不出现6点”，那么所求的概率9
564641=⨯-=P ，选D. 在此类问题中如果善于运用正难则反的思想，利用对立事件的概率公式：)(1)(A P A P -=，可以使问题的解决做到事半功倍，而且减少了计算环节，也能减少由计算带来的不必要错误.
正难则反的这种逆向思维方式具有发散性、变通性，是突破传统框架产生新思路的源泉.对有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大，不妨就打破思维常规实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能绝处逢生、开拓解题思路、简化运算过程.如果在教学中能使学生品尝到应用正难则反思想的甜头，那么就会进一步激发他们学习数学的兴趣，以达到拓广思维，增强解题技能，培养思维的灵活性和创造性之目的.
正难则反，说起来容易，做起来却难，只能是在解题的过程中逐渐的体会罢了.。