离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。下面是小编整理的离散数学期末考试试题及答案，欢迎阅读参考！
一、【单项选择题】
(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的'关系。
[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27
2、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB( )。
[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,8
3、若X是Y的子集，则一定有( )。
[A]X不属于Y [B]X∈Y
[C]X真包含于 Y [D]X∩Y=X
4、下列关系中是等价关系的是( )。
[A]不等关系 [B]空关系
[C]全关系 [D]偏序关系
5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是( )。
[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象
[C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象
6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为( )。
[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q
7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有( )。
[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个
8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点( )。 [A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点
[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点
9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( )。
[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的
[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元
10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为( )
[A] p→┐q [B] p∨┐q
[C] p∧q [D] p∧┐q
11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割(点)集是( )。
[A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3}
12、下面4个推理定律中，不正确的为( )。
[A]A=>(A∨B) (附加律) [B](A∨B)∧┐A=>B (析取三段论)
[C](A→B)∧A=>B (假言推理) [D](A→B)∧┐B=>A (拒取式)
13、在右边中过v1,v2的初级回路有多少条( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
14、若R,,是环，且R中乘法适合消去律，则R是( )。
[A]无零因子环
[C]整环 [B]除环 [D]域
15、无向G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是( )。
[A]8 [B]16 [C]4 [D]32
二、【判断题】
(本大题共8小题，每小题3分，共24分)正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。
16、是空集。 ( )
17、设S,T为任意集合，如果S—T=，则S=T。 ( )
18、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是唯一的。 ( ) 19、关系的复合运算满足交换律。 ( )
20、集合A上任一运算对A是封闭的。 ( )
21、0,1,2,3,4,max,min是格。 ( )
22、强连通有向一定是单向连通的。 ( )
23、设都是命题公式，则(PQ)QP。 ( )
三、【解答题】
(本大题共3小题，24、25每小题10分，26小题11分，共31分)请将答案填写在答题卷相应题号处。
24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求
(1)BA; (2)AB; (3)A-B; (4)BA.
25、设非空集合A，验证(P(A),,,~,,A)是布尔代数
26、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。
离散数学试题答案
一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)
BDDCCCBABDADCBB
二、【判断题】(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
FFTFTTTF
三、【解答题】(本大题共3小题，24、25每小题10分，26小题11分，共31分) 24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求 (1)BA;
(2)AB; (3)A-B; (4)BA. 标准答案：(1)BA={a, b, c}{b, d, e}={ b }
(2)AB={a, b, c}{b, d, e}={a, b, c, d, e }
(3)A-B={a, b, c}-{b, d, e}={a, c}
(4)BA= AB-BA={a, b, c, d, e }-{ b }={a, c, d, e }
复习范围或考核目标：考察集合的基本运算，包括交集，并集,见课件第一章第
二节,集合的运算。
25、设非空集合A，验证(P(A),,,~,,A)是布尔代数 标准答案：证明 因为集合A非空，故P(A)至少有两个元素，显然，是P(A)上的二元运算. 由定理10 ，任给B,C,DP(A), H1 BD=DC
CD=DC
H2 B(CD)=(BC)(BD) B(CD)=(BC)(BD)
H3 P(A)存在和A，BP(A), 有B=B， BA=B
H4，BP(A), BA，存在A~B，有
BA~B)= A B(A～B)=
所以(P(A),,,~,,A)是布尔代数.
复习范围或考核目标：考察布尔代数的基本概念，集合的运算，见课件代数系统中布尔代数小节。
26、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。
标准答案：令p：他是计算机系本科生
q：他是计算机系研究生 r：他学过DELPHI语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t
结论：p→t
证①p P(附加前提)
②p∨q T①I
③(p∨q)→(r∧s) P(前提引入)
④r∧s T②③I
⑤r T④I
⑥r∨s T⑤I
⑦(r∨s)→t P(前提引入)
⑧t T⑤⑥I
离散数学考试试题(A卷及答案)
1 离散数学考试试题（A卷及答案）
一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？
1)((PQ)∧Q)((Q∨R)∧Q) 2)((QP)∨P)∧(P∨R)
3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)
解：1)永真式；2）永假式；3)可满足式。
二、（8分）个体域为{1，2}，求xy（x+y=4）的真值。
解：xy（x+y=4）x（（x+1=4）∨（x+2=4））
（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））
（0∨0）∧（0∨1）
1∧10
三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？A到B的函数数是多少？
解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。
四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}
t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}
五、(10分) 75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场总共收入70元，求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。
解 设A、B、C分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合，|A∩B∩C|＝20，|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|＝55，|A|＋|B|＋|C|＝70/0.5＝140。
离散数学期末考试及答案
沈阳师范大学离散考试预测题
一、 选择题（共10题，每题3分，共30分）
1、下列语句为命题的是（ ）。
A．勿踏草地；。
B．你去图书馆吗？；
C．月球上有水；
D．本命题为假。
2．下列推理中，（ ）是错误的。
A. 如果x是有理数，则它为整数。1/2是有理数。所以1/2是整数。
B. 若周末气温超过30度，小红就去游泳。小红周末没去游泳。所以周末气温没超过30度。
C. 下午小明或者去看电影，或者去打篮球。下午小明没去打篮球。因此下午小明去看电影了。
D. 若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除。因此a能被4整除。
3．谓词公式)())()((xQyyRxPx中的x( )。
A．只是约束变元
B．只是自由变元
C．既非约束变元又非自由变元
D．既是约束变元又是自由变元
4. 下列关系中，（ ）不是等价关系。
A. 非空集合的幂集的元素间包含关系；
B. 集合之间的等势关系；
C. 公式之间的等值关系；
D. 图之间的同构关系。
5. 下面等值式中，（ ）是不正确的。
6．下列关于集合的势的叙述中，（ ）是错误的。
A. 实数集比自然数集优势；
B. 任一无限集合都存在与自己等势的真子集；
C. 集合之间的优势关系是偏序关系；
D. 有理数集比整数集优势。
7．设A,B,C是集合，F是关系，ADBAG,:，则下列式子中不正确的是（ ）。A．BBABA B. DDGG))((1
C. ][][][BFAFBAF D. )()(CBACBA
8. 以下序列中，（ ）是简单可图的。
A. (4,4,3,3,2,2)； B. (3,3,3,1)； C. (5,4,3,2,2)； D. (6,6,3,2,2,2,1)。
9. 下列叙述中错误的是( )。
A．n(n≥2)阶竞赛图都具有哈密顿通路；
离散数学期末试题
注意：答题不能超过密封线！本套试卷共 3 页，此页是第 1 页。
重庆工商大学 试题
考试科目： 离散数学
适用专业（班）： 计算机本科 考核方式：闭卷（√）开卷（）
11-12 学年度 下 学期 套别：A套（√）B套（）
题 号 一 二 三 四 五 六 总 计
分 值 30 20 20 20 10 100
得 分
阅卷人
一.选择题（本题共10小题，共30分） 请选择正确答案的代号
1.（本小题 3 分）下列说法错误的是（ ）
A.有向图G的各边取反向所得到的图称为G的逆图；
B.图G的邻接矩阵为A，则G的逆图的邻接矩阵是A的逆；
C.图G的邻接矩阵为A，则G的逆图的邻接矩阵是A的转置；
D.无向图的邻接矩阵是对称矩阵.
2.（本小题 3 分）在外向树中，下列说法错误的是（ ）
A.如果从结点a到b有一条边，则b是a的儿子；
B.如果从结点a到b有一条边，则a是b的父亲或母亲；
C.如果从结点a到b及a到c均有一条边，则b,c是兄弟；
D.如果从a到f有一条路径，则a是f的子孙，而f是a的祖先。
3.（本小题 3 分）下列命题错误的是（ ）
A.具有两个以上结点的树至少有两片叶
B.一个连通图G的生成树为T，则G与T的边相同
C.一个连通图G的生成树是G的一个子图
D.图G是树的充要条件是图G的每对结点之间只有一条路径。
4.（本小题 3 分）下列语句是真命题的是（ ）
A）函数可微当且仅当它可导 B）调和级数收敛
C）明天你去上网吗？
D）今天天气多么好啊!
5.（本小题 3 分）设集合A={1，2，3},则关系S={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，3）}是（ ）
A） 自反的 B）对称的 C）非传递的 D）非对称的
6.（本小题 3 分）下列语句不是命题的是（ ）
A）3的算术平方根是无理数
B）0不是自然数
离散数学期末考试试卷
江西农业大学《离散数学》课程试卷
适用专业：计算机 考试日期：2012/6/20 闭卷
所需时间：120分钟 总分：100分
一. 单项选择题。（共20分，每题2分）
1.设命题公式G=(P ∧ Q)→ P,则G是( D ).
A.恒假的. .B析取范式. C. 可满足的. D.恒真的
2.下列度数列不可图化的是（ B ） 254
A. （3，3，3，1） B. （5，5，4，4，2，1）
C. （5，4，3，2，2） D. （4，4，3，3，2，2）
3.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R＝{(1,1), (2,3), (2,4), (3,4)},则R具有（ B ）114
A.自反性；B．传递性；C．对称性；D．以上答案都不对.
4.设
（ B ）闭包.116
A. 自反；B．对称；C．传递；D．以上都不是.
5、设X，Y为集合，当（ D ）时，X－Y＝Y.93
A.X=Y; B. ; C. ; D.
6、设G是群，G中有（ D ）个元素，则不能肯定G是交换群。203
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
7、设G是有6个元素的循环群,a是生成元素,则G的子集( C )是子群.
A. {a}; B. {a, e}; C. {e, a3}; D. {e, a, a2};
8、下面的图是 （ C ）
A. 完全图； B. 平面图；278 C.哈密顿图； D. 欧拉图
2019年电大《离散数学(本)》期末考试试题及答案
试卷代号：1009 座位号仁二］
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期未考试
离散数学（本）试题（半开卷）
2019年1月
言
五--,-
四三
得分l评卷人
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. 若集合A={l,2,3,4},则下列表述不正确的是（).
A. lEA
C. {1,2,3}EA B. { 1 , 2 , 3} CA
D.
0三A
2.
若凡和凡是A上的对称关系，则R1UR2 ,R1 nR2 ,R1 --Rz,
凡-RI中对称关系有
（）个．
A. 1
c.
3 B. 2
D. 4
3.
设G为连通无向图，则（）时，G中存在欧拉回路．
A.
G不存在奇数度数的结点B.
G存在偶数度数的结点
C.
G存在一个奇数度数的结点D.
G存在两个奇数度数的结点
4.
无向图G是棵树，边数是10,则G的结点度数之和是（).
A.
20
C. 10 B. 9
D. 11
5. 设个体域为整数集，则公式Vx 3y(工+y=O)的解释可为（).
A. 存在一整数x有整数y满足x+y=O
B. 对任意整数x存在整数y满足x+y=O
c.
存在一整数x对任意整数y满足x+y=O
D. 任意整数x对任意整数y满足x+y=O
14
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.
设集合A={l,2,3},B =12,3,4},C= (3,4,5},
则AU(C-B)等于
7.
设A={ 2, 3} ,B =
{l, 2} , C = { 3, 4} ,
从A到B的函数f={,<3,l>伈从B
到C的函数g={,},则Dom(g。f)等于＿＿＿＿，
8.
已知图G中共有1个2度结点，2个3度结点，3个4度结点，则G的边数是.
9.
设G是连通平面图，V,t:,
r分别表示G的结点数，边数和面数，u值为5,e值为4,则r
的值为
10.
设个体域D={l,2,3,心，A(x)为"x大于5"'则谓词公式(Vx)A(x)的真值为
离散数学期末考试题答案
北京交通大学
2007-2008学年第
2学期
离散数学基础（
06级信科专业）期末试题
& 参考答案
第 1 页 共 7 页 北 京 交 通 大 学
2007-2008学年第二学期
《离散数学基础（信科专业）》期末考试卷（A）
学院：____________ _专业：___________________ 班级____________
姓名： 学号： □选修 □必修
题号 总分
得分
阅卷人
一、 填空题（共10分，每空1分）
1. 在推理理论中，推导过程中如果一个或多个公式重言蕴涵某个公式，则这个公式就可以
引入推导过程中，这一推理规则叫做（ T规则 ）。
2. 设A={a，{b}}，则A的幂集是P (A)= {Φ, a，{b}, {a，{b}} ；
3. 设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有自反性、 反对称性 和传递性，则
称R是A上的一个偏序关系。
4. 既是满射，又是 单射 的映射称为1-1映射（双射）。
5. 设S为非空有限集,代数系统的单位元和零元分别为 S 和 φ 。
6. 具有n个顶点的无向完全图共有 n(n-1)/2 条边。
7. 简单图是指 无环、无重边 的图。
8. k-正则图是指 所有顶点的度数均为k的 的图。
9. Hamilton通路是指 通过图中所有顶点一次且仅一次 的通路。
10. 设G=（E，V）是图，如果G是连通的，则P（G）= 1 。
11. 命题公式(PQ) (PR)的主析取范式中包含极小项（ A ）
A．PQR； B．PQR；
北京交通大学
2007-2008学年第
2学期
离散数学基础（
06级信科专业）期末试题
& 参考答案
第 2 页 共 7 页 C．PQR； D．PQR
12. 下列谓词公式中（ A ）不正确。
A．(x)(A(x) B) (x) A(x) B； B．(x)(B A(x)) B (x) A(x)；
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326《离散数学》期末考试题(B)
一、填空题(每小题3分，共15分)
1.设}，则 = ( )，{} = ( )，中,,},,{{babaAAA)(AP
的元素个数( ).|)(|AP
2.设集合A中有3个元素，则A上的二元关系有( )个，其中有( )个是A
到A的函数.
3.谓词公式中量词的辖域为( ),))()(())()((yPyQyxQxPxx
量词的辖域为( ).y
4.设，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补}24,12,8,6,4,3,2,1{
24D
元.
5.当( )时，阶完全无向图是平面图，当当为( )时，是欧拉图.nn
nKn
nK
二．1. 若，则( )，A到B的2元关系共有( )个，nBmA||,||||BA
A上的2元关系共有( )个.
2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,
1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.
3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).
(1)；qqpp)(
(2)；)(qpp
(3)；)(qpp
(4)；qqpp)(
(5).qqp)(
4. 设D
24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，
4的补元( )，6的补元( ).
5. 设G是(7, 15)简单平面图，则G一定是( )图，且其每个面恰由( )
条边围成，G的面数为( ).三．1.设，，则，}}{},,{{cbaA}}{},,{},{{ccbaB)(BA
，.)(BA)()(AP
2.集合，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2},,{cbaA
元运算，( )个封闭的3元运算.
3.命题公式的对偶式为( ).1)(qp
离散数学(1)期末考试
清华大学本科生考试试题
姓名
__________ 班号__________ 学号______________
考试课程 《离散数学1》 2016年1月8日 （A卷） （共2页——正反两面）
该页面的所有题目的解答直接写在这张试题纸上，该试题纸一并上交。背面的题目写在答题本上
一、选择题（共13分，每空1分）在下列各小题中选择其中的一种答案，标注在小标题后面的括号中
1. （ ）简而言之，命题逻辑的公理系统是
A. 用来建立公理的系统； B. 由公理产生推理规则的系统； C. 用来完善已有公理的系统；
D. 从精选的几条公理出发，根据规定的演绎规则，推导出一系列定理的形式符号系统。
2. （ ）孔子曰：“己所不欲，勿施于人。”以下哪一选项不是这句话的逻辑推论？
A. 只有己所欲，才能施于人。 B. 除非己所欲，否则不施于人。
C. 若己所欲，则施于人。 D. 凡施于人的都应该是己所欲的。
3. （ ）与连续统假设（CH）的主要内容最接近的是：满足ℵ
0<𝐾
1成立的基数𝐾
A. 已完整证明𝐾肯定不存在； B. 猜想𝐾不存在； C. 猜想𝐾存在但数值待定； D. 𝐾已找到
4. （ ）根据量词的定义，若(
∃x)
P(
x)
=F成立，试从下面选择一个最准确清晰的描述：
A. 对所有的x∈D，都有P(
x)
=F。 B. 至少存在一个x
0∈D，使P(
x
0)
=F。 C. 根据P(x)来定。
5. （ ）下面所有正确的联结词完备集是 A. 1,6; B. 1,2,3,5; C. 1,2,3,5,6; D. 1,2,3,6. 其中
1. {¬，⋁，⋀}; 2. {¬，⋀}; 3. {¬，⋁}; 4. {⋁，⋀}; 5. {¬，→}; 6. {↑}.
6. 非空集合A上的恒等关系𝐼
A是（ ）；全关系𝐸
A是（ ）；空关系∅是（ ）。
A. 偏序关系但不是等价关系 B. 等价关系但不是偏序关系
C. 既是等价关系又是偏序关系 D. 既不是等价关系也不是偏序关系
《离散数学》试题及答案
三、计算证明题
1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(4) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(5) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
(6) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
三、计算证明题
1.
(1)
(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.
(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.
5. (1)
(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.
(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.
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《离散数学》期末试题及答案
326《离散数学》期末考试题(B)
一、填空题(每小题3分，共15分)
1.设,,},,{{babaA
}，则A
= ( )，A
{} = ( )，)(AP
中的元素个数
|)(|AP
( ).
2.设集合A中有3个元素，则A上的二元关系有( )个，其中有( )个是A到A的函数.
3.谓词公式))()(())()((yPyQyxQxPx
中量词x
的辖域为( ), 量词y
的
辖域为( ).
4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{
24D
，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.
5.当n
( )时，n
阶完全无向图
nK
是平面图，当当n
为( )时，
nK
是欧拉图.
二．1. 若nBmA||,||
，则||BA
( )，A到B的2元关系共有( )个，A上的2元关系共
有( )个.
2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )
是单射，( )是满射，( )是双射.
3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).
(1)qqpp)(
；
(2))(qpp
；
(3))(qpp
；
(4)qqpp)(
；
(5)qqp)(
.
4. 设D
24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，
6的补元( ).
5. 设G是(7, 15)简单平面图，则G一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G的面数
为( ).
三．1.设}}{},,{{cbaA
，}}{},,{},{{ccbaB
，则)(BA
，)(BA
，
)()(AP
. 2.集合},,{cbaA
，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封
闭的3元运算.
3.命题公式1)(qp
的对偶式为( ).
4.所有6的因数组成的集合为( ).
5.不同构的5阶根树有( )棵.