人教版高中数学选修2-3 第一章计数原理1-2-1-1排列与排列数公式
(3)若干个元素按照一定顺序排成一列，元素不同或元 素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个 排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列．
(4)研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同 元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有 重复抽取同一元素的情况．
课堂练习
1．我体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目
将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙 三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列出 来．
[思路点拨] 分给甲、乙、丙按三步进行，一步分与一 人．
解析： 按分步乘法计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有3种分法； 第二步，分给乙，有2种分法； 第三步，分给丙，有1种分法． 故共有3×2×1＝6种不同的分法．
一、排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定__的__顺__序_ 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
二、排列数
排列数定义及 表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同排列的个数 叫做从n个不同元素
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中取出m个元素的排列数，用符号A表示
排列数公式
◎从1,2,3,4,7,9这六个数中任取两个数分别作为一个对 数的底数与真数，可组成多少个不同的对数值？
【错解】 符合条件的对数值可分为两类： 第1类，若1为真数，而2,3,4,7,9中任何一个为底数，得 的对数值均为零，仅1个； 第2类，若2,3,4,7,9中任何一个为真数，而不能作底数， 其底在余下的4个数中选1个， 共有不同的对数值5×4＝ 20(个)． 综上，共有21个不同的对数值．
∴100×99×98×…×89＝A11020 答案： C
3.5A！34 ＝________.
解析： 5A！34 ＝5×44× ×33× ×22×1＝15.
答案：
1 5
4．用1,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小 到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项． 解析： (1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数，每 一位都有4种排法，则根据分步乘法计数原理共有4×4×4＝ 64项．
(1)计算2AA5888－＋A7A95 84； (2)解方程 3A3x＝2Ax2＋1＋6A2x.
[思路点拨] (1)用连乘积的形式计算，化简；(2)对式子 变形，解方程计算．
解析： (1)2AA5888－＋A7A95 84 ＝8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42＋ ×71× －89× ×78× ×67× ×56×5 ＝88××77××66××55××284＋－79＝1.
[问题2] 从a，b，c，d这4个字母中，每次取出3个按顺 序排成一列，共有多少不同的排法？
[提示]
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cad cdb dab dac dba dbc dca dcb
知识梳理
本节结束，谢谢大家！
(2)由 3A3x＝2Ax2＋1＋6A2x， 得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)． ∵x≥3，且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即 3x2－17x＋10＝0. 解答 x＝5，x＝23(舍去)． ∴x＝5.
[规律方法] 1.排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m ＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程 和不等式；在运用该公式时要注意它的特点是：从 n 起连续写 出 m 个数的乘积即可；
例题精讲
下列哪些问题是排列问题： (1)从10名学生中抽2名学生开会； (2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘； (3)以圆上的10个点为端点作弦；
(4)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数，有 多少不同对数值？
(5)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机 票；
上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出
场顺序共有( )
A．6种
B．30种
C．360种
D．A种
解析： 问题为6选5的排列即A.
答案： D
2．100×99×98×…×89 等于( )
A．A11000 C．A11200
B．A11100 D．A11030
解析： 最大因数为 100，共有 100－89＋1＝12 个因数 相乘，所以 n＝100，m＝12.
列出树形图：如下
所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数， 数语英，数英语，英语数，英数语．
[规律方法] “树形图”在解决排列问题个数不多的情 况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一 定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分 类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确 定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个 排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题； (4)显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与 顺序有关，是排列问题； (5)飞机票使用时，有起点和终点之分，故飞机票的使 用是有顺序的，是排列问题； (6)焦点在y轴上的椭圆，方程中的a、b必有a＞b，a、b 的大小一定，不是排列问题．
[规律方法] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质 特征，第一步取出的元素无重复性，第二步选出的元素必须 与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否是排列的关键．
【正解】 分两类：第1类，1作为真数时值为0，仅1 个；
第2类，对数的底与真数是从2,3,4,7,9中任取2个的排列 有A＝5×4＝20(个)，共20＋1＝21(个)．
但 底 数 和 真 数 都 不 相 同 而 对 数 值 相 同 的 有 log24 ＝ log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，故共有21 －4＝17个不同的对数值．
(2)①∵2x≥x＋31≥4 ，∴x≥3，x∈N*， 由 A24x＋1＝140A3x得， (2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)， 化简得，4x2－35x＋69＝0， 解得，x1＝3 或 x2＝243(舍去)，∴方程的解为 x＝3. ②原不等式等价于8－8！x！＜6×108－！x！， 化简得 x2－19x＋84＜0，∴7＜x＜12， 又8x－≥2x≥1 ⇒3≤x≤8，∴x＝8.
乘积式 Amn ＝_n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_) n！
阶乘式Amn ＝ n－m！(n，m∈N*，m≤n)
排列数的性质 Ann＝ n！ ；A0n＝ 1 ；0！＝1
知识重难点
对排列概念的理解： (1)我们把问题中被取的对象叫做元素． (2)排列的定义中 包含两个基本内容：一是“提取元 素”；二是“按一定的顺序排列”．因此，排列要完成“一 件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”．
人教版高中数学选修2-3
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
课前预习
排列的概念 [问题1] 要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天 的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下 午的活动，有多少种不同的方法？
[提示] 从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学 参加下午的活动，可以看成是先选1名同学参加上午的活 动，再选1名同学参加下午的活动这两个步骤完成，先选1名 同学参加上午的活动，共有3种选法；再选1名同学参加下午 的活动，共有2种选法，∴完成这件事共有3×2＝6种选法．
【错因】 审题不细，重复计算．忽略了对数值相同的
情 况 ： log24 ＝ log39 ， log42 ＝ log93 ， log23 ＝ log49 ， log32 ＝ log94.解决此类问题要做到：审题细致，避免重复、遗漏； 对数性质logAnbn＝logab(a＞0，a≠1，b＞0，n∈N*)
1．判断下列问题是否是排列问题： (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一 人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可 得多少个不同的点的坐标？ (3)会场有50个座位，要求选出3个座位安排3个客人就 座，有多少种不同的方法？ (4)某班有10名学生，假期约定每2人通电话一次，共需 通电话多少次？
解析： (1)①AA61509＋ －AA94510 ＝10×99× ×88× ×77× ×66× ×55＋ －91× 0×8× 9×7× 8×67×6 ＝109××98××87××76××6×5＋51－ 1＝106×4＝230. ②Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm＝[n－1n－－m1－！1]！·(n－m)！·n－11！＝1
2．四人A、B、C、D坐成一排，其中A不坐在排头，写 出所有的坐法．
解析： 表示所有坐法的树形图如下：
由 “ 树 形 图 ” 可 知 ， 所 有 坐 法 为 BACD ， BADC ， BCAD ， BCDA ， BDAC ， BDCA ， CABD ， CADB ， CBAD ， CBDA ， CDAB ， CDBA ， DACB ， DABC ， DBAC ， DBCA ， DCAB，DCBA.
2．排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有 关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先 提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈ N*，m∈N*”的运用．
3．(1)计算：①AA61590＋ －AA94510；②Amn－－A11nn·－ － A11nn－－mm. (2)解下列方程或不等式． ①A24x＋1＝140A3x；②Ax8＜6Ax8－2.
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2课件新人教A版选修2_3
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法. 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A25·A35＝1 200(种)方法.
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变， 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法， 所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
解析答案
12345
2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( C )
A.36
B.120
C.720
D.240
解析 6个人站成两排，每排3人，
分 2 类完成不同的排法有 A36A33＝720(种).
解析答案
12345
3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和 第四棒，问共有________种参赛方案.
所以共有 A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 解析答案
2018版高中数学选修2-3课件：第一章 计数原理 1-2 第1
解析
答案
n－m －1 Am · A (2)计算： n－1 n－1n－m ＝___. 1 An－1
解析
n－1！ 原式＝ · (n－m)！· [n－1－m－1]！
n－1！ 1 1 ＝ · (n－m)！· ＝1. n－1！ n－m！ n－1！
解析
答案
反思与感悟
(1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大
解
3 * 由 A4 <140A 知， x ≥ 3 且 x ∈ N ， 2x＋1 x
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)· 2x· (2x－1)(2x－2)<140x· (x－1)(x－2)，
23 解得 3<x< 4 ，
因为x∈N*，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}.
解答
反思与感悟
排列数 全排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 n个不同元素 全部取出 的
定义 素的 所有排列的个数 ，叫做从n个 一个排列，叫做n个不同
不同元素中取出m个元素的排列数
表示法
元素的一个全排列
n An
Am n
乘积形式 公式 阶乘形式 性质
(n－2)… Am n ＝n(n－1)·
(n－m＋1)
… An n ＝n个点为端点作弦； 解 弦的端点没有先后顺序，不是排列问题. (4)20个车站，站与站间的车票价格； 解 车票价格与起点和终点无关，故车票价格是无顺序的，不是排列问题. (5)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条
直线？可确定多少条射线？ 解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
位数？
答案 4×3＝12(个).
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班级：高二（ ）班 学号： 姓名：一．知识点整理1、两个基本计数原理： （1）分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，完成这件事有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
2、排列（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅=， 3、组合（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。
（2）组合数公式： （3）组合数公式性质： 性质1: m n nm n C C -= 性质2: 111+++=+k n k n k n C C C 推论1: t n t n k k k C C C C C 122110+++=+⋅⋅⋅+++ 推论2: 1121++++=+⋅⋅⋅+++k n k n k k k k k k C C C C C4、二项式定理：（1）二项式定理：011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L（2）通项是展开式的第 项，即：2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项；（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二．巩固练习 1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3(A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。
(完整版)高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： m n A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且mn n m nC C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：02413512n n n n n n nC C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值：。
2018-2019学年人教A版高中数学选修2-33 1.2-1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
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第一章 计数原理
2．判断下列问题是否是排列问题： (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的 点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不 同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一 个门出来，不同的出入方式共有多少种？
栏1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪 一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考 虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
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第一章 计数原理
2．排列数及排列数公式
排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 数定 有 义 表示 法 全排 列 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个 元素的一个全排列，这时公式中 m＝n，即有 An n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1
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不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素
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第一章 计数原理
下面问题中，是排列问题的是(
)
A．由 1，2，3，4 四个数字组成无重复数字的四位数 B．从 60 人中选 11 人组成足球队 C．从 100 人中选 2 人抽样调查 D．从 1，2，3，4，5 中选 2 个数组成集合
答案：A
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第一章 计数原理
3 A2 ＝ ________ ， A 4 3＝________．
答案：12 6 若 Am 10＝10×9×…×5，则 m＝________． 答案：6
高中数学选修2-3 第一章 计数原理 1-2-1-1 排列与排列数公式(附答案解析)
数学选修2-3 第一章计数原理1.2.1 排列与排列数公式一、选择题(每小题5分，共20分)1．5A35＋4A24等于()A．107 B．323 C．320 D．3482．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2 160 B．720 C．240 D．1203．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120 C．720 D．2404．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为()A．A20m B．A20m＋20C．A20m＋20D．A21m＋20二、填空题(每小题5分，共10分)5．若2A3n＝3A2n＋1－8A1n，则n的值为________．6．S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S的个位数字为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．＜6A n8的n的值．8．求满足n A3n＞3A2n且A n＋289．(10分)一条铁路上原有n个车站，为适应客运需要，现新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？参考答案一、1.【解析】原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.【答案】D2.【解析】A 310＝10×9×8＝720.【答案】B3.【解析】此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数即A 66＝720，故选C.【答案】C4.【解析】可知最大数是m ＋20，展开式中是21个连续自然数的积，因而可表示为A 21m ＋20.【答案】D二、5.【解析】原等式化为：2·n (n －1)(n －2)＝3(n ＋1)n －8n ，∴2n 2－9n ＋9＝0，解得n ＝32(舍)或n ＝3. ∴原方程的解为n ＝3.【答案】36.【解析】∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.【答案】3三、7.【解析】(1)由题意作树形图，如图．故所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241, 3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.共24个四位数．8.【解析】两不等式可化为：()()()()()212318!8!66!8!n n n n n n n ⎧-->⋅⋅-⎪⎨<⋅⎪--⎩①②∵n －1＞0，∴①式可化为n (n －2)＞3，即n 2－2n －3＞0，∴n ＞3或n ＜－1(舍去)．由②得：8！(6－n )！＜6·8！(8－n )(7－n )·(6－n )！. ∴(8－n )(7－n )＜6，即：n 2－15n ＋50＜0， ∴5＜n ＜10.由排列数的意义可知： n ≥3且n ＋2≤8，∴3≤n ≤6.综上，5＜n ≤6.又n ∈N *，∴n ＝6.9.【解析】由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62， ∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m ＜2n ＋m －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝22n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理
一、两个计数原理
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1、排列：
叫做从n 2n
3其中 4出m 5从n 取出m 6、组合数公式：
其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
7、性质： .,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1
1+-=+
三、二项式定理
如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：
2、性质：
注意事项：
相邻问题，常用“捆绑法”
1、有4
（1
（2
（3
（4
2
3、(1)
(2)?
4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?
8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
9、求值与化简：。
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第一章 计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n 个。
1.2 排列与组合 1.2.1 排列一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示。
排列数公式：n 个元素的全排列数规定：0!=11.2.2 组合一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(combination)。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C n m 或(n m )表示。
组合数公式：∵ A n m =C n m ∙A m m∴规定：C n 0组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性(2) 当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项C n n 2+1取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项C n n−12，C n n+12同时取得最大值。
选修2-3第一章1-2-1排列第1课时排列与排列数公式
一个元素．
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2．排列数的定义 所有不同排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________ 的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， _______ 用符号 Am n 表示．
如2÷5≠5÷2，
∴(2)是排列问题．
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题型二
列举法解决排列问题
【例2】 将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求 自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第 三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． [思路探索] 可画出符合条件的树形图，然后写出所有的 排列．
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【变式1】 判断下列问题是否是排列问题： (1)从2，3，5，7中任取两数相乘可得多少个不同的积？ (2)从2，3，5，7中任取两数相除可得多少个不同的商？
解
关，
(1)由于两数相乘而得到的积与两数相乘时的顺序无
∴不是排列问题． (2)由于两数相除而得到的商与取出的两数中哪一数是除 数，哪一数是被除数的顺序有关．
解
由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一
个，据此可分为三类．
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由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，
CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时， 是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺 序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类， 在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定