分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告
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题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：
二〇一四年四月
Xxx
工程学院
电子工程类
一．引言
分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。

在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。

分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。

而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。

求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。

这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。

这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。

二．内容
1.分离变量法的特点：
分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。

它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。

我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.
2.推导过程:
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
222
222
0 x y z
ϕϕϕ
∂∂∂
++=∂∂∂
我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=
其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得
然后上式同时除以XYZ ，得
0X Y Z X Y Z
''''''
++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：
即
α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。

由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则
当α2
<0时，令α=jk x
(k x
为正实数)，则
或
当α2
>0时，令α=k x ，则
或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。

3解题步骤
1,2λα
=±00
()X x a x b =+12()x x jk x jk x
X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x
=+12()x x k x k x
X x d e d e -=+12()
s x x X x c hk x c chk x
=+
分离变量法的求解步骤：
建立正确的坐标系，确定变量的个数；
求方程的通解；
利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数。

解题关键是确定积分常数，积分常数的大致确定方法：
若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期的，则分离常数是虚数，其解选三角函数；
若在某一个方向的边界条件是非周期的，则分离常数是实数，其解选双曲函数或者指数函数。

其中：有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；
若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。

分离变量法的求解步骤：
建立正确的坐标系，确定变量的个数；
求方程的通解；
利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数
4补充作业的解题过程
如右图所示一个沿z轴无限长的横截面为矩形的金属管，其中三个边的电
位为零，第四边与其它边绝缘，电位是
sin
x
U
a
，求管内的电位。

解：导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程和边界条件：
0,(0,)0
(1),(,)0(2)0,(,0)0
(3)
,(,)sin (4)
x y x a a y y x x
y b x b U a
ϕϕϕπϕ==⎧⎪==⎪⎪
⎨==⎪
⎪==⎪⎩
用分离变量法求解过程：
2
0ϕ∇=⇒
2222
220x y z
ϕϕϕ
∂∂∂++=∂∂∂
已知边界条件：0,(0,)0
(1),(,)0(2)0,
(,0)0
(3),(,)sin (4)
x y x a a y y x x
y b x b U a
ϕϕϕπϕ==⎧⎪==⎪⎪
⎨==⎪
⎪==⎪⎩
由条件(4)得: 1
sin
sin()()n
n x
n n U A x sh b a
a a
πππ
∞
='=∑ 将此式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以 sin()m x a
π
再对x 从0到a 积分，得
001sin()sin()s ()sin()sin()a
a n n x
m n n m U x dx A h b x x dx a a a a a πππππ∞=⎡⎤
'=⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰ 利用三角函数的正交性质
00
sin()sin()2
a
m n n m x x dx a a a m n ππ≠⎧⎪⎡
⎤=⎨⎢⎥=⎣⎦⎪⎩⎰
等式左边 =2
a
U ， 由此知：m 等于1,m 不等于1时无解 等式右边12a b A sh a π⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
因此'
1
(
)
U A b sh a π=
所以，接地导体槽内部电位分布为
sin()(
)
(
)
U x
y
sh b
a
a
sh a
ππϕπ=
三．心得体会
分离变量法是将一个多元函数表示成几个单变量函数的乘积,从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法.用分离变量法求解边值型问题,首先要根据边界形状选择适当的坐标系;然后将偏微分方程在特定的坐标系下分离为几个常微分方程,并得出位函数的通解;最后由边界条件确定通解中的待定常数.
在用分离变量法求解静态场的边值问题时，常需要根据边界条件来确定分离常数是实数、虚数或零。

若在某一方向（如x方向）的边界条件是周期的，则其解要选三角函数；若在某一个方向的边界条件是非周期的，则该方向的解要选双曲函数或者指数函数，在有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。

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