顺向思维 逆向思维 专题

专题28 顺向思维逆向思维

阅读与思考

解数学题时，大多是从条件出发，进行正面的顺向思考．对有些数学问题，如果从正面去直接求解，思维常常受阻，这时可以改变一下思维的角度，从问题的反面进行思考．顺向推导有困难时就逆向推导，直接证明有困难时就间接证明，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性等，我们把这种“倒着干”的思维方法称为“逆向思维”.

逆向思维解题的常见形式有：

1．逆用定义；

2．逆用公式、法则；

3．常量与变量的换位；

4．主元与辅元的互换；

5．反倒否定；

6. 反证法.

例题与求解

【例1】设a，b，c均为非零实数，并且()b

c

ac+

=4，

=3，()a

a

bc+

=2，()c

ab+

b

则

a________．b

=

+c

+

（北京市竞赛试题）

解题思路：直接通过解方程组求a，b，c的值较困难，就对已知条件变形，

由()b a ab +=2，得21=+ab b a ，

逆用分式加法法则得2

1

11=+b a ，这是解本例的关键．

【例2】设三个方程0324422=++++m m mx x ，()01222=+++m x m x ，

()01212=-++-m mx x m 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 ( )

A ．4123-<<-m B. m ≤23-或m ≥4

1- C ．m ≤2

3-或m ≥2

1 D ．4

1-＜m ≤2

1

（江苏省竞赛试题）

解题思路：三个方程中至少有一个方程有实根的可能情况有七种，逐一讨论情况复杂．若从反面考虑，就只需研究三个方程均无实根一种情况，问题就简单得多．

【例3】求出所有这样的正整数a ，使得二次方程()()0341222=-+-+a x a ax 至少

有一个整数根．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：常规的想法是用求根公式先求出方程的根，再讨论方程至少有一个整数根的条件，从而求出整数a，这样解过程复杂，由于a的最高次数为1，不妨着眼于a来考虑．

分类讨论法是解数学题中一个重要方法，但如何准确分类却是一个技巧性很强的工作，有时为避免分类使解题过程中得以优化，常用如下方法：

①整体考虑；

②数形结合；

③反面思考．

“顺难则逆，直难则曲，正难则反”．在具体应用中，分析法、逆推法、反证法、常量与变量的换位、主元与辅元的互换、公式定理的逆用，都体现了转换角度昀思考．

【例4】 证明：当n 为自然数时，()122+n 形式的数不能表示为两个整数的平方差．

（西安市竞赛试题）

解题思路：由于n 为任意自然数，不可能逐个试凑，而命题的结论又是否定形式，故可考虑用反证法来证明.

【例5】解方程：0333224=-+--x x x ．

解题思路：由于x 次数较高，直接求解较困难，不妨令3为主元，将原方程转化为关于3的方程进行求解.

【例6】已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上．试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于0

45？请证明你的结论．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的，

能力训练

1．方程

21

4

127165123112222=

++++++++++x x x x x x x x 的解是___________. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 2．若

(

)()

252

3352

235+=-+-+k ，则k =__________.

（“五羊杯”邀请赛试题） 3．已知x 满足

2223

22

=--+x x x

x ，那么x x 22+的值为_____________. （河南省竞赛试题）

4. 若a ，b ，c 为实数，2

22π

+

-=b a A ，3

22π

+

-=c b B ，6

22π

+

-=a c C ，则A ，B ，

C 中至

少有一个的值大于______________.

5. 化简()()()11313123-+++-+x x x 的结果是( )

A ．13-x B. 3x C ．()32+x D ．()31-x 6．化简

100

99991001

3223121121++⋅⋅⋅++++的值是 ( )

A ．43

B ．

10

9

C. 1 D ．2 （新加坡中学生数学竞赛试题）

7．方程0232=--x x 的最小一个根的负倒数是( ) A ．2

1- B ．()732

1+

C ．()17321- D.

()

3174

1

- 8．设A ，B ，C ，D 为平面上的任意四点．如果其中任何三点不在一条直线上，则△ABC ，△ABD ，△

ACD ，△BCD 中至少有一个三角形的某个内角满足 ( ) A ．不超过015 B ．不超过030 C ．不超过045 D ．以上说法都不对

9．已知三个关于x 的方程02=+-m x x ，()01212=++-x x m ，()01222=-+-x x m .若其中至少

有两个方程有实根，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．m ≤2 B ．m ≤4

1或1≤m ≤2 C ．m ≥1 D ．4

1

≤m ≤1

10. 某班参加运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一

定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请你说明理由．

（“希望杯”邀请赛试题）