指数函数、幂函数、对数函数增长比较
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
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4．某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 ________．
解析：设这一年的月平均增长率为 x,1 月份产量为 a， 则 a(1＋x)12＝7a，∴x＝ 12 答案： 7－1 12 7－1.
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【例 3】 下面给出 f(x)与 f(x＋1)－f(x)随 x 的增大而得到的函数值列表. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 x x2 2x＋7 x log2x 1 1 9 1 0 2 4 11 1.4142 1 3 9 13 1.7321 1.5850 4 16 15 2 2 5 25 17 2.2361 2.3219 6 36 19 2.4495 2.5850 7 49 21 2.6458 2.8074 8 64 23 2.8284 3 9 81 25 3 3.1699 10 100 27 3.1623 3.3219
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指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增 长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化 规律． 虽然对指数函数、对数函数以及幂函数各自的单调性都有了比较清楚的认识，但是对这三种 函数增长的差异总是认识不清，突破的思路有二：一是使用科学计算器，计算这三个函数所 对应的一系列函数值，再计算并观察函数值的变化量，从中分析三个函数的函数值增长的快 慢情况，感知其增长的差异；二是借助于图像的直观性，感知其增长的差异．
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
08-第四节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修一北师大版
= 2 ,则 = 2
3 ≈ 3.464,所以排除D,故选B．
4.（多选）[2024广东深圳期末]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出
发，向同一方向运动，其路程 = 1,2,3,4 关于时间 ≥ 0 的函数
1
3
5
7
9
11
1
5
135
625
1 715
3 645
6 633
2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
3
2
其中符合对数函数模型的变量是___，符合指数函数模型的变量是___，符
1
合幂函数模型的变量是___.
【解析】 由题中表格,可知三个变量1 ,2 ,3 随着的增大都是越来越大的,
9 = 93 = 729, 9 < 9 , 10 = 210 = 1 024, 10 = 103 = 1 000,
10 > 10 ,
所以2 ∈ [9,10],即 = 9.
其中2 的增长速度最快,符合指数函数模型,3 的增长速度最慢,符合对数函
数模型,1 符合幂函数模型.
6.已知函数 = 2 和 = 3 的大致图象如图所示，
设这两个函数的图象相交于点 1 , 1 和 2 , 2 ，
且1 < 2 .
（1）请指出图中曲线1 ，2 分别对应哪一个函数；
（单位：万元）对年销售量（单位：t）的影响，对近6年的年宣传费
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
指、幂、对函数增长的比较(绝对精品)
总结:要点点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【目标回顾】
1. 2. 3. 通过学习，是否理解并掌握了三种函数增长的差异； 通过学习，是否学会了简单的数据分析； 通过学习，是否掌握了数形结合思想的应用.
作业:巩固提升
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
作业
参见学案，请及时完成.
结语:勇往直前
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
人要学会走路，也得学会摔跤，而 且只有经过摔跤才能学会走路。 ——马克思
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=2x
y=x2 y=log2 x
2
1 04 41源自89 1.584 9
16 16
16 16 2
32
25
64
36
128
49
256
64 3
…
… …
2.321 9 2.584 9 2.807 3
二：请用图形计算器或计算机软件作图，并观 察图像，体会它们增长的快慢？
探究②:得结论
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
图像观察结果
越来越慢 x轴平行一样
慢于 快于 远快于
反馈:学以致用
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析：5个.
数形结合，转化为图像交点问题.
解析：2个.
数形结合，转化为图像交点问题.
小结：通过解答以上两个小题，请同学们理解并掌握 数形结合思想在函数研究中的应用.
y=2x
函数值的变化量 y=x100
y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1 1.584 962 5 0.736 965 6 0.485 426 8 0.362 570 1 0.152 003 1 0.137 503 5 0.125 530 9
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
应用图像模型
谢谢！
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数y=ax (a>1) 对数函数y=logax(a>1) 幂函数y=xn (n>0，x>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？ 都是增函数，并且当x趋向于正无穷大时，y也趋向于正无穷大
这3个函数增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
三种函数增长快慢的区别
x 的变 化区间
(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)
函数值的变化量
y=2x
1023
y=x100(x>0) y=log2x
10100－1 3.321 928 1
y
y=2x y=x2
16
①对数函数 y=log2x增长最慢
y=log2x ②在（0,2)，幂函数比指数函数增长快；
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快 4
o 12 4
三种函数增长快慢的区别
自变量x
···
函数值
y=2x
y=x100(x>0) y=log2x
···
···
···
121来自01.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0
比较大小
比较大小
例2 已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( )
A.m<n<p
B.m<p<n
C.p<m<n
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
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4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数、幂函数、 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、提出问题 1.在区间（0，+∞）上判断 y=log2 x, y=2x, y=x2 的单调性 在区间（ ， ） 的单调性. 在区间 在区间（ ， ） 在区间（0，+∞）上函数 y=log2 x, y=2x, y=x2均为单调增函数 2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像 列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像. 列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像 y=x2 y=2x 0.2 0.6 1.0 1.4 y x 5 1.149 1.516 2 2.639 y=2x
一个x 当 必有a80 一个 0,当x>x0时，必有 x>xn. 60 70
1.15×1018 1.18×1021 1.21×1024 × × × 3600 4900 6400
… … …
y
1.13×1015 ×
y=2x
对于对数函数 y=log2 x（a>1)和幂函数 （ 和幂函数 y=xn (n>0),在区间（0，+∞）上,随着 在区间（ ， ） 随着 随着x 在区间 的增大， 增长的越来越慢， 的增大，logax增长的越来越慢，图像 增长的越来越慢 就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在 就像是渐渐地与 轴平行一样.尽管在 轴平行一样 尽管在x 的一定变化范围内， 的一定变化范围内， logax可能会大于 可能会大于
课题引入
国际象棋大师起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋 国际象棋大师起源于古代印度 相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他要什么，发明者说： 的发明者，问他要什么，发明者说： “请在棋盘的第一个格子里放上 颗麦粒，第二个格子里 请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒 请在棋盘的第一个格子里放上 颗麦粒， 放上2颗麦粒 第三个格子里放上4颗麦粒 以此类推， 颗麦粒， 颗麦粒， 放上 颗麦粒，第三个格子里放上 颗麦粒，以此类推，每个 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的 倍，直到第 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求 请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 个格子 请给我足够的麦粒以实现上述要求 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 假定千颗麦粒的质量为40g，据查，目前世界年度小麦 ，据查， 假定千颗麦粒的质量为 产量为6亿吨 但不能满足发明者要求，这就是指数增长. 亿吨， 产量为 亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长
三、练 习 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一 日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1） 天内， 日起的 天内 西红柿市场售价与上市时间的关系用图（ ） 的一条折线表示； 的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 （2）的抛物线段表示 ）的抛物线段表示. （1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t); ）写出图（ ）表示的市场售价与时间的函数关系式 写出图（ ）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); 写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 ）认定市场售价减去种植成本为纯收益， 红柿纯收益最大？ 红柿纯收益最大？ P Q 300 300 200 100 o 100 200 300 t
1.10×1012 ×
y=x2
50 100
xn，但由于 ax的增长慢于 n的增长， 但由于log 的增长慢于 的增长， 的增长慢于x 因此总存在一个x 当 必有log 因此总存在一个 0,当x>x0时，必有 ax<xn.
o
x
抽象概括 尽管对数函数 logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数 指数函数 与幂函数 y=xn(n>0)在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度 在区间（ ， 在区间 ）上都是增函数， 不同，而且不在同一个“档次” 随着 的增大， 随着x的增大 不同，而且不在同一个“档次”上.随着 的增大，y=ax（a>1） ） 的 增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速 增长速度越来越快，会超过并远远大于 ） 的增长速度则会越来越慢.因此总会存在一 度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢 因此总会存在一 的增长速度则会越来越慢 必有log 个x0，当x>x0 时，必有 ax<xn<ax.虽然幂函数 y=xn(n>0)增长快 虽然幂函数 增长快 增长， 于对数函数 y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差 增长 甚远，因此指数增长又称“指数爆炸” 甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
二、应用示例 试用计算器来计算2 的近似值. 试用计算器来计算 例1.试用计算器来计算 500的近似值 第一步， 解： 第一步，利用科学计算器算出 第二步，再计算 第二步，再计算2100， 因为 2100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030, （ × 所以，我们只需用科学计算器算出1.02410≈1.2677， 所以，我们只需用科学计算器算出 ， 则2100 ≈1.2677×1030； × 第三步，再计算 第三步，再计算2500， 因为 2500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150, （ × 所以，我们只需用科学计算器算出 所以，我们只需用科学计算器算出1.26775≈3.2740， ， 从而算出 2500 ≈3.27×10150. × 210=1 024=1.024×103； ×
N 0 = 10; N 1 = 2 × 10 = 20; N 2 = 2 × 20 = 40; N 3 = 2 × 40 = 80;L.
由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示： 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示： Nt+1=R0·Nt , 其中 0为时代净繁殖率 其中R 为时代净繁殖率. 如果种群的R 速率年复一年地增长， 如果种群的 0速率年复一年地增长，则 2 3 N 1 = R0 N 0 , N 2 = R0 N 1 = R0 N 0 , N 3 = R0 N 2 = R0 N 0 L N t = R0t N 0 . 0<R ，种群下降； 当R0>1时，种群上升；R0=1，种群稳定； 0<1，种群下降； 时 种群上升； ，种群稳定； 当R0=0，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡 ，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡.
y 23 19 16
y=2x
y=x2
B
4
A
y=log2 x
1 o 1234
x
x 一般地，10 (n>0),在区间 一般地，对于指数函数 y=a30(a>1)和幂函数 y=xn50 和幂函数 在区间 20 40 x 0 x （0，1 1024 ，无论n比1.07×109 ，尽管在x的一定变化范围 ） 无论 大多少，尽管在 1.13×1015 大多少 × × × × y=2，+∞）上 1.05×106比a大多少 1.10×1012 的一定变化范围 100 400 1600 2500 y=x2 x会小于x 但由于 的增长快于x 的增长， 但由于a 900 内，a0会小于 n,但由于 x的增长快于 n的增长，因此总存在
在自然界中， 例2.在自然界中，有些种群的世代是隔离的，即每一代的生活 在自然界中 有些种群的世代是隔离的， 周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡， 周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡， 第二年种子萌发产生下一代.假设一个理想种群 假设一个理想种群， 第二年种子萌发产生下一代 假设一个理想种群，其每个个体产 个后代， 个个体， 生2个后代，又假定种群开始有 个个体，到第二代时，种群 个后代 又假定种群开始有10个个体 到第二代时， 个体将上升为20个 以后每代增加1倍 依次为40， ， 个体将上升为 个，以后每代增加 倍，依次为 ，80， 160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情 ， ，试写出计算过程，归纳种群增长模型， 况种群上升，种群稳定，种群灭亡. 况种群上升，种群稳定，种群灭亡 表示t 世代种群的大小， 表示t+1世代种群的大小 世代种群的大小， 解：设Nt 表示 世代种群的大小，Nt+1表示 世代种群的大小，