第六章 异方差与序列相关3
序列相关性
5.滞后效应 在经济中，因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为 滞后效应。在一个消费支出对收入的时间序列回归中，人们常常发现当前时 期的消费支出除了依赖于其他变量外，还依赖于前期的消有效 因为，在有效性证明中利用了 E(NN’)=2I 即同方差性和互相独立性条件。而且，在大样本情况下，参数估计量 虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。 2、变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之 上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。如果存 在序列相关，估计的参数方差 S ˆ ，出现偏误（偏大或偏小） ，t 检验就失去
~ e ~ e t t 1 t
，
~ e ~ ~ e t 1 t 1 2 et 2 t
3
， 。 。 。
醉客天涯之计量经济学
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。 回归检验法的优点是： （1）能够确定序列相关的形式 （2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。 3、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法（最常用） （1）方法使用条件： ①解释变量 X 非随机； ②随机误差项 i 为一阶自回归形式： i=i-1+i ③回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式： Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i ④回归含有截距项 ⑤误差项被假定为正态分布 （2）D.W.统计量： 杜宾和瓦森针对原假设：H0: =0， 即不存在一阶自回归，构如下造统计量：
D.W .
~ (e
t 2
n
t
~ )2 e t 1
2 t
异方差检验与序列相关
ˆ t 2 = α0 +α1 xt1 +α2 xt2 + α3 xt12 +α4 xt22 + α5 xt1 xt2 + vt u ˆ t 2 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行 OLS 回归。注意，上 即用 u
人均消费 支出 Y 3552.1 2050.9 1429.8 1221.6 1554.6 1786.3 1661.7 1604.5 4753.2 2374.7 3479.2 1412.4 2503.1 1720 1905 1375.6 1649.2 1990.3 2703.36 1550.62 1357.43 1475.16 1497.52 1098.39 1336.25 1123.71 1331.03 1127.37 1330.45 1388.79 1350.23 从事农业经营 的收入 X1 579.1 1314.6 928.8 609.8 1492.8 1254.3 1634.6 1684.1 652.5 1177.6 985.8 1013.1 1053 1027.8 1293 1083.8 1352 908.2 1242.9 1068.8 1386.7 883.2 919.3 764 889.4 589.6 614.8 621.6 803.8 859.6 1300.1 其他收入 X2 4446.4 2633.1 1674.8 1346.2 480.5 1303.6 547.6 596.2 5218.4 2607.2 3596.6 1006.9 2327.7 1203.8 1511.6 1014.1 1000.1 1391.3 2526.9 875.6 839.8 1088 1067.7 647.8 644.3 814.4 876 887 753.5 963.4 410.3
第六章 自相关性
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
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1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关自相关是计量经济学中一种重要的现象，它指的是一个变量与其自己在过去时间点上的相关性。
自相关在实证研究中十分常见，对经济学家来说，了解和掌握自相关性质是至关重要的。
1. 引言自相关作为计量经济学的一项基础概念，是经济学研究中不可或缺的一个重要方法。
自相关性的存在通常会引起回归结果的偏误，而忽略自相关性可能导致估计不准确的结果。
因此，探讨自相关性的性质和应对方法是计量经济学的重点之一。
2. 自相关的定义和表示自相关是指一个变量与其自身在过去时间点上的相关性。
假设我们有一个时间序列数据集，其中变量yt表示一个时间点上的观测值，t表示时间索引。
自相关系数可以通过计算观测值yt与其在过去某一时间点上的观测值yt-k（k为时间滞后期数）的相关性来得到。
数学上，自相关系数可以用公式表示为：ρ(k) = Cov(yt, yt-k) / (σ(yt) * σ(yt-k))其中，ρ(k)表示第k期的自相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
3. 自相关性的性质自相关性具有以下几个性质：3.1 一阶自相关性一阶自相关性是指变量值yt与前一期的观测值yt-1之间的相关性。
一阶自相关系数ρ(1)通常用来检验时间序列数据是否存在自相关性。
若ρ(1)大于零且显著，则表明存在正的一阶自相关性；若ρ(1)小于零且显著，则表明存在负的一阶自相关性。
3.2 高阶自相关性除了一阶自相关性，时间序列数据还可能存在高阶自相关性。
高阶自相关性是指变量值yt与过去第k期的观测值yt-k之间的相关性。
通过计算不同滞后期的自相关系数ρ(k)，可以了解数据在不同时间跨度上的自相关性情况。
3.3 异方差自相关性异方差自相关性是指时间序列数据中的方差不仅与自身相关，还与过去观测值的相关性有关。
异方差自相关性可能导致在回归分析中的标准误差失效，从而产生无效的回归结果。
因此，在处理存在异方差自相关性的数据时要采取合适的修正方法。
4. 自相关性的检验方法在实证研究中，经济学家通常使用多种方法来检验数据中的自相关性，常用的方法包括：4.1 Durbin-Watson检验Durbin-Watson检验是一种常用的检验自相关性的方法，其基本思想是通过检验误差项的相关性来判断自相关是否存在。
回归分析中的序列相关问题处理技巧
回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
然而，在实际应用中，由于数据存在序列相关性，回归分析的结果可能会产生偏误。
因此，如何处理序列相关问题成为回归分析中的关键技巧之一。
序列相关性是指时间序列数据中相邻观测值之间存在相关关系的情况。
在回归分析中，如果自变量或因变量存在序列相关性，就会导致回归系数估计值的偏误，从而影响模型的准确性和可靠性。
因此，处理序列相关问题对于回归分析的结果具有重要意义。
首先，我们需要了解序列相关性的特点和影响。
序列相关性通常表现为连续时间点的观测值之间存在一定的相关关系，例如自相关或滞后相关。
这种相关性会导致回归模型的残差项之间存在相关性，从而违反了回归分析的基本假设，影响了参数估计的准确性。
因此，处理序列相关问题是回归分析中必不可少的一环。
接下来，我们将讨论一些处理序列相关问题的常用技巧。
首先，可以通过时间序列数据的平稳化处理来消除序列相关性。
平稳化处理的方法包括差分、对数变换和季节性调整等，可以有效地降低数据的序列相关性，使其符合回归模型的基本假设。
其次，可以引入滞后变量或其他相关变量来控制序列相关性。
通过引入滞后自变量或滞后因变量，可以有效地消除序列相关性对回归模型的影响。
此外，还可以引入其他相关变量来控制序列相关性，从而提高回归模型的准确性和稳定性。
此外，还可以使用时间序列模型来处理序列相关问题。
时间序列模型是一种专门用于处理序列相关性的统计模型，包括自回归模型、移动平均模型和ARMA模型等。
通过建立时间序列模型，可以更准确地捕捉数据中的序列相关性，从而提高回归分析的准确性和可靠性。
最后，还可以通过异方差调整来处理序列相关问题。
异方差是指随着自变量或因变量的变化，数据的方差也在发生变化的情况。
通过对数据进行异方差调整，可以有效地消除序列相关性对回归分析的影响，从而提高模型的稳定性和可靠性。
综上所述，处理序列相关问题是回归分析中的重要技巧之一。
第6章 序列相关和异方差性
6.1.２异方差的检验
• ３．White Test
6.2序列相关性
• 当不同时刻的误差相关时，则误差项是 序列相关．不仅在时间序列，而且在截 面数据研究中也会发生． • 主要讨论一阶序列相关问题：一个时刻 的误差直接与下个时刻的误差相关． • 正相关与相关 • 影响：
6.１.2异方差的检验
• 异方差的非正式检验方式是对残差进行观察,看 看残差是否随观测值而变. • 1．Goldfeld-Guandt Test：假设考虑一元回归模 型． • 思想：对两个回归直线方程进行估计，看这两 个回归直线残差的方差是否相等． • 步骤： • 例６．２
6.1.２异方差的检验
*
Y X X 1 变换为： i 1 2 3 3i k ki i* X 2i X 2i X 2i X 2i 1 Var( ) Var( ) 2 Var( i ) C X 2i X 2i
* i
i
6.1.1异方差的修正
3.使用方差的一致估计 第10章进行详细讨论
第6章 序列相关和异方差性
• 6.1异方差性 • 6.2序列相关性
6.1异方差性
• 误差项同方差假设同现实不符. • 例如:企业的销售额,家庭的收入和支出. • 如果误差项服从异方差的分布,那么OLS估计将会给误差方差大的观测 值以较大的权重.所以,OLS估计量虽然是无偏和一致的,但是它们不再 是有效的. • OLS估计的无偏性可以通过一元回归模型证明. • 当存在异方差时,正确的方差公式
*
Yi
* ji
X ji
* i
* 变换后为：Yi * 1 2 X 1*i k X ki i*
异方差、序列相关性、多重共线性的比较
（2）对多个解释变量模型，采用综合统计检验法
2判明存在多重共线性的范围
（1）判定系数检验法：构造辅助回归模型(Auxiliary Regression)并计算相应的拟合优度
（2）排除变量法(Stepwise Backward Regression )
（3）逐步回归法（Stepwise forward Regression）
后果
（Consequences）
1.参数估计量非有效(但，是线性的、无偏的)
2.变量的显著性检验失去意义(t检验、F检验)
3.模型的预测失效(对Y的预测误差变大，降低预测精度)
与异方差性引起的后果相同：
1.参数估计量非有效
2.变量的显著性检验失去意义
3.模型的预测失效
1.完全共线性下参数估计量不存在
异方差、序列相关性、多重共线性的比较( )
异方差(Heteroskedasticity)
(截面数据：Cross Sectional Data)
序列相关性（SerialCorrelation）
(时间序列数据：Time Series Data)
多重共线性（Multicollinearity）
(时间序列数据：Time Series Data)
，(X’X)-1不存在
2.近似共线性下OLS估计量非有效（估计方差变大）
(1)参数估计量经济含义不合理(变现似乎反常的现象)
(2)变量的显著性检验失去意义(t变小，R2变大，F变大)
(3)模型的预测功能失效(方差变大使预测“区间”变大)
检验
(Test)
1.图示法(散点图)
2.帕克检验(ParkTest)
3.第三类方法：减小参数估计量的方差
第五讲-多重共线性、异方差、自相关
表 4.3.3 中国粮食生产与相关投入资料
农业化肥施 粮食播种面 受灾面积 农业机械总
用量 X 1
（万公斤）
积X 2
（千公顷）
X3
（公顷）
动力X 4
（万千瓦）
1659.8
114047 16209.3
18022
1739.8
11288பைடு நூலகம் 15264.0
19497
1775.8
108845 22705.3
20913
0.9752 1.53
t值
0.85
19.6 3.35 -3.57
Y=f(X1,X2,X3,X4) -13056 6.17 0.42 -0.17 -0.09
0.9775 1.80
t值
-0.97 9.61 3.57 -3.09 -1.55
Y=f(X1,X3,X4,X5) -12690 5.22 0.40 -0.20
含义：解释变量的样本向量近似线性相关。
多重共线性来源：
（1）解释变量x受到同一个因素的影响； 例如：政治事件对很多变量都产生影响，这些变量同时上升 或同时下降。
（2）解释变量x自己的当期和滞后期；
（3）错误设定。
二、多重共线性的后果
1、完全共线性下参数估计量不存在
Y X
的OLS估计量为： βˆ (XX) 1 XY
1、检验多重共线性是否存在
(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则说
明两变量存在较强的多重共线性。
(2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法
若 在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小， 说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解 释变量间存在共线性而使得它们对Y的独立作用不 能分辨，故t检验不显著。
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第三节 广义最小二乘法
Y X βε=+，1(,,)'n εεε="，()0E ε=
ε的方差协方差矩阵为：
211212212()()()(')()()()n n n n E E E E E E E εεεεεεεσεεεεε⎛⎞⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎝⎠"##%#"Ω
其中Ω为n 的实对称矩阵。
n ×若n I Ω=，则满足古典假定。
2(')n E εεσ=I 若n I Ω≠，则不满足古典假定，我们称为非球型扰动。
特别的：
1）2112222220 0 0 0000 0 0 0 0 0 n n σωωσσσωσ⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜
⎟⎜⎟Ω==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎠⎝⎠⎝""""####%##%""为异方差的情形。
2）为一阶自回归形式的自相关情形。
12212
11T T T ρ
ρσσρρ−−−⎛⎞
⎜
⎟
Ω=⎜⎜⎟⎝⎠
"#
#
%#"⎟
一、广义最小二乘法
思想：对原模型进行适当的变换（从Ω出发）将扰动项的方差协方差矩阵化成2n I σ以满足古典假定。
做法：由于Ω对称且正定，则存在一个非奇异的n n ×矩阵，使得
，于是P 1'P P −Ω=1(')P P −Ω= 对模型进行变换：
Y X βε=+，用左乘方程两边得：P PY PX P βε=+
令，*Y PY =*X PX =，*P εε=则模型变为：**Y X *βε=+；
**22
1
2
(')[()'](')'(' (')'n
E E P P PE P P P P P P I εεεεεεσσσ−=====)P Ω
所以变换后模型的扰动项满足古典线性回归模型的假定。
用OLS 估计新方程得：
**1**11111ˆ(')'[()'()]()'()['(')]'(') [']'GLS X X X Y PX PX PX PY X P P X X P P Y X X X Y
β−−−−−−====ΩΩˆGLS
β为广义最小二乘估计量。
2**121ˆ()(')(')GLS
Var X X X X βσσ−−==Ω1−
二、异方差、自相关时模型的GLS 估计
1)I Ω=时，1ˆˆ(')'GLS OLS
X X X Y ββ−== 2）12 0 000 0 0 n ωωω⎛⎞⎜⎟⎜
⎟Ω=⎜⎟⎜⎟⎠⎝""###%"时，1222 0 000 (') 0 0 n E ωωεεσσω⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟=Ω=⎜⎟⎜⎟
⎠⎝
""###%" 1
211
1
1 0 000 0 0 n ωω−⎛⎞⎜⎟⎜⎟Ω=⎜
⎟⎜⎟⎟⎜⎠⎝""###%"
，变换矩阵为： 000 0 0 P ⎞
⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎜⎝""###%" 111'1ˆ[']'[][]GLS
i i i i i i i
i
X X X Y w X X w X Y β−−−−=ΩΩ=∑∑， 其中1
i i
w ω=
，即为WLS 估计。
若Ω已知，可以直接进行GLS （即为WLS ）估计。
若Ω未知，需要先估计权重1
i i
w ω=，有了Ω的估计ˆΩ
后，可以做GLS 估计。
3）时，模型存在一阶自相关，此时 1212
1
1T T T ρ
ρσρρ−−−⎛⎞
⎜
⎟
Ω=⎜⎜⎟⎝
⎠
"#
#
%#"⎟2122
1
00
01001
010010000
1ρρρρρρρρ−−⎛⎞
⎜⎟
−+−⎜⎟⎜⎟Ω=−+−⎜
⎟
⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
""""
""#""""000
变换矩阵为：
00001
00000
1
00
00001P ρρρ⎞⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜
⎟
⎜⎟
⎜⎟
−⎝⎠"""
"""#""""00 此时，2112
1
'(1),'1P P P P ρρ
−−=−ΩΩ=
−， PY PX P βε=+具体化为：
11
**212111,T T T
T Y Y X X Y X Y Y X X ρρρρ−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝##
⎞
⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠， 从前的广义差分变换相当于忽略了第一项。
GLS 估计：111ˆ[']'GLS
X X X Y β−−−=ΩΩ。
若Ω已知，我们可以直接对和Y X 进行变换，然后进行OLS 估计。
若Ω未知，我们则先要对Ω进行估计，估计的方法即为前面关于自相关修正中的说明。
说明：一般地，对于非球型扰动来说，Ω都是未知的。
若要进行GLS 我
们先得对Ω进行估计得到，再将ˆΩ
ˆΩ代入GLS 估计中去。
我们称这种做法为可行的广义最小二乘估计（FGLS 估计）：
111ˆˆˆ[']'FGLS X X X Y β−−−=ΩΩ
广义最小二乘估计量的有效性
ˆGLS
β是一个BLUE （best linear unbiased estimator ）估计量. **1**11111111111ˆ(')'[()'()]()'()['(')]'(') [']'[']'()[']'GLS X X X Y PX PX PX PY X P P X X P P Y X X X Y X X X X X X X ββεβ−−−−−−−−−−−−====ΩΩ=ΩΩ+=+ΩΩ111ˆ()[']'()GLS E X X X E ε
ββεβ−−−=+ΩΩ= 2**121ˆ()(')(')GLS
Var X X X X βσσ−−==Ω1−
存在非球形扰动时，
1ˆ(')'OLS X X X Y β−=，21ˆ()(')'(')OLS Var X X X X X X βσ1−−=Ω 可以证明ˆOLS β不如ˆGLS β有效。
证明： ˆˆ()()GLS OLS
Var Var ββ≤211111*********
[(')'(')'][(')'(')']'
(')'(')(')ˆˆ()()OLS
GLS
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Var Var σσσβ
β−−−−−−−−−−−−ΩΩΩ−ΩΩ=Ω−Ω=−−0
因为，Ω对称且正定，所以ˆˆ()()OLS GLS
Var Var ββ−≥。