辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学(理)试题 Word版含答案

2014-2015学年度高三四校联考数学试题（理）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集R U =，{}{}034|,2|2>+-=<=x x x B x x A ，则)(B C A U ⋂等于{}31|.<≤x x A {}12|.<≤-x x B {}21|.<≤x x C {}32|.≤<-x x D2.设R b a ∈,，则“0>>b a ”是“ba 11<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.函数9ln )(3-+=x x x f 的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 4．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若336=S S ，则69S S =A. 2B.37C.38D. 3 5. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，当13-≤≤-x 时，2)2()(+-=x x f ，当31<≤-x 时，x x f =)(.则=+++)2012(...)2()1(f f f A ．335 B ．338 C ．1678 D ．20126.已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是A. ()1,2B.(][),12,-∞+∞ C. []1,2 D.()(),12,-∞+∞7．已知函数1212)(+-=x x x f ，则不等式0)4()2(2<-+-x f x f 的解集为（ ）A .()1,6-B .()6,1-C.()2,3-D.()3,2-8. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到 的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图像 （ ）A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D.关于直线125π=x 对称9.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})(1{n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A.20132012B.20142013C.20152014D.2016201510.下列四个图中，函数11101++=x x n y 的图象可能是( )11.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ． b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对),0(+∞∈∀x ，有)1()()2(f x f x f -=+，且当[]3,2∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1(log )(+-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点，则a 的取值范围是 ( ) A.)22,0(B.)33,0( C.)55,0( D.)66,0(二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为6，则ba 21+的最小值为______________ __. 14. 函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．15.在AOB ∆中，G 为AOB ∆的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且︒=∠60AOB .若6=⋅的最小值是____ ____．16. 对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导数()y f x '= 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数()32331f x x x x =-++对称中心为 ．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++． （1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值；（2）写出()f x 的单调区间．18.（本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.19.（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =． （1）求数列{n a }，{n b }的通项公式； （2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W .20.（本小题满分12分）已知函数23)(bx ax x f +=的图象经过点)4,1(M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直． （1）求实数b a ,的值；（2）若函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =⋅,12n n S b b b =+++,求n S .22.（本小题满分12分）已知函数2()ln()f x x a x x =+-+,2()1(0)x g x x e x x =⋅-->,且()f x 点1x =处取得极值．（1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （3）证明：()()g x f x ≥．2014-2015学年度上学期期中学业水平监测答案（理）二．填空题：13.3348+ 14. 4 15. 2 16. (1 ,2)三． 解答题：17.（10分）解：（1）3(1cos2)1cos2()sin 222x xf x x +-=++sin 2cos 22x x =++)24x π=++所以()f x 的最大值为2,Z 8x k k ππ=+∈.………………………5分（2）由222242k x k πππππ-≤+≤+得388k x k ππππ-≤≤+； 所以()f x 单调增区间为：3[,],Z 88k k k ππππ-+∈； 由3222242k x k πππππ+≤+≤+得588k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 单调减区间为：5[,],Z 88k k k ππππ++∈。

………………………10分18.（12分）解()2cos cos f x x x x ωωω=- ……1分112cos 2222x x ωω=-- ……2分 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ……3分 ()y f x =的最小正周期为T π= ，即：212ππωω=⇒= ……4分 ()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ……5分22171sin 2sin 1336262f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……6分 （2）()2cos cos a c B b C -=∴由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ……7分()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-= ……8分1sin 0 cos 2A B >∴=()0 3B B ππ∈∴=， ……9分22 033A C B A πππ⎛⎫+=-=∴∈ ⎪⎝⎭， ……10分72666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ……11分 ()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤∴=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ……12分19.（12分）解:(1) ∵的等差中项，和是1n n S a 12-=n n a S 当,22)12()12(2111----=---=-=≥n n n n n n n a a a a S S a n 时，,21-=n n a a当1,1211111=∴-===a a S a n 时，………………………………………………2分 ∴),(0*∈≠N n a n 21=-n na a…………………………………………………………4分 {}11221-=∴=∴n n n a a a 为公比的等比数列，为首项，是以数列………………6分1221-=+⋯⋯++=n n n a a a S设{}n b 的公差为d ，21815,15941=⇒=+-=-=-=d d b S b()1722115-=⨯-+-=∴n n b n ………………………………………………………8分（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=1211212112121n n n n c n ……………………………………10分24121)121121()5131()3111(21+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-=∴n n n W n ………………12分20.（12分）解：（1）∵23)(bx ax x f +=的图象经过点M （1，4），∴4=+b a ①式………1分bx ax x f 23)(2'+=，则b a f 23)1('+=…………………………………3分由条件923,1)91()1('=+-=-⋅b a f 即② ……………………………5分 由①②式解得3,1==b a（2）x x x f x x x f 63)(,3)(2'23+=+=，令2063)(2'-≤≥+=x x x x x f 或得 …………………………8分[]上单调递增在区间函数1,)(+m m x f [](][)+∞⋃-∞-∈+∴,02,1,m m 10分30,210-≤≥∴-≤+≥∴m m m m 或或 ……………………………12分 21.（12分）解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有2（32a +）=2a +4a ,代入23428a a a ++=, 得3a =8,∴2a +4a =20 ∴311231208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又{}n a 单调递增，∴q =2, 1a =2,∴n a =2n┉┉┉┉┉┉┉┉6分（2）122log 22n n n n b n =∙=-∙, ∴23122232...2n n s n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ①∴23412122232...(1)22n n n s n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+②∴①-②得23112(12)222...22212n nn n n s n n ++-=++++-∙=-∙-＝11222n n n ++-∙- .......12分22.（12分）解：（1）∵2()ln()f x x a x x =+-+， ∴'1()21f x x x a=-++ ∵函数2()ln()f x x a x x =+-+在点1x =处取得极值， ∴'(1)0f =，即当1x =时1210x x a-+=+， ∴1101a-=+，则得0a =.经检验符合题意 ……2分 （2）∵5()2f x x b =-+,∴25ln 2x x x x b -+=-+, ∴27ln 2x x x b -+=.令27()ln (0)2h x x x x x =-+>, ……4分则17(41)(2)'()222x x h x x x x+-=-+=-.∴当[]1,3x ∈时，)(),('x h x h 随x 的变化情况表：计算得：5(1)2h =，35(3)ln 322h =+>，(2)ln 23h =+，5(),ln 232h x ⎡⎤∴∈+⎢⎥⎣⎦所以b 的取值范围为5,ln 232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。