第6讲(1) 多项式计算
第2章 整式加减：第06讲 整式的加减(老师版)
第06讲：整式的加减一、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．注意：(1)整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．(2)两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．题型一、整式的加减运算例1.下列运算正确的是()A.x2+x2=x4B.4x+x-3y=3x+3yC.x2y-2x2y=-x2yD.2x+2=2x+2【答案】【答案】C【分析】利用整式的运算法则进行分别计算即可.【详解】解：A x2+x2=2x2故此项错误；B4x+(x-3y)=5x-3y故此项错误；C此项正确；D2(x+2)=2x+4故此项错误.故选C例2.化简7(x+y)-5(x+y)的结果是( )A.2x+2yB.2x+yC.x+2yD.2x-2y【答案】【答案】A【分析】原式去括号合并即可得到结果．【详解】解：原式=7x+7y-5x-5y=2x+2y，故选A．例3.减去2x等于x2+3x-6的多项式是()．A.x2+5x-6B.x2-5x-6C.x2+x-6D.x2-x-6【答案】【答案】A【分析】由减法的意义可得被减数等于差加上减数，列式计算即可得到答案.【详解】解：减去2x等于x2+3x-6的多项式是x2+3x-6+2x=x2+5x-6.故选：A.例4.若A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，则A+B一定是()A.三次多项式B.四次多项式C.七次多项式D.四次七项式【答案】【答案】B【分析】由A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，可得A,B的最高次项一定不是同类项，不能合并，合并后至少保留两个最高次项，从而可得答案.【详解】解：∵A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，∴A,B的最高次项一定不是同类项，不能合并，合并后至少保留两个最高次项，所以A+B一定是四次多项式，故选：B.例5.已知a+b=7，ab=10，则代数式(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)的值为()A.49B.59C.77D.139【答案】【答案】B【分析】首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用(a+b)与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．【详解】解：∵(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)=5ab+4a+7b+3a-4ab=ab+7a+7b=ab+7(a+b)∴当a+b=7，ab=10时原式=10+7×7=59．故选B．例6.一个多项式A与多项式B=2x2-3xy-y2的和是多项式C=x2+xy+y2，则A等于()A.x2-4xy-2y2B.-x2+4xy+2y2C.3x2-2xy-2y2D.3x2-2xy【答案】【答案】B【分析】用多项式C-多项式B即可求出多项式A.【详解】由题意得A=C-B=x2+xy+y2-2x2-3xy-y2=x2+xy+y2-2x2+3xy+y2=-x2+4xy+2y2.故选B.例7.已知a+b=4，c-d=3，则(b+c)-(d-a)的值等()A.1B.-1C.7D.-7【答案】【答案】C【详解】分析:原式去括号整理后，将已知的等式代入计算即可求出值.详解:：∵a+b=4，c-d=3，∴原式=b+c-d+a=(a+b)+(c-d)=3+4=7，故选C.例8.化简：2(x-3)-(-x+4)=____．【答案】【答案】3x-10【解析】先去括号，再合并同类项即可.解：原式=2x-6+x-4=3x-10.故答案为3x-10.例9.一个多项式与2x2-xy+3y2的和是-2xy+x2-y2，则这个多项式是______．【答案】【答案】-x2-xy-4y2【分析】题目给出了多项式的和及一个多项式，要求另一个多项式，只要用和减去这个多项式就可得到正确结果．【详解】解：根据题意，这个多项式是，-2xy+x2-y2-(2x2-xy+3y2)，=-2xy+x2-y2-2x2+xy-3y2=-x2-xy-4y2．故答案为-x2-xy-4y2．例10.7a -3b +2与10a +2b -4的和是_____________．【答案】【答案】17a -b -2【分析】直接把两个代数式相加，合并同类项即可得到答案.【详解】解：7a -3b +2+10a +2b -4=17a -b -2. 故答案为：17a -b -2.例11.计算：(1)2(4x -0.5)；(2)-31-16x；(3)-x +(2x -2)-(3x +5)；(4)3a 2+a 2-2a 2-2a +3a -a 2 ．【答案】【答案】(1)8x -1；(2)12x -3；(3)-2x -7；(4)a 2+5a ．【详解】解：(1)2(4x -0.5)=8x -1；(2)-31-16x =12x -3；(3)-x +(2x -2)-(3x +5)=-x +2x -2-3x -5=-2x -7;(4)3a 2+a 2-2a 2-2a +3a -a 2=3a 2+a 2-2a 2+2a +3a -a 2=a 2+5a ． 例12.化简：(1)4x 2+5y -22x 2-3y ；(2)3(2y -2z )-12x -4y -6z+13x ；(3)12x -[2x +(6x -5)-3]+2；(4)-(3x -2y +z )+7-[5x -(x -2y +z )-3]．【答案】【答案】(1)26y ；(2)10y -16x ；(3)4x +10；(4)-7x +10【分析】先去括号，再合并同类项化简求解即可．【详解】解：(1)原式=4x 2+20y -4x 2+6y =26y ；(2)原式=6y -6z -12x +4y +6z +13x =10y -16x ；(3)原式=12x -2x -6x +5+3+2=4x +10；(4)原式=-3x +2y -z +7-5x +x -2y +z +3=-7x +10；例13.先化简下式，再求值-x 2+5+4x +5x -4+2x 2 ，其中x =-2【答案】【答案】x 2+9x +1，-13．【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入x =-2计算解题．【详解】解：原式=-x 2+5+4x +5x -4+2x 2 =-x 2+5+4x +5x -4+2x 2=x 2+9x +1当x =-2时，原式=x 2+9x +1=(-2)2+9×(-2)+1=-13．例14.先化简，再求值：12x -2x -13y 2 +-32x +13y 2 ，其中x =-2，y =23．【答案】【答案】-3x +y 2，589．【分析】先根据整式的加减运算法则把原式化简，再把x =-2，y =23代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．【详解】解：原式=12x -2x +23y 2-32x +13y 2=-3x +y 2当x =-2，y =23时，原式=-3×-2 +23 2=6+49=589.题型二、应用例15.一个长方形的面积为4a2-2ab，且一边长为2a，则该长方形的周长为()．A.2a-bB.4a-bC.4a2-2abD.8a-2b【答案】【答案】D【分析】根据多项式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长．【详解】解：∵一个长方形的面积为4a2-2ab，且一边长为2a，∴该长方形另一边的长为：4a2-2ab÷2a=2a-b，∴长方形的周长为：22a+2a-b=8a-2b，故选D例16.已知a2-ab=3,ab-b2=-2，则式子a2-2ab+b2的值为()A.5B.-5C.1D.-1【答案】【答案】A【分析】根据a2-ab=3,ab-b2=-2，将所求式子变形，即可得到所求式子的值．【详解】解：a2-2ab+b2，=(a2-ab)-(ab-b2)=3-(-2)=3+2=5，故选：A．例17.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a2+b2=300，ab=12，则阴影部分的面积为______．【答案】【答案】144【分析】由图形可得，阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，即可求解．【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，∵a2+b2=300，ab=12，∴S阴影=a2+b2-12a×a-12(a+b)b=12(a2+b2)-12ab=12×300-12×12=144故答案为：144．例18.甲、乙两艘轮船分别从A、B两地出发，相向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都为40km/h，水速为v km/h，3h后两船相遇，则甲船速度为__________km/h，乙船速度为_______km/h，A、B两地相距_______km，乙船比甲船少行驶______km．【答案】【答案】(40+v)(40-v)2406v【分析】根据“甲船顺水，乙船逆水，静水速度都为40km/h，水速为v km/h，”可得甲船速度为(40+v)km/h，乙船速度为(40-v)km/h；然后根据A、B两地相距等于两船行驶的路程之和，可得A、B两地相距；最后用甲船行驶的路程减去乙船行驶的路程可得到乙船比甲船少行驶的路程．【详解】解：∵甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都为40km/h，水速为v km/h，∴甲船顺水速度为(40+v)km/h，乙船逆水速度为(40-v)km/h；∴A、B两地相距340+v+340-v=120+3v+120-3v=240km/h；∴乙船比甲船少行驶340+v-340-v=120+3v-120+3v=6v km．故答案为：(40+v)；(40-v)；240；6v．例19.一个三位数的十位为m ，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为________．【答案】【答案】313m -98【分析】根据题意先表示个位数为：3m +2,再表示百位数为：3m -1,从而可得答案.【详解】解：∵一个三位数的十位为m ，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，∴个位数为：3m +2, 百位数为：3m +2-3=3m -1, 所以这个三位数为：1003m -1 +10m +3m +2=313m -98. 故答案为：313m -98例20.已知A =2x 2-3xy +2x -5，B =-3x 2+xy +7，且3A +2B 的值与x 无关，求y 的值．【答案】【答案】67【分析】先去括号，再合并同类项求解3A +2B ，再根据3A +2B 的值与x 无关，可得-7y +6=0,从而可得答案.【详解】解：3A +2B =32x 2-3xy +2x -5 +2-3x 2+xy +7 =6x 2-9xy +6x -15-6x 2+2xy +14=-7xy +6x -1=-7y +6 x -1∵3A +2B 的值与x 无关，∴-7y +6=0,∴y =67.例21.(1)列式表示比a 的5倍大4的数与比a 的2倍小3的数，计算这两个数的和；(2)列式表示比x 的7倍大3的数与比x 的6倍小5的数，计算这两个数的差．【答案】【答案】(1)5a +4,2a -3,7a +1；(2)7x +3,6x -5,x +8【分析】先根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算，即可求解．【详解】解：(1)比a 的5倍大4的数是5a +4，比a 的2倍小3的数是2a -3，这两个数的和为5a +4 +2a -3 =5a +4+2a -3=7a +1；(2)比x 的7倍大3的数是7x +3，比x 的6倍小5的数是6x -5，这两个数的和为7x +3 -6x -5 =7x +3-6x +5=x +8．例22.如图，大圆的半径是R ，小圆的面积是大圆面积的49，求阴影部分的面积．【答案】【答案】59πR 2．【分析】大圆的面积为πR 2，小圆的面积为49πR 2，根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆的面积，两式相减即可得到阴影部分的面积．【详解】∵大圆的半径是R ，小圆的面积是大圆面积的49，∴大圆的面积为πR 2，小圆的面积为49πR 2，∴阴影部分的面积=πR 2-49πR 2=59πR 2．例23.已知三角形的第一条边长为4a +3b ，第二条边比第一条边长a -2b ，第三条边比第二条边短a -b ．(1)求第二条边长；(2)求这个三角形的周长．【答案】【答案】(1)5a +b ；(2)13a +6b【分析】(1)用第一条边长加上(a -2b )列出算式，去括号、合并同类项即可得；(2)将三角形三边长度相加列出算式，然后去括号、合并同类项即可得．【详解】解：(1)4a +3b +(a -2b )，=5a +b ；(2)周长为：4a +3b +5a +b +(5a +b )-(a -b )，=4a +3b +5a +b +5a +b -a +b ，=13a +6b ．1.一个多项式减去x 2-2y 2等于x 2+y 2，则这个多项式是( )A.-2x 2+y 2 B.2x 2-y 2C.x 2-2y 2D.-x 2+2y 2【答案】【答案】B【分析】根据：被减式=减式+差，列式计算即可得出答案．【详解】解：这个多项式为：x 2-2y 2+(x 2+y 2)=(1+1)x 2+(-2+1)y 2，=2x 2-y 2，故选B ．2.已知a -b =-3,c +d =2，则(a +c )-(b -d )的值是()A.-1B.-5C.5D.1【答案】【答案】A【分析】先去括号，然后利用加法结合律进行组合，再把值代入计算即可．【详解】解：∵a -b =-3,c +d =2，∴(a +c )-(b -d )=a +c -b +d =a -b +(c +d )=-3+2=-1．故选：A ．3.已知长方形的周长是4a +2b ，一边长为2a -b ，则另一边长为()．A.2a +3bB.2aC.2bD.2a -b【答案】【答案】C【详解】解：4a +2b -(2a -b )×22=4a +2b -4a +2b 2=4b2，=2b ．故选C .4.两个单项式34a 5b 2m与-a n b 6的和是一个单项式，那么m +n =___【答案】【答案】8【分析】根据同类项的定义列出方程, 求出n ,m 的值, 再代入代数式计算.【详解】解:由题意得：34a 5b 2m 与-a n b 6是同类项,得2m =6,m =3;n =5，∴m +n =8,故答案为8.5.若整式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)的值与x的取值无关，则a的值是________．【答案】【答案】1【分析】把多项式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)化简整理成(6-6a)x+8的形式，再根据其值与x无关，可得关于a的方程，解方程即可．【详解】原式=8x2-6ax+14-8x2+6x-6=(6-6a)x+8，∵整式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)的值与x无关，∴6-6a=0，解得：a=1，故答案是：1．6.计算：(1)2x-10.3x；(2)3x-x-5x；(3)-b+0.6b-2.6b(4)m-n2+m-n2．【答案】【答案】(1)-8.3x；(2)-3x；(3)-3b；(4)2m-2n2．【详解】解：(1)2x-10.3x=(2-10.3)x=-8.3x；(2)3x-x-5x=(3-1-5)x=-3x；(3)-b+0.6b-2.6b=(-1+0.6-2.6)b=-3b；(4)m-n2+m-n2=(m+m)+(-n2-n2)=2m-2n2．7.计算：(1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)(2)8xy-x2+y2-x2-y2+8xy；(3)2x2-12+3x-4x-x2+12；(4)3x2-7x-(4x-3)-2x2．【答案】【答案】(1)-a+4b+9c；(2)-2x2+2y2，(3)6x2-x-52；(4)5x2-3x-3．【详解】解：(1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)=5a+4c+7b+5c-3b-6a=-a+4b+9c；(2)8xy-x2+y2-x2-y2+8xy=8xy-x2+y2-x2+y2-8xy=-2x2+2y2；(3)2x2-12+3x-4x-x2+12=2x2-12+3x-4x-4x2+2=2x2-12+3x-4x+4x2-2=6x2-x-52；(4)3x2-7x-(4x-3)-2x2=3x2-7x-4x+3-2x2=3x2-7x+4x-3+2x2=5x2-3x-3．8.先化简再求值：-2(3a2-ab+2)-(5ab-6a2)+4，其中a=2，b=-1．【答案】【答案】6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：当a=2，b=-1时，原式=-6a2+2ab-4-5ab+6a2+4=-3ab=69.已知一个三角形的第一条边长为3a +b ，第二条边比第一条边短a -2b ，第三条边比第二条边长2a +b ．(1)则第二边的边长为________，第三条的边长为________．(2)用含a ，b 的式子表示这个三角形的周长，并化简．(3)若a ，b 满足a -8 +b -7 2=0，求这个三角形的周长．【答案】【答案】(1)2a +3b ，4a +4b ；(2)9a +8b ；(3)128【详解】解：(1)第二条边为(3a +b )-(a -2b )=3a +b -a +2b =2a +3b ，第三条边为：(2a +3b )+(2a +b )=2a +3b +2a +b =4a +4b ，故答案为：2a +3b ，4a +4b ；(2)该三角形的周长为：(3a +b )+(2a +3b )+(4a +4b )=3a +b +2a +3b +4a +4b =9a +8b ；(3)∵a -8 +b -7 2=0，且a -8 ≥0，b -7 2≥0，∴a -8=0，b -7=0，∴a =8，b =7，∴该三角形的周长为：9×8+8×7=128．10.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，甲船在静水中的速度是a km /h ，乙船在静水中的速度是b km /h ，水流速度是c km /h ．甲船航行3h 后到达A 港口，乙船航行4个小时到达B 港口．(1)2h 后甲船比乙船多航行多少千米？(2)求A ，B 两个港口之间的航程．【答案】【答案】(1)(2a -2b +4c )千米；(2)(3a +4b -c )千米【分析】(1)根据题意求得甲乙两船的速度，顺水航行时，船速等于船再静水中的速度加上水流速度；逆水航行时船速等于船再静水中的速度减去水流速度，根据速度×时间=路程，即可求得；(2)根据两船的航程和即为A ，B 两个港口之间的航程．【详解】(1)根据题意，甲船的速度为(a +c )km /h ，乙船的速度为(b -c )km /h ，2小时后，甲的路程为：2(a +c )，乙的路程为：2(b -c )，2(a +c )-2(b -c )=2a +2c -2b +2c =2a -2b +4c (千米)．答：2h 后甲船比乙船多航行(2a -2b +4c )千米，(2)依题意，甲的路程为：3(a +c )，乙的路程为：4(b -c )，A ,B 两港口之间的航程为：3(a +c )+4(b -c )=3a +3c +4b -4c =3a +4b -c ，答：A ,B 两港口之间的航程为(3a +4b -c )千米．11.一个两位数，个位上的数是 x，十位上的数比个位上的数大3．(1)写出表示这个两位数的代数式．(2)若把个位上的数与十位上的数对调，求新数比原数少多少？【答案】【答案】(1)11x+30；(2) 27【分析】(1)根据已知用十位上的数乘以10加上个位数即为这个两位数；(2)相同的方法表示出新的两位数再用原来的两位数减去新的两位数即为所求．【详解】解：(1)∵个位上的数是x，十位上的数比个位上的数大3，即十位上的数为x+3，则这个两位数为：10x+3+x=10x+30+x=11x+30；(2)根据题意，新数的个位是x+3，十位是x，则新数为10x+x+3=11x+3，所以11x+30-11x+3=11x+30-11x-3=27，答：新数比原数少27．12.“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分)，设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．(1)用式子表示“囧”的面积S；(用含a、x、y的式子表示)(2)当a=20，x=5，y=4时，求S的值．【答案】(1)S=a2-2xy；(2)360．【答案】【分析】(1)根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；(2)把x、y的值代入代数式进行计算即可得解．【详解】(1)S=a2-1xy×2-xy，=a2-2xy；2(2)当a=20，x=5，y=4时，S=a2-2xy=202-2×5×4，=400-40=360．。
第06讲 整式的概念和整式的加减w
第6讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式．2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数. 把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大） 的顺序排列叫做降（或升）幂排列法．整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。
3. 灵活地去（添）括号括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉 （或添上）“-”号，括号里各项都变号，若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以 从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果 的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例1 (1997年北京市初二数学竞赛试题)同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个解：设满足条件的单项式为p n m c b a 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7．指数m ，n ，p 只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以满足条件的单项式有;,,;,,334242555c b a bc a c ab bc a c ab abc ;,,244224c b a c b a c ab .,,;,,223232322333333c b a c b a c b a c b a bc a c ab 总计有15个．故选（D ）例2．（1993年第4届“希望杯”邀请赛试题）在多项式42123431993---++m n n m n m n m y x v u y x v u （其中m ，n 为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n=解 若n m v u 1993与n m v u 23是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。
第06讲整式及其加减(教案)
举例：难点在于学生往往在处理含括号的整式加减时，容易混淆去括号后的符号变化，如(-3)(x-2)变为-3x+6；在解决应用题时，难以将问题描述转化为数学表达式，如“小明买了一本书和一支笔，书的价格是x元，笔的价格是y元，一共花了多少钱？”需要引导学生将其转化为x+y的表达式；在处理多项式相加或相减时，对于不同类项的识别和分类也是学生容易出错的地方，需要通过具体例题和练习加以强化。
学生小组讨论的环节也很有成效，大家能够提出自己的见解，并从不同角度分析问题。但在引导讨论时，我发现有些问题可能设置得过于开放，导致学生们思考的方向过于发散，难以聚焦。在今后的教学中，我需要更加精准地设置问题，引导学生更深入地探讨核心知识点。
此外，我还注意到，在总结回顾环节，有些学生对于整式加减的应用仍然存在疑惑。这提醒我在下一次的教学中，需要更加重视对知识点的总结和巩固，确保学生们能够彻底理解和掌握。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的基本概念、整式加减的重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式加减的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于整式及其加减的概念和运算规则的理解存在一些差异。有的学生能够迅速掌握合并同类项的技巧，但有的学生在去括号和符号处理上犯了难。这让我意识到，在讲解这些知识点时，需要更加细致和具体。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式加减相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示整式加减的基本原理，如合并同类项的实际操作。
第6讲+有理数、实数,二次根式的计算
第六周 无理数与实数，二次根式的意义及乘除计算本节目标：1、 明确二次根式具有双非负性。
2、 会逆用公式(•、a)2= a (a _ 0)将多项式在实数范围内进行因式分解。
—2.. i a (a _0)3、 弄懂二次根式的性质： .a = a =(av0)4、 能熟练进行二次根式乘除法、加减法计算。
5、 会进行代入求值的计算。
6、 二次根式的概念及性质 实数部分知识点：1、 实数和数轴上的点是 对应的，数轴上每一个点都表示唯 个实数。
2、 实数集的分类还可以这样分:正分数 i 负分数3、比较有理数的大小(1 )利用数轴，右边 > 左边(2) 正实数 >负实数，两个负数比较，绝对值大的反而小。
(3) 两个无理数比较大小，通常先求出近似值，再比较大小。
(4) 其他常用方法：作差法、作商法、平方法板块一：无理数与实数【例1】-,0,0.5,―工，—2 ,，6,0.1010010001……，-，这些数中，有理数有 ______________________3 7____________________ ，无理数有 _______________________________________________ 。
【例2】求下列各式中的x(1) x =j 2 (2)X —1=2 (3) 2x+5=7【例4】求满足下列等式的字母的取值范围有理数 实数*无理数正有理数*0 负有理数 正无理数 负无理数，有限小数或无限循环小》无限不循环小数有理数、负整数 无理数」'正无理数负无理数(1) x =x(2) x = —x (3) 2a —73=石―2a【例5】比较大小(1) 3-3与.、2 ( 2) 一-10 与一二(3) 2.3 与3...2 (4) ..、6 •2与..3 • ... 5 (平方法)(5) ..2-a与32a-5 (正负法) (6) 2^- 7与、一7 -3 (作差法)(7) 3 3与•、2 (根指数统一)【例6】,5的整数部分是 ________ ，小数部分是___________ 。
第6讲整式与分式
第2讲整式与分式考点1整式的有关概念(1)单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式(单独一个数或理也是单项式). 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：儿个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项•(3)整式：单项式与多项式统称为整式.(4)同类项在一个多项式中，所倉字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.注意:在合并同类项时，把同类项的系数相加•字母和字母的指数保持不变，切记非同类项不能合并.考点2幕的性质及运算⑴幕:求相同因数积的运算叫乘方，乘方的结果叫幕，一般表示为:小(a工0,n为正整数), 其中a叫底数，n叫指数•(2)幕的主要运算性质①。
加刃=肝+珥尬、n为正整数,a工0).②@皿)"=小"(机、n为正整数卫H 0).③(a - b)m = • bm(a H Opb H (Xm为正整数).④flE 十 = -“(m、为正整数，且m > n,G 0).⑤a一P = 7 V a H 0,F为常数)⑥a。
= l(a 主 0).考点3整式的运算(1)整式的加减：实际就是去括号，合并同类项•(2)整式的乘法①单项式乘以单项式：系数相乘得积的系数；同底数的幕柑乘作为积的因式，只在一个单项式中出现的字母连同它的指数，作为积的一个因式.②m(a + b) = ma + mb ③(a + b)(c + d) = ac + ad + be + bd.④(a + b)(a— b)=卫―方2； @ + 方严=a^+2ab +，；(a— b)2 = a^—2ab + b^.(3)整式的除法①单项式除以单项式：把系数.相同字母分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里會有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 考点4因式分解(1)因式分解把一个多项式化成儿个整式的积的形式.(2)因式分解的方法①提取公因式法！am + bm + cm = m(a + b + c)・②运用公式法：平方差公式：a^-b^ = (a + Z?)(a-d).完全平方公式：± 2ab+ b2 = (a±b)2・考点5分式及其基本性质(1)分式：整式A除以整式B,可以表示成£形式，如果除式B中含有字母，那么称£为分DD 式，若BHO,则春有意义：若B = O,则令无意义；若力=0且B H O,贝|£=0.(2)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变・考点6分式的运算(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，将这种变形称为分式的约分.(2)通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，将这一过程称为分式的通分.(3)分式的加减法①同分母的分式相加减：分母不变・把分子相加减.②异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减.⑷談5) 5为正整数).⑹加汁普=譽经典例题例1 (2010,陕西)计算(-2a2).3a的结果是(A -6启C. 12a^D. 6a^【变式训练】1.(2010,泰州)下列运算正确的是()A.a? • / = (―= —a^C. (ab)? = ab^D.a^一 / =淤例2(2010.陕西)化简.-——+¥?•n-n m+n【变式训练】2.（2010. II 照）化简，求值:总茁十吉其中尤=近一九 例 3 （2010,宿迁）若 2a -b = 2,则 6 + Qa-4b =. 【变式训练】3.己知10加=2, 12 = 3,则103m+2” _ 4. （2010,苏州） 先化简，再求值;2a （a+ b ）- （a +b ）2,其中a = 75,力=屈例4 （2010,潍坊） 分解因式xy2 - 2xy + 2y - 4 =.（2010,济宁）把代数式3x^-6x^y + 3xy^分解因式，结果正确的是（）【变式训练】5. A x （3x + y ）（X - 3y ）B.3x （x^—2xy + y^C.x （3x — 7）^0.3x （x 一 y ）?赢考训练 1.（2010.盐城）20100 的值是（）A. 2010B.OC. 1 D ・一 2. （2010,南京）c?./的结果是（）A.a°B. a7c./D . a 丄23. （2010,宁波）下列运算正确的是（）A X • （xy ）2 = xy2C. （/）3 = x^D.x^+x^ = r4. （2010.安徽）计算（2x ）3-X 的结果正确的是（）A 8仙.6x2 c. 8x3 D 6*35.（2010,金华）如果a — 3b = —3那么代数式5 - a + 3b 的值是（）A, 0 B. 2C.5D ・ 86. （2010,嘉兴）若分式斗 的值为0,则（ 2x + l1 1A X = —2B ・ x = —— C.x = — D. x = 22 27. （2010,广州）因式分解,3a/?2+a2b=.8. 2010.杭州）分解因式m3 - 4m =. 9.（2010,淮安）当兀=时，分式2无意义•X —310. （2010,益阳）己知x-l = >/〒时，求a+ 1）2-4（%+ 1） + 4的值.11.（2010.宁波）先化简，再求值：芳吕+其中a = 3.备考精练1.（2010,宿迁）下列运算中，正确的是（）A 5m —2m = 3B. (m + n)^ = + n^C.^ = — D.m^ •= (mn)2n2.(2010,眉山)把代数式mx^ — 6mx + 9?n分解因式，下列结果中正确的是() A m(x +3)^6. m{x + 3)(x — 3)C.zn(x — 4)5. m(x — 3)?3.化简(—2)+4的结果是()A.—a — IB. —a + IC. —ab + ID. —ab + b4.(2010.威海)计算10 _ (^2009 x(-2)2010的结果是()A. -2B. -1C. 2D. 35.（2010,益阳）若m2—R2 = 6,且m — n = 3,则m + n =•6.（2010,顺义）若Im — n| + （zn +n）= 0,则m"值是.7.（2010,温州）当;t=时，分式今的值等于2.X-18.（2010,沛南）先化简，再求值：（1-»匸誓［其中兀=2.X2-1好题荟萃1.下列运算正确的是（）A. (m — 71)2 = n^B.m~^ =占(m H 0)C • n? = (mn)'*D. (nP)* =2.给出三个单项式：a\ bJ 2ab.（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解; ⑵当a = 2011,/? = 2010时，求代数式以+以一2必的值.3.己知A =占,B = ^,C =為将他们组合成（力- B）十C或A — B十C的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值，其中x = 3.4. （2010,玉溪）先化简（茫—a + 再从1, -1和返中任选一个你认为合适的数作为a的值代人求值.。
第6讲整式乘除
第六讲：整式乘除一：知识点精析：1、整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式2、乘法公式：①平方差：()()22b a b a b a -=+-；②完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+、()2222b ab a b a +-=-；③立方和立方差公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+、 ()()2233b ab a b a b a ++-=-；④()3333333b ab b a a b a +++=+； ⑤()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 3、整式除法4、幂的运算法则：（1）n m n m a a a +=；（2）()m m m b a ab =；（3）()mn n m a a =；（4）n m n m a a a -=÷；（5）m m m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 经典例题：1、计算：（1）()3523352yz x y x -- （2）()3322322412⎪⎭⎫ ⎝⎛--bc a c b a （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-4343322141c b a bc a 2、计算（1）()()b a b a 532-+（2）()2223328816y x z y x z y x ÷+3、先化简，再求值：()()525222----+-x x x x ，其中1-=x4、若()y x by axy x y x 21812233+=++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+，那么________________,==b a 5、已知132122+-++x x bx ax 与的积中不含x x 与3的项，求b a 、的值6、已知0132=+-x x ，求下列代数式的值：（1）221x x +；（2）331x x + 7、已知d c b a 、、、都是正整数，并且9,,2345=-==a c d c b a ，则d b -的值___能力提升：1、已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 2、若099052=-+x x ，则1012985623+-+x x x 的值是______3、①把()621+-x x 展开后的012211111212a x a x a x a x a +++++Λ，则024681012a a a a a a a ++++++=________②已知()()()()()8822103222271+++++++=-+x a x a x a a x x Λ，则=+-+-+-7654321a a a a a a a ________4、已知()()B y x A y x y x y xy x +++-=-----267222，求B A 、的值5、是否存在常数q p 、使得q px x ++24能被522++x x 整除？若存在，求出q p 、的值6、是否存在c b a 、、，满足2151691089=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛cb a ？若存在，求出c b a 、、的值 A 层次1、多项式875223-+-x x x 与多项式112++bx ax 的乘积中，没有含有4x 的项，也没有含有3x 的项，则=+b a 2__________2、若多项式7432+-x x 表示成()()c x b x a ++++112的形式，则=a _________ 3、如果多项式()()12-+-x a x 能够写成两个多项式()()b x x ++和3的乘积，那么=a _____;=b _____4、已知20122011321a a a a a 、、、Λ均为正数，又()()2012322011321a a a a a a a M +++++++=ΛΛ，()()2011322012321a a a a a a a N +++++++=ΛΛ,那么与N M 与的大小关系为______5、若133=-x x ，则200973129234+--+x x x x 的值为________B 层次6、已知51=+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+442211x x x x 的值 7、已知785432===c b a 、、，求b c a 28-+8、求证：三个连续奇数的平方和加1能倍12整除，但不能24整除9、数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数10、若()0122334455512a a x a x a x a x a x +++++=-，则=+24a a ________ C 层次11、当1=-y x 时，试求42233433y xy y x y x xy x ++---的值12、已知105252==d c b a ，求证：()()()()1111--=--c b d a13、已知z y x 、、为非零整数，0=++zx yz xy ，c b a 、、是不等于1的正数，且满足z y x c b a ==，求证：1=abc。
专题06 代数式及其计算(原卷版)
第6讲代数式及其计算代数式、单项式与多项式知识点1、字母表示数字母能表示什么：运算律、数量关系、公式法那么、探索与表达规律。
知识点2、代数式代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子，单独的一个数和字母也是代数式。
在代数式中出现的乘号，通常简写成“•〞或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．代数式中不能含有=、>、<、≠等符号。
知识点3 单项式、多项式1.单项式：由数和字母的乘积构成的代数式，单独的一个数和字母也是单项式。
〔1〕单项式的系数：单项式中的数字因数〔2〕单项式的次数：所有字母的指数和2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，称为“几次〔多项式的次数〕几项〔多项式的项数〕式〞。
〔1〕多项式的项：每个单项式都叫做多项式的项〔2〕常数项：不含字母的项〔3〕多项式的次数：次数最高的项的次数3.整式：单项式与多项式统称整式一．选择题〔共10小题〕1．以下代数式中书写正确的选项是〔〕A．ab2×4B．xy C．2ab D．6xy2÷32．以下式子中，符合代数式书写格式的是〔〕A．a÷c B．a×5C．D．3．以下各式：①1x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个4．某家用电器商城销售一款每台进价为a元的空调，标价比进价提高了30%，因商城销售方向调整，决定打九折降价销售，那么每台空调的实际售价为〔〕元．A．90%〔1+30%〕a B．〔1+30%〕〔1﹣90%〕aC．〔1+30%〕a÷90%D．〔1+30%﹣10%〕a5．一个三位数，百位上的数字为x，十位上的数字比百位上的数字少3，个位上的数字是百位上的数字的2倍，这个三位数用含有x的代数式表示为〔〕A．112x﹣30B．100x﹣30C．112x+30D．102x+306．现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如下图．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？以下结论正确的选项是〔〕A．李刚比王勇低元/升B．王勇比李刚低元/升C．王勇比李刚低元/升D．李刚与王勇的平均单价都是元/升7．以下各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有〔〕A．3个B．4个C．6个D．7个8．在代数式：x2，3ab，x+5，，﹣4，，a2b﹣a中，整式有〔〕A．4个B．5个C．6个D．7个9．单项式的系数和次数分别是〔〕A ．和3B ．和2C ．和4D ．和210．如果单项式3a m b2c是6次单项式，那么m的值是〔〕A．2B．3C．4D．5二．填空题〔共2小题〕11．多项式﹣2x+4xy2﹣5x4﹣1中，次数是，最高的次项是，三次项的系数是，常数项是．12．假设多项式xy|m﹣n|+〔n﹣2〕x2y2+1是关于x，y的三次多项式，其中m＞0，那么mn ＝．三．解答题〔共2小题〕13．假设多项式2x n﹣1﹣〔m﹣1〕x2+ax+bx﹣5是关于x的三次三项式，其中二次项系数为﹣2．〔1〕求a与b之间的关系；〔2〕求的值．14．a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2y m+1+xy2﹣x3+6是六次四项式，单项式x2n y5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求〔a+b〕m+m n﹣〔cd﹣n〕2021的值．知识点4 合并同类项整式的加减定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相等的项叫做同类项。
第6讲 因式分解及提公因式法
个性化教学辅导教案学科：数学年级：八年级任课教师：授课时间年月日教学课题因式分解及提公因式法教学目标1.了解因式分解的概念及与整式乘法的关系；2.熟练掌握提公因式法进行因式分解。
教学重难点提公因式法的灵活运用。
教学过程因式分解1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”.3、注意事项：（1）可用整式乘法来检验因式分解的正确性。
（2）分解因式的结果一定是积的形式。
（3）分解因式结果中的每一个因式都必须是整式。
（4）分解因式的对象是多项式。
典型例题：例1、下列由左到右的变形，哪些是分解因式？哪些不是？为什么？（1）()a x y ax ay+=+（2）(2)(3)(3)(2)x x x x-+=+-（3）227(7)ax a a x+=+（4）221()()1x y x y x y--=+--（5）2222x x y y-+-= 22()2()x y x y---例2、如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a b>），剩下部分可拼成一个矩形，分别计算这两个图中阴影部分面积，验证了公式。
例3、求代数式123U U UR R R++的值，其中120R=，230R=，360R=，6U= .针对练习：一、选择题：1、 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的是 （ ）A 、3353()5x y x y +-=+-B 、2(1)(1)1x x x +-=-C 、2111()()()422x x x -=+-D 、()(1)y x y x x+=+2、 下列分解因式正确的是 （ ）A 、32(1)a a a a -+=-+B 、2422(2)a b a b -+=-C 、224(2)a a -=-D 、2221(1)a a a -+=- 3、 在一个边长为17.55cm 的正方形内剪去一个边长为2.45cm 的正方形，则剩下部分的面积是( )A 、 20 2cmB 、 15.1 2cmC 、 302 2cmD 、 300 2cm4、 下列分解因式错误的是 （ ）A 、2116(14)(14)a a a -=+-B 、32(1)x x x x -=-C 、222()()a b c a bc a bc -=+-D 、224220.01(0.1)(0.1)933m n n m m n -=+- 二、 填空题5、 运算3()33a b a b +=+ 是 运算 。
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（2）由根创建多项式
函数poly()实现由根创建多项式，其具体 使用方法如下： p = poly(r)，输入r是多项式所有根，返回 值为多项式的系数向量； p = poly(A)，输入A是方阵，返回值为A的 特征多项式的系数向量。
7．多项式曲线拟合
函数 polyfit() 采用最小二乘法对给定 数据进行多项式拟合，其具体使用方法如 下：
3．多项式乘法和除法
函数conv()和deconv()进行多项式乘 法和除法，其具体使用方法如下：
w = conv(u,v)，实现多项式乘法，返回 结果多项式的系数行向量； [q,r] = deconv(u, v)，实现多项式除 法。
4．多项式的微积分
（1）多项式的微分 函数polyder() 计算多项式的微分，其具体 使用方法如下： k = polyder(p)，返回多项式p微分的系数向 量； k = polyder(a,b)，返回多项式a b乘积微分 的系数向量；
x=[0 0.5 1 3 6 8 12 15 18]'; y=[3.5 5 6 9 14 18 26 40 60]'; p=polyfit(x,y,3) %三次拟合 Y=polyval(p,x) %计算在x处的预测值 plot(x,y,'o',x,Y) xlabel('年龄') ylabel('体重')
第பைடு நூலகம்讲
多项式的值；
多项式运算
MATLAB提供了关于多项式的函数：
多项式的根和微分；
多项式拟合曲线；
部分分式。
多项式函数
1．多项式表示法
MATLAB 采用行向量表示多项式系数，多 项式系数按降幂排列。 函数poly2sym() 将多项式系数向量转换 为完整形式。
2．多项式求值
函数polyval()计算多项式的值，其具体 使用方法如下： y = polyval(p,x)，p为多项式系数行向量， x代入多项式的值； Y = polyvalm( p,X)，把矩阵X代入多项 式p中进行计算。
[q,d] = polyder(b,a)，返回多项式b/a微分
的系数向量。
（2）多项式的积分
函数 polyint() 计算多项式的不定积分， 其具体使用方法如下： s=polyint(p)，返回多项式p不定积分的 系数向量。
5．多项式的根和由根创建多项式
（1）多项式的根
函数roots()求多项式的根，其具体使用 方法如下： r = roots(c)，返回多项式c的所有根r。
（2）若对上述数据x、y执行命令： >> [p,S]=polyfit(x,y,3) >> [Y,DELTA]=polyconf(p,x,S)
从（2）的结果来看拟合系数p、预测值Y都与（1） 的结果相同。
（3）若对上述数据x、y执行命令： >> [p,S,mu]=polyfit(x,y,3) >> [Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,'mu',mu) 从（3）的结果来看，p值与（1）、（2）的结果 都不同，但预测值Y和DELTA的结果都与（1）、 （2）的结果一致。 若要找出预测值的置信区间，只需执行命令 A=[Y-DELTA,Y+DELTA] 即可。
p = polyfit(x,y,n)，采用n次多项式p来 拟合数据x和y。
运行结果如下图所示。
例：经测量某人从出生到成年之间的体重，得到 年龄与体重的数据如下表所示，试建立年龄与体重 之间的关系。
表 年龄与体重数据表
年龄（周岁 ） 体重（千克 ） 0 3.5 0.5 5 1 6 3 9 6 14 8 18 12 26 15 40 18 60
8．多曲线拟合图形用户接口
曲线拟合的图形用户接口可通过图形 窗口的【Tools】菜单中【Basic Fitting】 选项启动。
运行结果如下图所示。