复数域上一元六次方程的一种解法
高中数学中的复数方程解知识点总结
高中数学中的复数方程解知识点总结高中数学中的复数方程解是一个重要的数学知识点，它在数学中起到了重要的作用。
本文将对高中数学中的复数方程解进行知识点总结，帮助读者深入理解和掌握这一概念。
一、复数的概念在开始讨论复数方程解之前，我们首先需要了解复数的概念。
复数是由实数和虚数构成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
二、复数方程的定义复数方程是指含有复数的方程，可以表示为P(z)=0的形式，其中P(z)为一个多项式函数，z为复数变量。
三、一次复数方程的解法对于一次复数方程，即最高次项为一次的复数方程，我们可以采用以下步骤求解：1. 将方程表示为az+b=0的形式；2. 将复数表示为实部与虚部相等的形式，即a+bi；3. 根据虚部与实部的关系，求解出复数的值。
四、二次复数方程的解法对于二次复数方程，即最高次项为二次的复数方程，我们可以采用以下步骤求解：1. 将方程表示为az^2+bz+c=0的形式；2. 使用求根公式z=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)求解方程；3. 根据求得的解，可以得出一个复数解或两个复数解。
五、复数方程解的性质复数方程解具有以下性质：1. 复数方程的解可能是实数，也可能是虚数；2. 复数方程的解可能是一个复数，也可能是多个复数。
六、复数方程解的应用复数方程解在实际应用中有着广泛的应用，包括以下方面：1. 电路分析中，使用复数方程解可以求解电流和电压；2. 信号处理中，使用复数方程解可以分析信号的频率特性和相位差。
七、总结复数方程解是高中数学中的一个重要概念，它在数学以及其他领域中都发挥着重要的作用。
通过本文的知识点总结，读者可以更好地理解和掌握复数方程解的概念和求解方法，提高数学解题能力和实际应用能力。
以上就是对高中数学中的复数方程解知识点的总结，希望本文能够对读者有所帮助。
复数方程解是数学中的一个基础知识，熟练掌握它对于深入理解和应用数学有着重要的意义。
解复数方程的常见方法与技巧
解复数方程的常见方法与技巧复数方程是指含有复数变量的方程。
解复数方程是求出满足方程的所有复数解的过程。
在数学中，解复数方程的常见方法和技巧有以下几种。
一、图像法图像法是解复数方程的一种直观方法。
我们可以将复数方程转化为在复平面上的几何问题。
利用复数的模和幅角的性质，我们可以通过观察复平面上的图像来找到解。
例如，对于方程z^2=1，我们可以将其转化为在复平面上求两个点的问题，即找到模为1，幅角为0或π的点作为解。
通过画出复平面上的点和线，我们可以直观地找到方程的解。
二、代数方法代数方法是解复数方程的一种常用方法。
我们可以通过代数运算和方程变形来求解方程。
例如，对于方程z^2+2z+2=0，我们可以利用配方法将其转化为完全平方的形式。
然后，通过求解完全平方后的方程来找到解。
代数方法通常适用于形式更为复杂的复数方程。
三、方程组法方程组法是解复数方程组的一种有效方法。
当复数方程中存在多个未知量时，我们可以将其转化为一个方程组，然后通过求解方程组来找到解。
例如，对于方程组z^2+w=5和2z+w=3，我们可以联立这两个方程，消去变量w，然后求解剩余的未知量z。
通过方程组法，我们可以将复数方程中的多个未知量转化为一个或几个方程，从而求解复数方程。
四、三角形式法三角形式法是解复数方程的一种常用技巧。
利用复数的三角形式，我们可以将复数方程转化为三角方程，然后求解得到解。
例如，对于方程z^2=2，我们可以将复数z表示为模和幅角的形式，然后将方程转化为一个三角方程。
通过求解三角方程，我们可以找到复数方程的解。
总结起来，解复数方程的常见方法和技巧包括图像法、代数方法、方程组法和三角形式法。
不同的方法适用于不同类型的复数方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决复数方程。
通过灵活运用这些方法和技巧，我们可以高效地求解复数方程，进而提升数学解题的能力和水平。
这些是解复数方程的常见方法与技巧，希望对你有所帮助。
初中数学 复数方程的解如何计算
初中数学复数方程的解如何计算解决复数方程的方法取决于方程的类型和性质。
下面将介绍一些常见的复数方程类型及其解法，以帮助初中数学学生更好地理解和计算复数方程的解。
一、一元复数方程1. 一次复数方程：一次复数方程是未知数的最高次数为1的方程。
例如，z+2=5是一个一次复数方程。
解决一次复数方程可以通过代入法或直接化简得到。
例如，对于方程z+2=5，我们可以通过将z的值代入方程中来求解，得到z=3。
2. 二次复数方程：二次复数方程是未知数的最高次数为2的方程。
例如，z^2+2z+1=0是一个二次复数方程。
解决二次复数方程可以使用配方法、公式法或因式分解法等。
- 配方法：如果二次复数方程的形式是az^2+bz+c=0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方形式。
例如，对于方程z^2+2z+1=0，我们可以将其写成(z+1)^2=0的形式，然后求解得到z=-1。
- 公式法：二次复数方程的求解可以使用二次方程的求根公式。
对于方程az^2+bz+c=0，根的公式为z=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
例如，对于方程z^2+2z+1=0，我们可以带入a=1，b=2，c=1，然后根据公式计算得到z=-1。
- 因式分解法：如果二次复数方程可以进行因式分解，我们可以通过因式分解法求解。
例如，对于方程z^2-1=0，我们可以将其因式分解为(z-1)(z+1)=0，然后求解得到z=1和z=-1。
二、多元复数方程多元复数方程是含有多个复数未知数的方程。
解决多元复数方程可以使用代入法、消元法或矩阵法等。
- 代入法：通过将一个未知数的值代入方程中，将多元复数方程化简为一元复数方程，然后求解得到该未知数的值，再将该值代入其他方程中求解其他未知数的值。
- 消元法：通过消去一个未知数的方法，将多元复数方程化简为一个未知数的方程，然后求解得到该未知数的值，再将该值代入其他方程中求解其他未知数的值。
- 矩阵法：多元复数方程可以通过矩阵的形式进行表示和求解。
复数方程的解法和应用
复数方程的解法和应用一、复数方程的解法复数方程是含有未知数和复数的方程。
解决复数方程的方法需要掌握复数相关的性质和运算规则。
1. 直接求解法对于形如az^2 + bz + c = 0（其中a、b、c为实数，z为复数）的二次复数方程，可以使用求根公式进行求解。
一般形式为：z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中±表示两个解。
根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负性可以确定解的类型：- 当Δ > 0时，存在两个不相等实数解；- 当Δ = 0时，存在两个相等实数解；- 当Δ < 0时，存在共轭复数解。
2. 复数系数方程的化简若复数方程的系数为复数，可使用复数的共轭性质进行化简。
假设方程为az + b = 0，其中a和b为复数，则可以将方程中的复数系数化为实数系数的方程，如下：az + b = 0(a + b*)(z + c) = 0其中b*表示b的共轭复数，c = -a*/b*。
二、复数方程的应用复数方程在数学及其他领域中有广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：1. 电路分析在电路分析中，复数方程可以用来描述电源、电阻和电感之间的关系，并求解未知电流和电压的数值。
使用复数方程可以简化电路计算，并且可以准确地描述交流电路的性质。
2. 控制理论在控制理论中，复数方程可以用来描述系统的稳定性和频率响应。
通过求解复数方程可以得到系统的极点和零点，进而分析系统的动态特性和稳定性。
3. 物理学在物理学研究中，复数方程可以用来描述波动现象，例如声波、光波等。
通过求解复数方程可以得到波的传播速度、频率以及波函数的形式等信息。
4. 统计学在统计学中，复数方程可以用来进行数据拟合和模型建立。
通过求解复数方程可以找到最佳拟合曲线或平面，进而对数据进行预测和分析。
总结：复数方程的解法和应用是数学和科学研究中的重要内容。
掌握复数方程的解法可以帮助我们解决相关问题，而复数方程的应用则广泛涉及到电路分析、控制理论、物理学和统计学等领域。
高中数学解题技巧之复数方程求解
高中数学解题技巧之复数方程求解在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的运算和方程的解法。
掌握复数方程的求解技巧，不仅可以帮助我们解决具体的问题，还能提高我们的数学思维能力。
本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用。
一、一次方程的复数解复数方程中的一次方程是最简单的一种情况，它可以表示为：ax + b = 0其中，a和b都是实数，x是复数。
要求解这个方程，我们可以通过移项和化简的方法来进行。
例题1：求解方程2x + 3 = 0解法：首先，将方程中的常数项3移到等式的右边，得到2x = -3。
然后，将方程两边同时除以2，得到x = -3/2。
所以，方程2x + 3 = 0的解为x = -3/2。
例题2：求解方程3x - 2i = 0解法：首先，将方程中的常数项-2i移到等式的右边，得到3x = 2i。
然后，将方程两边同时除以3，得到x = 2i/3。
所以，方程3x - 2i = 0的解为x = 2i/3。
通过以上两个例题可以看出，一次方程的复数解可以通过移项和化简的方法求解，注意在复数解中，虚部的表示方式为i。
二、二次方程的复数解二次方程是复数方程中常见的一种情况，它可以表示为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c都是实数，x是复数。
要求解这个方程，我们可以通过配方法、求根公式和因式分解的方法来进行。
例题3：求解方程x² + 4x + 5 = 0解法：首先，根据二次方程的求根公式，可以得到方程的两个根为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a将方程的系数带入公式中，可以得到x = (-4 ± √(-4))/ 2 = -2 ± i。
所以，方程x²+ 4x + 5 = 0的解为x = -2 ± i。
例题4：求解方程2x² + 3x + 1 = 0解法：首先，根据因式分解的方法，可以将方程进行分解为(2x + 1)(x + 1) = 0。
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
高中数学复数方程求解与代数性质解题方法
高中数学复数方程求解与代数性质解题方法在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的性质和运算，也是解析几何和函数的基础。
本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并结合具体题目来说明解题的技巧和考点，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、一元复数方程的求解1. 一次方程：一元复数方程中，一次方程是最简单的形式。
例如，我们考虑求解方程z + 3 = 5，其中z为复数。
解这个方程的关键是找到z的实部和虚部。
对于这个方程，实部为Re(z) + 3 = 5，虚部为Im(z) = 0。
因此，我们可以得到z = 2 + 0i。
2. 二次方程：一元复数方程中，二次方程是较为复杂的形式。
例如，我们考虑求解方程z^2 + 2z + 3 = 0。
解这个方程的一种方法是利用求根公式，即z = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
将方程中的系数代入公式，我们可以得到z = (-2 ± √(-8))/(2)。
由于√(-8) = 2i√2，因此解为z = -1 ± i√2。
二、复数方程的代数性质解题方法1. 复数的共轭性质：复数的共轭性质是解复数方程的重要工具。
例如，我们考虑求解方程z + conj(z) = 8，其中z为复数，conj(z)表示z的共轭复数。
根据共轭性质，我们知道conj(z + conj(z)) = 2Re(z)，即方程可以化简为2Re(z) = 8。
因此，我们可以得到Re(z) = 4，即z的实部为4。
由于方程没有虚部，因此z为实数4。
2. 复数的模性质：复数的模性质也是解复数方程的重要工具。
例如，我们考虑求解方程|z - 2| = |z + 2|，其中z为复数。
根据模的定义，我们知道|z - 2|表示z与2之间的距离，|z + 2|表示z与-2之间的距离。
因此，方程的解是在与2和-2的距离相等的点上。
根据几何直观，我们可以得到解为x轴上的点，即z为实数。
牛顿迭代法文献综述
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。
它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。
前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。
埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。
事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。
然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。
通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。
例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。
三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。
阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。
或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。
换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。
这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。
比如X5− 2 = 0的解就是。
牛顿迭代法
一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
（2）建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
（3）对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
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ａ姨
姨
０
Ａ（ｕ）＝
姨姨ａ１／２ 姨姨姨姨ａ２／３
姨ｕ
ａ１／２ ａ２／３ （ａ３－２ｕ）／２ ａ４／３
ａ２／３ （ａ３－２ｕ）／２
ａ４／３ ａ５／２
ｕ姨
姨
ａ４／３ ａ５／２
姨
姨姨，ｕ∈Ｃ。
姨 姨姨
ａ６ 姨
则关于 ｕ 的多项式 ｄｅｔＡ（ｕ）在复数域上至少存在一个根 ｕ０。
证 因为
ａ０
ａ１／２
ａ２／３ ｕ
— ５７ —
姨ｘ３ 姨 姨１ －９ －３
姨 姨姨
０ ｚ 姨 姨
姨 姨
１
姨 姨
姨２ 姨 姨
ｘ ０ 姨 姨 姨 ＝ 姨 姨 姨 ｘ ０ 姨 姨 姨
０ １
姨姨 姨姨 姨姨
１
０ ｚ 姨 姨 姨 姨 姨２ 姨
０
－２／３ ｚ 姨 姨 姨
姨 姨姨
姨 姨姨
３
姨 姨姨
姨１ 姨 姨０ ０ ０ １ ｚ 姨 姨 ４ 姨
可把二次型
ＹＴＡ（６）Ｙ
而 ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４ 显然是 ｘ３， ｘ２， ｘ， １ 的线性组合。
从定理 １ 的证明过程还可知道，当 Ａ（ｕ０）的秩 ＝１ 时，可选择适当的
可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ，使 λ１ ≠０，λ２ ＝λ３ ＝０。 当 Ａ（ｕ０）的秩 ＝ ２ 时，可选择
适当的可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ ，使 λ１ λ２ ≠０，λ３ ＝０。由此可得
元 ｎ 次方程都有求根公式，而当方程的次数大于或等于五时，一般的就
没有求根公式了。文献［１］给出了实系数一元四次方程的矩阵解法，本
文将用二次型理论给出复数域上一元六次方程和五次方程的求根新方
法，从而可求出满足条件的方程的根式解。
考察一元多项式 ｆ（ｘ）＝ａ０ｘ６＋ａ１ｘ５＋ａ２ｘ４＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ２＋ａ５ｘ＋ａ６ 。 引理 １ 记矩阵
化为标准
２
ｚ１
２
－６３ｚ２
。
由定理
２，原方程与
（ｘ３＋３ｘ２＋９ｘ＋６）２－６３（ｘ＋２／３）２＝０ 同解。 亦即与
［ｘ３＋３ｘ２＋３（３＋ 姨 ７ ）ｘ＋２（３＋ 姨 ７ ）］［ｘ３＋３ｘ２＋３（３－ 姨 ７ ）ｘ＋２（３－ 姨 ７ ）］＝０ 同解。利用 Ｃａｒｄａｎ 公式求得一元三次方程
ｘ３＋３ｘ２＋３（３＋ 姨 ７ ）ｘ＋２（３＋ 姨 ７ ）＝０ 和 ｘ３＋３ｘ２＋３（３－ 姨 ７ ）ｘ＋２（３－ 姨 ７ ）＝０ 的解分别为 ｘ１＝α1+β1－１，ｘ２＝α1ω+β１ω２－１，ｘ３＝α1ω2+β1ω-1 和 ｘ４＝α2+β2－１，ｘ５＝α2ω+β２ω２－１，ｘ６＝α2ω2+β2ω-1
其中 ω＝－１／２＋ 姨 ３ ｉ／２，而
３
α1＝ 姨（１＋ 姨 ７ ）／２＋ 姨（１０４＋３９ 姨 ７ ）／２ ，
３
β１＝ 姨（１＋ 姨 ７ ）／２－ 姨（１０４＋３９ 姨 ７ ）／２ ，
姨３
α2＝ （１－ 姨 ７
）／２＋ 姨（１０４－３９ 姨 ７
）／２
，
姨３
β２＝ （１－ 姨 ７
）／２－ 姨（１０４－３９ 姨 ７
引理 ２ 记 Ｙ＝（ｘ３，ｘ２，ｘ，１） Ｔ， ｕ０ 是 ｄｅｔ Ａ（ｕ）在复数域上的一个根，则
ＹＴＡ（ｕ０）Ｙ＝ａ０ｘ６＋ａ１ｘ５＋ａ２ｘ４＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ２＋ａ５ｘ＋ａ６＝ｆ（ｘ）。
证 直接计算即可。
现在令 Ｙ ＝ （ ｘ３ ， ｘ２， ｘ， １） Ｔ ＝ （ ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４）Ｔ，则 ＹＴＡ（ｕ０）Ｙ 可表示为一个
定理 ２ 对于一元六次方程
ｆ（ｘ）＝ａ０ｘ６＋ａ１ｘ５＋ａ２ｘ４＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ２＋ａ５ｘ＋ａ６ （ａ０≠０）
（１）当矩阵 Ａ（ｕ０）的秩 ＝ １ 时，存在一个可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ，使得
２
ｆ（ｘ） ＝ ｈ（ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４） ＝λ１ ｚ１ ＝ ０ 。
２
因此方程 ｆ（ｘ） ＝ ０ 与 ｚ１ ＝ ０ 同解。
１ １
姨
姨姨，
姨
姨姨
姨姨
姨ｕ １ １ １ 姨
姨１ １ １ １ 姨
姨
姨
取方程
ｄｅｔＡ（ｕ）＝０
的一个解
ｕ０＝１。可以看出
Ａ（１）＝
姨姨１ 姨姨１
１ １
１ １
１ １
姨
姨姨的秩
姨
姨姨
姨姨
姨１ １ １ １ 姨
为 １。 取可逆线性变换
姨ｘ３ 姨 姨１
姨 姨姨
－１
－１
－１
ｚ 姨姨
姨姨
１
姨 姨
姨２ 姨 姨
ｘ ０ 姨 姨 姨 ＝ 姨 姨 姨 ｘ ０ 姨 姨 姨
这里 Ｐ 为 ｎ 阶可逆矩阵，Ｚ ＝ （ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４）Ｔ，ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４ 是 ｘ３， ｘ２， ｘ， １ 的
线性组合。
证 设 ｕ０ 是 ｄｅｔ Ａ（ｕ）在复数域上的一个根，因为 Ａ（ｕ０）是复数域上的
一个四阶对称矩阵，所以存在一个可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ，把二次型 ｇｕ０
（ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４） ＝ＹＴＡ
解令
姨１
姨
Ａ（ｕ）＝
姨姨３ 姨姨９
姨姨
姨ｕ
３ ９ ３３－ｕ １８
９ ３３－ｕ
１８ １２
ｕ姨
姨
１８
姨 姨
１２
姨 姨
姨姨
８姨
姨１ ３ ９ ６ 姨
姨
姨
取方程
ｄｅｔ
Ａ（ｕ）＝０
的一个解
ｕ０＝
６，可以看出
Ａ（６）＝
姨姨３ 姨姨９
９ ２７
２７ １８
１８
姨 姨
１２
姨 姨
姨姨
姨姨
姨６ １８ １２ ８ 姨
的秩为 ２。 取可逆线性变换
）／２
，
所以 ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５，ｘ６ 就是原方程的根。
附注：如果把定理 ２ 中满足的条件改为 ａ０＝０，ａ１≠０，即得到一元五
次方程的相应结果。
参考文献 ［１］盛兴平．实系数一元四次方程的矩阵解法．数学通报，２００２（１２） ［２］辜青萍，冯可佩．一元三次多项式根的一个判别条件．江汉大学学 报，２００１（６） ［３］张禾瑞，郝鈵新． 高等代数． 北京：高等教育出版社，１９９８
（２）当矩阵 Ａ（ｕ０）的秩 ＝ ２ 时，存在一个可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ，使得
２
２
ｆ（ｘ） ＝ ｈ（ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４） ＝λ１ ｚ１ ＋λ２ ｚ２ ＝ ０。
２
２
因此方程 ｆ（ｘ）＝０ 与 λ１ ｚ１ ＋λ２ ｚ２ ＝０ 同解，从而与方程（ 姨λ１ ｚ１ ＋ｉ 姨λ２ ｚ２ ）
（ 姨λ１ ｚ１ －ｉ 姨λ２ ｚ２ ）＝０ 同解。
科技信息
高校理科研究
复数域上一元六次方程的一种解法
韩山师范学院数学与信息技术系 吴捷云
［ 摘 要］本文用二次型理论研究复数域上的一元六次方程，给出一类一元六次方程的求根公式。 ［ 关键词］ 复数域 一元六次方程 求根 二次型
众所周知，一元 ｎ 次方程的求根问题是代数学的一个重要问题，近
代很多著名数学家对这个问题非常关注。 我们知道，次数小于五的一
ｄｅｔＡ（ｕ） ＝
ａ１／２ ａ２／３
ａ２／３ （ａ３－２ｕ）／２
（ａ３－２ｕ）／２ ａ４／３ ａ４／３ ａ５／２
ｕ ａ４／３
ａ５／２
ａ６
展开可知 ｄｅｔ Ａ（ｕ）是一个关于的 ｕ 四次多项式（ｕ４ 的系数为 １），由代
数基本定理可知多项式 ｄｅｔＡ（ｕ）在复数域上至少有一个根。（对四次多项
式 ｄｅｔＡ（ｕ）来说，可以用 Ｆｅｒｒａｒｉ 的方法求出根式解）
不管是情形（１）还是情形（２），我们都已经把一元六次方程的求根
问题转化为一元三次方程的求根问题，而一元三次方程可以用 Ｃａｒｄａｎ
的方法求出方程的根式解。
例 １ 求解一元六次方程 ｘ６＋２ｘ５＋３ｘ４＋４ｘ３＋３ｘ２＋２ｘ＋１＝０ 。
解令
姨１ １ １ ｕ 姨
姨
姨
Ａ（ｕ）＝
姨姨１ 姨姨１
１ ２－ｕ ２－ｕ １
２
２
２
２
（ｕ０）Ｙ 化为标准形 λ１ ｚ１ ＋λ２ ｚ２ ＋λ３ ｚ３ ＋λ４ ｚ４ 。注意到 ｄｅｔＡ
（ｕ０） ＝ ０ 可知 Ａ （ｕ０） 的秩 ＜ ４。 因此可选择适当的可逆矩阵 Ｐ，使得
λ４＝０。 故存在一个可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ，使得
２
２
２
ｆ（ｘ） ＝ ｈ（ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４） ＝λ１ ｚ１ ＋λ２ ｚ２ ＋λ３ ｚ３
１ ０
姨姨 姨姨 姨姨
０ １
０ ｚ 姨姨 姨 姨姨 ２ 姨
０ ｚ 姨姨 姨
姨姨 姨姨姨姨
３
姨 姨姨
姨１ 姨 姨０ ０ ０ １ ｚ 姨姨 ４ 姨
可把二次型 ＹＴＡ（１）Ｙ 化为标准形 。由定理 ２，原方程与 （ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ ）２＝０
同解。 因此原方程的根为 ｘ１＝－１， ｘ２＝ ｉ， ｘ３＝－ｉ ， 它们都是二重根。 例 ２ 求解一元六次方程 ｘ６＋６ｘ５＋２７ｘ４＋６６ｘ３＋５４ｘ２＋２４ｘ＋８＝０ 。
四元二次型：
ｇｕ０ （ ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４） ＝ＹＴＡ（ｕ０）Ｙ。
定理 给定一元多项式
ｆ（ｘ）＝ａ０ｘ６＋ａ１ｘ５＋ａ２ｘ４＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ２＋ａ５ｘ＋ａ６
则存在一个可逆线性变换 Ｙ ＝ ＰＺ，使得
２
２
２
ｆ （ｘ） ＝ ｈ（ｚ１，ｚ２，ｚ３，ｚ４） ＝λ１ ｚ１ ＋λ２ ｚ２ ＋λ３ ｚ３