高等数学曲面及其方程精选课件PPT
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曲面及其方程、二次曲面ppt课件
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
高等数学曲面及其方程(课堂PPT)
x 2 y2 z 2 R2 (3)
7
例2 求到A (1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.
解： 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
A• • M '源自有 MA MB即 x 1 2y2 2z3 2
•
•M
x 2 2 y 1 2 z 4 2
B•
整理得 2x6y2z70
即为所求点的轨迹方程. 线段AB 的垂直平分面.
•复习
z
•1. 空间直角坐标系
•M•(x,y,z)
•2. 两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )
•间的距离公式为
x
d ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
O
y
•右手系
•3.两向量的数量积
a b a b cos
a b axbx a yby azbz
14
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
解 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
z
则 M0M R
M x,y,z
•
即 xx 02 yy02 z z02R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 (2)
R M 0 x0 , •y0 , z0
就是以 M 0x0,y0,z0为球心 ,
o
y
半径为 R 的球面方程.
曲面及其方程-PPT
则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. ➢两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状
F(x, y, z) 0
z S
oy x
(必要时需作图).
例1 求动点到定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) z
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
C
一条定直线旋转一周 所形成的曲面.
M (x, y, z)
M1 (0, y1, z1 )
旋转曲线
母线
o y
定直线
轴
x
➢旋转曲面的方程
f ( x2 y2 , z) 0
给定yoz面上曲线C: f ( y, z) 0
在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1)
曲线C绕z轴旋转
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(1) 范围：
x
y
x a, y b, z c
(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：椭圆
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
z t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y t
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
z
1. 椭圆锥
z
面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
2019年7-3曲面及其方程.ppt
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y , z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
2 2 z z , y x y 将 代入 f ( y1 , z1 ) 0 0,
播放
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
《曲面及其方程》PPT课件
x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零．
方程 (*) 称为球面的一般式方程， 经配方后可化为球面的标准方程．
中值定理与导数的应用
4
特别地：球心在坐标原点时， 球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程．
1
双曲柱面 母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴，
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面，
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么？ z 轴．
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2，即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
人大微积分课件7-6曲面及其方程
曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面如球面、锥面等，其形状可以用 简单的数学公式描述；不规则曲面则没有这样的特性，形状较为复杂。
曲面的方程
曲面的方程是描述曲面上的点满足某种条件的数学表达式。 对于给定的曲面，可以用方程来表示其上点的坐标满足的条 件。方程的形式取决于曲面的类型和形状。
例如，球面的方程为 (x^2 + y^2 + z^2 = r^2)，其中 (r) 是球的半径。平面方程如 (Ax + By + Cz + D = 0)，其中 (A, B, C, D) 是常数。
曲面的分类
曲面可以根据其形状和性质进行分类。常见的分类方式包 括根据曲面是否规则、是否封闭、是否具有对称性等。例 如，球面和锥面是规则曲面，平面和旋转曲面也是规则曲 面；而像马鞍面这样的曲面则是非规则曲面。
封闭曲面是指没有边界的曲面，如球面和圆环面；非封闭 曲面则有边界，如马鞍面和抛物面。对称曲面是指具有对 称性的曲面，如球面对称于其中心点，旋转曲面则绕某一 直线对称。
06
曲面的积分与微分
曲面的积分
曲面的面积
通过计算曲面在某一方向上的投影面 积，再乘以该方向的法向量模长，得 到曲面的面积。
曲面的线积分
在曲面上沿着某一路径进行积分，用 于计算诸如曲线长度、面积等几何量 。
Байду номын сангаас面的微分
要点一
曲面上的切线
通过曲面上某一点的切平面和法线，可以得到该点处的切 线。
要点二
人大微积分课件7-6曲面及其方程
$number {01}
目录
• 曲面及其方程的基本概念 • 常见的曲面及其方程 • 曲面的几何性质 • 曲面的方程与图形 • 曲面的微积分性质 • 曲面的积分与微分
曲面的方程
曲面的方程是描述曲面上的点满足某种条件的数学表达式。 对于给定的曲面，可以用方程来表示其上点的坐标满足的条 件。方程的形式取决于曲面的类型和形状。
例如，球面的方程为 (x^2 + y^2 + z^2 = r^2)，其中 (r) 是球的半径。平面方程如 (Ax + By + Cz + D = 0)，其中 (A, B, C, D) 是常数。
曲面的分类
曲面可以根据其形状和性质进行分类。常见的分类方式包 括根据曲面是否规则、是否封闭、是否具有对称性等。例 如，球面和锥面是规则曲面，平面和旋转曲面也是规则曲 面；而像马鞍面这样的曲面则是非规则曲面。
封闭曲面是指没有边界的曲面，如球面和圆环面；非封闭 曲面则有边界，如马鞍面和抛物面。对称曲面是指具有对 称性的曲面，如球面对称于其中心点，旋转曲面则绕某一 直线对称。
06
曲面的积分与微分
曲面的积分
曲面的面积
通过计算曲面在某一方向上的投影面 积，再乘以该方向的法向量模长，得 到曲面的面积。
曲面的线积分
在曲面上沿着某一路径进行积分，用 于计算诸如曲线长度、面积等几何量 。
Байду номын сангаас面的微分
要点一
曲面上的切线
通过曲面上某一点的切平面和法线，可以得到该点处的切 线。
要点二
人大微积分课件7-6曲面及其方程
$number {01}
目录
• 曲面及其方程的基本概念 • 常见的曲面及其方程 • 曲面的几何性质 • 曲面的方程与图形 • 曲面的微积分性质 • 曲面的积分与微分
03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT
cz22
1
双叶双曲面
z
o
y
x
oy x
30.08.2019
21
高等数学（下）主讲杨益民
习题8－3 4，5，7，8，9，10，11
30.08.2019
22
Thank you
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
30.08.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
30.08.2019
15
高等数学（下）主讲杨益民
椭球面的几种特殊情况：
(1)
ab,
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2
a2
c2
1
或
y2 b2
z2 c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
30.08.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
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x
若球心在原点，则 x0y0z00,球面的方程为
x 2 y2 z 2 R2 (3)
7
例2 求到A (1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.
解： 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
A•
M'
•
有 MA MB
即 x 1 2 y 2 2 z 3 2
•
•M
x 2 2 y 1 2 z 4 2
解 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
z
则 M0MR
M x,y,z
•
即 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R
R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 (2)
M 0 x0 , •y0 , z0
就是以 M 0 x 0,y 0,z0为球心 ,
o
y
半径为 R 的球面方程.
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
•4.两向量的夹角 cos a b
ab
1
i jk •5.两向量的向量积 a b a x a y az
bx by bz
•6.两向量互相平行垂直的条件
a // b a b 0 a x a y az bx by bz
a b a b 0 axbx a yby azbz 0
x
D
2
y
E
2
z
F
2
D2
E2
F2
G
2A 2A 2A
4A
特点：(1) x2, y2, z2项系数相同;
(2) 缺 xy , yz , zx 项.
其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.
9
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
B•
整理得 2 x 6 y 2 z 7 0
即为所求点的轨迹方程. 线段AB 的垂直平分面.
8
例3 方程 x 2 y 2 z2 2 x 4 y 0表示怎样的曲面?
解 配方得 x 1 2 y 2 2 z 2 5 .
原方程表示球心在点M 01 , 2,0 ,半径为 R 5 的球面.
一般地，三元二次方程 A 2 A x 2 A y 2 D z E x F y G z 0
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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1、yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
曲面 S 与三元方程
S
F x ,y,z0 (1)
y
有下述关系：
xo
① 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
② 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),
则方程(1)就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程(1)的图形.
6
以下给出几例常见的曲面.
例1 求到点M0 (x0, y0, z0) 的距离等于R的点的轨迹方程.
20
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
4
一、曲面方程的概念 平面解析几何中
如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0 的解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，
那么，这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线。
5
空间解析几何中
z
任何曲面都可以看作是点的几何轨迹. F x ,y,z 0
14
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
15
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
•复习
z
•1. 空间直角坐标系
•M•(x,y,z)
•2. 两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )
•间的距离公式为
x
d ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
O
y
•右手系
•3.两向量的数量积
a b a b cos
a b axbx a yby azbz
•7. 向量的混合积
ax ay az
a , b , c a b c bx by bz
cx cy cz
2
卫星接收装置 (旋转抛物面)
•化工厂或热电厂的冷却塔 • (旋转双曲面)
.
3
第三节 曲面及其方程
➢ 一、曲面方程的概念 ➢ 二、旋转曲面 ➢ 三、柱面 ➢ 四、二次曲面