质点运动的描述

理学院
大学物理教学中心
College of Science
第一章 质点运动学
1-1 质点运动的描述
3/27/2013 2:29:50 PM
1
1.1质点运动的描述
一.质点 参考系和坐标系
自然界中的万物都在运动，观察物体的位置变 化总是需要选取另一物体为参照物，称作参照系 (reference system)。相对不同的参照系，对同一物 体运动的描述会不相同。这称作运动描述的相对性。 为了定量描述物体相对参照系的运动，在参照系上 建立坐标系(coordinate system)。
z
r r2 r1
应该注意： r s
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r1
O
s r2
r
y x
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1.1质点运动的描述
3.速度 为了反映物体运动的快慢，我们定义质点的平 均速度和瞬时速度(简称速度velocity)。 r z v t r ' ' ro v r " r dr v lim v' r v" t o t dt r" 瞬时速度沿质点运动轨迹的 切线方向。
r2 r1
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1.1质点运动的描述 例1 已知质点的运动方程为 1 2 r ( t ) t 2i t 2 j 4 求t=3s时的速度和运动轨迹方程
m
解：由速度的定义求得速度： dr 1 3 i tj i j m / s v 2 dt 2 1 2 x(t ) t 2；y( t ) t 2 消去 t 求得运动轨迹方程： 4 1 2 y x x3 4 3/27/2013 2:29:50 PM 11
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A
v
x
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1.1质点运动的描述 3.加速度 质点运动的速度通常是个变量，速度大小、 方向的变化都表示速度矢量发生了变化。为了描述速 度矢量变化的快慢，我们引入加速度。 定义平均加速度 a v t v1 t 趋于零时可得质点在某 v2 一瞬时的加速度，加速度 acceleration。 v1 2 v dv d r v a lim 2 v2 t o t dt dt
1.1质点运动的描述
当研究行星的 自转时，无法忽略 行星的几何形状， 此时就不能将行星 视作质点。在处理 方法上可以将其看 作由许多质点组成 的质点系（system of particles）。
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1.1质点运动的描述
1.位矢 质点在空间的位置可用位置矢量来表示。在直角坐 标系中
vt vo o adt at
t
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1.1质点运动的描述 如果已知速度与时间的函数关系及其初始位移， 即可求得位置矢量(运动方程)。 t x ( t ) x o o v x ( t )dt
y( t ) yo o v y ( t )dt
r xi yj zk
z
由于质点的运动，质点 的空间位置随之发生变化， 因而位置矢量是时间的函 数。
r
O y
r r (t )
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x
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1.1质点运动的描述
r r (t )
我们将上式称作质点运动的运动方程（equation of motion ）。由于
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O
y
x
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1.1质点运动的描述
讨论:
1.通常把速度的大小称作速率（speed) 由于:
dr ds
ds dr v v dt dt
2.如果已知质点的速度，可以通过积分求得质点的位 移，这是由位移求速度的逆问题。 dr ( t ) dr v ( t )dt v (t ) dt t 两边同时积分得 r ( t ) ro v ( t )dt
1.1质点运动的描述
如果已知加速度与时间的函数关系及其初始速度， 即可求得速度
v x ( t ) v xo o a x ( t )dt
t
v y ( t ) v yo o a y ( t )dt
t
v z ( t ) v zo o a z ( t )dt
t
上式表明由质点运动加速率的积分可以求得质点运动 的速度。 只有当质点作一维匀加速直线运动时有
v v2 v1
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1.1质点运动的描述
2 dv ( t ) d r ( t ) 瞬时加速度: a ( t ) dt dt 2
将上式两边对时间积分得：
t v ( t ) vo a ( t )dt vo为t 0时刻的初始速度 0
解得速度后再一次对时间积分可得运动方程
t
z ( t ) z o o v z ( t )dt 上式表明由质点的运动速率积分可以求得质点的运动 方程。 v v at
t
o
只有当质点作一维匀加速直线运动时有 当质点作一维匀速直线运动时有
1 2 x o o o vdt vt x xo xv o at dt v o t at 2 3/27/2013 2:29:50 PM
t
t
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1.1质点运动的描述
当作用在质点的作用力是恒力时，质点运动的 加速度时恒矢量，他不仅表示加速度的大小保持不 变，加速度的方向同样不变。 用矢量表示抛体运动
1 2 r v o t gt 2
1 2 gt 2
Байду номын сангаас
vo t
r
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1.1质点运动的描述
例3. 小球以初速度vo在某液体中落下，粘滞阻力产生 的加速度与速度成正比，方向与速度方向相反，问（1） 经过多长时间小球停止运动；（2）停止前经历的路程。 解：通过分离变量积分求出任意时刻的速度，再由速 度积分求出位移路程。
dv a v dt v dv t dv dt vo v o dt v t v vo e
o
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1.1质点运动的描述
3.由于dr只表示矢径大小的增量，而 dr 表示矢径增
量的大小。参见图。
dr dr
dr dr dt dt
dr vr dt
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r r2 r1 r1
r r2 r1
r ( t ) xi yj zk
我们把: x=x(t)；y=y(t)；z=z(t)
称作为质点运动轨迹的参数方程，它也表示三维空间 的曲线方程，这曲线就是质点运动的径迹（track）。
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1.1质点运动的描述
2.位移 质点沿曲线由A点移动到B点，位矢也随之发 生变化，我们把位置矢量的增量称作位移矢量，简称 位移(displacement)。
v1
v2
v1
v2
a v
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1.1质点运动的描述
v a a
v a
v
2.当加速度与速度夹角<90o，速率增加； 当加速度与速度夹角=90o，速率不变； 当加速度与速度夹角>90o，速率减小；
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1.1质点运动的描述 3.如果已知质点运动的加速度，可以通过积分求得质 点运动的速度和位移，这是由运动方程求速度、加速 度的逆问题。 dv ( t ) dv a ( t )dt a(t ) dt 在0-t时间内，等式两边同对时间积分
r ( t ) r0
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t
o
v ( t )dt
ro为t 0时刻的初始位矢
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1.1质点运动的描述 三. 直角坐标系(rectangular coordinates)表述
质点在三维空间的运动可以用三维空间任何一个 正交坐标系表述，在直角坐 z 标系中，根据位矢、位移、 速度、加速度的定义可得 r 位矢： r1
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1.1质点运动的描述
讨论:
1.加速度的方向并不与速度方 向相同，参见图。而是与dv的 方向相同。 质点作曲线运动时，加速 度总是指向曲线凹的一侧。特 别是质点作匀速率圆周运动时， 加速度与速度正交。 只有质点作直线运动时， 加速度与速度矢量平行。
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t v (t ) vo a(t )dt 0
已知加速度与时间的函数关系及其初速度，即可 由积分求得速度矢量，并进一步积分求得位移（运动 方程）。由此可再次看到，积分是求导的逆运算。
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1.1质点运动的描述 4.由于
dv dv;
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1.1质点运动的描述
v v o e t
1/有时间的量纲，假设经过t=10/
v (10 / ) e 10 4.54 10 5 v ( 0) 显然经过t=10/，已经有足够的精度视为小球静止不 动。 dy v v o e t dt y t vo t dy vo e dt y (1 e t ) o o 同样经过t=10/视为小球静止不动，y=vo/
1.1质点运动的描述 例2 A、B两质点由一根长为l 的刚性细杆相连， A、B 两质点可在光滑轨道上滑行，如A以恒定速率v 向左滑 行，求当=60o时质点B的速度。 解： A、B两质点的运动受约束，A被约束在水平轴线 上运动， A、B相互间又 y 通过刚性细杆约束，因 此A、B点的运动相互不 B 独立，由几何关系