2021年高考数学大一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 理
2021年高考数学大一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 理
一、选择题
1．已知集合A ＝{x ||2x ＋1|>3}，集合B ＝{x |y ＝
x ＋1
x －2
}，则A ∩(?R B )＝( )
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．(1，＋∞)
D ．[1,2]
解析：由A ＝{x ||2x ＋1|>3}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |y ＝
x ＋1x －2}＝{x |x ＋1
x －2
≥0}＝{x |x >2或x ≤－1}，所以?R B ＝{x |－1 答案：B 2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2 ＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1 e －x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－1 2，2) B ．(－1，－1 2] C ．(－1，e) D ．(2，e) 解析：由题意得A ＝{x |－x 2 ＋x ＋2>0}＝{x |－1 ＝(－1，－1 2 ]． 答案：B 3．“0 ＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，? ???? a >0， Δ＝4a 2 －4a <0.故ax 2 ＋2ax ＋1>0 的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0 ＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件． 答案：A 4．关于x 的不等式x 2 －(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 解析：原不等式可能为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1 答案：D 5．若不等式x 2 ＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.? ?? ? ?－ 235，＋∞ B.? ?? ? ?－ 235，1 C ．(1，＋∞) D.? ????－∞，－235 解析：由Δ＝a 2 ＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根． 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，f (1)≤0，解得a >－23 5 ，且a ≤1，故a 的取值范围为? ?? ??－235，1. 答案：B 6．已知奇函数f (x )满足f (－1)＝f (3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋∞)是增函数，函数F (x )＝??? ? ? xf －x ，x <0 －f x ，x >0 ，则F (x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－3，或0 B ．{x |x <－3，或－1 C ．{x |－3 D ．{x |x <－3，或0 ①x <0时，xf (－x )>0，即xf (x )<0，解得－3 ②x >0时，－f (x )>0，即f (x )<0，解得1 7．若关于x 的不等式12x 2 ＋(2－m )x <0的解集是{x |0 解析：由题知x ＝0和x ＝2是方程12x 2 ＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3. 答案：3 8．若关于x 的不等式4x －2x ＋1 －a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2 x ＋1 ≥a 在[1,2]上恒成立． 令y ＝4x －2 x ＋1 ＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2 －1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4. 由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 9．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2 －2x ≤0，x ∈R }，A ∩(?U B )＝?，则实数a 的范围是________． 解析：A ＝[1,2]，由于A ∩(?U B )＝?，则A ?B ， 当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，满足A ?B ； 当a <0时，B ＝? ??? ??xx ? ?? ??x －2a ≥0，x ∈R ＝? ?? ??－∞，2a ∪[0，＋∞)，满足A ?B ； 当a >0时，B ＝? ??? ??xx ? ?? ??x －2a ≤0，x ∈R ＝???? ??0，2a ，若A ?B ，则2 a ≥2，即0 讨论，实数a 的范围是(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 三、解答题 10．已知不等式ax 2 －3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ； (2)解不等式ax 2 －(ac ＋b )x ＋bc <0. 解：(1)∵不等式ax 2 －3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，∴x ＝1与x ＝b 是方程ax 2 － 3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得????? 1＋b ＝3a ，1×b ＝2 a ，解得??? ?? a ＝1， b ＝2. (2)原不等式ax 2 －(ac ＋b )x ＋bc <0，可化为x 2 －(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2 综上所述，当c >2时，不等式ax 2 －(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2 －(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c 11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m a ，比较f (x )与m 的大小． 解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0. 那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1 (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0 a ， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x ) 1．若函数f (x )＝(a 2 ＋4a －5)x 2 －4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A ．[1,19] B ．(1,19) C ．[1,19) D ．(1,19] 解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2 ＋4a －5)x 2 －4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立． (1)当a 2 ＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1时，不等式化为3>0，满足题意． (2)当a 2 ＋4a －5≠0时，应有 ????? a 2 ＋4a －5>0，16a －12－12 a 2＋4a －5<0. 解得1 2．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间??????0，52与???? ??52，＋∞上分别递 减和递增，则不等式x 3 f (x )<0的解集为( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－∞，－4)∪(－1,0) D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 解析：由图知，f (x )<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x 3 f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)． 答案：D 3．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知a <0， 可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2 －3ax ＋2a ， ∴f (x )max ＝f ? ?? ??32＝－a 4<1， ∴a >－4，故－4 4．已知不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2 ＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围． 解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b 2a >1， ∴a <0且c a >1，∴ac >0， ∴对于函数f (x )＝ax 2 ＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2 ＋4ac >0， ∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点． (2)|m －n |2 ＝(m ＋n )2 －4mn ＝b －a 2 ＋4ac a 2 ＝ －2a －c 2 ＋4ac a 2 ＝? ?? ??c a 2＋8c a ＋4， 由不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和 t (t >1)，由根与系数的关系知c a ＝t ，∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)． ∴|m －n |>13， ∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．K33519 82EF 苯38962 9832 頲~ 31733 7BF5 篵22888 5968 奨37984 9460 鑠L827715 6C43 汃: 二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 2021年高考数学大一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 理 一、选择题 1．已知集合A ＝{x ||2x ＋1|>3}，集合B ＝{x |y ＝ x ＋1 x －2 }，则A ∩(?R B )＝( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1，＋∞) D ．[1,2] 解析：由A ＝{x ||2x ＋1|>3}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |y ＝ x ＋1x －2}＝{x |x ＋1 x －2 ≥0}＝{x |x >2或x ≤－1}，所以?R B ＝{x |－1 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 课时作业16 一元二次不等式及其解法 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．[2,3] B ．[2,3) C ．(2,3) D ．(2,3] 【答案】 A 【解析】 因为方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，所以不等式的解集为{x |2≤x ≤3}． 2．若a 2－17 4a ＋1<0，则不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的范围是( ) A ．{x |x ≥3或x ≤1} B ．{x |x <1 4或x >4} C ．{x |1 【解析】 ∵x ＝1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，∴a －6＋a 2＝0，∴a ＝2或－3.当a ＝2时，不等式2x 2－6x ＋4<0的解集为(1,2)，∴m ＝2.当a ＝－3时，不等式－3x 2－6x ＋9<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不合题意． 4．求函数f (x )＝log 2(x 2 －x ＋1 4)＋x 2－1的定义域． 【解析】 由函数的解析式有意义，得??? ?? x 2－x ＋14>0， x 2－1≥0， 即????? x ≠12， x ≤－1或x ≥1. 因此x ≤－1或x ≥1.故所求函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1}． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－1 2，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1 2)∪(1，＋∞) 【答案】 D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为(－∞，－1 2)∪(1，＋∞)．故应选D. 第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 第2课时 一元一次不等式组的解法(2) 知识点 1 解复杂的一元一次不等式组 1. 不等式组{2-3x ≥-1,x -1≥-2(x +2) 的解集为 ( ) A .无解 B .x ≤1 C .x ≥-1 D .-1≤x ≤1 2.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. (1) {3x -4<5,2x -13>x -22; (2) { 7-4x >5(1-x ),4-x -22 (2) 解不等式组{4(x +1)≤7x +13,x -4 课时作业16 一元二次不等式及其解法 [基础巩固](25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，－1) B.? ????－1，－23 C.? ?? ??－23，3 D ．(3，＋∞) 解析：因为3x ＋2>0，所以x >－23 . 所以A ＝?????? ????x ??? x >－23. 又因为(x ＋1)(x －3)>0，所以x >3或x <－1. 所以B ＝{x |x <－1或x >3}． 所以A ∩B ＝??????????x ??? x >－23∩{x |x <－1或x >3}＝{x |x >3} 答案：D 2．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( ) A ．[－7,1] B ．(－7,1) C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞) 解析：由7－6x －x 2>0，得x 2 ＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7 4．若函数f (x )＝1 kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则常数k 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4] 解析：∵函数f (x )＝ 1kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，∴kx 2＋kx ＋1>0对x ∈R 恒成立．当k >0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0 课时作业36 一元二次不等式及其解法 一、选择题 1．设集合A ＝{x |x 2 ＋x －6≤0},集合B 为函数y ＝1 x －1 的定义域,则A ∩B 等 于( D ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2] 解析:A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2},由x －1>0得x >1,即B ＝{x |x >1},所 以A ∩B ＝{x |1 范围应该是上述解集的真子集,只有C 满足．故选C. 4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C ) A ．(－∞,－1)∪(3,＋∞) B ．(1,3) C ．(－1,3) D ．(－∞,1)∪(3,＋∞) 解析:关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0,解得－1 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ①二元二次方程组-解法-例题
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