几何与线性代数习题册20140123

习题一 几何向量及其运算

学号 班级

一、填空题

1． 下列等式何时成立：

1）

βαβα-=+， 当 ；

2）

βαβα+=+，当 ；

3）

αβαβ+=-， 当 ； 4）β

βαα=，（,αβ为非零向量），当 ；

5）βαβα->+， 当 。

2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：

1）},{αθ是 ； 2）βα,不平行，},{βα是 ；

3）γβα,,共面，},,{γβα是 ；

4）γβα,,不共面，},,{γβα是 。

3．在空间直角坐标系中，点(2,3,5)M -关于关于yoz 平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于z 轴的对称点是 ；在xoy 平面上的投影点坐标是 ；在y 轴上的投影点是 ；到yoz 平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到x 轴的距离是 。

二、设,,OA OB P αβ==u u u r u u u r 为线段AB 上任一点，证明存在数λ，使得λβαλ+-=)1(OP 。

三、已知向量313221,,e e e e e e +=+=+=γβα，证明αγγββα---,,共面。

四、判断题

1．若γαβα⋅=⋅，且αθ≠，则βγ=。 （ ）

2．γβα,,共面的充分必要条件是0)(=⨯⋅γβα。 （ ）

3．><⋅=

⨯βαβαβα,sin 。 （ ） 4．βαβα⋅≤⋅ 。 （ ）

五、填空题

1．已知向量4,3,3

2===βαπϕβα的夹角和，则 1）βα⋅= ；2） 2βα+= ；3）(32)(2)αβαβ-⋅+= 。

2．已知βαβα3,2-=-=，其中

6,,3,5π

βαβα>=<==，则三角形ABD 的面积S = 。

六、已知 21,2,,,,3

παβαβωλαβγαβ==<>==+=-。问 1）λ为何值时，ω与γ平行； 2）λ为何值时，ω与γ垂直。

七、已知α与β垂直，且3,4αβ==，计算：(提示: ,.αβααββ⨯⊥⨯⊥)

1）αβα⨯⨯)(； 2）)()(βαβα-⨯⨯； 3）)2()3(βαβα-⨯-。

习题二 向量及其运算的坐标计算

学号 班级

一、填空题

1．平行于y 轴的向量一般表示式是 。

2．向量)4,1,3(=α，)1,1,2(-=β，它们的夹角>=<βα, 。

3．向量),3,2(1t -=α，)2,6,(2-=t β，当1t = 与2t = 时，α与β平行。

4．设三力1(1,1,0)F =-u r ，2(0,3,1)F =-u r ，3(1,2,1)F =--u u r 作用于一质点，使质点产生的位移向量2S i j k =-++u r ，则合力所做的功W = 。

5．三角形的三个顶点为(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)A B C ，其面积S = 。

6．和向量k j i k j i +-=+-=2,3βα都垂直的单位向量是 。

二、已知向量(3,5,1)α=-，求α的方向余弦及与α平行的单位向量。

三、证明向量α在β上的投影向量为

αββββ

⋅⋅，并求向量(2,3,1)α=在向量(1,2,2)β=-上的投影向量。

四、向量)3,2,1(),1,2,0(),2,3,8(=-=-=γβα是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。

五、设(1,00),(2,2,1),αβ==，向量,,αβγ共面，且Pr Pr 3,oj oj αβγγ==求γ。

习题三 平面与直线

学号 班级

一、填空题

1．平行于平面0362145=++-z y x 且与此平面的距离为3的平面方程

是 。

2．如果平面02102=-++z ay ax 与052=++z y x 平行，则=a ； 若垂直，则=a 。

3．过三点(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)A B C 的平面方程是 。

4．过x 轴且垂直于平面0335=+-+z y x 的平面方程是 。

5．点A (2,3,1)到平面01=+-+z y x 的距离是 。

6．通过点(1,5,1)A -和(3,2,12)B -且平行于y 轴的平面方程为 。

7．过点)3,0,1()1,3,2(21--M M 和的直线方程是 。

8．过点)3,1,2(-M 且垂直于直线3

221-+==-z y x 的平面方程是 。 9．过点)3,1,0(-M 且垂直于平面0923=++-z y x 的直线方程是 ， M 点在此平面上的投影点坐标是 ；M 点关于此平面的对称点坐标是 。

二、求满足下列条件的平面方程

1．过原点引平面的垂线，垂足是点(1,2,1)M 的平面方程。

2．通过点)3,1,2(-A 且平行于向量)4,3,0()1,2,1(-=-=βα及的平面方程。

三、求过点)2,1,3(-且通过直线

z y x =+=-2

354的平面方程。

四、求点)2,1,3(-到直线⎩⎨

⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离。

五、求两异面直线1241322:

;:263254

x y z x y z l l ---+-====---之间的距离。

习题四 线性方程组

学号 班级

一、用加减消元法求解下列线性方程组 1) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=-+022********

321321x x x x x x x x x .

2) 1231231

23232451222x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=-⎨⎪---=-⎩

二、对非齐次线性方程组1231231

23322433x x x x x x x x ax b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当a ，b 为何值时无解？何值时有无穷多解？