几何与线性代数习题册20140123

习题一 几何向量及其运算学号 班级一、填空题1． 下列等式何时成立：1）βαβα-=+， 当 ；2）βαβα+=+，当 ；3）αβαβ+=-， 当 ； 4）ββαα=，（,αβ为非零向量），当 ；5）βαβα->+， 当 。

2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）},{αθ是 ； 2）βα,不平行，},{βα是 ；3）γβα,,共面，},,{γβα是 ；4）γβα,,不共面，},,{γβα是 。

3．在空间直角坐标系中，点(2,3,5)M -关于关于yoz 平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于z 轴的对称点是 ；在xoy 平面上的投影点坐标是 ；在y 轴上的投影点是 ；到yoz 平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到x 轴的距离是 。

二、设,,OA OB P αβ==u u u r u u u r 为线段AB 上任一点，证明存在数λ，使得λβαλ+-=)1(OP 。

三、已知向量313221,,e e e e e e +=+=+=γβα，证明αγγββα---,,共面。

四、判断题1．若γαβα⋅=⋅，且αθ≠，则βγ=。

（ ）2．γβα,,共面的充分必要条件是0)(=⨯⋅γβα。

（ ）3．><⋅=⨯βαβαβα,sin 。

（ ） 4．βαβα⋅≤⋅ 。

（ ）五、填空题1．已知向量4,3,32===βαπϕβα的夹角和，则 1）βα⋅= ；2） 2βα+= ；3）(32)(2)αβαβ-⋅+= 。

2．已知βαβα3,2-=-=，其中6,,3,5πβαβα>=<==，则三角形ABD 的面积S = 。

六、已知 21,2,,,,3παβαβωλαβγαβ==<>==+=-。

问 1）λ为何值时，ω与γ平行； 2）λ为何值时，ω与γ垂直。

七、已知α与β垂直，且3,4αβ==，计算：(提示: ,.αβααββ⨯⊥⨯⊥)1）αβα⨯⨯)(； 2）)()(βαβα-⨯⨯； 3）)2()3(βαβα-⨯-。

习题二 向量及其运算的坐标计算学号 班级一、填空题1．平行于y 轴的向量一般表示式是 。

2．向量)4,1,3(=α，)1,1,2(-=β，它们的夹角>=<βα, 。

3．向量),3,2(1t -=α，)2,6,(2-=t β，当1t = 与2t = 时，α与β平行。

4．设三力1(1,1,0)F =-u r ，2(0,3,1)F =-u r ，3(1,2,1)F =--u u r 作用于一质点，使质点产生的位移向量2S i j k =-++u r ，则合力所做的功W = 。

5．三角形的三个顶点为(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)A B C ，其面积S = 。

6．和向量k j i k j i +-=+-=2,3βα都垂直的单位向量是 。

二、已知向量(3,5,1)α=-，求α的方向余弦及与α平行的单位向量。

三、证明向量α在β上的投影向量为αββββ⋅⋅，并求向量(2,3,1)α=在向量(1,2,2)β=-上的投影向量。

四、向量)3,2,1(),1,2,0(),2,3,8(=-=-=γβα是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。

五、设(1,00),(2,2,1),αβ==，向量,,αβγ共面，且Pr Pr 3,oj oj αβγγ==求γ。

习题三 平面与直线学号 班级一、填空题1．平行于平面0362145=++-z y x 且与此平面的距离为3的平面方程是 。

2．如果平面02102=-++z ay ax 与052=++z y x 平行，则=a ； 若垂直，则=a 。

3．过三点(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)A B C 的平面方程是 。

4．过x 轴且垂直于平面0335=+-+z y x 的平面方程是 。

5．点A (2,3,1)到平面01=+-+z y x 的距离是 。

6．通过点(1,5,1)A -和(3,2,12)B -且平行于y 轴的平面方程为 。

7．过点)3,0,1()1,3,2(21--M M 和的直线方程是 。

8．过点)3,1,2(-M 且垂直于直线3221-+==-z y x 的平面方程是 。

9．过点)3,1,0(-M 且垂直于平面0923=++-z y x 的直线方程是 ， M 点在此平面上的投影点坐标是 ；M 点关于此平面的对称点坐标是 。

二、求满足下列条件的平面方程1．过原点引平面的垂线，垂足是点(1,2,1)M 的平面方程。

2．通过点)3,1,2(-A 且平行于向量)4,3,0()1,2,1(-=-=βα及的平面方程。

三、求过点)2,1,3(-且通过直线z y x =+=-2354的平面方程。

四、求点)2,1,3(-到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离。

五、求两异面直线1241322:;:263254x y z x y z l l ---+-====---之间的距离。

习题四 线性方程组学号 班级一、用加减消元法求解下列线性方程组 1) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=-+022********321321x x x x x x x x x .2) 123123123232451222x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=-⎨⎪---=-⎩二、对非齐次线性方程组123123123322433x x x x x x x x ax b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当a ，b 为何值时无解？何值时有无穷多解？三、液态苯在空气中可以燃烧。

如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部，则水蒸气就会在物体上凝结，同时烟灰（碳）也会在物体上沉积.这个化学反应的方程式为16622342C H x x O x C x H O +→+求变量1234,,,x x x x 以配平该方程。

习题五 矩阵的运算学号 班级一、填空题1．设)(21E B A +=，则当且仅当=2B 时，A A =2。

2．))((22B A B A B A -+=-的充分必要条件是 。

3．设11/3A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则c = ；d = 时，2A O =。

4．()14601231230102370;0120123581001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

5．10012300030;0120000813100k a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 001230001200131a b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

二、设)3,1,2(=α，(1,2,3)β=，计算：βαT A =；T B βα=及4A （k 为正整数）。

（提示：用矩阵乘法的结合律2()()()T T T T A BA αβαβαβαβ===）三、设1210,,1312A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭验证222(1);(2)()2AB BA A B A AB B =+=++是否成立？四、若A , B 满足AB BA =，则称B 和A 可交换。

设11,01A ⎛⎫= ⎪⎝⎭求所有与A 可交换的矩阵。

五、设2)(2--=x x x f ，记)(A f 为方阵A 的多项式，即2()2f A A A E =--，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0121A ，计算)(A f 。

六、把向量方程213111*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭改写成方程组的形式和矩阵乘积的形式。

习题六 对称矩阵与分块矩阵学号 班级一、1）设A 、B 为n 阶方阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵。

2）设A 、B 均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =。

二、设ξ为n 维列向量，且1Tξξ=，设2,TA E ξξ=-证明A 是对称矩阵且2.A E =三、设101a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算32,,kA A A 。

四、设10102,1121101A B⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，按照不同的分块方式计算乘积AB：（1）A不分块，B按列分块；（2）A按行分块，B不分块；（3）A按行分块，B按列分块。

习题七行列式的性质与计算学号班级一、填空题1．设1112132122233132332a a aa a aa a a=，则=---131211232221333231222333aaaaaaaaa。

2．设010100=--a bb a，则=a ，=b 。

二、选择题1．设A 为n 阶方阵，若A 经过若干次初等变换变成矩阵B ，则下面的结论正确的是（ ）。

()||||A A B =； ()B 若||0,A =则必有||0B =； ()||||C A B ≠； ()D 若||0,A >则必有||0B >。

2．若A ，B 为同阶方阵，则有（ ） ()()k k k A AB A B =； ()||||B AB AB -=-； 22()()()()E AB E AB AB C E =-+-； ()||||||D A B A B +=+。

三、计算下列行列式：（1）efcfbfde cd bcaeac ab--- （2）3124025312613442-----(3) ba ba b a b a b ab a ba b a D n +++++=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ000000000000（提示：按一行或一列展开，求递推公式）四、用数学归纳法证明：θθθθθn D n cos cos 211cos 2000001cos 210001cos ==ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ习题八 逆矩阵（一）学号 班级一、填充题1．设A 为3阶方阵，且2A =，则=-12A，=*A ，=**)(A ，=-1*)(A ；*123A A -- 。

2．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-100110202211A ，则=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛；112n -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

3．设123023003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则=-1*)(A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭。

4．如B A ,分别是m 阶和n 阶可逆矩阵，C 为n m ⨯阵，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10B C A 。

5．设A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-133121，且6A E =，则11A =。

二、选择题1．设n 阶方阵,,A B C 满足BCA E =，则下面的结论正确的是（ ）。

()A ACB E =；()B CBA E =；()C CAB E =；()D BAC E =。

2． 设,A B 为n 阶方阵，则 （ ）()A 若,A B 都可逆，则A B +必可逆； ()B 若,A B 都不可逆，则A B +必不可逆； ()C 若AB 可逆，则,A B 都可逆； ()D 若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。