线性代数典型例题

线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式1．计算221123122313151319x D x -=-.2．设()x bc d bxc d f x b cx d b c dx=，则方程()0f x =有根_______.x =四、抽象行列式的计算或证明1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1||2A =，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A4.设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1||________.B E --=2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+2.设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -2.已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出逆矩阵。

3.设T A E xy =+,其中,x y 均为n 维列向量，且2T x y =,求A 的逆矩阵。

4.设,A B 为n 阶矩阵，且E AB -可逆，证明E BA -也可逆。

三、解矩阵方程1.设矩阵111111111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，矩阵X 满足*12A X A X -=+,求矩阵X . 2.已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++，求X . 四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1.证明下列等式(1)**()()T T A A =； (2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=； （3）||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=；(4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）； （5）若,A B 为同阶可逆矩阵，则***()AB B A =.2.设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =,若111213,,a a a 为三个相等正数，则11_______.a = 五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）第三章 矩阵典型例题一、判断向量组的线性相关性 1.设12(,,,)(1,2,,;)T i i i in i r r n αααα==<是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无关，已知12(,,,)T n b b b β=是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的非零解向量，试判断向量组12,,,,r αααβ的线性相关性。

2.设12,,,n ααα是n 个n 维的线性无关向量，11122n n n k k k αααα+=+++，其中12,,,n k k k 全不为零，证明121,,,n ααα+中任意n 个向量均无关。

3.设A 为43⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，且0AB =,其中111121230012A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，证明B 的列向量组线性相关。

4.设121,,,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，1ξ和2ξ是与121,,,n ααα-均正交的n 维非零列向量，证明（1）1ξ、2ξ线性相关；（2）121,,,n ααα-，1ξ线性相关。

二、把一个向量用一组向量线性表示证明线性方程组111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解都是11220n n b x b x b x +++=的解的充要条件是β是12,,,m ααα的线性组合，其中12(,,,)n b b b β=，12(,,,)(1,2,,)i i i in i m αααα==.三、求向量组的秩1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

2.已知向量组（1）123,,ααα；（2）1234,,,αααα；（3）1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别是3、3、4，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4. 四、有关矩阵秩的命题1.设A 为m n ⨯实矩阵，证明：()().T R A R A A =2.设A 为n 阶方阵，且满足22A A E =+，证明：(2)()R A E R A E n -++=. 综合题1. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为()n n m ⨯-矩阵，且已知0AB =，(),()R A m R B n m ==-，设α是满足0Ax =的一个n 维向量，证明：存在唯一的一个()n m -维列向量β，使B αβ=.2.已知随机变量01~0.250.75X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，{}0.51P Y =-=，又n 维向量123,,ααα线性无关，求向量122331,2,X Y αααααα+++线性相关的概率。

第四章 线性方程组典型例题一、基本概念题（解的判定、性质、结构） 二、含有参数的线性方程组的求解 三、抽象线性方程组求解1.已知线性方程组：1111221,222112222,221122,2200()0n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪I ⎨⎪⎪+++=⎩的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组：1111221,222112222,221122,2200()0n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b x b y +++=⎧⎪+++=⎪II ⎨⎪⎪+++=⎩的通解，并说明理由。

2.已知4阶方阵12341234(,,,),,,,A αααααααα=均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-，如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解。

四、讨论两个方程组的公共解1.设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解。

2.已知下列非齐次线性方程组124123412326()4133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪I ---=⎨⎪--=⎩，1234234345()21121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪II --=-⎨⎪-=-+⎩（1）求解方程组()I ，用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组()II 中的参数,,m n t 为何值时，方程组()I 与()II 同解。

3.设,A B 都是n 阶级矩阵，且()()r A r B n +<，证明齐次方程组0Ax =与0Bx =有非零公共解。

五、讨论两个方程组解之间的关系 1. 0Ax =与0T A Ax =的解的关系。

2.设有齐次线性方程组0Ax =与0Bx =，其中,A B 都是m n ⨯矩阵，现有4个命题： ①若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()r A r B ≥； ②若()()r A r B ≥，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③若0Ax =与0Bx =同解，则()()r A r B =； ④若()()r A r B =，则0Ax =与0Bx =同解。

以上命题中正确的是：(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④六、已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数1.设121201101A t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且方程组0Ax =的基础解系含有2个线性无关的解向量，求0Ax =的通解。

2.设12112010131,1,11101A b a c η⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦，如果η是Ax b =的一个解，试求Ax b =的通解。

七、有关基础解系的讨论 1.设12,,,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系，1112221223121,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+其中12,t t 为实常数，试问12,t t 满足什么关系时，12,,,s βββ也为0Ax =的一个基础解系？2.若矩阵A 的秩为r ，其r 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B 为r 阶非奇异矩阵，证明：AB 的r 个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系。

3.设*ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r ηηη-是其导出组的一个基础解系，证明： （1）*12,,,,n r ξηηη-线性无关；（2）****12,,,,n r ξξηξηξη-+++是方程组Ax b =的1n r -+个线性无关的解；（3）方程组Ax b =的任一解x ，都可以表示为这1n r -+个解的线性组合，而且组合系数之和为1. 八、有关0AB =的应用1.已知方阵12221311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，三阶方阵0B ≠满足0AB =，试求λ的值。