解析函数的级数展开
求函数解析形式的六种常用方法
求函数解析形式的六种常用方法
在解析函数的形式时，有多种方法可以使用。
以下是六种常用的方法：
1. 泰勒级数展开：泰勒级数是将函数表示为无穷级数的形式。
通过给定函数在某个点的各阶导数，可以使用泰勒级数来近似表示函数的解析形式。
2. 分段定义：对于某些函数，可以将其定义分为不同的部分，每个部分的解析形式很简单。
通过将这些部分组合在一起，可以得到整个函数的解析形式。
3. 几何方法：对于一些几何关系较为明显的函数，可以使用几何方法来求解其解析形式。
例如，对于直线或者曲线上的点，可以通过几何关系来推导函数的解析形式。
4. 求导和积分：对于已知函数的导数和积分形式，可以通过对函数进行导数和积分运算来逆推函数的解析形式。
这种方法常用于已知函数的导数和积分形式比较简单的情况。
5. 已知特殊点和性质：如果已知函数在某些特殊点上的性质，例如零点、最大值、最小值等，可以利用这些特殊点和性质来推导函数的解析形式。
6. 函数逼近：当无法直接求得函数的解析形式时，可以使用函数逼近的方法来近似表示函数。
例如，可以使用插值方法或者最小二乘法来逼近函数的解析形式。
这些方法可以在不涉及法律复杂性的前提下，帮助求解函数的解析形式。
每种方法都有其适用的情况，具体使用哪种方法取决于函数的属性和已知信息。
数学分析中的级数展开
数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
通常情况下，我们希望将一个函数展开成幂级数的形式，即形如∑an(x-a)n的级数。
其中，an是系数，x是变量，a是展开点。
二、常见的级数展开方法1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是最常见的级数展开方法之一。
它将一个函数在某个展开点附近展开成幂级数的形式。
泰勒级数展开的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ...2. 麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，展开点为0。
麦克劳林级数展开的公式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ...3. 幂级数展开幂级数展开是将一个函数展开成幂级数的形式，不限于泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
幂级数展开的公式为：f(x) = ∑an(x-a)n三、级数展开的实际应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 函数逼近级数展开可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的级数，从而方便计算和分析。
例如，利用泰勒级数展开可以将一个非线性函数逼近为一个多项式函数，从而简化计算。
2. 解析几何级数展开在解析几何中有重要的应用。
例如，利用幂级数展开可以将一个复杂的曲线或曲面表示为一系列简单的项的和，从而方便研究其性质和行为。
3. 物理学级数展开在物理学中有广泛的应用。
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
解析函数的级数展开形式的一种确定方法
瑚
（ 在 环ｌ ３＜ ， 数 开 式 ６ 圆 ＜ ～ Ｉ 内 级 展 型 为∑ｃ ） ） ｌ ＋ 一 （３
， 丽 ＝ （ 一 （ １ 争 咖 １ １）
＝
（ 若 域 ＜ Ｉ 或Ｋｚ 或Ｉｌ 其 式 式 ３ 环 为ｏｌ ＜ ） ： Ｒ ＩＩ ＝＞ 展 形 为∑ｃ ｒ
。
通 过分 析 ， 们可 得 出 如下 确 定 级 数展 式 形 式 的具 体 方法 ： 我
（解析 为 域｝ ，展 为 勒 数∑ ｚ ｒ， １ 域 圆 ＝ ｌ 则 开 泰 级 （ｏ ） 一 —） “
（ ） 定 函 数 的解 析 圆环 域 ， 据 圆 环 域 确 定 其 相 应 的 罗 朗 展 式 ２确 根
埘
（若 域 ＜ Ｉ 或ｒ Ｉ 其 式 式 ４ 环 为ｏ１ （ ＜ ＜ 展 形 为∑Ｃ －） ） ｚ 尺 ｌ Ｒ ｎ － ０ａ
以 下我 们 将用 一 个 具 体 例 子对 我 们 的结 论 加 以说 明。
＝
｝ 毒 一巧 ） （ １ １
争 去 上￣ ） （ 专 Ｚ 击 －＝ ３㈠
＝
击熹 “ 主 （＋ 击） 刍 丢
一
的 正确 性 。 开形 式 判定 之后 ， 点 是 系数 的计 算 ， 们可 按 直 接 计算 展 重 我 系 数 的 办法 进 行 ， 通 常 情 况 下 都 是 采 用 间 接 的方 法 ， 利用 已 有 的 但 即 级 数 展 式 与幂 级 数 的 性 质 ， 以及 一 些 运 算 技 巧 来 求 出 ， 就需 要 对 函 这 数 形式 进 行 适 当 的变 形 ， 然后 作 相 应代 换 。本 文 就此 问 题 作 了 一 些研 究． 并给 出 了完 全可 行 的 确定 级 数 展式 形 式 的 方法 。
解析函数展开成Laurent级数的方法研究
解析函数展开成Laurent级数的方法研究将一个解析函数展开成Laurent级数，一般需要以下方法：
1. 找出函数的极点和其阶次：通过求解函数的极点，可以确定展开式中的每个幂次项对应的系数和在哪些点上有奇点。
极点的阶次也直接决定了Laurent级数中负次幂的系数。
在实践中，可以通过求导数或求反函数等方法来找到函数的极点。
2. 在每个奇点的附近做局部展开：对于一个函数$f(z)$，如果它在某个点$z_0$处存在奇点，那么可以在奇点附近做局部展开：$f(z) = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty a_n(z-z_0)^n$，其中
$a_n$是展开式中$n$次幂项的系数。
3. 根据极点阶次确定展开式中的系数：由于Laurent级数包含正次幂和负次幂，因此需要在每个奇点处分别确定展开式中正次幂项和负次幂项的系数。
其中，正次幂项的系数可以通过泰勒级数展开求得，而负次幂项的系数可以通过计算函数的残数得到。
4. 最终得到Laurent级数的形式：将每个奇点处的局部展开式合并起来，可以得到完整的Laurent级数展开式。
需要注意的是，Laurent级数展开式可能不是唯一的，因为不同的局部展开式可能存在重叠部分。
因此，在实际计算中需要对不同的展开式进行比较和选择。
专题二 微积分问题专题(解析解及级数展开求和)
解 由题意知，前 5 年的总产量为
Q( t )
5 0
3 2 ( 70 t 1 0 t dt ) 10
clear syms t Q Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5)
例 已知某产品的边际成本和边际收入分别为
C ( x ) x 2 4 x 6, R( x ) 105 2 x
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 求极限
• >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf)
• 例:求极限
>> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
>> m=1:10000000; s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%数值计算方法 >> format long; s1
例:求
>> syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)log(n),n,inf)
>> vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字
例：求
x sin x I1 dx 1 cos x 1 cos x
和
cos x x2 I2 2x ln 2 x
并画出 I1 x sin x dx 的积分曲线族
syms x C fx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I1=int(fx,x)+C ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2); plot(xx,subs(fx,xx),'k','LineWidth',2) hold on for c=0:6 y=inline(subs(I1,C,c)); plot(xx,y(xx),'LineStyle','--'); end legend('函数曲线','积分曲线族',8)
数学物理实验第三节(泰勒级数展开)
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) k 0
k
根据柯西公式
f
(n)
n! • f ( ) ( z) d n 1 l 2i ( z )
上式就是以z0为
中心的泰勒级数
f ( z)
k 0
解： 多值函数f(z)＝lnz的支点在 z 0, 而现在的展开中心
z0＝1不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自
是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。 展开系数计算如下：
f ( z ) ln z , f (1) ln1 n2 i ( n Z ) 1 , f (1) 1 z 1! f ( z ) 2 ，f (1) 1 z 2! (3) f ( z ) 3 , f (3) (1) 2! z 3! (4) (4) f ( z ) 4 , f (1) 3! z f ( z )
2
（1）
z z0 z z0 z z0 1 1 ... 1 z z z0 z z 0 0 0 1 z0
代入（1）可得
1 1 t t ... t ... 1 t
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
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n 1
条件是级数的实部
a
n 1
n
和虚部
b
n 1
n
都收敛.
定理 4.1.3
S a ib ，则
设 n an ibn
(n 1, 2, ) ，且
n 1
n
收敛于 S 的充分必要条件是 lim
n
a
n 1
n
a
且 lim
n
b
n 1
n
b.
定理 4.1.4
级数
n 1
n
收敛的必要条件是
lim n 0
n
.
例4.1.1 考察级数
1 i n 2 n 1 n
的敛散性.
【解 】
由定理4.1.2 知，只需讨论级数的实部级数
lim S n S
n
(4.1.2)
记作
S n
n 1
(4.1.3)
定义4.1.3 级数发散
若部分和数列
Sn 无有限的极限，则称
n 1
n
级数发散
4.1.2 复数项级数的判断准则
定理 4.1.1 柯西收敛准则 对于复数项级数，存在 类似于实数项级数收敛的充分必要条件. 级数 (4.1.1)收敛 的充分必要条件是对于任意给定的 0, 存在自然数 N 使得 当 n N 时，
|
2)
k n 1
n p
f k ( z ) |
(4. 2.
一致收敛
如果对于任意给定的 0 ，存在一个与 z 无关的 自然数 N， 使得对于区域 D 内(或曲线 L 上 )的一切 z 均 有: 当 n N 时，
|
k n 1
n p
f k ( z ) |
(p 为任意正整数 )
(4.2.1)
该级数前n项和 Sn ( z )
f
k 0
n
k
( z ) 称为级数的部分和.
定义 4.2.2 如果对于 D 内某点 z0 ，数项级数
f
n 0
n
( z0 ) 收敛，则称 z0 点为 f n ( z ) 的一个收敛点，
n 0
若级数在区域 D 内的每一点都收敛，则称该级数在 D 内收敛 ;收敛点的集合称为
f
(3)
( p)
( z ) f n( p ) ( z ) ( z D, p 0,1, 2, )
n 0
(4.2.6)
n 0
f n( p ) ( z ) 在 D 内一致收敛于 f ( p) ( z) .4.3Biblioteka 幂级数4.3.1 幂级数概念
定义 4.3.1 幂级数概念 当 fn ( z) cn ( z z0 )n 或 fn ( z) cn z n 时，就得到函数项级数的特殊情况.
(1)n (1)n i i 是收敛的，但由于 n n n 1 n 1
(1)n 1 | i| n n 1 n 1 n
即为调和级数，故发散.
另外，若有
n an ibn
，则
| a |, | b
n 1 n
n 1
n
| | n | a b | an |+ | bn |
f
n 0
n
( z ) 的收敛域. 若级数
f
n 0
n
( z0 ) 发散，则称 z0 点为级数的 发散点，发散点的
集合称为
f
n 0
n
( z ) 的发散域 .
如果级数
f
n 0
n
( z ) 在 D 内处处收敛，则其和一定是 z 的函
数，记为 S ( z ) ，称为
f
n 0
n
( z ) 在 D 内的和函数. 即对任意的
定义 4.2.1 复变函数项级数
设
{ fn ( z)},(n 0,1, 2,...) 是定义在区域D上的复变函数
序列，则称表达式
f
n 0
n
( z ) f 0 ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z) f n ( z)
为复变函数项级数（简称复函数项级数）.
n 1 z 1 n z lim Sn lim n n 1 z 1 z n 0
根据维尔斯特拉判别法，显然级数
n z 在闭圆 n 1
| z | r (r 1) 上满足 | z n | r n 即存在优级数 r n ，故
n0
在该闭圆内一致收敛.
n0 n
n
在点 z z0 , ( z0 0) 收敛，那么对满足
z z0 的 z ， 级数必绝对收敛且一致收敛. 如果
在点 z z0 处级数发散，那么对满足 z z0 的
z ，级数必发散.
【证明】 若级数
n n
n c z 根据收敛的必要条件， n 0 收敛， n 0
n 1
n
1 2 n
(4.1.1)
称为复数项无穷级数. 前n项和 Sn 1 2 n 称为级数的部分和.
定义4.1.2 级数收敛
若部分和复数列 {Sn } 存在有限极限，则称无穷级数
n 1
n
收敛，而这极限值称为该级数的和, 即
1 n 1 n
和虚部级数
1 n n 1 2
1 n 1 n
的敛散性. 因为级数 发散，故原级数发散.
定义4.1.4 绝对收敛级数
若级数
n 1
n
收敛，称原级数
n 1
n
为绝对收敛级数.
定义4.1.5 条件收敛级数
若复数项级数
n 1
n
收敛，但级数
n 1
n
(4.1.6)
也绝对收敛，且收敛于： S L SL
例4.1.2 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还 是绝对收敛？
(1)
(8i) n 0 n !
n
；
【解】
(1) 因
8i 8n n! n!
n
由正项级数的比值判别法知
8n b b2 4ac 收敛，故级数 2a n 0 n !
n 0
一致收敛 .
定理 4.2.2
设级数
f
n 0
n
( z ) 的各项
在区域 D 内连续，并一致收敛于 f ( z ) ，则 其和函数 f ( z )
f
n 0
n
( z ) 也在 D 上连续.
定理 4.2.3
设级数
f
n 0
n
( z ) 的各项在曲
线 C 上连续，并且在 C 上一致收敛于 f ( z ) ，则 沿 C 可以逐项积分
n 2 n c z c c z c z c z n 0 1 2 n n 0
有 lim cn z0 0 ，因而存在正数 M，使对所有的 n 有
n cn z0 M
如果 z z0
|z| q 1 ，而 ，那么 | z0 |
z cn z c z Mq n . z0
n n n 0
n
由于 Mq n 为公比小于 1 的等比级数， 故收敛，
n 0
从而根据正项级数的比较法知
(2)当 | z | 1 时，| z |n 1 . 所以一般项 n z 不可能以零为极限， 从而级数发 散.
定义 4.2.4 闭一致收敛 设 f n ( z), (n 0,1, 2, ) 在区域 D 内有定 义，若
f
n 0
n
( z ) 在 D 内的任意一个有界闭区域
G 上都一致收敛，则称级数 f n ( z ) 在 D 内闭
(4.2.3)
则称级数
f
n 0
n
( z ) 在 D 内 (或曲线 L 上)一致收敛.
定理 4.2.1 维尔斯特拉斯( Weierstrass) 判别法 （又称为 M －判别法） 对于复函数序列 { fn ( z)} ，存在正数列 {M n } ，使 对一切 z，有
| fn ( z) | M n (n 0,1, 2, )
而正项级数 且一致收敛 .
(4.2.4)
M
n 0
n
收敛，则复函数项级数
f
n 0
n
( z ) 绝对收敛
这样的正项级数
M
n 0
n
称为复函数项级数
f
n 0
n
( z)
的强级数 (或优级数 )， 上述 M 判别法 又称为优级数 (强级 数)判别法 .
例 4.2.1
讨论复级数
n z 的收敛性，并讨论该级数在闭圆 n0
(8i)n n 0 n !
绝对收敛.
(2)
(1) 1 n 2n i n 1
n
(2) 因
(1) n n 1
n
，
1 n n 1 2
都收敛，故原级数收敛，但因
(1) n n n 1
为条件收敛，所以原级数为条件收敛.
4.2 复变函数项级数