管理运筹学讲义 第3章 运输问题
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管理运筹学第3章-运输规划1
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
c32 - z32= c32 – (u3+v2)= 9 – 6-6=-3
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
调整的步骤如下： （1）先确定最小检验数：； （2）找出以空格为一个顶点，其余顶点全是数字
-----退化解出现
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
1
2
3
4
6
7
1
14
5
5
3
5
u1=-4
7
8
4
2
7
2
8
13
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
x31进基, min{x21,x33}=min{8,6}=6, x33离基
转轴运算,重新计算检验数,确定进基、离基变量
第三章 运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题表上作业法
3.1 运输问题及其数学模型
一、一般运输问题
设某种货物有m个产地A1，A2，…,Am,产量分 别为a1,a2,…,am,有n个销地B1,B2,…,Bn,销量分 别为b1,b2,…,bn，而且从Ai到Bj的单位运价为 Cij。若产销平衡（ ai= bj），问如何制定调 运方案，可以使总运费最小？
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
【定理 3】m+n － 1 个变量组构成基变量的充要条件 是它不包含任何闭回路。
定理 3 告诉了一个求基变量的简单方法，同时 也可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的 基变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需 要在系数矩阵 A 中去寻找，从而给运输问题求初始 基可行解带来极大的方便。
例 3-3 ： m=3,n=4 ，在运价表 Cij 的格子的右上 方填上相应的xij，如表3-5所示。
表3－4 B1 B2 x12 B3
A1
A2 A3 A4
x11
x11 , x41 , x43 , x33 , x32 , x12
例如变量组 A x21 , x22 , x33 , x31 , x11 , x12 ;
x32
x33 x43
x41
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路
B的变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
…
B1 x11 x21 c11 c21
B2 x12 x22
…
Bn x1n x2n c1n c2n
产量 a1 a2
…
c12
c22
Am 销量
xm1 b1
cm1
xm2 b2
cm2 …
xmn bn
cmn
am
设xij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)为第i个产地到 第j个销地的运量，产销平衡运输问题的数学模型为：
（2）所有结构约束条件都是等式约束 （3）各产地产量之和等于各销地销量之和
（4)运输问题约束条件的系数矩阵特点
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
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运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
【运筹学 精品培训讲义】第三章运输问题
cij xij
i1 j1
n
xij ai
j1
i=1,2, ,m
m
xij b j
i 1
j=1,2, ,n
xij 0, i = 1,2, , m; j = 1, , n
2.运输问题的模型
x11 x12
x1n x21 x22
x2n
xm1 xm2 xmn
1 1
1
11
1
A＝1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
i 1
j1
s.t. ui v j cij
对偶变量 xij
i = 1,2, , m; j 1,2, , n
ui, v j 无约束 i = 1,2, , m; j = 1, , n
运输问题例子
销售商 Boston Chicago St. Louis Lexington
供应商CleveΒιβλιοθήκη and3Bedford
S. t.
x11 +x 12 +x 13 +x 14
≤ 5000
x21 +x 22 +x 23 +x 24
≤ 6000
x31 +x 32 +x 33 +x 34 ≤2500
x 11
+x 21
+x 31
= 6000
x 11
+x 21
+x 31
= 4000
x 11
+x 21
+x 31
= 2000
x 11
7
York
2
需求量(吨) 6,000
运筹学Chapter-3--运输问题
2018/11/27 4
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2021/3/14
26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
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B1
3
31
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2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
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B4
产量
2
7
1
4
3
9
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B4 9 8
A3
需求 35 40 55 65
80
195
6
3
7
5
问应如何调运，可使得总运输费最小?
31 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
解：用西北角法求初始基本可行解
产销平衡表 运价表
销 产 A1 A2 A3 需求
B1
B2
B3
B4
产量 75
B1 3 2 6
B2 8 9 3
B3 5 4 7
B4 9 8 5
第3章 运输问题
学习要点 Sub title
• 1．掌握运输问题的数学模型、系数矩阵特殊形式 • 2．掌握用西北角法、最小元素法求初始基可行解 • 3．掌握位势法求解、牢固掌握三合一表格求解运输 问题过程
1
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
第3章 运输问题
本章主要内容
§3.1 运输问题及其数学模型 §3.2 表上作业法 §3.3 产销不平衡的运输问题 §3.4 应用举例
B1
B2
B3
B4
产量 7
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3
4
2
3 6
2
3
5
4 9 20
6
6
29
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都
应只划去一行或一列。当填上一个数后行、列同时
饱和时，也应任意划去一行 ( 列 ) ，然后在保留的列 （行）没被划去的格内标一个 0 。 例 3.2 某公司下属有生产一种化工产品的三个产地
13
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条 件下，要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
14
n xij ai i 1,2,, m j 1 m s.t. xij b j j 1,2,, n i 1 xij 0 石家庄经济学院
pij 0,,0,1,0,,0,1,0,0
T
17
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
根据运输问题的数学模型求出的运输问题的解 X xij ，代表着一个运输方案，其中每一个 变量xij的值表示由Ai调运数量为xij的物品给Bj。前已 指出运输问题是一种线性规划问题，可设想用迭代法 进行求解，即先找出它的某一个基可行解，再进行解 的最优性检验，若它不是最优解，就进行迭代调整， 以得到一个新的更好的解 ，继续检验和调整改进，直 至得到最优解为止。
27
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9 20 （产销平衡）
问应如何调运，可使得总运输费最小?
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产销平衡表
运价表
销 产 A1 A2 A3 需求
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§3.1 运输问题及其数学模型
问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的
供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地 之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得 总的运输费用最小的方案。
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(3 1)
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其中，ai和bj满足：
ai b j
i 1 j 1
m
n
(3-2)
称为产销平衡条件。
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将（3-1）的结构约束加以整理，可知其系 数矩阵的结构比较松散，且特殊
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn u1 1 1 1 u2 1 1 1 um v1 1 1 v2 1 1 vn 1 1
A1、 A2、 A3 ，有四个销售点 B1、 B2、B3、 B4 销售
这种化工产品。各产地的产量、各销地的销量和各
产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所
示。
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产销平衡表
运价表
销 产
A1 A2
B1
B2
B3
B4
产量 75 40
B1 3 2
B2 8 9
B3 5 4
x14 + x24 + x34 = 6
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
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其系数矩阵为 ：
1 0 0 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
下面分两种情况来讨论：
（1） ai b j 。即运输问题的总产量等于其总
i 1 j 1 m n
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 m n （2） a b 。即运输问题的总产量不等于总 i j
i 1 j 1
销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。
我们重点讨论产销平衡的运输问题及其求解方法。 然后在此基础上讨论产销不平衡的运输问题应该 如何转化为产销平衡的运输问题。
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40 0 40 15
40 80 195
65
65
35
40
55
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（3）伏格尔法(沃格尔法Vogel)
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成 在其它处要多花几倍的运价。伏格尔法考虑到，某产地 的产品假如不能按最小运价就近供应，就考虑次小运价， 这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运价调运 时，运费增加越多。因而对差额最大的行或列，就应当 采用最小运价调运。伏格尔法给出的初始解比用最小元 素法给出的初始解更接近最优解。
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量 B1 c11 c21 ┇ cm1 b1 B2 „ Bn c12 „ c1n c22 „ c2n ┇ ┇ ┇ 产量 a1 a2 ┇ am
cm2 „ cmn b2 „ bn
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表中的 xij (i 1,2, m; j 1,2,, n) 表示由产地Ai 向销地Bj运输物资的数量（即运量）。在产销平衡表 3-1中，去掉最后一行和最后一列余下的部分，称为 一个调运方案，或简称为一个方案。或者将上述两个 表格合在一起，称为运输表（表3-3）。
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§3.2.1 初始基本可行解的确定
与一般线性规划问题不同，产销平衡运输问题总是存在 可行解。不难验证
xij ai b j d
≥
0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n; d ai b j )
i 1 j 1
m
n
就是模型（3-1）的可行解。又因，目标函数值有下界， 故产销平衡的运输问题必有最优解。
共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别
表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
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运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个 ,2,, m) ； 销地。产地Ai的产量为 ai (i 1 销地Bj的销量为 b j ( j 1,2,, n) 。从第i个产地向 第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个 产地供应多个销地的单品种物资运输问题。问如何调 运这些物资才能使总运费达到最小。
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表3-5 运输表（运价小者先安排）
产销平衡表 运价表
销 产 A1 A2 A3 需求
B1
B2
B3
B4
产量 7 4
B1 3 1 7
B2 11 9 4 4
B3
B4
4 3 6
3 6 5
3
3
2
3
10
8 5
10
1 3
6
1
2
9 20
10
5
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（2）西北角法
问应如何调运，可使得总运输费最小?
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解： 这是一个产销平衡的运输问题，设 xij 为从产 地Ai运往销地Bj的运输量（i = 1，2，3； j = 1，2，
3， 4）
该运输问题的线性规划模型如下： Min f = 3x11+ 11x12+ 3x13+ 10x14+ x21+ 9x22 + 2x23+ 8x24+ 7x31+ 4x32+ 10x33+ 5x34
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1 1 1 1 1 1
m行 n行
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该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分 量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。 即
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