量子力学课件：4.1 态的表象
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4.1 态的表象
注：只有连续谱的情况，即只有 a q ，即为 a q 。
同一个态可以在不同的表象中用波函数来描 写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一态。
三、Hilbert Space（希尔伯特空间）
1.位形空间
一矢量A 在直角坐标系、球坐标系和柱坐标系中的表示分别为：
A A x , A y , A z A A r , A , A A A , A , A z
n
n
4 2 n 2 Cn sin x cos x sin xdx 0 a a a a 1 1 1n 3n 2 2
a
所以C1
1 2
，C3
1 2
， C n 0n 1,3
C1
1 2
， C3
1 2
， C n 0n 1,3
mn
n n n
2
a a
mn
m n mn
ˆ Q
本征函数的正 交归一性
其中 x , t dx 是 t 时刻测量粒子位置在 x x dx 范围所得结果
2
n
的几率，而 a n t 是在 x, t 所描写的态中测 Q 所得结果为 Q n 的
2
几率。 x, t a n t 互相决定，二者都描写同一状态。
坐标表象
求此函数在能量表象中的表示。
4 2 x sin x cos x a a a 解：一维无限深势阱中粒子的本征解为：
2 2n 2 En 2 a 2
n
2 n sin x a a
0xa
n 1,2,
x
4 x x 2 2 sin cos2 sin x cos x a a a a a a 1 3 1 1 sin a x sin a x 2 3 2 1 a
同一个态可以在不同的表象中用波函数来描 写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一态。
三、Hilbert Space（希尔伯特空间）
1.位形空间
一矢量A 在直角坐标系、球坐标系和柱坐标系中的表示分别为：
A A x , A y , A z A A r , A , A A A , A , A z
n
n
4 2 n 2 Cn sin x cos x sin xdx 0 a a a a 1 1 1n 3n 2 2
a
所以C1
1 2
，C3
1 2
， C n 0n 1,3
C1
1 2
， C3
1 2
， C n 0n 1,3
mn
n n n
2
a a
mn
m n mn
ˆ Q
本征函数的正 交归一性
其中 x , t dx 是 t 时刻测量粒子位置在 x x dx 范围所得结果
2
n
的几率，而 a n t 是在 x, t 所描写的态中测 Q 所得结果为 Q n 的
2
几率。 x, t a n t 互相决定，二者都描写同一状态。
坐标表象
求此函数在能量表象中的表示。
4 2 x sin x cos x a a a 解：一维无限深势阱中粒子的本征解为：
2 2n 2 En 2 a 2
n
2 n sin x a a
0xa
n 1,2,
x
4 x x 2 2 sin cos2 sin x cos x a a a a a a 1 3 1 1 sin a x sin a x 2 3 2 1 a
第4章态和力学量的表象
三维氢原子
( r , , ) R ( r ) Y ( , )
nlm nl lm
2.态在表象中的矩阵表示
①坐标表象 r ,t可按按坐标的本征函数 任意波函数 展开 r ' r
r , t a r ' , t r ' r d ' 成立的条件 r , t a r , t
( r ,t )和 un(r)都是归一化的 设
* a ( t ) ( r , t ) u ( r ) d n n
2 * | ( r , t ) | d 1 a ( t ) a ( t ) 1 n n
n
| an (t) |
2
a ( t ), a ( t ), a ( t ), , a ( t ), 1 2 3 n
ˆ rr ( ) rr ( ) ( r )( r r ) r r r
即坐标算符在坐标表象中的对应于确定值 的本征函数，是以坐标为变量的δ函数
②动量和能量算符
一维
三维
x 1 ip x p ( x ) p ( x ) ( x ) e x p x p x p x x 2
n
*矩阵表示
*归一化条件 1 *由无限多个本征函数构成了无限维函数空间 ——Hilbert空间
a1(t) a 2 (t) , a n (t) a q ( t )
*Hermite矩阵
* * * * ( a ( t ), a ( t ), , a ( t ), a ( t )) 1 2 n q
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学 态和力学量的表象
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
第四章 表象理论1
(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
量子力学4-1
∗ n
引入记号
Fnm h ∂ = ∫ u ( x )F x , um ( x )dx i ∂x
∗ n
4.2-4
4.2-3式改写为 式改写为
bn (t ) = ∑ Fnm am (t )
m
4.2-5
此式就是4.2-1式在 表象中的表示式。 式在Q表象中的表示式 此式就是 式在 表象中的表示式。
c ( p, t ) dp为Ψ ( x , t )所描写的态中测量粒子 动量的结果在
2
p → p + dp范围内的几率。 范围内的几率。
由上面讨论可知， 已知， 完全确定， 由上面讨论可知，若 Ψ ( x , t )已知， c ( p, t )完全确定，反之亦 中的波函数， 中的波函数。 中的波函数， c ( p, t )是同一状态在动量表象 中的波函数。
h ∂ ∑ bm (t )∫ u ( x )um ( x )dx = ∑ am (t )∫ u ( x )F x , i ∂x um ( x )dx m m
∗ n
4.2-2 4.2-3
h ∂ bn (t ) = ∑ ∫ u ( x )F x , um ( x )dxam (t ) m i ∂x
Ψ ( x , t ) = ∑ an (t )un ( x ) + ∫ aq (t )uq ( x )dx
∗ an (t ) = ∫ Ψ ( x, t )un ( x)dx ∗ aq (t ) = ∫ Ψ ( x, t )uq ( x)dx
n
4.1-14
∗ ∗ an (t )an (t ) + ∫ aq (t )aq (t )dq = 1 ∑ n
ˆ ˆ 表象的基； 任意算符Q的本征函数系 — —Q表象的基；
引入记号
Fnm h ∂ = ∫ u ( x )F x , um ( x )dx i ∂x
∗ n
4.2-4
4.2-3式改写为 式改写为
bn (t ) = ∑ Fnm am (t )
m
4.2-5
此式就是4.2-1式在 表象中的表示式。 式在Q表象中的表示式 此式就是 式在 表象中的表示式。
c ( p, t ) dp为Ψ ( x , t )所描写的态中测量粒子 动量的结果在
2
p → p + dp范围内的几率。 范围内的几率。
由上面讨论可知， 已知， 完全确定， 由上面讨论可知，若 Ψ ( x , t )已知， c ( p, t )完全确定，反之亦 中的波函数， 中的波函数。 中的波函数， c ( p, t )是同一状态在动量表象 中的波函数。
h ∂ ∑ bm (t )∫ u ( x )um ( x )dx = ∑ am (t )∫ u ( x )F x , i ∂x um ( x )dx m m
∗ n
4.2-2 4.2-3
h ∂ bn (t ) = ∑ ∫ u ( x )F x , um ( x )dxam (t ) m i ∂x
Ψ ( x , t ) = ∑ an (t )un ( x ) + ∫ aq (t )uq ( x )dx
∗ an (t ) = ∫ Ψ ( x, t )un ( x)dx ∗ aq (t ) = ∫ Ψ ( x, t )uq ( x)dx
n
4.1-14
∗ ∗ an (t )an (t ) + ∫ aq (t )aq (t )dq = 1 ∑ n
ˆ ˆ 表象的基； 任意算符Q的本征函数系 — —Q表象的基；
量子力学第四章 态和力学量表象
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
共轭矩阵
a2(t)
a1(t)*
a2(t)* an(t)*
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
Cnlm (t)
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
C100(t)
C200 (t )
1 2
exp(
i
E1t )
0
C210 (t ) C211(t )
C211
（二）能量表象
选取能量算符的本征函数 n (x)作基底，则
(x,t) Cn (t) n (x)
n
其中
Cn (t)
n
(
x)
(x,
t
)dx
能量表象波函数
例如
在中心力场中，任意波函数
(r,,,t)
1 2
R10Y00
exp(
i
E1t)
1 2
R21Y11
exp(
i
E2t)
Cnlm (t) Rnl (r)Ylm ( ,) (r, ,,t)d
(t
)
0Leabharlann 1 2exp(i
E2t)
4.态和力学量的表象
例1：矢量 的性质(大小和方向)与所选的坐标系无关 直角坐标系： ，极坐标系： 例2：态Y描述的体系性质(能量、动量等)与所选的表象无关 A表象(un(x))：
B表象(vn(x)) ：
当描写态和力学量的时候，不用具体的表象，而用狄拉克引用的 一套与表象无关的符号，称为狄拉克符号(Dirac notation) 狄拉克符号中的态 普通情况：右矢(bra) 代表 ，左矢(ket) 代表 在坐标表象中： 在Q表象(un(x))中： 特殊情况：加入波函数符号或本征值或相应量子数，区别不 同的态，如
占有数表象
的本征值是n，对应的本征态是 ，该态表示n个能量为 的粒子，称 为粒子数算符 以 为基矢的表象称为占有数表象 占有数表象中的算符
占2/2
作业
4.1，4.2，4.3
作1/1
例：d势阱
普通的性方程
最适当的表象依赖于具体的问题
动2/2
算符的矩阵表示
Q的表象(只有分立本征值Qn，本征函数是un(x))下的算符
厄密算符在Q表象中的表示是厄密矩阵
算符Q在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
算1/2
Q的表象(只有连续本征值q，本征函数是uq(x))下的算符
态的表象
动量表象中，具有确定动量p'的波函数是以p为变量的d函数 例4：坐标表象中，位置固定的粒子(坐标x')波函数
坐标表象中，具有确定坐标x'的波函数是以x为变量的d函数 例5：动量表象中的坐标算符 动量表象中，动量算符就是自身 对易关系在不同的表象中都一样
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量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
pδ(p'-p)=p'δ(p'-p)
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述； 在球坐标系用三分量Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。
an (t ) un * ( x )( x, t )dx
aq (t ) uq * ( x )( x, t )dx
则
(x, t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq
n
归一化则变为：
an *(t)an (t) aq *(t)aq (t)dq 1 n
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
（二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
an(t) un *(x)(x.t)dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
mn
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示：
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中
a1 (t )
测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
a2(t)
a1(t)*
a2(t)*
an(t)*
a
n
(
t
)
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
aq (t )
aq (t ) *
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
a2(t)
an(t)
共轭矩阵
a1(t)* a2(t)* an(t)*
归一化可写为
a1(t )
波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。
第四章 态和力学量的表象
§1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数 表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学 量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式 在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标 系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、 柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
思考
• 力学量的表象如何表示？即算符在各种表 象下的表示。
（三）讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
动量本 征函数
不含时 动量本 征函数
本征 方程
坐标表象 Ψp'(x,t)=[1/(2π)]1/2exp[i(p'x-E't)/] ψp'(x)= [1/(2π)]1/2 exp[ip'x/]
p ψp'(x)=p'ψp'(x)
动量本征函数：
p(x)
1 e ipx /
2
组成完备系，任一
命题
假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数， 则 C(p,t) 也是归一。
证
1 *( x, t)( x, t)dx
状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p( x)dp]dx
( x, t) C( p, t) p ( x)dp C( p, t) p *( x)( x, t)dx
x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确 定动量 p’ 的自由粒子态，即：
则相应动量表象中的波函数：
( x, t ) p ( x)e iE pt /
p 2
E p 2
C( p, t) p * ( x)( x, t )dx p * ( x) p ( x)eiE pt /dx
eiE pt / p * ( x) p ( x)dx e iE pt / ( p p)
a2(t)
a1(t ) * a2 (t ) * an (t ) *
an
(t
)
an (t ) * an (t ) 1
n
（2）含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在