高等数学试题

高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______总分题号选择题填空题计算题证明题其它题型题分20 20 20 20 20 核分人得分复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、设Ω是由z≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1.答 ( )2、设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答 ( )3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于(A) (B)(C) (D)答 ( ) 4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1.I=a,b,c为常数，则(A) I>0 (B) I<0(C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定答 ( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。

若，则(A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积(C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积答 ( )6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是(A) (B)(C) (D)答 ( )7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I=(A) 4x2yzf(x,y2z3)d v (B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v(C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v (D) 0答 ( )8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件； (D)既非分条件，也非必要条件。

答 ( ) 9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于(A) (B)(C) (D)答 ( )10、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为答 ( )11、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f(x,y,z)在Ω3上可积，则的充要条件是(A) f(x,y,z)在Ω4上是奇函数 (B) f(x,y,z)≡0, (x,y,z)∈Ω4(C) Ω4=∅空集 (D)答 ( )12、设Ω1:x2+y2+z2≤R2;z≥0.Ω2:x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.则(A) z99d v =4x99d v . (B) y99d v =4z99d v .(C) x99d v =4y99d v . (D) (xyz)99d v =4(xyz)99d v.答 ( )13、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)在Ω上可积，试问下面各式中哪一式为f(x,y,z)在Ω上的三重积分的值。

(A) (B)n i nfininin n→∞=⋅∑lim(,,)11(C) (D)答 ( ) 14、设，则I满足答 ( )15、函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分存在的(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件； (D)既非充分条件，又非必要条件。

答 ( )16、若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则(A) e; (B) e－1; (C) 0; (D)π.答 ( ) 17、二重积分(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为答 ( )18、设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2= ,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分答 ( )19、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,Ω1是Ω位于z≥0部分的半球体，I=(x+y+z)f(x2+y2+z2)d v,则(A) I>0 (B) I<0(C) I=0 (D) I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)d v答 ( )20、设Ω为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理而V为Ω的体积，则：(A) 若f(x,y,z)分别关于x,y,z为奇函数时f(ξ,η,ζ)=0(B) 必f(ξ,η,ζ)≠0(C) 若Ω为球体x2+y2+z2≤1时f(ξ,η,ζ)=f(0,0,0)(D) f(ξ,η,ζ)的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系答 ( )二、填空题（共 20 小题，20 分）1、根据二重积分的几何意义=___________. 其中D：x2+y2≤1.2、设Ω是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。

则Ω质量的三重积分公式为________________.3、设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知=________.4、设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)＞0,则的几何意义是__________________.5、二次积分f(x,y)d y在极坐标系下先对r积分的二次积分为____________.6、设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则_________.7、根据二重积分的几何意义其中D：x2+y2≤a2,y≥0,a＞0.8、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσ(i=1,2,…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限存在i(其中入是___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作9、设积分区域D的面积为S，则10、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.11、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上可积，Ω=Ω1∪Ω2,，则I=f(x,y,z)d v=f(x,y,z)d v+________________________________ _____。

12、设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。

则Ω关于直线的转动惯量的三重积分公式为_________________.13、设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分14、设Ω1:x2+y2+z2≤R2,Ω2:x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.u=f(t)是(－∞,+∞)上的偶函数，且在(0，+∞)上严格单调增加，则(A) xf(x)d v=4xf(x)d v (B) f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C) f(x+y)d v=4f(x+y)d v (D) f(xyz)d v=4f(xyz)d v答（）15、二次积分f(x,y)d y在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________.16、 =___________________。

17、设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在D上连续，则薄片的质量m=__________________.18、设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_________________.19、设Ω为一有界闭区域，其上各点的体密度为ρ(x,y,z).设M为其质量，而( x,y, z)为其重心，Ω关于xoy平面的静矩定义为：M xy = x M, M xy 的三重积分计算式为________________.20、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσ(i=1,2,…,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限i(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。

三、计算题（共 20 小题，20 分）1、计算二重积分其中2、设Ω是由x=0,y=0,z=0,x=1－y2及所围的有界闭区域。

计算I=.3、设D是由直线x+y=a,x+y=b,y=αx,y=βx所围的有界闭区域(0<a<b;0<α<β),试计算4、设Ω是由x2+y2=R2;z=0;z=1;y=x;y=所围恰好位于第一卦限部分的一立体。

试求积分I=.5、设Ω是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1所围的有界闭区域，计算.6、设Ω是由bz≤x2+y2+z2≤az (a>b>0)所确定的闭区域。

试计算7、计算二重积分其中D：0≤y≤sin x, .8、计算二重积分其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。

9、设Ω是由曲面z=x2+y2,z=2(x2+y2),xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所围位于x≥0及y≥0 部分的闭区域。

试计算I=10、计算三重积分I=，其中Ω是由所围位于部分的立体11、设Ω是由a2≤x2+y2≤2a2 (a>0)，y≥0，z≤0以及所确定的闭区域。

试计算12、计算二重积分其中D：x2+y2≤1.13、由二重积分的几何意义，求14、计算二重积分其中积分区域D是x2+y2≤a2 (a>0).15、设Ω是由以及0≤z≤sin(x+y)所确定的立体。

试计算16、计算二次积分17、计算二重积分其中18、计算二重积分其中D：x≤y≤,0≤x≤1.19、设Ω是由,y=0,z=0及所围的有界闭区域。

试计算.20、计算二重积分其中D是由直线x=－2,y=0,y=2及左半圆x=所围成的区域。

四、证明题（共 20 小题，20 分）1、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

2、设f(t)是连续函数，证明3、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明5、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：其中σ是D的面积。

7、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得(a2+b2+c2=1)8、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证9、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)∈D，利用二重积分定义证明：10、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.11、设f(u)为连续函数，试证12、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明∃(ξ，η，ζ)∈Ω使得13、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明14、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：15、设Ω为由≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关于z的偶函数。