河南省高考数学模拟卷(一)A卷
河南省高考数学模拟卷（一）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共23分)
1. （2分） (2018高三上·邹城期中) 已知集合，，则 =（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）设是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2分） (2017高二上·红桥期末) 已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2020·阿拉善盟模拟) 若实数满足则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）为第一象限角是的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分） (2016高一下·大连期中) 已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ是实数），若对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（）
A .
B . [kπ，kπ+ ]（k∈Z）
C .
D .
7. （2分） (2017高一上·孝感期中) 如图，半径为2的圆O与直线AB相切于点P，动点T从点P出发，按逆时针方向沿着圆周运动一周，设，且圆O夹在∠BPT内的弓形的面积为y=f（x），那么f（x）的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）定义在 R 上的函数 f(x) 满足： f'(x)>1-f(x),f(0)=6,f'(x) 是 f(x) 的导函数，则不等式exf(x)>ex+5 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（）
A .
B .
C .
D .
9. （5分） (2017高三下·西安开学考) 函数y= ，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共7题；共7分)
11. （1分） (2019高一上·哈尔滨期中) 已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为________．
12. （1分）设离散型随机变量X的分布列为
X01234
P0.20.10.10.30.3
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）=________；D（Y）=________．
13. （1分）(2015·岳阳模拟) 若二项式的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为________．
14. （1分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=________
15. （1分）为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为:乐
器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,則不同的推荐方案的种数为________.(用数字作答）
16. （1分） (2016高一下·苏州期中) 若x＞﹣3，则的最小值为________．
17. （1分）(2019·浙江模拟) 四棱锥中，平面ABCD，，
，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则 =________．
三、解答题 (共5题；共45分)
18. （10分）(2018·枣庄模拟) 设。
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，分别为角的对边，已知，
求面积的最大值。
19. （5分）(2017·福州模拟) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．
20. （10分）(2019·湖州模拟) 已知等差数列的前项和为，，公差，且，，
成等比数列，数列满足，的前项和为 .
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）记，试比较与的大小.
21. （5分） (2019高二上·柳林期末) 已知双曲线C和椭圆 1有公共的焦点，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
22. （15分）(2017·湘潭模拟) 设函数f（x）= ﹣2+2alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间[ ，2]上的最小值为0，求实数a的值．
参考答案一、单选题 (共10题；共23分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、
18-2、
19-1、
20-1、21-1、
21-2、22-1、
22-2、。
2023高考数学模拟卷(一)(含答案解析)
9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线交于 两点，若 ，则
A B.8C.16D.
10.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则
A. B.-1C.1D.
11.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为
20.已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，设直线 ，直线 ，直线 的斜率分别为 ，且 成等比数列.
（1）求 的值；
（2）若点 在椭圆 上，满足 直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21.已程 的两个实数根为 ，求证： ；
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵ ，
∴ ，即 ，∴ .
∴ ,∴直线AB的斜率为 ，
∵F（1，0），∴直线PF的方程为y= （x﹣1），
将y= （x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，
A. B. C. D.
6.已知 展开式中 的系数为0，则正实数
A.1B. C. D.2
7.已知数列 的前 项和 ，若 ，则
A. B.
C. D.
8.如图是正四面体的平面展开图， 分别是 的中点，在这个正四面体中：① 与 平行；② 与 为异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(一)Word版含解析
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学（一）一、单选题1．已知集合{}24xA x =<，{}1B =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()0,12．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1B ．1-C ．15D ．15-3．()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（ ） A ．154B ．162C ．176D ．1804．已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（ ） A ．83-B ．83C ．38-D ．385．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（ ）A ．312750cmB ．312800cmC ．312850cmD ．312900cm6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．07．在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．136π9D ．68π38．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（ ）A B C D二、多选题9．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（ ） A ．0AC BD ⋅= B ．2AB AD ⋅= C ．14OE BA ⋅=-D ．52OE AE ⋅=11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）A ．事件A 发生的概率为15B ．事件B 发生的概率为310C ．事件C 发生的概率为335D ．1(|)31P A B =12．对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．若0d =，则函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 有极值的充要条件是13c <C ．若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D ．若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条三、填空题13．已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t=______． 14．已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______．16．已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则满足()2f x x >的实数x 的取值范围是______．四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-． (1)判断ABC 的形状； (2)若3ab ，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，D 、E 分别是AB 、1BB 的中点，12AA AC CB ==，AB =．(1)求证：1//BC 平面1A CD ；(2)若1BC =，求四棱锥1C A DBE -的体积； (3)求直线1BC 与平面1ACE 所成角的正弦值．20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[]50,100内，按区间分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．21．已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅=． (1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥，试求直线AB 的方程．22．已知函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，()R a ∈．(1)当1a =时，求f （x ）的单调区间；(2)当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案：1．B【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围. 【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤ ∴{}12A B x x ⋂=≤< 故选：B. 2．D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-， 故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D. 3．C【分析】根据二项式定理可求得()523x +展开式通项，由此可确定12,T T ，结合多项式乘法运算进行整理即可确定x 的系数. 【详解】()523x +展开式的通项公式为：()55155C 2323C rr r r r r rr T x x --+=⋅⋅=⋅； 当1r =时，412523C 240T x x =⨯=；当0r =时，51232T ==；x ∴的系数为24023224064176-⨯=-=.故选：C. 4．A【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除2cos α，代入1tan 5α=可得答案.【详解】2222cos 2cos sin sin sin 2sin 2sin cos αααααααα-=--22111tan 825123tan 2tan 255ααα--===---, 故选：A. 5．C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果. 【详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ，上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ， 所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm . 因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm . 故选：C 6．D【分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==， 又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==， 故选：D . 7．C【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可. 【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中， 如图∴所示：取AD 的中点H ，连接PH ，连接,AC BD 交于1O ，由AP PD =则在等腰PAD 中有：PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD=AD ， 则PH ⊥平面ABCD ， 又112AH AD ==， 所以在Rt PAH △中，3PH ===，由底面为正方形ABCD ，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点1O ， 连接1O H ，则1PH O H ⊥，PAD 外接圆的圆心为2O ，且在PH 上，过点1O ，2O 分别作平面ABCD 与平面PAD 的垂线，则两垂线必交于点O ，点O 即为四棱锥P ABCD -外接球的球心， 且1OO ⊥平面ABCD ，又PH ⊥平面ABCD ，即2O H ⊥平面ABCD ， 所以1OO ∥PH ，所以四边形12OO HO 为矩形. 如图∴连接2AO ，则22AO PO =，在2Rt AO H 中，22223O H PH PO PH AO AO =-=-=-，所以()2222222213AO AH HO AO =+=+-，解得253AO =，所以254333O H =-=，所以1243OO O H ==， 在图∴中连接OB ，由112O B BD =所以在1Rt OO B 中，OB ==即四棱锥P ABCD -外接球的半径为R OB ==， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为： 221364πR 4ππ9S ==⨯=⎝⎭，故选：C. 8．D【分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =， ∴12121612k k y y ==- ∴1232y y =-， ∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,)M y --，同理：24(1,)N y -- ∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==， 设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ，又∴1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =， ∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ， ∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9. 方法1：1211||1321||||888y y MN y y -==+≥⨯=1||y =.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN的面积的最小值为2. 方法2：12||||8y y MN -==∴20m ≥∴||MN ≥m =0时取得最小值.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN故选：D. 9．AD【分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ=+=+，因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+，因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=. 故选：AD. 10．ABD【分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，2AB AD ==，60DAB ∠=，2BD ∴=，OA OC ===()0,0O ∴，()A ，()0,1B -，()0,1D ，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，对于A ，ACBD ，0AC BD ∴⋅=，A 正确；对于B ，()3,1AB =-，()3,1AD =，312AB AD ∴⋅=-=，B 正确；对于C ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BA =-，31122OE BA ∴⋅=-+=-，C 错误； 对于D ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3122AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，915442OE AE ∴⋅=+=，D 正确. 故选：ABD. 11．ABC【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：37C 35=这3个球都是红球的基本事件数为：33C 1=，所以事件A 发生的概率为：1()35P A =，故A 错误， 这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误， 这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误， 因为1()()35P AB P A ==， 所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===， 故D 正确， 故选：ABC. 12．BCD【分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R .因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-， 所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；对于B ：函数()f x 有极值⇔ ()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'.()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <.故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <.此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x c x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-.所以()()222244222212121242216162293992781cc c x x x xx x c +=+-=--=-+ 对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x c +=-+>⨯-⨯+=. 即4412281x x +>.故C 正确；对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--.所以()2322f x x x '=+-.设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'， 消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--.令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得： 123x -<<.所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.所以()()()()()32111119254660333327g x g =-=-----+=>极大值， ()()322225242660g x g ==⨯-⨯-⨯+=-<极小值.所以作出的图像如图所示：因为函数()g x 有三个零点，所以方程3200025460x x x --+=有三个根，所以过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条.故D 正确. 故选：BCD. 13．710##0.7 【分析】根据极差的定义可得()314t =--=，先求出平均数，再从方差，从而可求2s t.【详解】极差()314t =--=，平均数为()()1122315-+-+++=，故方差()()()()()222222114111*********s ⎡⎤=--+--+-+-+-=⎣⎦. 所以21475410s t ==.故答案为:710. 14．()2221x y +-=(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可. 【详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切, 圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--=,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩, 且已知半径为1,所以圆的方程可以为: ()2221x y +-=或()2221x y ++=或2221x y故答案为: ()2221x y +-=(答案不唯一) 15．12##0.5【分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由232AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -，令椭圆()222210x y a b a b +=>>中x c =-，解得：2b y a=±，所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+， 解得：12e =. 故答案为：12. 16．()(),01,-∞⋃+∞【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x +，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x +，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x+->，设()22()log 1g x x x =+-，由函数y =()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数， 得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >； 当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立；综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 17．(1)1n a n =+ (2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ； （2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a +成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+，又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩， 当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去； 12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++， ()221n n S n n ∴+=<+.18．(1)直角三角形 (2)0【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得， 2sin cos sin cos sin C B B C A +=即()2sin sin B C A +=所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒=且()0,πA ∈，所以π2A =即ABC 是直角三角形.（2）在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c =， 又因为2BD CD =，所以23BD BC ==且cos c B a === 在ABD △中，由余弦定理可得，22222242cos 2b b AD AB BD AD B AB BD +-+-∠===⋅解得AD =， 在ABD △中由余弦定理可得，222222242cos 02b b b AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅19．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积； （3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点， 因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，1//BC ∴平面1A CD . （2）解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB == 222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ， 因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得AC BC CM AB ⋅==因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，1111111212AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎫=--==⎪⎪⎝⎭△△矩形四边形11112333C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅==四边形.（3）解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()12,0,2A 、()0,1,1E ， 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，()12,0,2CA =，()0,1,1CE =， 则1220n CA x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，可得()1,1,1n =-， 因为()10,1,2BC =-，则111cos ,BC n BC n BC n⋅<>==-=⋅因此，直线1BC 与平面1A CE20．(1)73.5(2)分布列见解析；期望()910E X =【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望. 【详解】（1）80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===；X ∴的分布列为：∴数学期望()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22145x y -=(2)y x =+y =【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B 三点共线可设:AB y kx =+用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程. 【详解】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =--，(2PF c =-，212854PF PF c ∴⋅=-+=，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =， ∴双曲线的方程为：22145x y -=.（2）由（1）得：(10,B，(2B ，()22B A B B μμ=∈R ，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =+()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=，()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12x x ∴+=1224054x x k =--， 11B A B B ⊥，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=+=+++(()1212125x x kx kx k x x =++++()()()222121222401801202005454k k kx xx x k k+=++++=-++=--，解得：k =252k <且254k ≠，∴直线AB方程为：y x =y = 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22．(1)函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1). (2)证明过程见详解【分析】(1) 因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞， 单调递减区间为(0,1).（2）因为函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->，当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aaf a a a f a =-+++>=->，因为当2x =-时，221(2)(3)10ef a a a -=-+--<；所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =； 当ln x a =-时，函数取极小值，ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=---1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<）所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=；故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：答案第17页，共17页 (1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．。
2023-2024学年河南省高考数学(文)全真模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河南省高考数学（文）全真模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{B x y =，则A B ⋃=（）A ．[]1,2B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)1,+∞【正确答案】B【分析】根据二次不等式与根式的定义域求解,A B ，再取交集即可.【详解】()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =≥，故{}1A B x x ⋃=≥-.故选：B 2．已知复数3i1iz +=-，则3i z +=（）ABC D 【正确答案】A【分析】根据复数的除法运算化简z ，可得z 与3i z +.【详解】()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===+--+，12i z =-，3i 1i z +=+，所以3i z +=故选：A.3．设命题2:,34p n n n ∀∈<+N ，则p 的否定为（）A ．2,34N n n n ∀∈>+B ．2,34n n n ∀∈≥+NC ．2,34N n n n ∃∈≥+D ．2,34N n n n ∃∈>+【正确答案】C【分析】根据含有量词的命题否定方法求解.【详解】因为命题2:,34p n n n ∀∈<+N ，所以p 的否定为.2,34N n n n ∃∈≥+故选：C.4．已知,αβ代表不同的平面，12,l l 代表不同的直线，则下列说法中正确的是（）A ．若1,l αβα⊥⊂，则1l β⊥B ．若12,l l αα∥∥，则12l l ∥C ．若12//,,l l αβαβ⊂⊂，则12l l ∥D ．若12,,l l αβαβ⊥⊥⊥，则12l l ⊥【正确答案】D【分析】利用空间线面的关系，对四个选项一一判断即可.【详解】对于A ：若1,l αβα⊥⊂，则1l 与平面β可能平行，也可能垂直，也可能斜交.故A 错误；对于B ：若12,l l αα∥∥，则12,l l 可能平行，也可能相交，也可能异面.故B 错误；对于C ：若12//,,l l αβαβ⊂⊂，则12,l l 可能平行，也可能异面.故C 错误；对于D ：若1,l αβα⊥⊥，则1//l β.又2l β⊥，所以12l l ⊥.故D 正确.故选：D5．已知单位向量a ，b满足0a b ⋅=，若向量c a = ，则cos ,a c = （）A．2B ．12C．4D ．14【正确答案】B【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.【详解】由单位向量,a b，则1,1a b == ，即()222234c a a a b b ==+⋅+= ，2c =，()21a c a a ab ⋅=⋅+=+⋅=1cos ,2a c a c a c ⋅==⋅.故选：B.6．齐国的大将田忌很喜欢赛马，他与齐威王进行赛马比赛，他们都各有上、中、下等马各一匹，每次各出一匹马比一场，比赛完三场（每个人的三匹马都出场一次）后至少赢两场的获胜．已知同等次的马，齐威王的要强于田忌的，但是不同等次的马，都是上等强于中等，中等强于下等，如果两人随机出马，比赛结束田忌获胜的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．16【正确答案】D【分析】列举出各种对应情况，由概率公式即可得到答案.【详解】将齐威王的上、中、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上、中、下等马分别记为a ，b ，c ，则他们比赛的情况如下：齐威王的马A BC 胜者田忌的马a b c 齐威王田忌的马acb 齐威王田忌的马b ac齐威王田忌的马b ca齐威王田忌的马c ab田忌田忌的马cba齐威王由上表可知，只有齐威王的马(),,A B C 对田忌的马(),,c a b 这种情况，田忌获胜，所以田忌获胜的概率16P =．故选：D7．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".这可视为中国古代极限思想的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 2 的近似值为（）A ．0.035B ．0.026C ．0.018D ．0.033【正确答案】A将一个单位圆分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2︒，由这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin 2︒的近似值．【详解】解：将一个单位圆分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2︒，这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，118011sin 290sin 22π∴⨯⨯⨯⨯︒=︒≈，sin 20.03590π∴︒≈≈．故选：A ．8．函数e 1()cos e 1x xf x x +=⋅-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】根据图象，知函数存在奇偶性，先判断函数的奇偶性，然后根据结合函数值的正负，可得出答案.【详解】函数e 1()cos e 1x x f x x +=⋅-，定义域为{}|0x x ≠，()()e 11e ()cos cos e 11e x xx xf x x x f x --++-=-⋅=⋅=---，所以函数()f x 为奇函数，则排除AD 项；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，e 10e 1xx +>-，所以有()0f x >，所以，B 项符合条件.故选：B.9．已知函数()sin3f x x x =，则下面结论错误的是（）A ．当[0,]2x π∈时，()f x 的取值范围是[2]B ．()y f x =在ππ[,]32上单调递减C ．()y f x =的图像关于直线π18x =-对称D ．()y f x =的图像可由函数sin3y x =的图像向右平移π3个单位得到【正确答案】D【分析】先应用辅助角公式化简()π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再分别根据值域判断A 选项，根据单调性判断B 选项，根据对称轴判断C 选项，根据平移判断D 选项.【详解】π()sin32sin 33f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当[0,]2x π∈,ππ3[,]336x 7π-∈-,πsin 33x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,()f x 的取值范围是[2],A 正确;当ππ[,]32x ∈,π2π3[,]336x 7π-∈,π()2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,B 选项正确;当π18x =-时,ππππ()2sin 32sin 2181832f ⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()y f x =的图像关于直线π18x =-对称,C 选项正确;由函数sin3y x =的图像向右平移π3个单位得到()πsin3sin 3πsin33y x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,D 选项错误.故选:D10．已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，以F 为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,A B 两点，当FAB 面积最大时，双曲线C 的离心率为（）A BC D ．2【正确答案】B【分析】根据点到直线的距离求出FAB 的高，由勾股定理得出AB ，当FAB 面积最大时，求出,a b 关系式，此时可求离心率.【详解】设双曲线的一条渐近线为by x a=，M 为AB 的中点，可得FM AB ⊥，右焦点为F ，所以(c,0)F 到渐近线的距离为FM b ==，实轴长为半径,可知AB ===11==22FABSAB FM b ⨯⨯2222422a b b a -+≤=，当且仅当224=2a b 时取到等号，所以FAB 面积最大时224=2a b ，此时双曲线C 的离心率c e a =故选:B.11．定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +>的解集为（）A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【正确答案】D【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+>，则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞,故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增，而1(2)(2)ln2lnln 202g f =+==，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x >，即ln2x >,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，,故选：D ．12．如图，四边形ABCD 为正方形，四边形EFBD 为矩形，且平面ABCD 与平面EFBD 互相垂直.若多面体ABCDEF 的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为A ．16πB ．12πC ．8πD ．6π【正确答案】B【分析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得,a b 等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接,AC BD 交于M 点，过M 作MN //DE 交EF 于N 点，交BE 于O ，连接OC .因为四边形ABCD 是正方形，故可得AC BD ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面EFBD ，且交线为BD ，又AC ⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面EFBD ，不妨设,CD a DE b ==，故可得多面体ABCDEF 的体积2112333EFBD V S AC a b =⨯==；则221633a b =，解得28b a=；又容易知多面体外接球的球心在四边形ABCD 外心的垂线上，且为MN 的中点O ，设外接球半径为R ，则22222222111224R OC OM MC b a b ⎫⎛⎫==+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；将28b a =代入可得2241162R a a=+，不妨令2,(0)a t t =>，则221162y R t t ==+，则31322y t=-'，容易知y '是关于t 的单调增函数，且当4t =时，0y '=，故可得221162y R t t==+在()0,4上单调递减，在()4,+∞单调递减.故211643216min min y R ==⨯+=.则外接球表面积的最小值2412min min S R ππ==.故选：B.本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.二、填空题13．在三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得23P ABC S ABC V V -->的概率是___________.【正确答案】127【分析】求出23P ABC S ABC V V --=时，三棱锥-P ABC 的高，过此时的P 点作平行于底面ABC 的截面DEF ，要使23P ABC S ABC V V -->，则点P 在三棱锥S DEF -中，根据体积之比即可得出答案.【详解】解：设点三棱锥S ABC -的高为h ，三棱锥-P ABC 的高为h '，则11,33S ABC ABCP ABC ABCV Sh V S h --'==，若23P ABC S ABC V V --=，则121333ABCABCSh S h '=⨯，所以23'=h h ，过此时的P 点作平行于底面ABC 的截面DEF 如图所示，则点S 到平面DEF 的距离为11,39DEFABCh h h SS '-==，故111139327S DEF ABCP ABC V Sh V --=⨯⨯=，要使23P ABC S ABC V V -->，则点P 在三棱锥S DEF -中，所以使得23P ABC S ABC V V -->的概率是127S DEF S ABC V V --=.故答案为.12714．设0a >，若6(9)a a a a =，则(og )l 3a a =______．【正确答案】712【分析】结合已知条件，利用指对互化和对数的运算即可求解.【详解】因为0a >，6(9)a a a a =，所以6log log (9)a aa a a a =，即16log (9)log (9)6a a a a a a =⇒=，从而1126593a a a -=⇒=，故()1257533757log 3log 3()log 351212a a --==-⋅-=.故答案为.71215．在锐角ABC 中，3AB =，4cos sin 1A B =，若BC 在AB 上的投影长等于ABC 的外接圆半径R ，则R =______.【正确答案】2【分析】根据正弦定理和投影长求出2sin cos 1A B =，结合4cos sin 1A B =得到()3sin sin 4C A B =+=，利用正弦定理求出答案.【详解】由题意得，2sin BCR A=，cos BC B R =，即cos 2sin BCBC B A=，即2sin cos 1A B =，因为4cos sin 1A B =，所以()113sin sin sin cos cos sin 244C A B A B A B =+=+=+=，故3243sin 4AB R C ===，故2R =.故216．已知抛物线22(0)y px p =>，焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，过E 点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且满足60AFB ︒∠=，则AEAB=______.【正确答案】32/1.5【分析】联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式得出AB ，再由抛物线的定义以及余弦定理得出234k =，进而得出123,26p px x ==，最后由112||32||2p x AE AB x x +==-得出答案.【详解】根据对称性，不妨设()()1122121,,,,,0A x yB x y x x y >>由题意知,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则可设直线AB 的方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭.由222p y k x y px⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，可得()22222204k p k x pk p x +-+=①所以2212122222,4p pk p p x x p x x k k -+==-⋅=.所以AB ==因为12||,||,6022pAF x BF x B p AF =+=+∠=︒，所以在ABF △中，由余弦定理得(2222212122cos 2cos602222p p p p AB AF BF AF BF AFB x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅∠=+++-+⋅+︒⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2222222121212224223243324424p p p p p p pp p x x x x x x p p k k k k ⎛⎫⎛⎫=+-⋅+++=--+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此2224243p p k k ⎫-=⎪⎭，得234k =，代入①得22122030x px p -+=.解得123,26p px x ==，因此112||32||2p x AE AB x x +==-故32三、解答题17．已知等比数列{}n a 的公比(0,1)q ∈，前n 项和为n S ．若331S a +=，且2116a +是1a 与3a 的等差中项.(1)求n a ；(2)设数列{}n b 满足10b =，1(N )n n n b b a n *+-=∈，数列{}n n a b 的前n 项和为n T .求n T ．【正确答案】(1)1(N )2n n a n *=∈(2)211113232n n n T -=-+⋅【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得q 的值，进而求得数列的通项公式；（2）根据题意，利用112132112()()()0n n n n b b b b b b b b a a a ++=+-+-++-=++++ ，求得111()2n n b -=-，得到21222n n n n a b =-，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：由33=1S a +，得12321a a a ++=，又由2116a +是1a ，3a 的等差中项，可得13212()16a a a +=+，即132128a a a +-=，则12313228(2)a a a a a a ++=+-，即32161770a a a -+=，可得261770q q -+=，解得12q =或73，因为(0,1)q ∈，所以12q =，将12q =代入12321a a a ++=，可得1211122a q q ==++，所以111111()()222n n n n a a q --=⋅=⋅=，即1(N )2n n a n *=∈.（2）解：因为数列{}n b 满足10b =，1(N )n n n b b a n *+-=∈，可得112132112()()()0n n n n b b b b b b b b a a a ++=+-+-++-=++++ ，111(1)(1)1221(11212nn n a q q ⋅--===---，所以当2n ≥时，111(2n n b -=-，又因为10b =也满足上式，所以111(2n n b -=-，则121112(12222n n n n n na b -=⋅-=-，所以112212242111111()2()222222n n n n nT a b a b a b =+++=++++⨯+++ 2221211(1)1111221212323212n n n n --=--⋅=-+⋅-.18．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况，其中购车的男性占近期购车车主总人数的60%．现有如下表格：购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性ab60女性总计(1)若女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的25%，男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的10%，试完成上面的22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；(2)若37a ≥，10b ≥，在该车企近期统计的男性购车车主中，求购置新能源汽车的人数大于购置传统燃油汽车人数的2倍的概率．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.150.050.0100.0050.001k 2.072 3.841 6.6357.87910.828【正确答案】(1)填表见解析；有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关(2)57【分析】（1）由题意补充列联表，计算卡方后判断（2）由古典概型求解【详解】（1）列联表如下：购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性501060女性251540总计7525100因为()221005015251050 5.556 3.841604075259K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．（2）根据题意可知60a b +=，因为37a ≥，10b ≥，所以基本事件(),a b 分别为()37,23，()38,22，()39,21，()40,20，()41,19，()42,18，()43,17，()44,16，()45,15，()46,14，()47,13，()48,12，()49,11，()50,10，共14种，设购置新能源汽车的人数大于购置传统燃油汽车人数的2倍为事件A ，则2a b >，满足题意的事件有()41,19，()42,18，()43,17，()44,16，()45,15，()46,14，()47,13，()48,12，()49,11，()50,10，共10个，所求的概率()105147P A ==．19．如图，在三棱锥D ABC -中，ACD 和ABC 均为边长为2的等边三角形．(1)证明：AC BD ⊥．(2)若BD 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱锥D ABC -的体积．【正确答案】(1)证明见解析2【分析】（1）取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，证出BE AC ⊥，DE AC ⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理即可得到证明.（2）由（1）知平面BDE ⊥平面ABC ，由此可得线面角为6EBD π∠=，进而求得BD ，DF的长，然后由棱锥体积公式计算可得答案.【详解】（1）证明：取AC 的中点E ，连接BE ，DE ．因为ACB △和ACD 均为等边三角形，所以BE AC ⊥，DE AC ⊥．因为DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ．又BD ⊂平面BDE ，所以AC BD ⊥．（2）由（1）知AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面BDE ⊥平面ABC ，平面BDE ⋂平面ABC BE =，故过D 作平面ABC 的垂线，垂足为F ，则F 一定在直线BE 上，因为BD 与平面ABC 所成的角为6π，所以6EBD π∠=．由题意知DE BE =23DEB π∠=，所以3BD =，所以3sin62DF BD π=⋅=．故三棱锥D ABC -的体积211132sin 33232ABC V S DF π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△20．如图，已知椭圆2214x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，点C 是椭圆上异于A ，B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ，N ，AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ，Q ，点P ，C ，M 在x 轴的上方．(1)当AC cos POM ∠；(2)求⋅PQ MN 的最大值．【正确答案】(1)－35(2)10【分析】（1）设(,)C m n ，根据题意求得(0,1)C ，得到1(1,)2D -，进而得到,AC OP OD k k k =，方法1、由直线MN 的方程为12y x =，联立方程组，分别求得,M P 的坐标，得到向量)2OM=和(2OP=，结合向量的夹角公式，即可求解；方法2、由1tan2BOM∠=，求得25cos5BOM∠=，结合cos cos(π2)POM MOB∠=-∠，即可求解；方法3、由,POM OD AC∠= ，结合cos cos,POM OD AC∠= ，即可求解.（2）设点00(,)C x y，得到14OM OPk k=-，设直线OM的方程为y kx=，联立方程组求得2224414kOMk+=+，同理得到22211614kOPk+=+，方法1、求得222222441161414k kOM OPk k++=⋅++，令214k t+=，利用二次函数的图象与性质，求得52OM OP≤，结合4PQ MN OM OP⋅=⋅，即可求解；方法2、求得225OM OP+=，利用基本不等式求得52OM OP⋅≤，进而求得⋅PQ MN的最大值.【详解】（1）解：设(,)C m n，因为(2,0)A-，且AC，可得22(2)5m n++=，又因为2214m n+=，解得0m=或163m=-（舍去），因为点C在x轴上方，则0n>，可得1n=，即点C的坐标为(0,1)，由点D为AC的中点，所以点D的坐标为1(1,2-，所以11,22AC OP ODk k k===-，方法1由于直线MN过原点且与直线AC平行，则直线MN的方程为12y x=，因为点,P M在x的上方，可得0,0M Py y>>，由221214y xx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2My=，则M x=)2M，则2OM=，由221214y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得Py=Px=(P，则()2OP=，则1232cos 5OP OM POM OP OM-+⋅∠==-；方法2由于直线MN 过原点且与直线AC 平行，则12OM AC k k ==，因为12OP k =-，可得AOP BOM ∠=∠，则π2POM MOB ∠=-∠，因为12OM k =，所以1tan 2BOM ∠=，可得25cos 5BOM ∠=，则23cos cos(π2)cos 2(2cos 1)5POM MOB MOB MOB ∠=-∠=-∠=-∠-=-.方法3由于直线MN 过原点且与直线AC 平行，则,,,POM OP OM OP AC OD AC ∠===，因为1(1,),(2,1)2OD AC =-= ，则1232cos cos ,5OD ACPOM OD AC OD AC-+⋅∠===-.（2）解：设点00(,)C x y ，由(2,0)A -，可得002(,)22x y D -，则0000,22AC OM OP OD y y k k k k x x ====+-,可得20200022000011422444OMOPx y y y kk x x x x -=⨯===-+---，又由直线OM 的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为,0y kx k =>，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2222244,1414k x y k k ==++，则2224414k OM k +=+，因为14OM OP k k =-，可得14OP k k =-，同理可得22211614k OP k +=+，方法1由题可得222222441161414k k OM OP k k ++=⋅++，令214k t +=，则1t >，可得2222(3)(43)11259()944t t OM OP t t t +-==-++≤，当2t =时，即12k =时，取等号，即52OM OP ≤又因为4PQ MN OM OP ⋅=⋅，所以⋅PQ MN 的最大值为10.方法2由题可知2222224411651414k k OM OP k k +++=+=++，所以22522OM OP OM OP +⋅≤=，当且仅当2OM OP ==时，等号成立，又因为4PQ MN OM OP ⋅=⋅，所以⋅PQ MN 的最大值为10.方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.21．已知()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，,a b ∈R(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线重合，分别求a ，b 的值.(2)若b ∀∈R ，()()()()f b f a g b g a -≥-恒成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)1a e =-，0b =(2)0a =【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()11f g =且()()11f g ''=，即可得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()()e e 10b a b a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，求出函数的导函数，由()0H a =可得()0H a '=，从而求出a 的值，再验证即可.【详解】（1）解：因为()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，所以.()e 21x f x x '=+-，()2g x x a '=-，因为()()11f g =且()()11f g ''=，即e 212a +-=-且22e 1111a b +-=-⨯-，解得1a e =-，0b =.（2）解：因为()()()()f b f a g b g a -≥-对b ∀∈R 恒成立，.()()()22222e e b a b b a a b ab b a a b ∴+--+-≥-----对b ∀∈R 恒成立，即()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b aH b b a a =-+--，()e 1b H b a '=+-因为()0H a =，所以a 是()H b 的最小值点，且a 是()H b 的极值点，即()e 10aH a a '=+-=，因为()a H '在R 上单调递增，且()00H '=，所以0a =，下面检验：当0a =时，()e 10bH b b =--≥对b ∀∈R 恒成立，因为()e 1bH b '=-，所以当0x <时()0H b '<，当0x >时()0H b '>，所以()H b 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.所以()()00H b H ≥=，符合题意，所以0a =.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin ρθθ=.（1）求C 的极坐标方程；（2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ⋅的取值范围.【正确答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【详解】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程．（2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围．试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，则有11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ+=，则有2ρ所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.23．已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．【正确答案】(1)()11,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得8M =，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1）当1x ≤-时，由()3110f x x =-+>，解得3x <-，此时3x <-；当13x -<<时，由()510f x x =+>，解得5x >，此时x ∈∅；当3x ≥时，由()3110f x x =->，解得113x >，此时113x >．综上所述，不等式()10f x >的解集为()11,33⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）证明：因为()()()()3222622268g x f x x x x x x =+-=++-≥+--=，所以M ＝8，所以a ＋b ＋c ＝8．因为22a c a c +≥，22b a b a +≥=，22c b c b +≥=，当且仅当83a b c ===时，等号成立，所以()222216a b c c a b a b c c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2228a b c c a b ++≥．。
2025年新高考数学模拟试题一带解析
2025年新高考数学模拟试题（卷一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n ⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l mD ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,ee ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝U C ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（）AB．2CD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()exf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y60不愿生x2240总计5842100(1)求x和y的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()2P kχ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k 减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m 的6减数列，证明：6m >；(3)若存在2024的k 减数列，求k 的最大值.2025年新高考数学模拟试题（卷一）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
河南省洛阳市(新版)2024高考数学统编版(五四制)模拟(评估卷)完整试卷
河南省洛阳市（新版）2024高考数学统编版（五四制）模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题集合，且，则（）A．-1B．0C．1D．2第(2)题（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(6)题定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为A．①③B．②④C．①④D．②③第(7)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(8)题已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知平面向量，则（）A．B．C．在上的投影向量的模为D．与的夹角为钝角第(2)题如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，则下列选项正确的是（）A．该四棱锥的外接球表面积为B．若动点Q在三角形内（含边界），且，则BQ长度的最大值为C．若点E为PA的中点，则平面PDCD．若动点Q在正方形ABCD内（含边界），且，则的面积最大值为第(3)题对于，满足，且对于，恒有．则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装．现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有________个，若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为________．第(2)题若表示从左到右依次排列的7盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态那么要把灯关闭最少需要__________次操作；如果除灯外，其余6盏灯都处于开灯状态，那么要使所有的灯都处于开灯状态，最少需要__________次操作．第(3)题若，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题甲､乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲､乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.（1）设每场比赛甲赢的概率为，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；（2）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场､乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.第(2)题石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件发生的概率.第(3)题在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；(2)若l与C只有一个公共点，求a的值．第(4)题集合且，若，且，，令.（1）若，满足，请写出一个符合题意的，并求出；（2）若集合，任取中2个不同的元素，求集合中元素个数的最大值；（3）若存在，使，集合中任两个元素不同，求出此时.第(5)题某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：序号123456723468101313223142505658根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）。
河南省郑州市2024年数学(高考)统编版模拟(预测卷)模拟试卷
河南省郑州市2024年数学（高考）统编版模拟(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(2)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．第(3)题若，则（）A．B．C．D．第(4)题某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A．90B．96C．102D．120第(5)题已知某三角形的三边长分别为4、5、6，则该三角形最大内角的余弦值为（）A．B．C．D．第(6)题已知，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题在空间中，下列命题是真命题的是（）A．三条直线最多可确定1个平面B．三条直线最多可确定2个平面C．三条直线最多可确定3个平面D．三条直线最多可确定4个平面第(8)题某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球､足球､排球､网球､羽毛球､乒乓球，甲､乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲､乙选修的课中至少有1门相同的概率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A ．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位C ．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位第(2)题如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（）A．B．C．D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s第(3)题在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（）A．异面直线与的距离为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
河南省郑州市(新版)2024高考数学统编版(五四制)模拟(自测卷)完整试卷
河南省郑州市（新版）2024高考数学统编版（五四制）模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，若，则（）A．B．C．D．第(2)题已知平面向量，满足，且，则（）A．4B．5C．D．2第(3)题随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，下图为2022年中国服务机器人各行业渗透率调查情况.根据该图，下列结论错误的是（）A．物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业B．教育业目前在大力筹备应用服务机器人C．未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业D．图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3%第(4)题在平面直角坐标系内，到点和直线：距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线第(5)题在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A．56个B．57个C．58个D．60个第(6)题设，，，则（）A．B．C．D．第(7)题设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．第(8)题在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（）A．16B．32C．64D．128二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，下列说法正确的是（）A．若，，分别为，，的中点，则与平面平行B．若平面，正方体的棱长为2，则截此正方体所得截面的面积最大值为C．点在线段上运动，则三棱锥的体积不变D．是的中点，直线交平面于点，则，，三点共线第(2)题已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．B．在区间上有6个零点C ．直线是图象的一条对称轴D．若对任意的恒成立，则第(3)题在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点，它与原点的距离是r.我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切，分别记作、、，把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是( )A．B．的定义域为C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列的通项公式，前项和为，则值是__________.第(2)题已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则点到轴的距离为______．第(3)题数列，，，，，，的前项和的值等于_____________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的图象过原点，且在原点处的切线与直线垂直．（为自然对数的底数）．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，总有成立，求实数的取值范围．第(2)题甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．第(3)题已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．第(4)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数在上恒成立，求证：.第(5)题已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若关于x的方程在无实数解，求实数a的取值范围.。
2023年新高考数学全真模拟卷 (1)
2023年新高考数学全真模拟卷 (1)一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合2{|280},{|ln(1)}A x x x B x y x =--<==+,则A B =（ ）A.()1,2-B.()1,4-C.(0,2)D.(0,4)2.已知复数z 是方程2450x x ++=的一个根,且复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,则z =（ ） A.2i - B.2i + C.2i -- D.2i -+3．函数()()ln 3f x mx =+在(],1-∞上单调递减的充分必要条件是（ ） A ．42m -<<-B ．30m -<<C ．40m -<<D ．31m -<<-4．如图 在三棱锥V ABC -中 8VA VB VC === 30AVB AVC BVC ∠=∠=∠=︒ 过点A 作截面AEF 则AEF △周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体 它的一端是平整的六角形开口 另一端是封闭的六角菱形的底 由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF 下列说法正确的是（ ）A ．AC AE BF -=B ．12AC AE AD +=C ．AD AB AD DE ⋅=⋅D ．AD 在AB 上的投影向量为AB6．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品 三种产品的生产比例如图所示 且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90% 50% 40%．若从该厂生产的口罩中任选一个 则选到绑带式口罩的概率为（ ）A ．0.23B ．0.47C ．0.53D ．0.777．在三棱锥P ABC -中 4PA BC == 5PB AC ==PC AB ==则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．26πB ．12πC ．8πD ．24π8．已知实数a b ()0,e c ∈ 且33a a = 44b b = 55c c = 则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分．9．已知函数()sin f x x x = 下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ． π2f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值C ．把函数2sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度 可得到函数()y f x =的图象 D ．ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的最小值为2- ()f x 的最大值为1 10．如图 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1 线段11B D 上有两个动点E 、F 且12EF = 则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF △的面积与BEF △的面积相等11．已知OA OB 是平面内两个夹角为120°的单位向量 点C 在以O 为圆心的AB 上运动 若OC xOA yOB =+（,x y R ∈）．下列说法正确的有（ ）A ．当C 位于AB 中点时 1x y == B ．当C 位于AB 中点时 x y +的值最大C ．OC 在OA 上的投影向量的模的取值范围为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．()OC OA OB ⋅-的取值范围为3322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，12．已知函数12()log f x x x =+ 2cos 2,0()()20a x x g x a R x a x +≥⎧=∈⎨+<⎩， 若对任意[)12,x ∈+∞ 总存在2x R ∈ 使12()()f x g x = 则实数a 的值可以是（ ）A ．12-B ．72C ．1D ．2三､填空题：（本题共4小题 每小题5分 共20分 其中第16题第一空2分 第二空3分。
河南省开封市高三数学第一次模拟考试试题 理 新人教A版
数学（理）试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题．其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前。
考生务必先将自己的姓名。
准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号。
并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写。
字体工整。
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答。
超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠。
不破损。
5．做选考题时。
考生按照题目要求作答。
并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．复数311iz -=对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 c ．第三象限 D ．第四象限2．若集合M={0，1}，N=={（x ，y ）|x 一2y+1≥0，x ∈M ，y ∈M}，则集合N 的元素个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．把标号为l ，2，3，4，5的同色球全部放人编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为 A ．36 B ．20 C ．12 D ．104．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间[21,41]内，那么输入实数z 的取值范围是 A ．（一∞,一2] B ．[一2，一1]C ．[一l ，2]D ．[2，+∞）5．由直线1,0,3,3===-=y y x x ππ与曲线y=cosx 所围成的封闭图形，随机向图形内掷一豆子，则落人阴影内的概率是A ．3321π-B ．332πC ．π233 D ．1—π233 6．函数)(),(1cos 2cos sin 32)(2x f R x x x x x f 则∈-+=在区间]2,0[π上的最大值和最小值是A ．2，一1B ．1，一1C ．1，—2D ．2，—27．已知数列}{n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和，若,2132a a a =⋅且742a a 与的等差中项为45，则S 5=A ．35B ．33C ．31D ．298．已知A ，B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点，点C 在双曲线上，△ABC 中，∠ACB 一90°，sinA:sinB=2：1，则双曲线的离心率为A ．5B ．553 C ．25D ．332 9．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体积为A ．1538+πB ．332916+π C ．33238+π D ．3316+π10．已知)(x f 是奇函数，且 =∈-=∈=-)(]2,1[),1(log )(,)3,2()()2(2x f x x x f x x f x f 时则当时，当A ．)4(log 2x --B ．)4(log 2x -C ．)3(log 2x --D ． )3(log 2x -11．已知三棱锥P —ABC ，∠BPC=90°，PA ⊥平面BPC ，其中AB=10，BC=5,13=AC ，P 、A 、B 、C 四点均在球O 的表面上，则球O 的表面积A ．12πB ．14πC ．27π D ．28π12．已知xx x f x 2sin sin 21)(),2,0(2+=∈且函数π的最小值为b ，若函数1)(,)40(468)44(1)(2≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-<<-=x g x bx x x x g 则不等式πππ的解集为A ．)2,4(ππ B ．]23,4(πC ． ]23,43[D ．]2,43[π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
2023年高考数学全真模拟试卷01(新高考专用)(解析版)
2023年高考数学全真模拟试卷01（新高考专用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022秋·天津南开·高三南开翔宇学校校考期末）设全集为{}270U x N x x =∈-<，{}2,3,5UA =，{}2,5,6B =，则()UAB =（ ）A ．{}1,4B ．{}2,5C ．{}6D ．{}1,3,4,6 【答案】A【分析】把{}270U x N x x =∈-<化简，分别求出集合A ，UB ，然后求解()U A B ∩.【解析】{}{}{}270071,2,3,4,5,6U x N x x U x N x =∈-<∴=∈<<=又{}{}2,3,51,4,6U A A =∴=，又{}{}2,5,61,3,4U B B =∴=(){}1,4UAB ∴=，故选：A2．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）复数()()231i 1i --在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则化简后，即可确定复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标，进而判断其所在象限.【解析】()()()()()232221i 1i 1i i 12i i 2i 1i 2i 2i 2i 2----==-⋅=+=+---，则复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标为()2,2-，位于第四象限，故选：D.3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．2π3C ．5π6 D ．π3【答案】B【分析】先求得数量积1a b ⋅=-，再利用向量夹角公式即可求得a 与b 的夹角. 【解析】因为3a b +=，所以()22222523a b a ba b a b a b +=+=++⋅=+⋅=,则1a b ⋅=-.则11cos ,122a b a b a b⋅-===-⨯⋅. 又因为[],0,π∈a b ，所以2,π3a b =,即a 与b 的夹角为2π3.故选：B. 4．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数()32sin22xx x f x +=的部分图像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解． 【解析】∵()32sin22xx xf x += ，x ∈R ， 33||||()2sin(2)2sin 2()()22x x x x x xf x f x --+-+-==-=- ，则()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B 、D ； 对12sin 2(1)02f +=> 故可排除选项C ．故选：A ． 5．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知等差数列{}n a 前9项的和为1027,8a =，则90a =（ ） A ．87 B ．89C ．88D ．90【答案】C【分析】根据已知条件求得公差d ，从而求得正确答案. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()199195927,22a a S aa a +⨯==+=，所以53a =．又因为108a =，所以1051105a a d -==-． 故()90109010188a a =+-⨯=．故选：C6．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若22sin 291cos 2αα+=-，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）A ．3-B ．3C ．97D ．97-【答案】B【分析】由题知sin 0,cos 0αα<<，进而结合二倍角公式整理得sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=，再代入求解即可.【解析】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα<<，()()()()222221sin 2212sin cos sin cos 22sin 291cos 22sin sin 112sin αααααααααα++++====---，所以sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=所以cos sin 2sin sin 3cos sin 2sin sin αααααααα++==--.故选：B 7．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）设120231e 2023a =，2024ln2023b =，sin(0.2023)c =︒，则（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数()()()e ln 1,0,1xf x x x x =-+∈，利用导数确定函数的单调性可得()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断,a b 大小关系；估计实数12023与0.2023π0.2023180︒=的大小关系及大致倍数关系，构造函数()1e sin 6,0,1000xh x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，利用导数确定单调性可得()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而结合正弦函数的单调性可比较,a c 大小，即可得结论．【解析】设()()()e ln 1,0,1x f x x x x =-+∈，则()()11e 1xf x x x =+-+'， 设()()()11e 1x g x f x x x==+-+'，则()()()212e 01x g x x x =++>+'恒成立， 所以()f x '在()0,1上单调递增，所以()()00f x f ''>=恒成立，则()f x 在()0,1上单调递增，故()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12023112024e ln 1ln 202320232023⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，所以a b >； 因为10.000494322023≈，0.2023π0.20230.0035308160.00049432180︒=≈>⨯， 则10.202362023︒>⨯，设()1e sin 6,0,1000x h x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()1e 6cos6xh x x x '=+-，又设()()()1e 6cos6xm x h x x x ==-'+，故()()2e 12sin60xm x x x =++>'恒成立，所以()h x '在10,1000x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()110001111e 6cos 0100010001000h x h ⎛⎫⎛⎫<=+-< ⎪ ⎪⎝'⎭⎝⎭'恒成立，则()h x 在10,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1202311e sin 620232023⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭ 又()1sin 6sin 0.20232023⎛⎫⨯<︒ ⎪⎝⎭，则()120231e sin 0.20232023<︒，即c a >； 综上，c a b >>.故选：D ．8．（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a = (当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h ==.故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a =令2(02)a t t =<<，V ()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=， 403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V最大，此时h =．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中0.028a =B ．在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C ．估计短视频观众的平均年龄为32岁D ．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】CD【分析】根据频率和为1可构造方程求得a ，知A 错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在10~20岁的人数，知B 正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD 正确. 【解析】对于A ，()0.0150.0330.0110.011101a ++++⨯=，0.03a ∴=，A 错误；对于B ，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10~20岁的人对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有40000.15600⨯=人，B 错误；对于C ，平均年龄()0.015150.033250.03350.011450.011551032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，C 正确；对于D ，设75%分位数为x ，则()0.015100.03310300.030.75x ⨯+⨯+-⨯=， 解得：39x =，D 正确.故选：CD.10．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，给出下列判断正确的是（ ）A ．直线1B D ⊥平面1ACD ； B ．1A P ∥平面1ACD ；C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；D ．三棱锥1D APC -的体积不变 【答案】ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证明判断； 对于B ，利用线面平行和面面平行的判定定理证明判断；对于C ，分P 与线段1BC 的B 端和1C 端以及线段1BC 的中点重合判断；对于D ，由11D APC P ACD V V --=，结合1BC ∥平面1AD C 判断. 【解析】对于A ，如图所示：连接BD ，根据正方体的性质，∵1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，∴1BB AC ⊥，又∵BD AC ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥面1BB D ， ∴1AC B D ⊥，连接1A D ，根据正方体的性质，∵11A B ⊥平面11A D DA ，且1AD ⊂面11A D DA ，∴111A B AD ⊥； 又∵11AD A D ⊥，且1111A B A D A =，∴1AD ⊥面11A B D ， ∴11AD B D ⊥，且1ACAD A =，∴直线1B D ⊥平面1ACD ，故A 正确 对于B ，如图所示：连接111,A B A C ，在正方体中，∵AC ∥11A C ， 且AC ⊂平面1ACD ，11AC ⊂/平面1ACD ，∴11A C ∥平面1ACD ，同理可证1BC ∥平面1ACD ， 又∵11A C 、1BC ⊂平面11BA C ，且1111=AC BC C ，∴平面11//BA C 平面1ACD ，又∵1A P ⊂平面11BA C ，∴1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，当P 与线段1BC 的B 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11A BC ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3BC A =∠； 当P 与线段1BC 的1C 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11AC B ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3AC B ∠=； ∴当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值，∴11A PC ∠为异面直线1A P 与1AD 所成角，又∵111A B AC =， 且P 为线段1BC 的中点，∴11π2A PC ∠=，故1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，11D APC P ACD V V --=，∵1BC ∥1AD ， 且1BC ⊂/平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴1BC ∥平面1AD C ，∴点P 到平面1ACD 的距离不变，且1ACD △的面积不变， 所以三棱锥1P ACD -的体积不变，故D 正确；故选：ABD.11．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知函数21e 1()e x x f x +-=，()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．方程()f x x =只有一个实根B ．()f x '的最小值为2eC ．函数()()()f x G x f x '=的值域为(1,1)- D ．函数()()()F x f x f x '=⋅为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程()f x x =不止一个实根；利用()f x ''的正负，求出()f x '的单调性，进而求得()f x '的最小值；利用分离常数法，求得2()1e 21x G x =+-，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；2222()e e x x F x ---=-，而()()F x F x -=-不符合偶函数的定义.【解析】对于A ，方程()f x x =，即2111e 1e e 0ex x x x x x ---+---==-，显然0x =是方程的一个根，令()11ee x x x g x ---=--，由于()0201e e 1g --=-<，()1302e e 2g --=->，根据零点存在定理可知，函数()g x 在()1,2上有一个零点， 因此方程()f x x =不只有一个实根，A 选项错误；对于B ，2111e 1()e e ex x x x f x ---+-=-=，则()1111()e e e 1e 1+x x x x f x ------'⋅-⋅=-=，()1111()e 11e e e x x x x f x ------'==-'⋅+⋅-，令()0f x ''=，即110e e x x ----=，解得0x =，当0x <时，()0f x ''<，所以()f x '在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，因此()f x '的最小值为112+e(0)e e f --'==，B 选项正确； 对于C ，1122112221122+111()e e e e ()1()e e e e e x x x x x x x x x f x G x f x --------+-'====+-++=， 22222122011010220e 11e e e e 1x x x x x >⇒+>⇒<<⇒<<⇒-<-<+++， 则2111e 21x -<-<+，所以函数()G x 的值域为(1,1)-，C 选项正确； 对于D ，()()11112222()()()e e e e ee +x x x x x x F xf x f x ---------'-==-⋅= 而()22222222()ee e e ()x x x x F x F x ------=-==----，所以函数()()()F x f x f x '=⋅不是偶函数，D 选项错误；故选：BC.12．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知抛物线23y x =上的两点()00,A x y ，()()000,0B x y x -≠及抛物线上的动点(),P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，坐标轴原点记为O ，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程为32x =-B ．三角形AOB为正三角形时，它的面积为C ．当0y 为定值时，1211k k -为定值D ．过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠的圆的周长大于3π 【答案】BCD【分析】由抛物线方程判断A ，根据正三角形求出直线OA 斜率，联立抛物线求点A 坐标即可判断B ，直接计算1211k k -结合,A P 在抛物线方程上化简可判断C ，根据题意及圆的性质求出半径，结合点A 在抛物线上可得出半径范围，即可判断D.【解析】对A ，由抛物线23y x =知准线方程为34x =-，故A 错误；对B ，当三角形AOB 为正三角形时，不妨设A 在第一象限，则π6AOx ∠=，直线AO方程为y =，联立23y x =，可得009,x y ==故0||22AB y ==⨯=2||AOB S AB ==△B 正确； 对C ，001200,y y y y k k x x x x -+==--，当0y 为定值时 00000000022000020103((122)2)2)()()()331(x x x x y y x x y x x y x x y y y y k y y y y y k y x x -----===-+-+---=-=为定值，故C 正确；对D ，因为圆过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠，所以可设圆心为(,0)a ，则0R x a =-=22000()()2y x ax =-，故20003()2x x ax =-，因为00x ≠，所以0230x a =+>，即32a >-，故0332R x a a =-=+>，所以圆的周长32π2π3π2R >⨯=，故D 正确.故选：BCD第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）()8111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为___.（用数字作答）【答案】28-【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可 【解析】()81x +的展开式通项为818C rrr T x-+=，所以22867C 28T x x ==，53368C 56T x x ==．故所求2x 的系数为1285628⨯-=-．14．（2023·广西梧州·统考一模）直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC 为等边三角形，则a 的值为______．【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【解析】由条件和几何关系可得圆心C 到直线:l y x =a =． 15．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知()2e e x xmf x -=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，则m n +=__________．【答案】1【分析】根据()()0f x f x -+=，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得m ，再根据导数的几何意义可得()2f n '=，从而可求得n ，即可得出答案．【解析】函数()2e e x xmf x -=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f m =-=，解得1m =，经检验成立所以()2e 1e x xf x -=，则()()22222e e e 1e e 1e e x x x xx xxf x ⋅--+'==， 因为()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，所以()2e 12e n nf n +'==，解得0n =，所以1m n +=．16．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点（异于点A ，B ），直线BP 交x 轴于点D ．若直线AB ，AP 的斜率之积为49，且BDO BOD ∠=∠，则椭圆C 的离心率为______．【分析】设点的坐标，求斜率，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，化简得22AP BP b k k a ⋅=-，结合BDO BOD ∠=∠，知2249AP ABb k k a ⋅==，再利用222c a b =-及离心率公式即可求解. 【解析】设()00,P x y ，(),A m n ，(),B m n --，则直线AP 的斜率为00y n x m --，BP 的斜率为00y nx m++，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220022x m y n a b --=-， 即200200x m y n a y n b x m +-=-⨯+-，即221AP BP a k k b =-⨯，即22AP BP b k k a⋅=-， 又BDO BOD ∠=∠，则AB BP k k =-，即22AP ABb k k a⋅=， 即2249b a =，则2249b a =，所以2222224599c a b a a a =-=-=，即2259c a =，则椭圆C的离心率为c a =四、解答题：本小题共6小题，共70分。