2009-2010微积分(I)作业zucc 浙江大学城市学院

第二章 极限与连续第一节 数列的极限1．观察下列数列的变化趋势，哪些收敛？哪些发散？若收敛，试指出其极限．（1）()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--n n 11(2) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n32 (3) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 312(4) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n πcos(5) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧2n第二节~第三节 函数的极限1．从函数极限的直观定义出发，求下列极限．（1）lim 1x x x →∞+（2）lim 2xx -→+∞（4）1lim xx e +-→2．讨论下列函数()f x 在指定点处的左极限、右极限，并由此说明在该点处极限是否存在． （1）()xf x x=，在0x =处.（2）2,2()2,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，在2x =处.3．当a 为何值时，函数,1,(), 1.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩在点1x =处极限存在？第四节 无穷小与无穷大1．指出当自变量x 趋于什么值时，函数11)(-+=x x x f 是： Ⅰ：无穷小；Ⅱ：无穷大2．利用无穷小量性质求下列函数的极限． （1）cos lim x xx→∞（2）xx x 1arctanlim 0→ 第五节 极限的性质和运算计算下列极限． （1）113lim21++-→x x x （2）22132lim 43x x x x x →-+-+（3）152lim 22+-∞→x x x x (5) ()11lim22+--+++∞→x x x xx（7）xx xx x sin sin lim+-∞→第六节 两个重要极限计算下列极限． （1）xx xx x 2tan 32sin lim0++→(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0(3) 1)1sin(lim21--→x x x (4) 30sin tan lim x xx x -→(5) xx x 321lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→(6) ()13123lim -→-x x x(7) xx x 2111lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→第七节 函数的连续性1．讨论下列函数在指定点处的连续性．（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1,1,12)(2x x x x x f 在1x =.（2）,0()0,0xx x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =.2．找出下列函数的间断点，并指出它的类型．（1）232)(2+--=x x x x f . 3．确定常数b a ,，使得函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,1sin 0,0,sin 1)(x b x x x a x x x x f 连续． 4．证明方程012=-xx 在区间()1,0内至少有一实根．第八节 无穷小的阶1．验证当0→x 时，有（1）235x x +是x 的2阶无穷小．2．若当0→x 时112-+ax 与x 2sin 为等价无穷小量，求a 的值．4．利用无穷小量等价代换求下列极限． （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x 1cos 1lim 2（2）()20sin tan lim1cos x x x→-（3）()202sin 31ln lim x x x x +-→第三章 导数和微分第一节 导数的概念1．按导数定义求下列函数在指定点处的导数.(2) xx f 1)(=在3=x ．2. 设)(x f 在点a x =处可导，求0(2)()limt f a t f a t→-－3. 设函数)(x f 在0=x 处的导数为2，且,0)0(=f 求xx f x )(lim→4．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,)(x bx a x e x f x 在0=x 处可导，求b a ,的值.第二节 导数的运算1．求下列函数的导数； （1）()()232141x x y ++=（2）2123--+=x x x y（3）x x x y cot tan -=（4）xxy ln 1ln 1+-=（5）x x y arccos 2= （6）xxy arctan =(7)x x x y ln sin =（8）ax x a y = 01a a >≠（且）（9）设xx x y 1ln +=，求dx dy ，1=x dx dy ． 2．求曲线2x y =在点)16,4(处的切线方程和法线方程．第四节 复合函数的求导法则1．求下列函数的导数． （1）()2212-=x y （2）x x y +=（3）x x y 3cos 2sin = （4）()x x y sin log 23-= （6）xx y 1= （7）212arctanx xy -=（8）()21ln xx y ++=2．若函数)(u f 可导，求下列函数的导数． （1）)(sin )(sin 22x f x f y += （2）)()(x f xee f y =第五节 高阶导数1．求下列函数的二阶导数． （1）x x y sin = （2）2x ey -=（3）21x x y += （4）2ln(1)y x =+，求(0),(0)y y ''' 2．求下列函数的n 阶导数． （1）b ax e y += （2）xxy +-=11 第六节 隐函数的导数1．求下列隐函数的一阶、二阶导数．（1）x y y =+sin （２）y xe y =+1 ２．利用对数求导法，求下列函数的导数．（１）y =（２）()xx y ln =３．求曲线122=-+y y x x 在()1,1处的切线方程和法线方程．第七节 由参数方程所确定的函数的导数１．求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数．（１）⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2 （２）⎩⎨⎧-==21arcsin t y t x ２．写出曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在已知点6π=t 处的切线方程和法线方程．３．求下列由参数方程所确定的函数的二阶导数．（１）⎩⎨⎧-=-=3232t t y t t x （３）⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12第八节 函数的微分１．求下列函数的微分dy ． （１）()1ln 2-=x y（２）函数)(x y y =由方程ye y x =+确定．（６）函数)(x y y =由方程0cos sin =--x e y e yx 确定．第四章 导数的应用第一节 中值定理1． 求函数2()1f x x =-在[]1,3-上满足拉格朗日微分中值定理的ξ.3．设()[0,]f x π在上连续，在(0,)π内可导，试证：在(0,)π内至少存在一点ξ，使()s i n ()c o f f ξξξξ'+=(提示：设()()sin g x f x x =，将()g x 在[0,]π运用罗尔定理)4．证明: arctan arctan a b a b -≤-.第二节 洛必达法则用洛必达法则求下列极限： 1．01cos 2lim 1cos3x x x →--； 2．ln 1lim x e x x e→--3． 30tan sin limx x x x →- 5． 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 7．sin 0lim xx x +→； 8． 20s i n 1l i m x x e x x→-- ；第四节 函数的单调性与极值１．求下列函数的单调区间： （１）32()26187f x x x x =---；（２） 22ln y x x =-２．证明下列不等式： （１）31tan 032x x x x π⎛⎫>+<< ⎪⎝⎭（２）22xx > (4)x > ３．求下列函数的极值 （１）422y x x =-+；４．利用二阶导数求函数cos ,0,2xy e x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的极值．第五节 函数的最大值、最小值问题１．求下列函数的最大值与最小值．（１）3223121y x x x =-++-在[2,2]-上． （２）||xy x e =在[2,1]-上．２．用铁片制作一个容积为3a 的圆柱形无盖容器，问应如何选择底半径和高，使所用材料最节省？３．在抛物线24y x =上，找出到定点(10,0)P 最近的点，并计算最近距离．４．作半径为Ｒ的球的外切圆锥，问此圆锥的高为多少时，其体积最小？并求此最小体积．第六节 曲线的凹向与函数图形的描绘１．求下列曲线的的凹向区间及拐点：（１） 43341y x x =-+ （２）1y x x=+ ２．已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求a b 和的值，并求曲线的上凹区间与下凹区间.第五章 不定积分第一节 不定积分的概念 第二节 不定积分基本公式和运算法则１． 填空：（1）()22x dx '=⎰ ；（2）211dx x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰= ； （3）()arctan dxdx =⎰ ；（4）()2sin d x =⎰ ；2．试求下列函数()f x 的一个原函数()F x ：（1）()f x =； （2）21()1f x x =-+； ３． 已知曲线上任意一点(),x y 处切线的斜率为xe ，且曲线过点()0,1，求此曲线方程．１．求下列不定积分：（１）()3sin x x dx +⎰（２）31x x dx x++⎰ （３）x ⎰（４）2(tan cot )x x dx +⎰（５） 2222(1)x x dx x x +++⎰（６）2(x dx ⎰（７） 2(23)x x dx +⎰第三节 换元积分法（一）１．求下列不定积分： （１）123dx x +⎰（２）⎰（３）3xedx ⎰（４）214dx x +⎰ （５）121x e dx x ⎰（６） 2143dx x x ++⎰ （８）1xx edx e +⎰（１０）２．若()ln f x dx x x x C =-+⎰，求2(1)xf xdx -⎰．第三节 换元积分法（二）求下列不定积分：１．⎰2.５．2 ６．第四节 分部积分法求下列不定积分：1．2ln x xdx ⎰2．sin 2x xdx ⎰3.2xx e dx⎰ ７．⎰第六章 定积分第一节 定积分的概念3．利用定积分的几何意义，求积分0⎰的值.5．利用定积分的性质，比较积分120x dx ⎰与积分130x dx ⎰的大小.第二节 微积分的基本定理1．求（1）20sin x d t dt dx ⎰；（2）202sin xd t dt dx ⎰.2．求（1）120sin d t dt dt ⎰；（2）2sin x e x d t dt dx⎰.3．计算下列定积分： （1）10(cos )x x dx +⎰；（2）211dx x ⎫⎪+⎭4．计算定积分cos x dx π⎰：.5．设21,1;(),1;2x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求20()f x dx ⎰.6． 求使函数201()1xtf x dt t +=+⎰上凹的区间. 7．求极限0011limsin 2x x t dt x t→++⎰. 第四节定积分的计算（一）利用换元法，求下列定积分： 1．10⎰；3．212t tedt -⎰；4．21e ⎰；5．10⎰；8．30⎰；第四节 定积分的计算（二）1．利用分部积分法，计算下列定积分： （1）10x xe dx ⎰； （2）1ln ex xdx ⎰；（3）1ln eexdx ⎰（4）0xdx ；2．计算下列定积分： （1）22(x -+⎰；3. ()12()31(),f x x xf x dx =--⎰求()f x .第五节 微元法第六节 定积分在几何上的应用习题2．求由221,15y x y x ==-所围图形的面积. 3．求由212,2,4y x xy y x ===所围图形的面积（1x ≥）.5．求由,x xy e y e -==与1x =所围图形的面积. 6x 与y x =-及1x =所围图形的面积.7.求3,2,0y x x y ===所围成的图形分别绕x 轴及y 轴旋转所得的两个旋转体的体积.10．求由,,3xy a y a x ===所围图形的面积S ，并求由此图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积.11．求曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的长度.第八节 广义积分1．从定义讨论下列广义积分的敛散性，若收敛，求其值： （1）21ln dx x x+∞⎰； （2）211ln dx x x⎰. （5）0+∞⎰；第七章 无穷级数第一节 常数项无穷级数的概念与性质第二节 正项级数及其审敛法1．从定义出发判别下列级数的敛散性： （1）11(2)n n n ∞=+∑2．判别下列级数的敛散性：（1）1arctan n n ∞=∑ （2）11122n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑3．判别下列级数的敛散性：（1）313n n ∞=⎫⎪⎭∑ ； （2）n ∞=；（3）23111n n n ∞=++∑；4．判别下列级数的敛散性：（1）312n n n ∞=∑ （2）13!nn n ∞=∑（3）1!n n n n ∞=∑ （4）21n ∞=（5）1(2)2nn nn ∞=+∑ （6）311n n n e ∞=+∑第三节 任意项级数5．判别下面级数是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：（1）21(1)n n n ∞=-∑ （2）1nn ∞=（4）31arctan (1)nn nn ∞=-∑； （5）2(1)ln n n n∞=-∑；第四节 幂级数6．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间（1）1(2)n n x ∞=∑ （2）12nn n x n ∞=+∑（3）113nnn x n ∞=⋅∑. （4）31(1)n n n x n∞=-∑； （5）221(1)ln n n x n n∞=-⋅∑7．求下列幂级数在收敛区域内的和函数：（1）11(1)nnn x n ∞=-∑； （2）11n n nx ∞-=∑.8．将下列函数展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间： （1）1x xe +； （2）ln(10)x +. (3)13x-附录二：历年试卷选编2005-2006学年《 微积分（B ）(I)》期中考试试卷一、函数arccoty = ．（4分） 二、当0x →x α（α是常数）是等价无穷小，求α的值．（4分）三、求下列函数的极限（每题4分，共24分）1)1(lim 2x x x x -++∞→ . 2.01lim sin(arctan )x x+→ 3．01lim cot 2sin 2x x x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 4. xx x 44321lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→ 5. x x x x 30sin sin lim -→ , 6.lim (arctan )2x x x π→+∞- 四、设函数22tan 2,0;4()2,0.12x x x f x x x x π⎧-<<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪+⎩，⑴ 指出()f x 在定义域内是否连续；⑵ 当x 趋于什么值时()f x 是无穷小量；⑶求出()f x 的渐近线．（10分）五、求下列函数的导数或微分：（每题4分，共20分） 1．sin 1tan x yx =-＋ln x x －sin 3π，求dydx．2．(2ln y x =，求dy ． 3. sin 3sin ()32sin xx f x x x =-+，求()f x '．4.y =y '． 5、()()x f x y f e e =（设()f x 可导），求dy dx． 六、设函数()y f x =由参数方程⎩⎨⎧=+=ty t t x cos 2所确定，求22,d ydy dx dx （6分）七、设函数)(x y y =由方程x y x exy cos 22=-确定，求曲线)(x y y =在点)1,0(处的切线方程和法线方程．（6分）八、设x x y -=13，求nn dxyd 。