含权债券久期计算及其在风险管理中的应用
商业银行管理--久期分析
商业银行管理--久期分析商业银行管理--久期分析一、概述久期（Duration）是衡量固定收益证券（例如债券）价格对利率变动的敏感性的指标。
商业银行作为金融机构，在管理债券投资组合时，需要对各项债券进行久期分析，以便评估其在不同利率环境下的价格波动情况，进而有效管理风险。
二、久期的概念及计算1. 久期定义：久期是衡量债券的平均到期期限的一种指标。
它通过对现金流的折现加权平均，将债券的期限、票息支付时间和票息结构进行综合考虑，从而反映债券的价格与利率变动之间的关系。
2. 久期计算：久期的计算根据债券的现金流量来确定，以更准确地体现债券的特定属性和结构。
常用的久期计算方法有修正久期和加权久期两种方式。
3. 修正久期：修正久期是一种标准久期的修正形式，它考虑了债券的到期本息偿还情况，并对债券的现金流矩阵进行了调整。
修正久期可以更好地反映债券变动对价格的敏感性。
4. 加权久期：加权久期是根据债券的现值作为权重，对每个现金流进行加权平均计算得到的久期，它体现了不同现金流对债券价格的贡献度。
三、久期对银行投资组合管理的影响1. 市场利率对债券价格的影响：根据久期的定义，债券价格与市场利率存在反向关系。
当市场利率上升时，债券价格下降，反之亦然。
因此，银行在管理债券投资组合时，需要评估各项债券的久期，以便预测价格变动并及时调整投资策略。
2. 利率风险管理：通过对债券久期的评估，银行可以根据市场利率的变化，预测债券价格的波动情况，并做好对冲和调整的准备。
这有助于银行降低与利率风险相关的损失。
3. 投资组合优化：根据不同债券的久期分析，银行可以对投资组合进行优化配置，以实现最大的收益与风险平衡。
不同久期的债券在利率变动时呈现的反应不同，因此适当地配置不同久期债券有助于降低整体投资组合的风险。
四、附件本文档涉及的附件包括：1. 债券久期计算表格：包含修正久期和加权久期的计算公式和样例。
2. 债券投资组合分析表格：用于记录和分析银行债券投资组合中各项债券的久期及相关数据。
债券-久期及其应用
以各期现金流占债券价格的比重为权重的加 权平均到期时间。
D
久期的作用
久期不仅仅是一个时间概念，其真正价值 在于它能反映债券价格对利率变动的敏感 性，是度量利率风险的一个重要工具。
特性
二、久期在债券管理中的作用
久期在债券管理中的策略利率的免疫策略 目标：消除组合的利率风险 途径：使组合中资产久期等于负债久期
案例分析
某银行有7年期的负债，年贴现率为7=3*w+(1-w)(1+1/10%) w=50%
什么是久期？
久期的最初定义源于1938年的Frederic Macaulay，他用贴现的方法计算证券投资的平均 回收时间的时候提出的这个概念，这个概念最初 是一个时间概念。例如银行一笔11年期按揭贷款 的久期是8.254年，意味着银行在前面8.254年的 时间是在收回本金，其后才是银行赚取的利润。
麦考利久期与应用
1、久期定义
回顾： 票面利率较高债券的价格变动要大于票面利率较低债券的 价格变动; 较长期限债券的价格变动要大于较短期限债券的价格变动。 久期将债券的票面利率、利率支付次数、到期期限以及到 期收益率综合在一起形成了一个以时间单位命名的概括性 衡量标准,从而大大提高了债券评价的准确性。
债券持有期收益率,久期及在险价值计算和分析
债券持有期收益率，久期及在险价值计算和分析债券是一种借款工具，发行者向投资者出借资金，并在一定期限内支付利息和偿还本金。
债券持有期收益率、久期和在险价值是与债券投资息息相关的重要概念，也是债券投资者们在进行债券投资分析和决策时需要了解和掌握的重要指标。
本文将对这几个概念进行详细介绍，并讨论其在债券投资中的重要性及应用。
一、债券持有期收益率债券持有期收益率是指投资者在持有债券期间所能获得的收益率。
它是根据债券的面值、利息支付期限、利息率和购买价格等因素计算得出的一种收益率。
债券持有期收益率的计算公式为：债券持有期收益率=（债券到期时的收益+债券购入价格-债券面值）/债券购入价格债券持有期收益率是投资者在购买债券后所能实现的收益率，它考虑了债券的购入价格和到期时的收益，是债券投资者评估债券投资收益性的重要指标之一。
二、债券久期债券久期是评估债券价格变动对债券价格的影响的指标。
它是债券现金流的加权平均期限，反映了债券现金流的时间分布情况。
债券久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高；债券久期越短，债券价格对利率变动的敏感性越低。
债券久期与债券价格变动之间的关系可以用如下的公式表示：ΔP/P=-D*Δr/(1+r)ΔP/P表示债券价格变动率，D表示债券久期，Δr表示利率变动率，r表示债券折现率。
债券久期是投资者在进行债券投资分析时必须了解和考虑的重要指标之一。
它可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性，从而为投资决策提供重要的参考依据。
三、债券在险价值债券在险价值是指债券价格对利率变动或市场风险的敏感性。
它衡量了债券价格在不同利率或市场情况下的变化程度。
债券在险价值越高，表示债券价格对利率变动或市场风险的敏感性越高；债券在险价值越低，表示债券价格对利率变动或市场风险的敏感性越低。
债券在险价值的计算涉及到债券价格、利率变动率、债券久期等因素，通常使用如下的公式进行计算：在实际债券投资分析中，投资者需要综合考虑债券持有期收益率、久期和在险价值等指标，并结合债券的发行主体、债券类型、市场情况等因素进行综合分析和决策。
投资学实验六债券久期的计算
投资学实验六债券久期的计算债券久期是衡量债券价格对利率变动的敏感度的一个重要指标。
在投资学中，债券久期是投资者评估债券投资风险和回报的重要工具之一、本实验将介绍债券久期的计算方法，并通过一个实例进行实际操作。
一、债券久期的概念债券久期是衡量债券价格对利率变动的敏感度的指标。
它描述了债券在未来现金流到期日之间的等待时间，可以理解为债券的平均生命周期。
久期越长，债券的价格对利率变动的敏感度越高；久期越短，债券的价格对利率变动的敏感度越低。
二、债券久期的计算方法1. 基本久期（Macaulay久期）：基本久期是久期计算中最常用的指标，计算公式如下：基本久期=（每期现金流×对应的现值乘积）之和/债券现值其中，每期现金流指的是债券每期支付的利息或本金，对应的现值乘积是每期现值乘以对应的现金流，债券现值是债券当前的市场价格。
2. 修正久期（Modified久期）：修正久期是基本久期的一种改进，它考虑了债券到期日和利息收益再投资的时间价值，计算公式如下：修正久期=基本久期/（1+YTM）其中，YTM（yield to maturity）是债券的到期收益率，表示投资者在债券到期时能得到的平均年化收益率。
三、债券久期的实际操作为了更好地理解债券久期的计算方法，我们以一个实例进行说明。
假设有一张面值为1000元，到期时间为3年的零息债券，当前市场价格为900元。
首先，我们需要计算每年的现金流和对应的现值乘积。
第一年的现金流为1000元，对应的现值乘积为1000/（1+r）^1，其中r是债券的到期收益率；第二年的现金流为1000元，对应的现值乘积为1000/（1+r）^2；第三年的现金流为1000元，对应的现值乘积为1000/（1+r）^3然后，将每年的现金流和对应的现值乘积相加，得到总和。
总和=1000/（1+r）^1+1000/（1+r）^2+1000/（1+r）^3最后，将总和除以债券的现值，即可得到基本久期。
债券利率风险度量方法及其风险防范
债券利率风险度量方法及其风险防范债券利率风险是投资者在持有债券时面临的利率波动所带来的风险。
随着市场利率的变动，债券的市场价值会波动，从而对投资者的回报产生影响。
为了衡量债券利率风险，投资者通常会使用不同的度量方法，并采取相应的风险防范策略。
1. 久期（Duration）与凸性（Convexity）方法：久期是衡量债券利率敏感性的一个主要指标。
它通过测量债券现值与市场利率之间的关系来度量债券的利率风险。
久期越长，意味着债券价格对利率的变动更为敏感。
凸性则衡量债券价格相对于久期的变动曲线的陡峭程度，可以进一步提供关于债券价格变动的信息。
在进行债券投资时，投资者可以通过计算久期和凸性来评估债券的利率风险，并根据其所承受的风险来选择合适的投资策略。
2. 收益率曲线分析方法：收益率曲线是显示不同到期期限的债券的收益率之间关系的图表。
通过对收益率曲线进行分析，投资者可以了解市场对未来利率走势的预期。
当短期债券的收益率高于长期债券的收益率时，表明市场预期利率将下降，投资者可能会选择购买长期债券以锁定较高的利率。
反之，当短期债券的收益率低于长期债券的收益率时，投资者可能更倾向于购买短期债券以追求更高的回报。
3. 历史数据分析方法：投资者可以通过分析历史债券收益率数据来了解债券利率风险。
这种方法基于过去的利率变动模式，通过检查债券价格在不同利率环境下的表现，来预测未来利率变动对债券价格的影响。
投资者可以参考历史数据来判断债券价格在不同利率水平下的回报和波动情况，从而制定相应的投资策略。
在应对债券利率风险时，投资者可以采取一些风险防范策略，以降低或规避风险：1. 多样化投资组合：投资者应该通过将资金分散投资于多个不同类型和到期期限的债券来降低风险。
不同债券的利率敏感性可能有所不同，多样化投资组合可以减轻由特定债券利率波动引起的风险。
2. 使用利率期货合约：利率期货合约可以提供对利率变动的保护。
当投资者认为市场利率将上升时，可以购买利率期货合约，在债券价格下跌时获得收益，以抵消其债券投资的损失。
债券久期计算
债券久期计算在金融领域，债券是一种常见的投资工具。
对于投资者来说，了解债券的各种特性和指标至关重要，其中债券久期就是一个关键的概念。
债券久期不仅能帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性，还能为投资决策提供重要参考。
那么，什么是债券久期？又该如何计算呢？首先，我们来理解一下债券久期的基本概念。
简单来说，债券久期是衡量债券价格对利率变动敏感性的一个指标。
它反映了债券现金流的平均回收时间。
为了更深入地理解债券久期，我们需要先了解债券的一些基本特征。
债券通常会在未来的特定时间点向投资者支付固定的利息，并在到期时偿还本金。
这些利息和本金的支付构成了债券的现金流。
接下来，我们探讨一下债券久期的计算方法。
目前，常用的债券久期计算方法主要有麦考利久期和修正久期。
麦考利久期的计算相对复杂一些。
它的计算公式是：麦考利久期＝（各期现金流现值×时间加权求和）÷债券价格现值。
我们通过一个简单的例子来看看麦考利久期的计算过程。
假设某债券每年支付利息 50 元，期限为 3 年，面值 1000 元，当前市场利率为8%。
首先，计算每年利息的现值。
第一年利息的现值＝ 50 ÷（1 ＋ 8%）＝ 4630 元；第二年利息的现值＝ 50 ÷（1 ＋ 8%）²＝ 4287 元；第三年利息的现值＝ 50 ÷（1 ＋ 8%）³＝ 3969 元。
然后，计算本金的现值＝ 1000 ÷（1 ＋ 8%）³＝ 79383 元。
接下来，计算各期现金流现值乘以时间的加权和：（4630×1）＋（4287×2）＋（3969×3 ＋ 79383×3）＝ 277874 元。
最后，计算债券价格现值＝ 4630 ＋ 4287 ＋ 3969 ＋ 79383 ＝92269 元。
则麦考利久期＝277874 ÷ 92269 ≈ 299 年。
久期及其在债券管理中的应用
债券投资分析久期计算公式
债券投资分析久期计算公式在债券投资领域，久期是一个重要的概念，它用来衡量债券价格对利率变动的敏感性。
久期计算公式是用来计算债券久期的数学公式，它可以帮助投资者更好地理解债券投资的风险和回报。
本文将介绍久期的概念，以及久期计算公式的推导和应用。
一、久期的概念。
久期是指债券的平均期限，它是一个加权平均值，反映了债券现金流的时间分布。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性就越低；久期越短，债券价格对利率变动的敏感性就越高。
因此，久期是衡量债券价格风险的重要指标。
久期的计算公式如下：\[D = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^t}\]其中，D表示债券的久期，P表示债券的价格，n表示债券的期限，CFt表示第t期的现金流，y表示债券的收益率。
二、久期计算公式的推导。
久期计算公式的推导涉及到债券的现金流和利率的复利计算。
假设债券的面值为F，期限为n年，票面利率为c，债券的价格为P，债券的现金流为CFt，债券的收益率为y。
根据债券的现金流和利率的复利计算，可以得到债券的现值公式：\[P = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+y)^t}\]对上式两边关于y求导，可以得到债券价格对收益率的敏感性：\[\frac{dP}{dy} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式乘以y，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积：\[y \cdot \frac{dP}{dy} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式两边关于y再次求导，可以得到债券价格对收益率的二阶导数：\[\frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdotCF_t}{(1+y)^{t+2}}\]将上式乘以y，可以得到债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积：\[y \cdot \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdot y \cdotCF_t}{(1+y)^{t+2}}\]将上式乘以-1，可以得到债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的相反数：\[-y \cdot \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdot y \cdotCF_t}{(1+y)^{t+2}}\]将上式与债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积相加，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积与债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的和：\[y \cdot \frac{dP}{dy} \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1)\cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+2}} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdotCF_t}{(1+y)^{t+1}}\]化简上式，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积与债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的和：\[y \cdot \frac{dP}{dy} \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式除以债券价格P，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积与债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的和与债券价格的比值：\[\frac{y \cdot \frac{dP}{dy} \frac{d^2P}{dy^2}}{P} = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式记为D，可以得到债券的久期计算公式：\[D = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^t}\]三、久期计算公式的应用。
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1(M P1
r1A× i (1+ y)i
N
+
r2 A× i
M +1 (1+ y)i
+
A× N (1+ y)N
)
（4）
M年到期的债权久期：
∑ D2
=
1 P
(
M 1
r1A× i (1+ y)i
+
P0 × M (1+ y)M
)
（5）
式中，P为债券现价，A为债券面值，P 为债券在第M.63
93.3
92.235
2007-9-15
4.34
4.65
4.92
92.44
91.405
2007-12-21
4.07
4.81
5.08
93
92.025
2008-10-9
3.38
3.42
3.15
98.3
99.167
2008-10-30
3.32
3.4
3.13
98.57
99.425
2008-11-27
3.25
望计算久期。
3、可转债的久期
可转债通过将债券和认股权证有机结合，使债券持有人依
法享有在一定期间内按约定价格（执行价格）认购公司股票的
权利，从而达到低成本融资或高价发股的目的。
图1 07～08年债券价格变化图
数据来源：Wind资讯
要计算可转债的久期，首先需要明确可转债的定价方法。 我们假设某可转债的发行条款为：可转券面值为A，票面利率 为 c ，发行人同时派发的M份认股权证，债券期限和期权到期
二、股票久期两种新型债券久期的计算方法
1、股票的久期
最原始的久期概念仅适用于债券，但是由于理论上久期
是所有的现金流期限的加权平均，所以我们可以尝试将久期运
用到股票上。首先假设股票为固定股利的永续年金，其久期为
DM = (1+ y) / y ， y 为股票的到期收益率。然后我们再假设股票的股 利以每年 g 的比例增长且永续。则股价 P = C0(1+ g) / (y − g) ， C0 为股票 当前支付的股利。于是股票久期为：
P 1 (1 + y)i P M +1 (1 + y)i (1 + y) N
P (1 + y) M
（7）
以上我们推导出了含选择权的久期计算公式，但是在式（7）
中，r 和r 是需要给与一定的预测的。如果可以得知它们的更为确 切的信0 息，2 或者投资者在投资时已经明确投资偏好，那么对于权
重α的选择也可以更为具体，否则可以通过给出可能的分布求其期
∑ − 1 P
dP dy
=
1( P
N 1
i
×
(1
cA + y)i
+1
+
N
×
(1
+
A y)
N
+1
)
=
DM 1+ y
= D*
（2）
定义修正久期为
，有时也将修正久期直接称为久
期。我们可以清楚地看到久期在测度债券对于利率变化敏感性
方面的重要作用，它相当于利率变化引起的债券价格变化占原
始价格百分比的一阶近似。
一、引言
债券市场是全球经济中重要的一个部分，而如何有效衡
量债券的风险是债券投资以及风险管理最为重要的一个环节。
由于债券付息方式的不同，债券的到期时间并不能很好的反映
债券期限的性质，于是Macaulay最早在1938年提出了久期的概
念，称为麦考利久期。久期衡量了债券价格对于利率的波动，
在风险管理中十分重要。
结论二：利率调整终将反映为到期收益率的调整，债券价 格总会达到调整后的理论价格，只是预期会对到达时间和过程 有较大影响。
虽然久期不是利率敏感性的良好测度，但它对于债券价格 的预测却有一定的参考价值。以各次调息为例，假设到期收益 率应当与调息相一致计算理论价格，列于表1。
表1 调息后的理论价格
调息日期
2.94
1.86
100.24
103.66
2008-12-23
3.18
2.3
2.03
102.48
103.34
*根据调息日收盘价计算，非交易日以调息前价格计算
将表1中的理论价格和实际价格进行对比发现，在一段时间以 后债券价格总会达到调整后的理论价格。比如，2007-4-23日债券 价格首次低于95.463，其后直到第二次调息前一直在这个价格水 平附近波动；而第二次调息之后于2007-6-1日，债券价格首次低于 93.973，其后价格一路下挫后又稍有反弹；几次调息以后，债券价 格触底，最低价为91.68元，与我们的最低理论价91.405相差不多； 08年债券价格在前半年的平稳之后开始大幅上扬，调息后2008-11-7 第一次打破99.167元，最高冲至102.8元，并未到达103.66。
债券的麦考利久期被定义为债券每次息票利息或本金支付
的现金流的加权平均期限，这个加权平均的权重是每笔现金流
的现值占债券所有现金流的现值的比重。它表示的是债券的实
际持有期限。麦考利久期的计算公式为：
∑ DM
=1 P
N 1
ti × PV (Ci )
（1）
其中， ti 为第 i 期现金流距债券到期日的时间； PV(Ci) 为第 i 期
)
=
N
γ + γM
(VT
− NK
)=
γN N + γM
( PT
− K)
（8）
图2 07～08年市场利率变化图
数据来源：/shibor/web/html/index.html
只有它为正时，持有人才会行权。总收益等价于股价为 P 的γN/(N+γM)份期权产生的总收益。认股权证可以通过 BlT ack-Scholes期权标准期权模型进行定价，可转债的价格应 当为债券各次现金流的现值与期权价格之和，即：
T 1
cA + A (1+ y)i (1+ y)T
+
N
γN +γM
× C( y, S0 ( y))
（10）
对式（10）求导，并除以价格，得可转债的久期计算公式：
D = − 1 ∂P P ∂y
∑ = 1 ( T
P1
cA (1 +
×i y) i+1
+
(1
A +
×T y)T
+1
)
−
N
γN + γM
(1 P
观点•ViewPoint
含权债券久期计算及其在风险管理中的应用
王炜辰1 叶 秩2 （1.清华大学理学院，北京 100084；2.永安财产保险公司总部，陕西 西安 710075）
【摘要】久期是测度债券利率风险的基本指标，在含选择权的债券和可 转债中，原始的久期定义无法体现选择权和期权对于风险的影响，本文 给出了能够反映该影响的合理的久期计算方法。在准确计算久期的基础 上，提出了利用久期进行长期债权市场价格预测和有效的利率风险免疫 的方法，对投资者的投资策略选择以及风险管理提供有价值的参考。 【关键词】久期；含权债券；可转债；价格预测；风险免疫
观点•ViewPoint
时间均为T年，权证的标的股票行权价为K元（不考虑由于标的
股票分红派息引起的执行价格的变动），在此也不考虑债券可
能附加的回售和回购条款。
首先需要给认股权证定价，这可以通过调整标准期权定价模
型以适应新股的稀释效应来进行定价。考虑一个公司有N股在外
股票和M份在外认股权证，每一份认股权证允许持有者以固定的
与真实价格93.4仅相差0.021。所以说久期体现了价格与 到期收益率变化的反向过程，这也是显然的，因为到期收益率 其实正是由市场价格导出的，其近似过程不过是对于敏感性测 度公式（2）的差分离散化。
但是对于市场利率则不然，我们将图1与图2对比，明显看 出市场利率变化较为平缓，也和调息过程保持一致，而债券价 格却具有很强的波动性。短期局部来看，经常出现市场利率上 升，债券价格却也上升的情况，市场的预期以及其他因素对债 券价格的影响甚至可以扭转价格变化的趋势。于是我们说久期 短期并非是市场利率敏感性的理想测度。这归根到底就是因为 市场利率的变化和到期收益率的变化不一致。债券价格的变动 的因素更多的来源于预期。
结论一：债券价格变化与到期收益率变化的反方向一致性 很好的体现在久期上，但久期并非市场利率短期调整的良好测 度，市场预期是价格变动的主要因素。
用久期基于到期收益率计算第二天收盘价，发现收盘价与实 际价格相差不到千分之一，对于面值100元的债券意味着误差不
超过0.1，甚至更小。以2007-8-22日债券价格为例，参照表2数 据，并查询得当天到期收益率由4.36%改变至4.34%，于是：
久期*
到期收益 率(%)
调整后理论到 期收益率(%)
债券 价格
调整后的理论 价格
2007-3-18
4.72
3.77
4.04
96.65
95.463
2007-5-19
4.67
3.68
3.95
95.13
93.973
2007-7-21
4.49
4.47
4.74
92.57
91.496
2007-8-22
4.41
4.36
券中占有很大一部分，它通常是通过在一定年限时提高利率并
赋予债券人选择回售的权利以此减小债权人面临的风险，也通
过降低风险降低票息利率，以更低的成本筹资。
假设某债券发行条款为：本期债券为N年期固定利率债