整式的乘除(讲义及答案)
整式的乘除讲义
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
6、完全平方公式可以逆用，即：
十一、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
零指数幂
负指数幂
整式的加减
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法多项式与多项式相乘
整式运算平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
五、同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n= am÷an（a≠0）。
六、零指数幂
1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
七、负指数幂
1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：
整式的乘除_(知识点+例题)
八年级上册 整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m n a a a+⋅=（m ，n 都是正整数）。
例1：计算（1）821010⨯； （2）23x x ⋅-（-）（）； （3）n 2n 1n aa a a ++⋅⋅⋅例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）； （2）23x 2y y x -⋅（）（2-） 例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
2．幂的乘方（重点） 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。
例4：计算（1）m 2a （）； （2）()43m ⎡⎤-⎣⎦； （3）3m 2a -（） 3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。
如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅ 积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
如：n n n ab a b ⋅（）= 例5：计算（1）()()2332x x -⋅-； （2）()4xy -； （3）()3233a b - 例6：已知a b 105,106==，求2a 3b 10+的值。
例7：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()315150.1252⨯4．单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例8：计算（1）2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212xy 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()322216m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅-5.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项。
第9讲(学生)第1章 整式的乘除 两数和的平方
第9讲 乘法公式两数和的平方 学习目标：能根据完全平方公式的特点，正确运用完全平方公式进行简单计算学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算． 学习难点： 综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．学习流程1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=a ·a ，那么（a+b ）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b ）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=__ p 2+2p+1； （m+2）2=_ p 2-2p+1__；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______ 完全平方公式：（a+b ）2= a 2+2ab+b 2、 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．回答问题．（1）公式的左边是什么形式？（2）公式的右边是什么形式？（3）公式的右边有多少项？（4）公式的右边的符号有什么特点？ 公式特点：1、积为二次三项式2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
首平方，尾平方，积的2倍在中央4、公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式。
乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式()222b a ab = 混淆，而随意写成()222b a b a +=+ ．（2）切勿把“乘积项”ab 2中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+,记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同号加 异号减。
(完整版)整式的乘除法专题讲义
第151讲整式的乘除法专题一、知识框架二、本节重点1.幂的乘法运算：（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘底数不变指数相加.（注意当底数互为相反数时要化成同底数幂，再运用同底数幂乘法法则进行运算）.表示：m n m na a a+⋅=（,m n都是整数）（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变指数相乘.表示：()n m mna a=（,m n都是整数）；逆运算：()()n mmn m na a a==（3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.表示：()n n nab a b=（n是整数）；逆运用：()nn na b ab=2.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.表示：m n m na a a-÷=（0,,a m n≠都是整数）.3.整式的乘法运算：（1）单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.整式的除法运算：（1）单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数.三、学生笔记四、经典题型题型一：幂的乘法运算1. 计算（1）()()()3225a a a a -⋅-⋅-⋅ （2）()()()24s t t s s t -⋅-⋅-（3）()()3224233a b ab ⋅- （4）()()()()32232228x y x x y +⨯-⨯-（5）()()2003200231515530.12522135⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）()()23m n x y y x ⎡⎤⎡⎤-⋅-⎣⎦⎣⎦2. （1）如果1128164n n ⋅⋅=，则_________n =.（2）已知()()535,7x y x y +=+=，则()812x y +的值为_____________. （3）已知333,2m n a b ==，求()()332242m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值_________________. 3. 若()22nab -与29m a b -互为相反数，求m n 的值.4. （1）已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系____________________.（2）比较5554443333,4,5的大小______________________.题型二：同底数幂的除法5. （1）()()()()33323423a a a a ⎡⎤⋅-÷÷⎢⎥⎣⎦（2）1381x =6. 用科学记数法表示下列各数：（1）0.0000512（2）-0.00000717. 计算：（用科学记数法表示结果）（1）()()479101810⨯÷-⨯ （2）()()347210210---⨯÷-⨯8. 若34,97x y ==，则23x y -的值____________.9. 已知()321x x +-=，整数x 的值为________________.10. 计算21103,105αβ--==，求6210αβ+的值.题型三：整式的乘法运算11. （1）()()3252345a a a a -+-⋅-（2）()()2221354a b ab a b a ab b ⎡⎤+--⎣⎦（3）()()()3121x x x x +---+ （4）()()()()221124x x x x -+---12. （1）已知56x y +=，求2530x xy y ++的值.（2）已知+5,6x y xy ==，求22x y xy +的值.13. ()()222762x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求__________,___________A B ==.14. 若多项式28x px ++和多项式23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项，求p 和q 的值.15. 先化简，再求值：()()()()122322x y x y x y x y ----+，其中22,5x y =-=.题型四：整式的除法运算16. （1）()35223123a b c a b -÷- （2）232443232113248a b c ab c a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷÷-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦17. 化简求值：()()()2544545x y y x y x ⎡⎤+-+÷-⎣⎦，其中1,3x y =-=.18. 若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有___________个. 19. 若13x x+=，则2421x x x ++的值为_______________.。
整式的乘除-单元复习-讲义
永成教育一对一讲义教师: 学生:日期:2014. 星期:时段:完全平方公式：()=+2b a ，()=-2b a练习2：计算①)15()31(2232b a b a -⋅ ②xy y xy y x 3)221(22⋅+-③)86)(93(++x x ④)72)(73(y x y x -+ ⑤2)3(y x -3、整式的除法 复习巩固例题精讲类型一 多项式除以单项式的计算 例1 计算：（1）(6ab+8b)÷2b ； (2)(27a 3-15a 2+6a)÷3a ；练习： 计算：（1）（6a 3+5a 2）÷(-a 2)； (2)(9x 2y-6xy 2-3xy)÷(-3xy)；(3)(8a 2b 2-5a 2b +4ab)÷4ab.类型二 多项式除以单项式的综合应用 例2 (1)计算：〔(2x+y)2-y(y+4x)-8x 〕÷(2x)（2）化简求值：〔(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)〕÷(4x) 其中x=2,y=1练习：（1）计算：〔（-2a 2b ）2(3b 3)-2a 2(3ab 2)3〕÷(6a 4b 5).（2）如果2x-y=10,求〔(x 2+y 2)-(x-y)2+2y(x-y)〕÷(4y)的值3、测评填空:(1)(a 2-a)÷a= ；(2)(35a 3+28a 2+7a)÷(7a)= ； (3)( —3x 6y 3—6x 3y 5—27x 2y 4)÷(53xy 3)= . 选择：〔(a 2)4+a 3a-(ab)2〕÷a = （ ) A.a 9+a 5-a 3b 2 B.a 7+a 3-ab 2 C.a 9+a 4-a 2b 2 D.a 9+a 2-a 2b 2 计算:(1)(3x 3y-18x 2y 2+x 2y)÷(-6x 2y)； (2)〔(xy+2)(xy-2)-2x 2y 2+4〕÷(xy).4、拓展提高：（1）化简 3422222++⨯⨯-n nn ； （2）若m 2-n 2=mn,求2222m n n m +的值.小结：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
(完整版)整式的乘除法专题讲义
李甲数学让高分成为习惯第151讲整式的乘除法专题乘法运嘗•込够垃三方if 血.二 -（方伽:■、本节重点 1. 幕的乘法运算： （1） 同底数幕的乘法：同底数幕相乘底数不变指数相加 •（注意当底数互为相反数时要化成同底数幕，再运用同底数幕 乘法法则进行运算）.表示：a m a n a m n （ m, n 都是整数）（2） 幕的乘方：幕的乘方，底数不变指数相乘 ^a ma mn （ m,n 都是整数）；逆运算：a mn（3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘 nn nn nn表示： ab a b （ n 是整数）；逆运用：a b ab2. 同底数幕的除法：同底数幕相除，底数不变，指数相减.表示：a m a n a mn （ a 0,m,n 都是整数）3. 整式的乘法运算：（1） 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含 有字母，连同它的指数作为积的一个因式 .（2） 单项式与多项式相乘：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项 式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（3） 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加. 4. 整式的除法运算：（1） 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2） 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商 相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数、知识框架表示: 反丸1袖魅三、学生笔记四、经典题型题型一：幕的乘法运算 1.计算（1） a 3 a 22. (1) 如果 n 2 8 n16411 ,则 n(2)已知x 5y 35, x y 7，则 1 x 8 y 的值为2(3) 已知3m a 3,b 31 n 2，求 a 2m 3b n 3a 2mb n a 4m b 2n 的值 3. 若 nab 2 2 与 9a 2b' m互为相反数，求 m n 的值4.( 1)已知 a 8131,b 2741,C 961，则 a,b,c 的大小关系 ___________________________ (2)比较 3555,4 444,5333 的大小 _________________________ .题型二：同底数幕的除法35. （ 1） a 3a4(3)3a 2 3ab 2(4) 2x 2y 3 8 x 2 $ x 2(5)150.1252152003 132320023 mn 2(6) x yy x24(2) st t s st(2)3x -818. 若 3x 4,9y 7，则 3x 2y 的值 _________________ . 9. 已知x 2x 31，整数x 的值为 __________________ 10. 计算 10 2 3,10-，求 106 12 的值•51 已知 x 5y 6，求 x2 5xy 2 已知 x+y 5,xy 6，求 x y11. (1)c3 c 22a 3a4a5a 51 2 2(2) a b 3ab a b4(3) x 3 x 1x x 2 12(4) x 1 x 1题型三：整式的乘法运算 5a ab b 22x 2 x 46. 用科学记数法表示下列各数：（1）0.00005127. 计算：（用科学记数法表示结果）（1） 9 10418 107(2)-0.0000071(2) 2 102 10 7 312. 30y 的值.2xy 的值.李甲数学让高分成为习惯2 213. x xy 2y x 7y 6 x 2y A x y B .求A李甲数学让高分成为习惯题型四：整式的除法运算 16. （ 1） 12a 3b 5c 23a 2b 318. 若x 取整数，则使分式的值为整数的x 值有 _____________ 个. 2x 1219. 若x13，则〒的值为 _____________________________ .xx x 114.若多项式x 22px 8和多项式x3x q 的乘积中不含x 3和x 2项，求p 和q 的值. 15.先化简，再求值:x y x 2y12 2x 3y x 2y ，其中 x2,y17.化简求值:25x 4y 4y 5x 4y5x ，其中 x 1,y 3.(2)21 2」4 4 a b c 3 1 ,3 2ab c-a 3b 2248。
专题16 整式的乘除(知识点串讲)(解析版)
专题16 整式的乘除【重点突破】知识点一整式乘法⏹单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：⏹单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。
（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
⏹多项式×多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。
多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
特殊多项式相乘（考点）①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【扩展】扩展一(公式变化)： ++2ab扩展二： + = 2(+ )- = 4ab扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【运用平方差公式注意事项】1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。
所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．知识点二整式除法⏹单项式÷单项式一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
北师大版七年级(下)数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义(含答案)
北师大版七年級（下）数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义（含答案）1、掌握单项式与单项式相乘的算理。
2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。
3、灵敏运用公式，简化计算。
1、单项式乘以单项式法那么：单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。
2、单项式乘以多项式的运算法那么单项式与多项式相乘，就是依据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.3、多项式乘以多项式法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探求多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个全体，应用分配律停止计算，这里再一次说明了全体性思想在数学中的运用。
4、幂的运算法那么：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即：nmnm aaa+=⋅〔m、n为正整数〕②幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：nmnm aa⋅=）（〔m、n为正整数〕③积的乘方等于把积的每一个因式区分乘方，再把所得的幂相乘。
即：nnn ba)ba(⋅=⋅〔n为正整数〕④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
n -m n m a a a =÷〔m>n ，m 、n 为正整数〕5、乘法的运算律：①乘法的结合律：〔a×b〕×c=a×〔b×c〕②乘法的分配律：a 〔b+c 〕=ab+ac1、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。
【例1】计算：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕; 〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕; 解：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕 = 〔2×13〕·〔x ·x 〕〔y 2·y 〕 = 23x 2 y 3; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕 =［〔－2〕·〔－3〕］〔a 2a 〕·b 3=6a 3b 3;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕 = 〔4×5〕·〔105×104〕=20×109=2×1010;留意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算相对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混杂，如2a 3·3a 2=6a 5，而不要以为是6a 6或5a 5.②相反字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.④单项式乘法法那么关于三个以上的单项式相乘异样适用.⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.练1、〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5;答案：〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5=［〔－3〕2 · 〔a 2〕2 ·〔b 3〕2］·［〔－1〕5 · 〔a 3〕5 ·〔b 2〕5］= 〔9a 4b 6〕·〔－a 15b 10〕= －9·〔a 4·a 15〕·〔b 6·b 10〕= －9a 19b 16;练2、〔－23a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕. 答案：〔－23 a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕 =［〔－23〕×〔－34〕×〔34〕］·〔a 2·a 〕〔b ·b 2〕〔c 3·c 5·c 〕 =16a 3b 3c 9【例2】一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它任务5×102秒，可做多少次运算？ 解： 〔4×109〕×〔5×102〕= 〔4×5〕×〔109×102〕= 20×1011 = 2×1012〔次〕答：任务5×102秒，可做2×1012次运算.练4、以下计算正确的选项是〔 〕A ．3a 2·2a 2=5a 2B ．2a 2·3a 2=6a 2C ．3a 2·4b 2=12a 2b2 D ．3a 3·4a 4=12a 12 练5、以下计算正确的选项是〔 〕 A ．5y ·4yx 2＝9x 3y 3B ．〔-2x 3y n z 〕〔-4x n+1y n-3〕=8x n+4y2n-3 C ．〔-x n-2y 2〕〔-xy m 〕2=-x n y2m+2 D ．〔-7a 2b 3〕〔5ab 2c 〕＝-2a 2b 6c 练6、假定〔a n bab m 〕5=a 10b 15那么3m 〔n+1〕的值为〔 〕A ．15B ．8C ．12D ．10答案： C D C2、单项式乘以多项式【例3】计算：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕; 〔2〕 〔32ab 2－2ab 〕·21ab; 〔3〕 －6x 〔x －3y 〕; 〔4〕 －2a 2〔21ab+b 2〕. 解：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕= 2ab ·〔5ab 2〕+2ab ·〔3a 2b 〕——乘法分配律= 10a 2b 3+6a 3b 2——单项式与单项式相乘〔2〕 〔23ab 2－2ab 〕·12ab = 〔23ab 2〕·12ab+〔－2ab 〕·12ab ——乘法分配律 =13a 2b 3－a 2b 2——单项式与单项式相乘 〔3〕 －6x 〔x －3y 〕= 〔－6x 〕·x+〔－6x 〕·〔－3y 〕——乘法分配律= －6x 2+18xy ——单项式与单项式相乘〔4〕 －2a 2〔12ab+b 2〕 = －2a 2·〔12ab 〕+〔－2a 2〕·b 2——乘法分配律 = －a 3b －2a 2b 2——单项式与单项式相乘 练7、计算：()2213266x x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 练8、计算：()223412a b ab ab -⨯ 答案：322221123x y x y xy -+ 32233648a b a b - 【例4】计算：6mn 2〔2－31mn 4〕+〔－21mn 3〕2.剖析：在混合运算中，要留意运算顺序，结果有同类项的要兼并同类项.解：原式=6mn 2×2+6mn 2·〔－31mn 4〕+41m 2n 6 =12mn 2－2m 2n 6+41m 2n 6 =12mn 2－47m 2n 6练9、计算()222++3m m m a a a a -+⋅ 练10、计算()()3225+-x x x x ⋅答案： 2+4m m a a + 3x【例5】ab 2=－6，求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值.剖析：求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值，依据题的条件需将ab 2的值全体代入.因此需灵敏运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.解：－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕= 〔－ab 〕·〔a 2b 5〕+〔－ab 〕〔－ab 3〕+〔－ab 〕〔－b 〕= －a 3b 6+a 2b 4+ab 2= 〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2当ab 2=－6时原式=〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2=［－〔－6〕］3+〔－6〕2+〔－6〕=216+36－6=246练11、假定〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕＝a 5·b 3那么m+n 的值为〔 〕 A ．1 B ．2C ．3D ．-3 剖析：先算等式的左边，再依据题意得m ，n 的方程组，将方程组整理后相加得出m+n 的值．解：由〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕=a 5·b 3得 a m+2n b 2m+n+2=a 5b 3所以⎩⎨⎧=++=+ ② ①32252n m n m ①+②得3m+3n=6 即m+n=2应选B3、多项式乘以多项式【例6】计算：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕 〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕 〔3〕〔x －y 〕2 〔4〕〔－2x+3〕2 〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕.剖析：在做题的进程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接应用法那么停止运算，而要应用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.解：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕 〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕=〔0.6－x 〕－x 〔0.6－x 〕 = 2x 〔x －y 〕+y 〔x －y 〕=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－2xy+xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2 = 2x 2－xy －y 2或 〔1－x 〕〔0.6－x 〕 或 〔2x+y 〕〔x －y 〕=1×0.6－1×x －0.6x+x ·x = 2x ·x －2x ·y+xy －y 2=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2〔3〕〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕 或〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕=x 〔x －y 〕－y 〔x －y 〕 =x ·x －x ·y －x ·y+y ·y=x 2－xy －xy+y2 =x 2－2xy+y 2 =x 2－2xy+y 2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕= 〔－2x+3〕〔－2x+3〕 = 〔xy+3x+2y+6〕－〔xy－2x+y－2〕= －2x〔－2x+3〕+3〔－2x+3〕 = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8= 4x2－12x+9评注：〔3〕〔4〕题应用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.〔5〕整式的混合运算，一定要留意运算顺序.练12、计算：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕; 〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕;〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕.解：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15=m2－4n2 = 2n2－n－15〔3〕〔x+2y〕2 〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕= 〔x+2y〕〔x+2y〕 = ax·cx+ax·d+b·cx+bd= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd= x2+4xy+4y2想一想：由计算失掉27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×〔2+1〕.换两个数84×86=7224异样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相反，个位数字之和为10的两位数的积能否也有这样的规律？剖析：依据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相反外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a，b，c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式的乘法，经过对结果变形，就可说明.解：设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a、b、c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式相乘的运算法那么可知，这两个数的乘积为〔10a+b〕〔10a+c〕=100a2+10a〔b+c〕+bc=100a2+100a+bc=100a〔a+1〕+bc结论：这个式子通知我们：求十位数相反，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数〔a+1〕，然后在乘积的前面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.【例7】计算：〔1〕32×38 〔2〕54×56 〔3〕73×77解：〔1〕3×〔3+1〕=12，2×8=16 〔2〕5×〔5+1〕=30，4×6=24∴32×38=1216 ∴54×56=3024〔3〕7×〔7+1〕=56，3×7=21∴73×77=56214、综合运用【例8】规律探求题〔1〕研讨以上等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你发现有什么规律？依据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明.〔2〕计算以下各式，你能发现什么规律吗？〔x－1〕〔x+1〕= .〔x－1〕〔x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x3+x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x4+x3+x2+x+1〕= .〔x －1〕〔x n +x n－1+…+x+1〕= .答案：〔1〕n 〔n+2〕+1=〔n+1〕2，证明略〔2〕x 2－1，x 3－1，x 4－1，x 5－1，…x n+1－1〔3〕A =987654321×123456789， B =987654322×123456788.试比拟A 、B 的大小.剖析：这么复杂的数字经过计算比拟它们的大小，十分冗杂.我们观察就可发现A 和B 的因数是有关系的，假设借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给处置效果带来方便.解：设a=987654321，那么a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，那么A=a 〔b+1〕=ab+a; B=〔a+1〕b=ab+b.而依据假定可知a>b 所以A>B.1. 以下各式计算正确的选项是〔 〕 〔A 〕()()2322623b a ab b a =-- 〔B 〕()()5321021106102⨯-=⨯⨯⨯-. 〔C 〕223222212b a b a b ab a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 〔D 〕()6332b a ab -=-2. 假定992213y x y x y x n n m m =⋅++-，那么n m 43-的值为〔 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕63. 假定()()1532-+=++kx x m x x ，那么m k +的值为〔 〕〔A 〕7- 〔B 〕5 〔C 〕2- 〔D 〕24. 化简()()()233232+---x x x 的结果是〔 〕 〔A 〕x 11 〔B 〕x 11- 〔C 〕12862+-x x 〔D 〕12-x5.如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是〔 〕〔A 〕()()x x 21026-- 〔B 〕()()x x x --106〔C 〕()()x x x 21026-- 〔D 〕()()x x x --10266. 假定72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，那么()c b a -⨯+)(的值为〔 〕〔A 〕36 〔B 〕72 〔C 〕108 〔D 〕7207. 032=-+a a ，那么()42+a a 的值是〔 〕〔A 〕9 〔B 〕12- 〔C 〕15- 〔D 〕18-8. 将〔1〕中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图〔2〕所示.依据这两个图形的面积关系，以下式子成立的是〔 〕〔A 〕()()22b a b a b a -=-+ 〔B 〕()2222b a b ab a +=++〔C 〕()2222b a b ab a -=+- 〔D 〕()222b a b a -=-9. 假定单项式m y x 26-与3131y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . 10. 32-=ab ，那么()=---b ab b a ab 352 . 11. 假定212=++a a ，那么()()=+-a a 65 .12.观察以上等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，那么第n 个等式可以表示为 ．13. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 那么这个多项式是 .14. ()()q x x px x +-++3822展开后不含2x 与3x 的项，那么=p ，=q .15. 数学家发明了一个魔术盒，当恣意数对()b a ,进入其中时，会失掉一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中失掉数n ，再将数对()m n ,放入其中后，失掉的数是 .16. 1km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭1.3×108 km 2煤所发生的能量，那么我国9.6×106km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭煤 千克.17. 计算：〔1〕3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab〔2〕()()()131312-++-+-x x x x x x 18. 先化简下面的代数式，再求值： )4()2)(2(a a a a -+-+，其中1+=πa .19. 解方程组：⎩⎨⎧-=-=-+123)4)(5(y x xy y x20. 下面是小明和小红的一段对话：小明说：〝我发现，关于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.〞小红说：〝不能够，关于不同的值，应该有不同的结果.〞在此效果中，你以为谁说的对呢？说明你的理由.21. ()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 有关，求y 的值.参考答案当堂检测1. D2. B3. A4. B5. C6. D7. A8. A家庭作业9. 642y x - 10. 21- 11. 2912. ()n n n n 222+=+13. 14223+-x x 14. 3=p ，1=q 15. 22m m -+ 16.1510248.1⨯17. 〔1〕3177910c b a 〔2〕12-x 18. 44a -，π4 19. ⎩⎨⎧==85y x 20. 原式化简的结果是2-，因此小明说的对.21. 96363--=+x xy B A 9)615(--=x y当15y-6=0，即52=y 时，其值与x 有关.。
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整式的乘除（讲义）
课前预习
1.整式的分类：
___________________________________⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
定义：数字与字母的乘积组成的代数式单项式系数：单项式前面的次数：所有字母的整式定义：几个单项式的和项：组成多项式的每个单项式次数：项的次数2.________________________________________________叫做
同类项；把同类项合并成一项叫做合并同类项；合并同类项时，________________________________________________．3.
乘法分配律：()a b c +=_______________．4.类比迁移：
老师出了一道题，让学生计算52x y x ÷．小聪是这么做的：
552
32x y x x x x x y x y x x y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅÷===⋅请你类比小聪的做法计算：22282m n m n ÷．
知识点睛
1.
单×单：_______乘以________，_________乘以________．2.
单×多：根据________________，转化为单×单．3.
多×多：握手原则．4.
单÷单：系数除以系数，字母除以字母．5.
多÷单：借用乘法分配律． 精讲精练1.①■342xy xy z ⋅=_______；②2323(2)x y x y ⋅-=_______；③231(4)2x y y ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭
______；④322(3)(2)a a -⋅-；⑤332(2)(2)x xy xy ⋅-⋅-．
2.①222(53)ab ab a b ⋅+______________________；②221232
ab c ab ab ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭____________________；③31(2)14a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭
_________________；④222(2)()x y xy -⋅=_________________________；⑤2222(3)x y z x x y -+-⋅=_________________________．3.计算：
①(34)(34)x y x y +⋅-；②()(321)m n m n -⋅-+；③(2)(32)m n m n --⋅-；④2(2)x y -；
“■”在不引起歧义的情况
下，单项式和其他单项式或
多项式运算时，本身可以不
加括号．
⑤()()a b c a b c +-⋅-+．
4.计算：
①2 56(13)x x x x --+；②210(23)(42)x x x --+．
5.①2212
a b c ab ÷=_____；②3532(3)(0.5)m n m n -÷-=______；③62(2)()xy xy -÷=______；④22(2)(_______)2a b a -÷=；⑤4348()()3a b a b ⎡⎤-÷-=⎢⎥⎣⎦
___________；⑥23243(2)(7)14x y xy x y ⋅-÷．
6.①532(46)(2)x x x -÷-=_____________；②2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭_______________；③234432214633ab a b a b ab ⎛⎫⎛⎫-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
___________________；④23222()(2)a b a b ab -÷=_____________；
⑤43522(2)()m n m n mn --÷=________________；⑥23(____________________)3231a a a ÷=-+-．
7.计算：
①423322223(3)(2)(2)4a b ab a b a b a b --⋅---÷；②322()(2)(48)(4)a b a b ab a b ab +-+-÷-；
③2222(1)(1)(2)a a a --++；④433222113()(2)22a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+÷--÷⋅+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．
【参考答案】
课前预习
1．数字因数；指数和；多项式；次数最高
2．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；
把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
3．ab +ac
4．4n
知识点睛
1．系数；系数；字母；字母
2．乘法分配律
精讲精练
1.
①248x y z ；②536x y -；③242x y ；④818a -；⑤7432x y 2.①10a 2b 3+6a 3b 2；②232213a b c a b -；③4122
a a +-；④44252x y x y -；⑤3234226x y x y z x y
--+3.①22916x y -；②22352m mn m n n ++--；③2262m mn n -++；
④2244x xy y -+；
⑤222
2a b bc c -+-4.
①32618x x x -+-；②2286x x ++5.
①2abc ；②36n ；③44 64x y ；④322a b ；⑤66a b -；⑥324x y -6.①323x x -+；②621x y -+-；③22312182a b a b --；④1144
b -；⑤232m n m --；⑥532
693a a a +--7.①424a b -；②223a ab b +-；③251a --；④4361
a a ---。