固体物理 晶体振动
固体物理学中的晶格振动和声子
固体物理学中的晶格振动和声子晶体是由原子、离子或分子组成的三维周期性结构，在固体物理学中起着重要的作用。
而晶体中的晶格振动是指晶体中原子的振动行为，它是固体物理学中的一个重要研究领域。
在这个领域中，声子是一种非常重要的概念，它可以用来描述晶体中各个原子的振动状态。
晶格振动是由于晶格结构的周期性而出现的。
当我们把晶体简化成最简单的一维线性链结构来研究，就可以更好地理解晶格振动的性质。
假设晶体中的原子按照一定的规则排列，形成一个周期性的结构。
当晶体中的原子发生微小的振动时，它会传递给相邻的原子，从而引起整个晶体的振动。
声子是晶体中的一种元激发，它描述了晶体中各个原子的振动状态，并且可以传递能量和动量。
在一维线性链结构中，我们可以通过人为设定边界条件来研究声子的行为。
假设链的两端被固定住，这意味着链中的第一个和最后一个原子不能移动。
在这种情况下，我们称之为固定边界条件。
根据固定边界条件，声子的振动模式可以分为两种类型，即长波动和短波动。
在长波动中，链中的每个原子振动的幅度大致相同，而在短波动中，链中的原子振动的幅度逐渐减小，直到最后一个原子完全不振动。
在晶体中，声子的振动模式可以更加复杂。
由于晶体的周期性结构，声子的能量和动量也有一定的限制。
根据晶体的对称性和周期性，声子的振动模式可以分为不同的类型，称之为晶格振动模式。
在固体物理学中，研究晶体中声子的行为是非常重要的，因为声子的能量影响了晶体的热传导性能，而声子的动量则影响了晶体的电导性能。
在研究晶体中的声子时，科学家们发现了一些有趣的现象。
例如，在一些特殊的晶体结构中，声子的能带结构会出现禁带。
这意味着在某些能量范围内，声子是无法存在的。
这种现象与电子在固体中的行为非常相似，因为晶体中的声子和电子都具有波粒二象性。
这种禁带结构对于理解固体的热传导性和光学性质都是非常重要的。
此外，声子还可以与其他凝聚态物理中的激发类似，例如声子与电子之间的相互作用。
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动晶格振动是固体物理学中一个重要的研究课题，涉及到材料的结构、热力学性质以及电子传输等多个方面。
晶格振动指的是晶体中原子的振动行为，这种振动是由原子间的相互作用引起的，形成了固体的稳定结构。
晶格振动的研究与材料的热传导性能密切相关。
晶格结构中的原子通过弹性束缚力相互作用，形成了周期性的振动。
这些振动可以看作是一连串的微小位移，沿着晶格的方向传播。
振动的传播速度和强度影响了材料的导热性能。
热导率是材料导热性能的一个重要指标，与晶格振动密切相关。
因此，研究晶格振动对于理解热传导机制以及开发高效热电材料具有重要意义。
晶格振动还涉及到材料的光学性质。
尤其是在光电子学和半导体器件中，晶格振动的研究对于理解材料的光学响应和能带结构具有重要意义。
晶格振动可以通过散射实验来研究，如X射线散射和中子散射等技术。
借助于这些实验手段，研究人员可以探测晶格振动的频率、强度以及耦合效应。
晶格振动的理论基础是固体物理学中的晶格动力学理论。
根据这个理论，晶格振动可以视为离散的荷质点在周期势场中的运动。
通过数学方法可以得到晶格振动的频率和振动模式等信息。
晶格动力学理论也可以用来解释晶格振动的热力学性质，如热容和热膨胀等。
从实际研究的角度来看，现代固体物理学中涌现了许多晶格振动的相关研究领域。
一个重要的研究方向是声子学，它研究的是固体中的声子，即晶格振动的量子态。
声子学的实验技术既包括晶格振动的散射实验，也包括通过激光和超导器件等手段产生和探测声子的方法。
另一个研究领域是热声学，它研究的是晶格振动和热传导之间的相互作用。
热声学研究的对象是晶体中热激励所引起的声学振动，从而揭示了热力学和声学性质之间的联系。
此外，也有一些新颖的研究方向在固体的晶格振动领域获得了突破性的进展。
例如，超导态材料中的相场调控、拓扑绝缘体中的表面声子等。
这些研究不仅提供了新的理论认识，也为应用领域的发展提供了基础。
总的来说，固体物理学中的晶格振动是一个广泛而具有深度的研究领域。
固体物理学中的晶体结构与晶格振动
固体物理学中的晶体结构与晶格振动晶体是由周期性重复排列的原子、离子或分子构成的固体。
通过研究晶体的结构与振动，我们可以深入了解物质的性质和行为。
在固体物理学中，晶体结构与晶格振动是两个重要的研究方向。
晶体结构是描述晶体中原子、离子或分子的排列方式和空间组织的学科。
晶体结构的研究可以通过实验手段来确定，最常用的方法是X射线衍射。
X射线衍射可以通过测量衍射花样来确定晶体中的原子排列方式和空间组织。
通过这种方法，科学家们可以揭示出晶体的对称性、晶胞参数和晶格类型等信息。
晶体结构的研究不仅有助于我们深刻理解晶体的性质，还可以帮助我们设计新材料和改进现有材料的性能。
例如，通过调控晶体结构，可以改变材料的电导率、机械性能和光学性质等。
因此，晶体结构的研究对于材料科学和工程具有重要意义。
除了晶体结构，晶格振动也是固体物理学的重要研究方向之一。
晶格振动是指晶体中原子、离子或分子在平衡位置附近做小幅度运动的现象。
晶格振动可以分为声子振动和电子振动两种类型。
声子是晶体中描述振动的基本单位，可以看作是晶体中的一种输运粒子。
声子的能量和动量由晶格结构决定，其振动方式对应着不同的振动模式，如纵波和横波。
通过研究晶格振动，我们可以了解声子的能量传播、散射等现象，从而揭示出晶体的热传导、热膨胀等性质。
另一方面，电子振动也是固体中特有的振动现象。
晶体中的电子在晶格的周期性势场中做振动运动，形成了能带结构。
通过研究电子振动，我们可以了解材料的导电性、光学性质等，这对于电子器件设计和光电材料的开发具有重要意义。
晶体结构与晶格振动之间有着紧密的联系。
晶体的结构对晶格振动的模式和能量传播起着决定作用。
例如，晶体的对称性会影响声子的能带结构和振动模式的个数。
另一方面，晶格振动也会影响晶体的结构稳定性和相变行为。
因此，通过研究结构与振动之间的关系，可以深入理解晶体的物理性质以及相变现象。
在实际应用中，固体物理学中的晶体结构与晶格振动在各个领域都有重要的应用。
固体物理中的晶格振动
固体物理中的晶格振动在固体物理学中，晶格振动是研究材料内部结构和性质的重要手段。
晶体是由无数个原子组成的，而原子的振动不仅决定了晶体的力学性质，还直接关系到热学、电学等性质的表现。
本文将深入探讨固体物理中晶格振动的原理和应用。
晶体中的原子按照规则的空间排列形成晶格。
这种排列使得晶体具有高度有序、周期性和对称性。
而晶格振动则是指晶体中原子在其平衡位置附近的微小振动。
晶格振动可以分为转动模式和拉伸模式。
在转动模式中，原子围绕平衡位置进行微小的旋转运动；而在拉伸模式中，原子在平衡位置附近的距离发生微小变化。
这些振动是固体物质独特的振动特性，不同原子种类和晶格结构会导致其振动频率和能量发生变化。
固体物理学家通过研究晶格振动的性质，可以了解材料内部结构的细节。
振动频率和能量的变化可以揭示材料中的缺陷、杂质和界面等。
例如，固体材料中存在位错，即晶格中原子的错位。
位错会导致晶格振动的局部异常，通过分析其振动特征可以精确地确定位错的位置和性质。
同样地，晶格振动也可以用于研究材料中的相变、相互作用等物理过程。
晶格振动还与材料的热学性质密切相关。
根据热学理论，温度越高，晶格振动的振幅越大。
这就是为什么在高温下，晶体结构会变得不稳定，甚至融化。
晶格振动还可以解释材料的热膨胀性质。
当材料受热膨胀时，原子的振动增大，导致晶格的空间结构变化，进而导致材料体积的改变。
除了晶格振动对于材料内部结构的研究，它也在纳米技术和光电子学中扮演着重要角色。
在纳米领域，由于晶格振动的限制，材料的热传导性能和机械强度可能会发生显著改变。
这对于纳米材料的设计和应用具有重要意义。
而在光电子学中，晶格振动可以直接与光学性质相联系。
例如，在光利用设备中，声子振动可以散射光子，从而影响光的传播。
这种相互作用为光场调控和信息处理提供了新的思路。
晶格振动不仅对于固体物理研究有重要影响，还具有实际应用价值。
例如，晶格振动可以用于材料的热导率测量，这对于研发新型高导热材料和热管理技术至关重要。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理3-1 晶体振动与热学性质
α , β = 1,2,3
l, l′ = 0,1,2, , N 1
μα(l)和μβ(l’)分别是第l和第l’个原子沿α和β方向的位移。
2U Cαβ (l, l′) = = Cβα (l′, l ) μα (l )μ β (l′) 0
力常数
第l个原子的运动方程：
1 E j = n j + hω j 2
n j = 0,1,2,L
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 hω j为 单元交换能量。 声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不 能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只 是一种准粒子。 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
ω(q) ω+(0)
ω=c0q ω+
0
q
对于实际晶体， ω＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在ω ≈ ω＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
μn 2m cos( 1 aq )e 2 = ν ( M m ) M 2 + m 2 + 2 Mm cos(aq ) n
N+1 1 2 n N N+2 N+n
μ
N +n
=μ
=1
n
Ae
i [ ωt ( N + n ) nq ]
= Ae
i ( ωt naq )
e
iNaq
ei 2π h ≡ 1) (
h =整数
2π ∴q = h Na
2π 在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 Na
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理 第三章 晶格振动
1 2 T = ∑q 2 i =1 i
3N •
3.1晶体中原子的微振动 3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能U (qi ) 按 qi 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 ∂U 1 ∂ 2U U = U0 + ∑ ( ) 0 qi + ∑ ( ) 0 qi q j + 高阶项 ∂q i 2 ij ∂qi ∂q j i 其中 U 0 = 0 平衡位置处的势能为零势能点
xn = x N + n
又 : xn = Ae
i ( kna − ωt )
又 − π < k ≤ π s = − N + 1,− N + 2⋯⋯ N 共有N个取值 ： a a 2 2 2
=1 e ⇒ 2π ⋅ s， = N+ 2π ,− π + 2 2π ,..., π 有N种均匀分布的分立取值 种均匀分布的分立取值 a L a L a 2π L 间隔∆k = ，密度 ，第一布里渊区倒格点数N。 L 2π
, ( l =1, 2, ⋯ 3N )
Ql = Ql0 sin(ωl t + α 1 )
1 ε l = (Q l + ωl2Ql2 ) 2
• 2
能量量子化
1 εl = (nl + )hυl 2
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一、简谐近似
du 1 d 2u u( x) ≈ u( x0 ) + ∆x + (∆x)2 2 dx r0 2 dx x
3.1晶体中原子的微振动 声子 3.1晶体中原子的微振动 晶格振动模式
质量加权坐标下： 质量加权坐标下：
•• 3N
↔
独立的谐振子
↔
声子
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3.2 晶格振动的量子化－声子
参考黄昆书3.1节（p79-82）及p88-92Kittel 书 4.3和4.4 两节一. 简谐近似和简正坐标
二. 晶格振动的量子化
三. 声子
一.简谐近似和简正坐标：
从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。
本节采用简正坐标重新处理。
（见黄昆书p79-82）N 个原子组成的晶体，平衡位置为
，偏离平衡位置的位移矢量为：'()()
n n n R t R u t =+n R ()
n u t 所以原子的位置表示为：
晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以用3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述。
由于简正坐标Q
是各原子位移量的某种线性组合，所以一个简正
i
振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的运动。
由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动常被称作晶体的一个振动模。
N个原胞，每个原胞n个原子的晶体总共有3nN种振动模。
或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。
引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力学的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的。
显然，一旦找到了简正坐标，就可以直接过渡到量子理论。
每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的，所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶格振动的最基本的特征。
从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位被称为声子（Phonon ）。
这是晶格振动量子理论最重要的结论。
在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修正了这个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。
i ω
声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体－－晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量量子化的特点。
这种高度抽象化出概念是固体物理的一大特征，他们被称作元激发（Elementary excitation）
元激发方法就是把有强相互作用的多粒子体系化成准粒子的气体问题来处理的一种方法,元激发正是针对着我们各种不同物理问题提出来得一类准粒子.
固体物理中的元激发很多,如能带中的电子、空穴、等离激元、极化子、磁振子、声子等. 现代固体理论都是建立在这套处理方法之上的
声子是固体中重要的元激发。
三. 声子：
声子是晶格振动的能量量子。
声子具有能量，也具有准动量，它的行为类似于电子或光子，具有粒子的性质。
但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。
我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实体的概念称为准粒子。
所以，声子是一种准粒子。
而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原胞（每个原胞有n个原子）组成的三维晶体，有3nN 种格波，即有3nN种声子。
当一种振动模式处于其能量本征态时，称这
种振动模有n
i 个声子。
i
ω
i
q
i
ω
◆引入声子概念后，对于由强相互作用的原子的集体运动状态——晶格振动的每一个格波，便可看作是由数目为能量为的理想声子组成，而整个系统则是由众多声子组成的声子气体。
引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。
例如：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。
声子的能量是，动量是。
又例如：热传导可以看成是声子的扩散；热阻是声子被散射等等。
使许多复杂的物理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大好处。
i n i ω i
ω q
◆
但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。
()()
h q q G ωω=+即从物理上看，他们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。
但在处理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时，
又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。
q
思考题:
1.何谓声子？试将声子的性质与光子做一比较，在比较中加
深对声子的理解。
2.在一定温度下，一个光学模式的声子数目多，还是一个声
学模式的声子数目多？
3.同一个振动模式，温度低的时候声子数目多，还是温度高
的时候声子数目多？
4. 从晶体Si 晶格振动色散关系的实测曲线（黄昆书p102）判
断，是光学支的态密度大，还是声学支的态密度大？
5. 声子的数目是否守恒？高温时，频率为ω的格波声子数目
与温度成何关系？
6. 晶体在绝对零度时，还有声子（或问还有格波）存在吗？。