云南省玉溪一中分校2015届高三高考冲刺卷理科数学试题

玉溪一中分校高三理科数学综合检测一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,4}A =，{4,5}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}5B ．{}4C ．{}1,2D ．{}3,52．已知非零向量a 、b 满足a b = ，那么向量a b + 与向量a b -的夹角为A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 3．61()2x x-的展开式中第三项的系数是 A ．154-B ．154C ．15D ．52-4．圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A ．250x y --=B ．210x y --=C ．20x y --=D ．40x y +-=5．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是1,45则该单位员工总数为 A ．110 B ．100 C ．90 D ．806．右边程序框图的程序执行后输出的结果是A ．24B ．25C ．34D ．357．设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 8．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°9. 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为A ．24B ．22±C ．24±D ．3210．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是 A ．①②③ B ．②③④C ．①③D ．②④11. 已知函数()f x =(3)5, 1.2,13a x x a x -+≤⎧⎪⎨>⎪⎩是(,)-∞+∞上的减函数。

那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]12. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64B ．1-或214C ．74-或25-64D ．74-或7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．i 是虚数单位，1ii=+__________。

14．如图所示几何体的三视图，则该三视图的表面积为__________。

15．若x ,y 满足条件32x y y x +≤⎧⎨≤⎩，则12log (23)z x y =+的最小值是__________。

16．给出下列四个命题：（1）函数2(11)x y x =-≤≤的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上的所有点向右平移3π个单位长度；（3）当0n =或1n =时，幂函数n y x =的图象都是一条直线；（4）已知函数()2log ,0212,22x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc的取值范围是()2,4。

其中正确结论的序号是__________。

（把正确命题的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为S n 。

已知12a =，142n n S a +=+。

（1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。

18．某市教育局责成基础教育处调查本市学生的身高情况，基础教育处随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图所示：甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 88159（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （2）计算甲班的样本方差；（3）现从各班最高的5名同学中各取一人，求甲班同学身高不低于乙班同学的概率。

19．如图，在三棱锥P ABC -中，2,90,,AC BC ACB AP BP AB ==∠===,PC AC ⊥点D 为BC 中点；（1）求二面角A PD B --的余弦值；（2）在直线AB 上是否存在点M ，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由。

PABCD20．如图，(1,1)S 是抛物线为22(0)y px p =>上的一点，弦SC ，SD 分别交x 轴于A ，B 两点，且SA = SB 。

（1）求证：直线CD 的斜率为定值；（2）延长DC 交x 轴于点E ，若||1||3EC ED =，求cos 2CSD ∠的值。

21．已知函数ln (),()xf x kxg x x==（1）若不等式 ()()f x g x =在区间1(,)e e内的解的个数；（2）求证：555ln 2ln 3ln 1...232n n e++<。

23．已知曲线C 1的参数方程为2x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线C 2的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+（1）将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.24．已知关于x 的不等式2271x x +≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，求实数a 的最小值；玉溪一中分校高三理科数学综合检测理科数学参考答案13．1122i + 14．16+15．-3 16．①④三、解答题 17．（本小题满分12分）（1）证明：由已知得12142a a a +=+，解得28a =，12124b a a =-=。

又有2211142(42)44n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=+-+=- 所以21122(2)n n n n a a a a +++-=-，即12n n b b +=因此数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列。

……6分 （2）解：由（1）得等比数列{}n b 中14b =，2q = 所以1112422n n n n n b a a -++=-=⨯=，11122n nn na a ++-=， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，2n na n =，2nna n =⋅ ……12分 18．（1）由茎叶图可知：乙班平均身高较高; ………………………………………………3分 （2）15816216316816817017117917918217010x +++++++++==……………5分甲班的样本方差为()()()()()()22222221[(158170)16217016317016817016817017017017117010-+-+-+-+-+-+-()()()222179170179170182170]=57.2+-+-+- ………………8分p =2411555⨯+⨯=1325………………12分19．（1）∵,,AC BC PA PB PC PC === ∴PCA PCB ∆≅∆ ∴PCA PCB ∠=∠∵PC AC ⊥ ∴PC CB ⊥ ∴PC ⊥平面ACB 且PC CA CB ，，两两垂直，……1分故以C 为坐标原点，分别以,,CB CA CP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，PABCD(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,2)C A D P ∴(1,2,0),(1,0,2)AD PD =-=-设平面PAD 的法向量(,,)n x y z =∴0n AD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴(2,1,1)n = ……3分 平面PDB 的法向量(0,2,0)CA =∴cos ,n CA <>= 分设二面角A PD B --的平面角为θ ，且θ为钝角∴cos θ= ∴二面角A PD B --的余弦值为……6分 （2）法一：存在，M 是AB 中点或A 是MB 中点；……7分设(,2,0)()M x x x R -∈ ……8分 ∴(,2,2)PM x x =--∴1cos ,6PM <=……9分 解得1x x =或=-2 ……10分 ∴(1,1,0)M 或 (2,4,0)M -∴在直线AB 上存在点M ，且M 是AB 中点或A 是MB 中点，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16；……12分 法二：存在，M 是AB 中点或A 是MB 中点；……7分 设,(2,2,0)(2,2,0)()AM AB AM R λλλλλ==-+-∈则∴(2,22,2)PM PA AM λλ=+=--∴1cos ,6PM <=……9分 解得1λλ=或=-12……10分 ∴M 是AB 中点或A 是MB 中点； ∴在直线AB 上存在点M ，且M 是AB 中点或A 是MB 中点，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16； ……12分20．解：（1）将点（1，1）代入px y 22=，得 12=p∴ 抛物线方程为x y =2 ---- 1分设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线，),(11y x C与抛物线方程x y =2 联立得：012=-+-k y ky ---- 2分k y 111=+∴111-=∴ky )11,)1((22--∴kk k C …… 3分 由题意有SB SA =，k SB -∴的斜率为直线)11,)1((22--+∴kk k D ……4分21)1()1(11112222-=+--++-=∴k k k k k k K CD……5分 （2）设)0,(t EEC = )11,)1((31)11,)1((2222---+=---∴k t k k k t k k)11(3111--=-kk 2=∴k ……- 7分12-=∴x y SA 的方程为直线 ----8分)0,21(A ∴同理)0,23(B ----10分532cos cos 222=⋅-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD …… 11分2571cos 22cos 2-=-∠=∠∴ASB CSD …… 12分 21．解：（1）由()()x g x f =，得2ln xxk =。