2-2函数的极限
合集下载
第二节函数的极限
1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B， 定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近 有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改 为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的 定义.相应地记作
x x0
证 任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取 ，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向 于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的 某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义 设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任 意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当0 x x0 时有
2-2极限(3)
m>n m=n m<n
∞ an bm ≠ 0 ) ( ∞
注意 涉及无穷大的极限问题 ( ±∞ ) + ( ±∞ ) ( ±∞ ) − ( ±∞ ) ∞⋅∞ ∞ = ∞ 有界量即可 A+ ∞ + ∞ 肯定型） （肯定型） A A ⋅ ∞ ( A ≠ 0) 极限存在 0 ln x 2 lim lim lim =∞ 例 x → 0+ ln x = −∞ ⇒ x → 0 ( x + ln x ) = ∞ , x → 0
存在 可推广至有限个的情形 ，则
★由lim C = C，可得 lim C f ( x ) = C lim f ( x ) n n lim f x ★ lim f ( x ) = lim f ( x )
证明： 利用极限基本定理． 证明： 利用极限基本定理．
x → x0
lim α ( x ) = lim β ( x ) = 0
x → x0
x → x0
lim α ( x ) + β ( x ) = 0
注意
无限多个无穷小的和未必是无穷小. 无限多个无穷小的和未必是无穷小.
定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
除非
须区别对待． 须区别对待． 【例7】 lim x →∞
lim
2 x arctan x x + ( arctan x )
→∞
ln G ， ∀ G > 0 ，若使 | q |> G， 得 n > ln | q | ln G 取 N= ． 则当n > N时, 成立 | q n |> G． ln | q | lim q n = ∞． 说明数列 {q n } 发散． 发散． 即
函数的极限 (2)
x0−δ< <x0, 有|f(x)−A|<ε。. −δ<x< − ε
x→x0
： < − ε lim+ f (x) = A⇔∀ε >0,, ∃δ >0,, ∀x： x0<x<x0+δ , 有|f(x)−A|<ε .
x→x0
lim f (x) = A⇔ lim− f (x) = A 且 lim+ f ( x) = A
x →∞
y A+ε y=f (x)
11
A
.
A−ε
.
−X
O
X
x
例6. 证明 .
1 lim = 0 x →∞ x
首 页 上 页 下 页 尾 页
1 1 分析: 分析: | f ( x) − A|=| − 0|= x | x|
∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 | x |> − <ε 证明: 因为∀ 证明: 因为∀ε >0, ∃ ,
6
有| f(x)−A| −
x 2 −1 =| − 2| x −1
=|x−1|<ε , − <
x 2 −1 所以 lim =2 x →1 x −1
首 页
上 页 下 页
尾 页
单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
, , . .
1
ε
x →∞
形的水平渐近线 。
首 页
上 页 下 页
尾 页
二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性 定理 函数极限的唯一性) 函数极限的唯一性 如果极限 lim f (x) 存在, 那么这极限唯一. 存在, 那么这极限唯一.
2-2极限
ε
lim an = a : 当 n 无限增加时， an 无限趋近于 a． 无限增加时， n →∞
，
ε 1 N= 对给定的 ε > 0 , 能找到 , 当 n > N时, 有 | an − 4 |< ε
定义4：给定数列 定义 ：给定数列{an}，如果存在数 a， ，
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
为单调递增数列； 若对一切 n 恒成立 a n < a n +1，就称 {a n } 为单调递增数列；
若对一切 n 恒成立 a n > a n+1， 就称 {an } 为单调递减数列；
单调上升数列与单调下 降数列统称为单调数列 ．
问题: 问题: 如何用数学语言刻划 “无限趋近”. n→ ∞ 1 例如 an = 4 + −−→ 4 n 分析： 意味着可以在序列中走得足够远 分析： n → ∞ 意味着可以在序列中走得足够远 an 无限趋于 4， 意味着 | an − 4 | 可以小到我们所愿意的程度 可以小到我们所愿意的程度 1 由 | an − 4 | = 可见只要 n 充分大就能够保证 | an − 4 | 任意小． 任意小． n 1 0.1， 比如给定 0.1，欲使 | an − 4 | < 0.1 ，只要n > = 10 0.1 0.0001， 给定 0.0001，欲使 | an − 4 | < 0.0001 ，只要 n > 10000 一般地，对于给定的任意小的正数 ε ，欲使 | an − 4 |< ε 一般地， 1 只要 n > ，即
(3) 0, 1, 0, 2,L , 0, n,L an =
(4)
lim an = a : 当 n 无限增加时， an 无限趋近于 a． 无限增加时， n →∞
，
ε 1 N= 对给定的 ε > 0 , 能找到 , 当 n > N时, 有 | an − 4 |< ε
定义4：给定数列 定义 ：给定数列{an}，如果存在数 a， ，
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
为单调递增数列； 若对一切 n 恒成立 a n < a n +1，就称 {a n } 为单调递增数列；
若对一切 n 恒成立 a n > a n+1， 就称 {an } 为单调递减数列；
单调上升数列与单调下 降数列统称为单调数列 ．
问题: 问题: 如何用数学语言刻划 “无限趋近”. n→ ∞ 1 例如 an = 4 + −−→ 4 n 分析： 意味着可以在序列中走得足够远 分析： n → ∞ 意味着可以在序列中走得足够远 an 无限趋于 4， 意味着 | an − 4 | 可以小到我们所愿意的程度 可以小到我们所愿意的程度 1 由 | an − 4 | = 可见只要 n 充分大就能够保证 | an − 4 | 任意小． 任意小． n 1 0.1， 比如给定 0.1，欲使 | an − 4 | < 0.1 ，只要n > = 10 0.1 0.0001， 给定 0.0001，欲使 | an − 4 | < 0.0001 ，只要 n > 10000 一般地，对于给定的任意小的正数 ε ，欲使 | an − 4 |< ε 一般地， 1 只要 n > ，即
(3) 0, 1, 0, 2,L , 0, n,L an =
(4)
二次函数极限
二次函数极限二次函数是高中数学中的一个重要概念。
在学习二次函数的过程中，我们会接触到二次函数的极限。
本文将详细介绍二次函数极限相关的知识，包括极限基本概念、求解方法以及应用实例。
一、极限基本概念极限是微积分的重要概念之一。
对于一个函数而言，当自变量趋于某个特定的值时，函数的值是否也趋于某个特定的值，这个特定的值就是函数的极限。
在二次函数中，极限的求解可以通过函数的图像来进行理解。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当 x 的值逐渐接近某个特定的值x_0 时，我们可以观察 f(x) 的变化趋势。
如果 f(x) 的值趋近于一个常数L，那么我们可以说 f(x) 在 x_0 处存在极限 L，记作 lim_{x->x_0} f(x)= L。
在图像上就是说，当 x 靠近 x_0 时，函数图像在 x_0 处有一个水平的渐近线。
二、求解二次函数的极限方法对于二次函数，我们可以采用以下方法来求解其极限。
1. 利用函数的图像：通过画出函数的图像，我们可以直观地看出函数在某个特定值处的极限。
对于二次函数，我们可以观察函数图像在接近该特定值时的变化趋势，从而确定极限。
2. 代数运算法则：对于二次函数，我们可以利用代数运算法则进行极限的求解。
根据极限的性质，我们可以将二次函数分解为一次函数的和或积的形式，然后求解各个部分的极限。
3. 极限定理：对于二次函数，我们可以利用极限定理进行极限的求解。
常用的极限定理有夹逼定理、无穷小定理以及洛必达法则等。
利用极限定理可以简化极限的计算过程，提高求解效率。
三、二次函数极限的应用实例二次函数极限在实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用实例。
1. 物理问题：二次函数极限可以用来求解物理问题中的速度、加速度等相关量。
例如，一辆汽车在起步时的速度随时间的变化可以用二次函数模型来描述，通过求解极限可以确定汽车起步时的最大速度。
2. 经济问题：二次函数极限可以用来求解经济问题中的利润、成本等相关量。
2-1,2-2极限的定义
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
x x0
时,函数极限的直观定义
当x x0 时 , 若 f ( x)无限接近与常数A, 则称A为函数 f ( x)在x0处的左极限,记为
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：
(1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等；
(3) 左、右极限中至少有一个不存在.
找找例题！
例
x2 1 求 f ( x) 2 x 1
x 1 x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3
, ;
3
n ( 1) n
3 ,
}
3 , , 3
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
例10
设
x 2 1, f ( x) x 1,
x 1 , x 1
2
求 lim f ( x ) 。
x 1
解
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
lim f ( x ) 2
f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.
二 函数极限
定理 若 lim f ( x) A
(5) lim[ f ( x)] [lim f ( x)] =A
k k
K
用极限四则运算法则时应注意： 1、法则的前题条件是
lim f ( x) A lim g ( x) B 都存在，商的极限分母不能为零； 2、对于加法、乘法运算可以推广到有限个函数 的情形；
可任意小），则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x 时
的极限或说 f ( x) 当 x 时， 以 A 为极限。 记作：
lim f ( x) A 或 x f ( x) A( x )
f ( x) A x 值仅为正的时，记作 xlim 若所考虑的 x 值仅为负的时，但 x 无限增大
若所考虑的
f ( x) A 时 ，记为 xlim
例：
1 lim 0 x 1 x
lim arctgx x 2
lim arctgx x 2
lim sin x
x
函数值在 [ 1,1] 之间跳跃，
不能无限接近任何常数，所以该极限不存在 。
（二）、 当
x0
定义：如果当 x 从 x0 的右侧（大于 x0 ）趋向 于 x0 时，函数 f ( x ) 趋向于某个定数A，则称A为 函数 f ( x )的在 x0右极限 。记为
x x0
或 f ( x) A( x x0 ) lim f ( x ) A
同样可以定义左极限
定义：如果当 x 从 x0 的左侧（小于 x0 ）趋向
lim f ( x) A
准则2. 单调有界数列必有极限
（二）、两个重要极限
sin x 1 1、 lim x 0 x 1 x 2、 lim(1 ) e x x 1 y 当 x 时 y 0 令 x 1 1 x lim(1 ) lim(1 y ) y e x y 0 x
d2_2函数的极限与极限运算法则
17
§2.3
极限的性质与运算法则
1、极限的性质 2、运算法则
18
一、变量的极限
定义3.1 对于任意给定的正数 ，在变量y 的变化过程， 总有一个时刻，在那时刻之后，恒有
| y A | 成立, 则称变量y在此变化过程中以A为极限。
记作: lim y A 例:
lim c c
19
x 4x 2 lim 4 0 x 2 x 6 x 2 1 4 x 3x 2 lim 2 x 3 x 6 x 1
3 2
0, m n 结论 , m n a0 b , m n 0
例7．
2 x5 5x 3 2 2 lim 5 x x 6 x 1
3
3
lim( x 1)
3
lim( x 5x 3)
x 2
x 2 2
2 1 7 3 3
23
2x 3 例３求 lim 2 x 1 x 5 x 4 解 分母极限 lim( x 2 5 x 4) 1 5 4 0
分子极限 lim( 2 x 3) 2 3 1
lim( x 1) ?
x 1
x 1 且x 1 直观可看出： x 1 x 1 且x 1
如图
y
２
A
１
x
4
时,函数 f ( x ) 的极限 １、当 x x0
x “当 x 无限接近于 x0 (但不等于 0 ) 时函数 f ( x )无限接近常数A”
定义2.4
证明：
x0
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为当x≠1时， f (x)=(2x2－2)/(x－1)=2(x＋1)=2x－2,
此时，当x→1时，函数f (x)=2(x+1)的值无限趋近于4 （见图）.
4
y=2x+2
对上面的例子再作进一步地分析．
2
要能使|f(x)－4|任意小，也就是说，
对于任意给定的正数ε（无论多么
-1 1
小），
当x≠1时， 要使
y
y f ( x)
x0 x0 x
f ( x) M .
M A O
M
3. 保号性 定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0) f ( x ) 0.
( f ( x ) 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) ( A) 则在对应的邻域 上 即 0 , 当
§2.2函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第二章
本节内容 :
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、函数极限的性质
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量趋向无穷大（记为x→∞）是指|x|无限增大，
（记为x→+∞） 它包含两方面： 一是x＞0,且|x|无限增大 ，
（记为x→－∞）. 二是x＜0, 且|x|无限增大 ，
解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
y x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x
2
O
x
(3) lim arctan x 不存在. x
2
f ( x) A 的充分必要条件是 定理1 lim x
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
二、自变量趋于有限值时函数的极限
1．当x→x0时，函数f (x)的极限
考察当x→1时，函数f (x)=(2x2－2)/(x－1)的变化趋势，
三、函数极限的性质
性质1(唯一性) lim f ( x ) 存在， 则其极限是唯一的. 若极限 x x
0
性质2(局部有界性) lim f ( x) A, 则存在常数M＞0和δ＞0， 若 x x 使得当 x U x0 , ( x0 , x0 ) 有
0
( x0 , x0 ) 时，
x 1 2 x 1
因此
2
x2 1 lim 2 x 1 x 1
2．函数 f ( x ) 在 x0 处的左右极限
定义5 如果当x从x0的左侧趋于x0 (记作 x x
函数f (x)当 x x 时的左极限， 记为
lim f ( x) A 或者 f x 0 A. 0 x x
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
内容小结
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义及应用 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1 当x→∞时，考察 y f ( x) 1 的变化趋势． x 1 可以看出当当x→∞时， y f ( x) 1 x
的值无限接近于常数1，则称常数1为该函数 当 x→∞时的极限.
定义1
若当x→∞时， 函数f (x)的值无限接近一个常数A， 则称常数A为函数f (x)当x→∞ 时的极限， 记作
A A A
y
y f ( x)
( 0)
x0 x0 x
推论 . 若在
的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
( A 0)
假设 A < 0 , 则由定理 1, 与已知
证: 用反证法.
存在
的某去心邻域 , 使在该邻域内 (同样可证 f ( x) 0 的情形)
则称常数 A 为函数
x x0
在点
当
的某去心邻域内有定义 ,
时的极限, 记作
若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A
lim f ( x) A 或
当 时, 有
即 几何解释: y A A A
O
x0－δ
y f ( x)
y
O
1 y x
x
1
,
因此 注:
两种特殊情况 :
x
lim f ( x) A
0 , X 0 , 当 f ( x) A
时, 有
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
lim f ( x) A
x
或者 f ( x) A (x ).
用精确的“ε－X”数学语言定义 f ( x ) A (x )如下：
定义1′ . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
x X 或x X
0 , X 0 ,
A 为函数
x0
y y=1 O y=x x
lim f ( x) lim x 0. x 0
x 0
f ( x) lim f ( x) 即有 xlim 0 x 0
所以当x→0时， 函数f (x)的极限不存在．
例5. 给定函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 O 1 x y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
x
lim f ( x) A
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
1 例1. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x
故 0 , 欲使 取X 只要 就有
例如，
1
都有水平渐近线 y 0.
1 x
1 x
例2 考察下列极限是否存在：
(1) lim arctan x;
x
(2) lim arctan x;
x
(3) lim arctan x.
x
解 (1) lim arctan x ; x
2
y
2
(2) lim arctan x ;
0
lim f ( x) A 的充分必要条件是 定理2 x x
0
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
x, x 0, 讨论当x→0时， 例4 设 f ( x) 1, x 0. 函数f (x)的极限是否存在．
解
x 0
1 lim 1 lim f ( x )
2
2x 2 f x 4 4 2( x 1) 4 2 x 2 , x 1
2 x 1 ,
只要 x 1
取
2
2
即可．
,
则对于满足不等式 0 x 1
的一切x， 总有不等式|f(x)－4| ＜ε成立．
所以，我们有
定义4 . 设函数
x0 x0+δ x
例1. 证明
证:
f ( x) A
时,
故 0 , 对任意的 0 , 当 总有 因此
例2. 证明 证:
0 , 欲使
取
只要
x x0 时, 必有
, 则当 0
因此
例3. 证明 证:
f ( x) 2
时, 必有
故 0 , 取 , 当
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 2. 设函数 f ( x) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
0
0 )时，
对应的函数f (x)的值无限接近于一个常数A， 则称A为
0
如果当x从x0的右侧趋于x0 (记作 x x 函数f (x)当 x x 时的右极限， 记为
lim f ( x) B 或者 f x 0 应的函数f (x)的值无限接近于一个常数B， 则称B为