2021高考数学一轮复习课时作业34基本不等式文
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业34
课时作业(三十四) 一元二次不等式A 级1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1} 3．(2012·济宁模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )＜6的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜2}C ．{x |x ＞3或x ＜－2}D ．{x |x ＞2或x ＜－3}4．(2012·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a2x －4＜2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)6．(2012·长春模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．7．不等式|x －2|－|x －1|＞0的解集为________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________. 9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)axx －2＞1(a ＜1)．11．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17，(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？B 级1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定2．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N ＋在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案课时作业(三十四)A 级1．C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2,1)．2．C 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．A ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x . 又∵f (－x )＜6，∴(－x )2－x ＜6， 即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.4．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞a 2x －4＜2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a 2＋1x ＜2a ＋4，由题意得a 2＋1＜2a ＋4， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5．C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 6．解析： 由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4. 答案： {a |a ＞4或a ＜－4}7．解析： 原不等式等价于|x －2|＞|x －1|，则(x －2)2＞(x －1)2，解得x ＜32.答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 8．解析： 由已知得1，m 是ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，且a ＞0， ∴a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 又1＋m ＝6a ，∴m ＝2.答案： 29．解析： 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20.答案： 2010．解析： 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或x ＜－1，－2≤x ≤3.如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3}． (2)原不等式可化为(a －1)x ＋2x －2＞0，因为a ＜1，所以a －1＜0.故原不等式化为x ＋2a －1x －2＜0，等价于⎝⎛⎭⎫x ＋2a －1(x －2)＜0.当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2＜x ＜21－a ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪21－a ＜x ＜2. 11．解析： (1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.B 级1．C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1得a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．解析： 由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案： (－∞，－1]3．解析： (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0 或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]． (2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.。
新教材新高考一轮复习人教B版 第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质 作业
第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质基础夯实练1．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b解析：选B 由题意知a >|b |，当b ≥0时，a >b ，当b <0时，a >－b ，且a >0>b .综上可知，当a >|b |时，a >b 成立，故选B.2．(2021·绵阳南山中学月考)若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a <b ，则ac >bc D ．若a <b ，则1a >1b解析：选B 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，排除A ；当c ＝0时，ac ＝bc ，排除C ；当a <0，b >0时，1a <1b，排除D ；由不等式的基本性质可知，B 正确．故选B.3．(2021·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( ) A ．b <ab <a 2b B ．a 2b <ab <b C ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <ab解析：选D 因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.4．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．ac 2<bc 2 C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2解析：选D 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <ab ，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab ，且ab >b 2，故D 正确，故选D.5．条件甲：a >b >0，条件乙：1a <1b ，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab <0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，条件乙成立不一定有条件甲：a >b >0成立．所以甲是乙成立的充分不必要条件，故选A.6．(2021·陕西西安质检)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.7．(多选题)若不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数a 的取值可以是( )A ．－43B.12C.43D ．0解析：选BCD 由|x －a |<1可得a －1<x <a ＋1，它的充分不必要条件是13<x <12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12是{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤a ≤43.8．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a >b >1,0<c <1，则下列不等式成立的是( )A ．c a >c bB ．ac <bcC ．log c a >log b cD ．ba c <ab c解析：选D 对于A 项，由a >b >1,0<c <1知，c a <c b ，所以A 项错误；对于B 项，由a >b >1,0<c <1知，ac >bc ，所以B 项错误；对于C 项，由a >b >1,0<c <1知，log c a <log c b ＝1log b c ，无法判断log c a 与log b c 的大小，所以C 项错误；对于D 项，由a >b >1,0<c <1知，a c －1<b c －1，则ab ·a c －1<ab ·b c －1，即ba c <ab c ，所以D 项正确．故选D.9．能够说明“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________.解析：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，故可以取a ＝－1，b ＝－2.答案：－1，－2(答案不唯一)10．已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是________. 解析：8x·⎝⎛⎭⎫12y＝(23)x ·(2－1)y ＝23x －y .设3x －y ＝A (x ＋y )＋B (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，A －B ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝2.所以3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )．由题意，得1≤(x ＋y )＋2(x －y )≤7，即1≤3x －y ≤7，所以21≤23x －y ≤27，即2≤23x －y ≤128.所以8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是[2,128]． 答案：[2,128]综合提升练11．(2021·北京通州期末)第38届世界遗产大会宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则此次游船行程的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( )A.v >v 1＋v 22B.v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22D.v ≥v 1＋v 22解析：选C 设两码头之间的距离为s ，则v ＝2ss v 1＋s v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，∴v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－(v 1＋v 2)22(v 1＋v 2)＝－(v 1－v 2)22(v 1＋v 2)<0(v 1≠v 2)， ∴v <v 1＋v 22.故选C. 12．(多选题)(2021·重庆巴蜀中学开学考试)下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a >b >0且c <0，则c a 2>c b 2D ．若a >b 且1a >1b，则ab <0解析：选BCD 对于A 项，当c ＝0时，不等式ac 2>bc 2不成立，所以A 项是假命题．对于B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0，得a 2>ab .由⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0，得ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，所以B 项是真命题．对于C 项，由a >b >0得a 2>b 2>0，所以0<1a 2<1b 2.因为c <0，所以c a 2>cb 2，所以C 项是真命题．对于D 项，由1a >1b ，得1a －1b >0，所以b －a ab >0.因为a >b ，所以b －a <0，所以ab <0，所以D 项是真命题．故选BCD.13．(多选题)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln(b －a )>0D.⎝⎛⎭⎫a b c >⎝⎛⎭⎫b a c解析：选BD 由函数y ＝x －1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，所以A 项错误．由函数y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，所以B 项正确．由a <b <－1，得b －a >0.但不确定b －a 与1的大小关系，所以ln(b －a )与0的大小关系不确定，所以C 项错误．由a <b <－1，得a b >1,0<ba <1.而c >0，所以⎝⎛⎭⎫a b c>1>⎝⎛⎭⎫b a c >0，所以D 项正确．故选BD.14．(多选题)(2021·浙江温州七校期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2解析：选BC 对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.15．(多选题)(2021·山东聊城期末)已知a >b >1，给出下列不等式：①a 2>b 2；②a －b >a －b ；③a 3＋b 3>2a 2b ；④a ＋1b >b ＋1a.其中一定成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选ABD 因为a >b >1，所以a 2>b 2，故①正确；若a －b >a －b 成立，则a－b >a ＋b －2ab 成立，即ab >b 成立，即a >b >0成立，该条件显然成立，故②正确；取a ＝2，b ＝32，则a 3＋b 3＝8＋278<2a 2b ＝12，故③错误；若a ＋1b >b ＋1a 成立，即a －b ＋1b －1a >0成立，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0成立，该式显然成立，故④正确．故选ABD. 16．设m ＝e 43＋1e 44＋1，n ＝e 42＋1e 43＋1，则m ________n .(用“>”，“<”填空)解析：∵m －n ＝(e 43＋1)2－(e 42＋1)(e 44＋1)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 86＋1＋2e 43－e 86－e 42－e 44－1(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)＋(e 43－e 44)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 42(e －1)＋e 43(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)<0，所以m <n .答案：<17．若a >b >0，给出以下几个结论： ①b a <b ＋5a ＋5； ②lga ＋b 2<lg a ＋lg b2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________.(请填写所有正确结论的序号)解析：因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5(b －a )a (a ＋5)<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．答案：①③18．为了满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为________种．(2)市场建成后，所有店面全部租出，为了保证任何一种建设方案平均每间店面的月租费不低于每间蔬菜水果类店面的月租费的90%，则x 的最大值为________.解析：设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为a ，b .(1)由题意得0.85×2400≥28a＋20b ≥0.8×2400.化简，得480≤7a ＋5b ≤510.又a ＋b ＝80，所以480≤7a ＋5(80－a )≤510，解得40≤a ≤55.所以a ＝40,41，…，55，共16种．(2)由题意得0.8b ＋ax 80≥0.9x .所以0.8b ＋(80－b )x ≥72x ，所以x ≤ 0.8b b －8＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8b －8.因为b max ＝80－40＝40，所以x ≤0.8⎝⎛⎭⎫1＋832＝0.8×54＝1，即x 的最大值为1.答案：(1)16 (2)1。
2021届高考数学一轮复习第二章不等式第4节绝对值不等式及其应用含解析
第4节 绝对值不等式及其应用考试要求 1。
理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a .知 识 梳 理1。
绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x ｜<a 与｜x ｜>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a（－a ，a ） ｜x ｜〉a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R（2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ;②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .（3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2。
含有绝对值的不等式的性质（1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立；(2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|；（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。
［常用结论与易错提醒］1。
绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。
2。
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。
3。
可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2-2基本不等式及其应用教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的不等式问题【含解析】
(2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.
【解析】(2)设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.
于是 g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当 a>ln 2-1 时,g'(x)的最小值为
g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0,
于是对任意 x∈R,都有 g'(x)>0,
(2)求证:当 x>0】(2)由(1)知,f(x)=2x+xln x,
令 g(x)=f(x)-(4x-3)=xln x-2x+3,
则 g'(x)=ln x-1,
由 ln x-1>0 得 x>e,由 ln x-1<0 得 0<x<e,
故 g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
2025 年高考数学一轮复习课时作业-导数的不等式问题 【原卷版】(时间:45 分钟 分值:40 分)
1.(10 分 ) 已 知 函 数 f(x)=ax+xln x, 且 曲 线 y=f(x) 在 点 (e,f(e)) 处 的 切 线 与 直 线 4x-y+1=0 平行. (1)求实数 a 的值; (2)求证:当 x>0 时,f(x)>4x-3. 【加练备选】
所以 g(x)在 R 上单调递增,
于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0).
又 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0,
即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.
2021届高考数学复习压轴题训练基本不等式含解析
基本不等式一、单选题解：（法一）11112x x y +=++可变形为311332x x y+=++， 所以11313132(42)[(33)(2)][(33)(2)]()22223322x y x y x x y x x y x x y +=+=+++-=++++-++ 13(2)333131[4](4223322222x y x x x y ++=++-+-=++，当且仅当233x y x +=+即x =，12y =- （法二）原式可得212x x y x+-=，则2131131122222222222x x x y x x x x x +-+=+=++⨯=，当且仅当3122x x=，即x ==”故选：C ．解：a ，b R ∈，2a b +=． 则2222222112111()a b a b a b ab +++=+++++ 22222()226242(1)1()2()52()(1)4a b ab ab ab a b ab ab ab ab ab +-+---===++-+-+-+，令21(2)1(1)0t ab a a a =-=--=--， 则2242(1)42(1)44ab tab t ---=-++，令42(4)t s s -=，即42st -=， 可得2242432(4)4844ts s t s s -==-++-+， 由3232282s s s s+=当且仅当s =2t =-可得44328288s s-+- 则221111a b +++， 故选：C ．解：设2x s +=，4y t +=，则67s t x y +=++=，即7s t +=，且1x y +=． 则222222(2)(4)448164164824x y s t s s t t s t x y s t s t s t---+-++=+=+=+-++-++ 41641641641612127125s t s t s t s t s t s t=+++-=+++-=++-=+- (7s t +=41611641164151164151)5(416)5()2777777s t s t s t s t t s t s t s +-=+++-=+--=， 当且仅当164s t t s =时，即73s =，143t =时，等号成立， 故选：B ．解：2m n +=，0m >，0n >， (1)(2)5m n ∴+++=，即(1)(2)15m n +++=，∴23(1)1(2)11111121212m n m n m n m n m n +++++++=+=+++++++++ 11(1)(2)2()125m n m n +++=++⨯++ 21212()5512n m m n++=+++++ 1212112112214()551255555n m m n ++=+++⨯=+=++， 当且仅当2112n m m n ++=++，即3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， ∴当3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2312m n m n +++++取得最小值145． 故选：B ．的最小值为( ) 解：224240a ab b c -+-=， ∴2215()4416c b a b =-+，由柯西不等式得，222222156[()][2][2()]|2|416415b ba b a b a b-++-=+故当|2|a b+最大时，有4462ba-=，32a b∴=，210c b=，∴22234534511211()(2)2310222a b c b b b b bb-+=-+=-=--，12b=时，取得最小值为2-．故选：C．A．2 B．4 C．6 D．16 解：令2x b=-，2y a=-，则原式2222(2)(2)(2)(2)2y x y xxy x y++++=+=(2xy+(22216xy=．当且仅当2x y==时取等号．故选：D．的最小值为()解：直线l 的方程为235x y +=，点(,)P a b 在l 上位于第一象限内的点， 可得235a b +=，a ，0b >，可得4106a b =-，(35)b <， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 116[(116)(96)]()2011696b b b b =-+++-+ 1966(116)726(7)201169620b b b b +-+=++-+，当且仅当966(116)11696b b b b+-=-+时，即b =，a =， 故选：C ．解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121x xx y x y +=+++， 122242x x x xx x x x +-=+=+--， 12115()2442424x x x x -=+++⨯=-， 当且仅当242x xx x-=-即23x =时取等号； ②当0x <时，1||1()2||121x xx y x y +=-+++， 121213()()1224244244x x x x x x x x x x x x -+---=-+=+=-++-+=-----，当且仅当242x xx x--=--即2x =-时取等号． 综上可得，最小值34故选：C ．最大值为( )解：由22290a b b c -+-=，可得2229c a ab b =-+， ∴222211119922949222ab ab a b a b ab c a ab ba bb a abb a====+--++--， 当且仅当9a bb a=时，即当3a b =时，等号成立， 此时2222229(3)23912c a ab b b b b b b =-+=-⨯⨯+=，所以，22231123112121(1)11312a b c b b b b b b+-=+-=-+=--+， 当且仅当1b =时，等号成立，所以，3112a b c+-的最大值为1． 故选：C ．10．若0a >，0b >，1ab a b =++，则2a b +的最小值为( )解：由1ab a b =++，可得(1)1a b b -=+，得11b a b +=-，由于0a >，0b >，则1b >， 所以，1(1)2222222212(1)322(3711111b b a b b b b b b b b b b +-++=+=+=++=+-+=-----，当且仅当22(1)11b b b ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩时，即当2b =时，等号成立，因此，2a b +的最小值为7，故选：D ．解法一：0a >，1b >-，且1a b +=，∴2221a b a b +++ 22111b a a b -+=+++ 2111a b a b =++-++ 212f a a=+=-（a ），02a <<， f ∴（a ）121142[(2)]()(21)2222a aa a a a a a -=+-+=+++--142(3)22a aa a -=++- 14(23)2a -=． 当且仅当422a aa a-=-时取等号， 故2221a b a b +++． 故选：A ．解法二：0a >，1b >-，且1a b +=，∴2221a b a b +++ 22111b a a b -+=+++ 2111a b a b =++-++ 212f a a=+=-（a ），02a <<，f ∴'（a ）2221(2)a a =-+=-令f '（a ）0>，得42a -<，f （a ）单调递增，令f '（a ）0<，得04a <<-f （a ）单调递减，∴当且仅当4a =-f （a ）取得极小值即最小值，(4f -==．ξ 故选：A ．解：根据题意，148x y x y +=++，则2144()(8)()58()x y x y x y x y x y y x+=+++=++++， 变形可得：24()8()5x yx y x y y x+-+-=+， 又由4424x y x y y x y x+⨯，则有：2()8()90x y x y +-+-，设t x y =+，又由x ，0y >，则0t >，则有2890t t --， 解可得9t 或1t -， 又由0t >，则9t ， 则x y +的最小值为9； 故选：B ．)A ．2B ．4C ．6D ．8解：m ，(0,)n ∈+∞．若2m m n =+．则201n m n =>-，解得1n >． 则22222224222(1)242222()2(1)(1)m n n n n n n f n m n n n n n --+--=+--=+=--． 322334(332)4(2)(1)()(1)(1)n n n n n n n n f n n n -+---+'==--，令()0f n '，解得2n ，可得2n =，4m =时，()f n 取得最小值时，6m n +=． 故选：C ．14．已知a ，(0,1)b ∈，不等式20ax x b ++对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使解：由题意，不等式20ax x b ++对于一切实数x 恒成立，可得△0，即140ab -；存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立，则△0，即140ab -，41ab ∴=，消去b ，即1218422111414441a y ab a a a a =+=+=++------ 4121(4441)(4144)2443413a a a a a a =-+-⨯+-+-⨯+-- 14(41)2(44)142(6)242843444133a a a a --=++++⨯=+--． 当且仅当4(41)2(44)4441a a a a --=--取等号． 故选：B ．15．设0a b c >>>，则2244269()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是( ) A ．4 B ．5C ．25D ．8解：2244269()a ac c ab a a b ++-+- 2244(3)()a c a ab ab ab a a b =-+-+++- 244(3)()()a c ab a a b ab a a b =-+++-+- 0448++=，当且仅当30a c -=，2ab =，()2a a b -=时等号成立， 故选：D ．16．已知实数a ，b ，c 满足222231a b c ++=，则2a b +的最大值是( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：实数a ，b ，c 满足222231a b c ++=，22021a b ∴+，令cos a r θ=，sin b θ=，[0θ∈，2)π，01r ．则2cos sin )sin()3a b r θθθθθϕ+=+=++，∴故选：A ． 二、多选题17．在ABC ∆中，三边长分别为a ，b ，c ，且4abc =，则下列结论正确的是( ) A ．224a b ab <+B ．4ab a b ++>C ．224a b c ++>D ．4a b c ++<解：对于A ，224a b ab <+，即224a b ab -<，也就是()4ab a b abc -<=，ABC ∆中，0ab >，a b c -<，则()ab a b abc -<成立，故A 正确；对于B ，2221)11)1ab a b ab ab+++-=+-，当a b =时，不等式取“=”，此时244c ab a ==，a b c +>，即242a a>，得a >，22222ab a b ab a a a ++=+=++>+3232)(1.25) 2.5 4.06254>+=+=>，故B 正确；对于C ，222224a b c a bc abc +++=>，故C 正确；对于D ，边长为1，2，2的三角形，满足4abc =，当54a b c ++=>，故D 错误． 故选：ABC ．A ．7B ．8C ．9D ．10解：因为a ，0b >且21a b +=， 所以193a b a b +++29(2)3a b a b a b a b ++=+++6(3)33a b a a b ba b a b++++=+++ 3163a b a b a b =+++++373a ba b a b =++++2222343734a ab b a ab b ++=+++ 22222342734a ab b b a ab b +++=+++2222834b a ab b =+++ 因为0a >，0b >，所以2222034b a ab b >++，所以22228834b a ab b +>++，因为2222222222222(34)6868881010343434b a ab b a ab a aba ab b a ab b a ab b++--++=+=-<++++++， 综上，198103a b a b<+<++， 所以193a b a b+++的值不可能是7，8，10． 故选：ABD ．19．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是( ) A ．1a b c ++= B ．1ab bc ca ++< C ．c 的最大值为1D ．a 的最小值为1-解：由2221a b c ++=，可得：2221b c a +=-， 即22()21b c bc a +-=-．由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得(1)(1)a bc b c abc ---+=， 化为：1a b c ab ac bc ++=+++，(1)(1)bc a b c ∴=-+-，代入22()2(1)(1)1b c a b c a +--+-=-，即22()2(1)()2(1)10b c a b c a a +--++--+=即22()2(1)()(1)0b c a b c a ++-++-=2(1)0b c a ∴++-=，1a b c ∴++=，1b c a ∴+=-，222()2b c b c+∴+， 22(1)12a a-∴-化为：23210a a --，解得113a -．a ∴的最小值为13-，同理可得c 的最大值为1，1a b c ++=，1a b c ab ac bc ++=+++，0ab ac bc ∴++=，故选项ABC 正确，D 错误， 故选：ABC ．20．已知a ，b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有( )14ab 2ab32ab2b解：对于A ，a ，b R +∈且1a b +=，2()144a b ab +∴=，当且仅当12a b ==时，等号成立，即选项A 正确；对于B ，令t ab =，则104t<， 11y ab t ab t ∴=+=+在(0，1]4上单调递减， 111721444y∴+=>，即选项B 错误； 对于C ，1a b +=，∴111212122()()21323a b b a b a b a ab a ab a b a b a b a ++=+=+=+⋅+=+++++当且仅当2b aa b=，即a 时，等号成立， ∴11322a ab++，即选项C 错误；对于D ，21(11224a b a b ab +=++=++⨯=，∴2b ，即选项D 正确．故选：AD ． 三、填空题解：2=，0a b ∴+>且22()a b +=，即0a b +>且2()84()11a b a b b +=++++，211112a b a b a b +++++=++，当且仅当a b =时取“= “，2()84()4(2)a b a b a b ∴++++++，当且仅当a b =时取“= “，即2()8()160a b a b +-+-，解得：442a b ++，当且仅当2a b ==+= “，又8110a b ++，2()84()11a b a b b +=++++，2()84()a b a b ∴+++，当11a b =-⎧⎨>⎩或11b a =-⎧⎨>⎩时取“= “，解得：223a b ++，当且仅当13a b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩13b a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩= “，()4max a b ∴+=+()2min a b +=+故答案为：4+2+解：2bca b c a++=， 22a ab ac bc ∴++=，22a abc b a+∴=-， 0c >，20b a ∴->，解法一：设2b a t -=，则0t >，2b t a =+；∴23939393939333(2)32373373(2)27aa t a a a t ab ct at a a t ta t====+++⨯++++++，当且仅当t a =时成立； ∴393ab c+的最大值为3． 解法二：由20b a ->，得2ba>， ∴393939393331232a b c b a b b b c b a a a b a ab a a===+++++-+-；设bx a=，则2x >， 所以1333()3313(2)723(2)767132222x f x x x x x x x x x +=+=++=-++-+=+=----， 当且仅当3x =时取等号，∴39393313a b c =+，即393ab c+的最大值为3． 故答案为：3．0)a b ，则a 解：若2312(0)ab a b +=，则0a ，0b ，有基本不等式1223223a b a b =+，（当且仅当3a =，2b =时“=”成立），得06ab ， 又由22(23)12a b +=，得224914412a b ab +=-，令229494y a b =+++， 则222222222229(4)4(9)497212(18)(9)(4)4936(18)24(18)288b a a b ab y a b a b a b ab ab +++++-===+++++---+， 令18t ab =-，则，121818ab -，21224288ty t t =-+，(1218)t ，则22212(288)(24288)t y t t -'=-+，令0y '=，得t =t =-（舍去），∴当[12t ∈，时，0y '>，当t ∈18]，0y '<∴函数21224288ty t t =-+，在区间当[12，上单调递增，在区间当，18]上单调递减，∴当t =y ， 又因为，当12t =时，1y =，当18t =时，65y =，615<， 所以，y 的最小值为：1故答案为：1．13b a，则解：由13b ，13a ，可得13ab ，由13b，13a ，b a ，11a ，1b a ，1ba， 则2211211a b a b a bab b a ab b a+-=+--=，当且仅当1a b ==取得最小值1；设f （a ）221a b =+-，13b a，可得f （a ）的对称轴为a =，b <，f （a ）在3b a 递增，1时，可得f 取得最大值；当13a ，且1<时，由f （1）22(32)(3220f b b b b -=---+=-<-<，则f 取得最大值232b b -+，由13b a ，可得1b =时，g （b ）取得最大值0，则f （a ）0，所以2213a b ab+-，综上可得，221a b ab+-的取值范围是[1．故答案为：[1．解：0x >，0y >，则3322224224628249109xy xy x y xy x y x y x x y y ++=++++22222338()8()39()410x y x y y x y x x y x y y x y x++==++++，可令3x yt y x=+，可得23t ， 则222226288494xy xy t x y x y t t t+==++++，由4y t t=+在23t 递增，可得44232t t ++=， 可得838483t t⨯=+当且仅当x =时，上式取得等号， 则2222629xy xyx y x y +++解：令3b c x +=，84c a y +=，32a b z +=，则111386a x y z =-++，1312164b x y z =-+，11161612c x y z =+-，所以代数式961936113147()()()222384324882164264848248a b c y x y z x z b c c a a b x y z y z x ++=-++++++-+⨯+⨯+⨯=+++．当且仅当::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立．故答案为：4748．解：根据题意，21(2)(2)55x x y x y =-++，21(2)(2)55y x y x y =+--，则222222212111[(2)(2)][(2)(2)](2)(2)555555x y x y x y x y x y x y x y +=-++++--=-++，又由221691(2)(2)x y x y +=-+，则22222222221169116(2)9(2)149[(2)(2)]()[25](255(2)(2)5(2)(2)55x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+=-++⨯+=⨯++⨯+=-+-+，当且仅当222216(2)9(2)(2)(2)x y x y x y x y +-=-+时等号成立，即22x y +的最小值为495； 故答案为：495．。
数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)
数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。
小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。
1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
2023年高考数学(文科)一轮复习——基本不等式及其应用
第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
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课时作业34 基本不等式[基础达标]一、选择题1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以． 答案：C2．[2020·北京101中学统考]“a >0”是“a ＋2a≥22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a >0时，由基本不等式易得a ＋2a ≥22成立；当a ＋2a ≥22时，得a 2－22a ＋2a≥0即a －22a≥0，所以a >0，所以“a >0”是“a ＋2a≥22”的充要条件，故选C 项．答案：C3．[2019·湖北荆门一中期中]函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4，故选B 项．答案：B4．[2020·陕西西安铁路一中月考]下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：若a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2<4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确．答案：D5．[2019·山东烟台期中]已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x＋14y 的最小值为8，故选B 项．答案：B6．[2019·北京通州区期中]设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q 解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b2，∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，∴f (ab )<f (a ＋b2)，又f a ＋f b2＝ln ab <ln(a ＋b2)，∴f a ＋f b2<f (a ＋b2)，∴p ＝r <q ，故选C 项．答案：C7．[2020·辽宁沈阳联考]若a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则14a ＋19b 的最小值为( )A.125 B ．5 C.2536D ．25 解析：由已知得，14a ＋19b ＝（14a ＋19b ）·(a ＋b )＝14＋19＋b 4a ＋a 9b ≥1336＋2b 4a ·a 9b ＝2536，当且仅当a ＝35，b ＝25时取等号，所以14a ＋19b 的最小值为2536，故选C 项．答案：C8．[2019·贵州贵阳一中期中]已知a >0，b >0，则b ＋12a＋a ＋12b的最小值为( )A ．4B ．7.5C ．8D ．16解析：∵a >0，b >0，∴b ＋12a≥4b a ，a ＋12b≥4a b ，∴b ＋12a＋a ＋12b≥4b a＋4ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴b ＋12a＋a ＋12b的最小值为8，故选C 项．答案：C9．[2020·黑龙江哈尔滨二十六中月考]对任意实数x ，若不等式4x －m ·2x＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，2]D ．[－2,2]解析：∵4x－m ·2x＋1>0，∴m ·2x<4x＋1，∴m <2x＋2－x，∵2x ＋2－x≥2，∴要使对任意实数x ，原不等式恒成立，则需m <2，故选A 项．答案：A10．[2020·内蒙古鄂尔多斯月考]设函数f (x )＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则a ＝( )A ．4B ．3 C. 2 D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立得a ≥1；又由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1.故选D 项． 答案：D 二、填空题11．设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．又∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 答案：9212．[2020·上海普陀区月考]设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b ) （3a ＋2b ）＝2a b ＋3ba＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5.答案：26＋513．[2020·黑龙江鹤岗一中月考]已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－[－(y ＋12)＋12－(y ＋12)]≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－ 2.答案：12－ 214．[2020·湖南五市十校联考]已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b－12c的最大值为________．解析：∵a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，∴a 2＋9b 2≥6ab ，当且仅当a ＝3b 时等号成立，∴0≥6ab－2ab －c ，∴4ab ≤c ，∴ab c ≤14，∴c ＝12b 2，∴3a ＋1b －12c ＝2b －1b 2＝－(1b －1)2＋1≤1，∴3a ＋1b－12c的最大值为1.答案：1[能力挑战]15．“节能减排，绿色生态”为当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该公司每月能否获利？解析：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该公司每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]， 所以S ∈[－80 000，－40 000]， 故该公司每月不获利．。