整式整除
整式的除法笔记
整式的除法笔记
1.定义：
整式除法是将一个整式（被除数）除以另一个整式（除数）的过程，其结果是一个整式或商式。
2.基本法则：
当两个整式相除时，我们可以将其视为分数的形式，即被除数/除数。
例如，对于整式A和B，A ÷ B 可以表示为A/B。
3.多项式除以单项式：
当我们有一个多项式除以一个单项式时，可以将其视为多项式的每一项分别除以该单项式。
例如，对于多项式3x^2 + 4x + 5 和单项式x，结果为3x + 4 + 5/x。
4.除法与乘法的关系：
整式除法与整式乘法是互为逆运算。
这意味着，如果我们有一个整式A除以另一个整式B得到商C，那么A可以表示为B与C的乘积。
5.余数与除式：
当整式除法不能整除时，会有一个余数。
例如，对于多项式5x^2 + 3x + 2 和单项式x+1，商为5x - 2，余数为4。
6.长除法：
当被除数和除数都是多项式时，我们通常使用长除法来找到商和余数。
这种方法类似于我们在小学时学习的长除法，但应用于整式。
7.注意事项：
o确保在除法过程中，除数的每一项都不能为0。
o当整式除法得到的结果是一个多项式时，注意结果的每一项的系数和指数。
o注意余数的存在，它可以帮助我们验证除法的正确性。
8.应用：
整式除法在代数、方程求解、多项式函数等领域都有广泛的应用。
它帮助我们简化复杂的表达式，找到多项式的根，以及解决各种与多项式相关的问题。
理解整式的概念及其除法规则——初中数学教案
理解整式的概念及其除法规则——初中数学教案初中数学教案一、教学目标1.理解整式的概念2.掌握整式的运算法则3.了解整式的除法规则二、教学内容1.整式的概念2.整式的加减乘除法运算3.整式的除法规则三、教学过程1.整式的概念整式是由有限个常数和变量乘方以及在这些乘方中所产生的积之和组成的代数式。
整式中的变量可以取任何实数值。
例如：3x²+5x-2就是一个整式。
在这里需要说明的是，整式中的常数和变量乘方是可以合并的。
例如：3x²+2x²可以合并得到5x²。
这个在后面的讨论中会用到。
2.整式的加减乘除法运算整式的加减乘运算法则相对来说比较简单，这里就不过多赘述了。
需要意的是整式的加减乘运算法则需要掌握熟练，因为这是后续的讨论的基础。
整式的除法运算稍微有点复杂。
下面是整式除法运算的步骤：（1）首先将除式与被除式均按照降幂顺序排列。
（2）将两个多项式之间次数较高的项作为除式的第一项。
（3）将除式的第一项乘以一个某个数k，得到与被除式第一项同阶次的多项式，其中k为某个常数，可以通过整除法得出。
（4）将刚才得到的多项式减去被除式的第一项的倍数。
这时会得到一个新的多项式，再把它与前面的除式进行比较，即判断是否满足降幂排列。
（5）如果不满足降幂排列，那么回到步骤3从新计算，否则进行下一步。
（6）重复以上过程，直到被除式为常数或是次数小于除式。
（7）将最后得到的商式和余式写成形如$被除式=除式\ast商式+余式$的形式。
下面用一个例子说明整式的除法运算假设我们要计算以下整式的除法：$x^4-2x^3+3x^2-x+2$÷$x^2-x+1$我们现在首先将除式和被除式按照降幂排列:$x^4-2x^3+3x^2-x+2$,$x^2-x+1$。
然后将除式的最高项$x^2$与被除式$x^4$的最高项进行除法运算。
因为$x^4$÷$x^2=x^2$,所以我们将除式的$x^2$乘以2，得到2$x^2$，然后将被除式$x^4$减去2$x^2$x$x^2$，得到$x^2-2x+2$。
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
六年级下整式知识点
六年级下整式知识点整式指由常数、变量和它们的积、和及差组成的代数式。
在六年级下学期，我们将学习一些与整式相关的知识点。
下面我将为大家详细介绍这些知识点。
一、整式的定义及基本概念整式是由常数、变量及它们的积、和及差构成的代数式。
整式中的常数又称为常数项，变量及其系数的乘积又称为单项式。
例如，3x²+5x-2就是一个整式，其中3x²、5x和-2分别是单项式。
二、整式的加法和减法整式的加法可以理解为对应项相加，减法则是对应项相减。
当对应的项不存在时，保持不变。
例如，(3x²+5x-2) + (-2x²+4x+1) = (3-2)x² + (5+4)x + (-2+1) = x² + 9x - 1。
三、整式的乘法整式的乘法需要将每一项相乘，并按照指数的规律处理。
具体来说，通过乘法法则可知，单项式相乘时，其系数相乘，指数相加。
例如，(3x+4)(2x-1) = 3x * 2x + 3x * (-1) + 4 * 2x + 4 * (-1) = 6x² - 3x + 8x - 4 = 6x² + 5x - 4。
四、整式的除法整式的除法就是通过因式分解找到最简单的形式，可以基于整除关系进行简化。
例如，将12x²y-8xy²+4xy进行因式分解，可得4xy(3x-2y+1)。
五、整式的乘方整式的乘方是指对整式自身进行连乘的运算。
例如，(2x-3)² = (2x-3)(2x-3) = 4x² - 6x - 6x + 9 = 4x² - 12x + 9。
六、整式的因式分解整式的因式分解指将整式拆分为更简单的乘积形式。
例如，2x²- 8x = 2x(x-4)。
七、整式的公因式和最大公因式整式的公因式指能够同时整除整式中的每一项的因式。
最大公因式是公因式中次数最高的那个。
例如，对于12xy+16x，其公因式为4x，最大公因式为4x。
整式除法法则公式(一)
整式除法法则公式(一)整式除法法则公式1. 一次整式除法法则公式一次整式除法法则公式用于两个一次整式相除的情况，其公式为：被除式 = 除数× 商 + 余数例如：将被除式3x+5除以除数x+2。
首先，我们找到被除式中与除数的首项3x相乘后，得到3x2+6x。
然后，我们将其减去被除式，得到(3x2+6x)-(3x+5)=3x2+6x-3x-5=3x2+3x-5。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式3x2+3x-5中没有与除数x+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x2+3x-5作为余数。
因此，将被除式3x+5除以除数x+2的结果为商3与余数3x^2+3x-5。
2. 二次整式除法法则公式二次整式除法法则公式用于两个二次整式相除的情况，其公式为：(被除式) = (除数) × (商) + (余数)例如：将被除式2x^2+5x+3除以除数x+3。
我们首先找到与除数首项2x相乘的结果2x3+6x2，然后将其减去被除式，得到(2x3+6x2)-(2x2+5x+3)=2x3+6x2-2x2-5x-3=2x3+4x2-5x-3。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式2x3+4x2-5x-3中没有与除数x+3的次数匹配的项，因此将剩余的2x3+4x2-5x-3作为余数。
因此，将被除式2x2+5x+3除以除数x+3的结果为商2x与余数2x3+4x^2-5x-3。
3. 多次整式除法法则公式多次整式除法法则公式用于两个多次整式相除的情况，其公式与二次整式除法法则公式相同。
例如：将被除式3x3+2x2+5x+1除以除数x^2+2。
我们首先找到与除数首项3x相乘的结果3x2，然后将其减去被除式，得到(3x3+2x2)-(3x2+6x)=3x3+2x2-3x2-6x=3x3-x^2-6x。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式3x3-x2-6x中没有与除数x2+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x3-x^2-6x作为余数。
初中数学培优辅导资料(18讲) - 整式的整除
初中数学竞赛辅导资料（18）整式的整除内容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。
4． 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
初一下册数学知识点整式的运算
初一下册数学知识点整式的运算整式是由常数项、变量和它们的乘积以及乘方运算构成的，其中的常数项、变量和它们的乘积分别称为整式的常数项、单项式和多项式。
在整式的运算中，我们主要关注的是整式的加减乘除运算。
1.整式的加法运算：将两个整式的同类项相加即可。
同类项是具有相同的字母幂次的项。
例如：(2x²+3x+1)+(4x²-2x+5)=6x²+x+6注意，相加时应遵循交换律和结合律。
2.整式的减法运算：将两个整式的同类项相减即可。
例如：(5x³+2x²+3x+4)-(3x³+4x²-x-5)=2x³-2x²+4x+9减法运算可以转化为加法运算，即将减法转换为加法，然后将减数取负数。
3.整式的乘法运算：乘法运算需要用到分配律，即将一个整式的每一项与另一个整式的每一项相乘，然后将乘积相加。
例如：(2x+3)(4x-5)=8x²-10x+12x-15=8x²+2x-154.整式的除法运算：整式的除法运算涉及到整式的除法算法，需要注意除法运算时应遵循整除和长除法的步骤。
除此之外- 交换律：加法和乘法的运算可以交换，即 a + b = b + a, ab = ba。
- 结合律：加法和乘法的运算可以结合，即 (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)。
- 分配律：乘法运算对加法运算具有分配律，即 a(b + c) = ab + ac。
此外，在整式的除法运算中，还有一个重要的知识点是多项式的因式分解。
因式分解可以将多项式表示为多个因子的乘积。
例如：4x²+12x=4x(x+3)以上就是初一下册数学整式的运算知识点的详细介绍。
整式的运算是初中数学的基础内容，掌握了这些知识，相信你能够顺利解决整式的加减乘除运算问题。
初中数学 整式的除法运算满足分配律吗
初中数学整式的除法运算满足分配律吗在初中数学学习中，整式的除法运算是一个非常重要的知识点。
在整式的除法运算中，分配律是一个基本的运算规律。
那么，整式的除法运算是否满足分配律呢？本文将对此进行详细探讨。
一、整式的定义整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法运算整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式，并得到商式和余式的过程。
例如，将3x^2-2x+1除以x-1，可以得到商式3x+1和余数2。
在整式的除法运算中，分母不能为0，否则运算无法进行。
同时，当余数为0时，整式的除法运算就可以完全被整除。
三、分配律的定义分配律是数学中的一种基本运算规律，它是指在进行加减乘除等运算时，可以改变运算的顺序，不改变结果。
例如，对于任意三个数a、b、c，分配律可以表示为：a×(b+c)=a×b+a×c(b+c)×a=b×a+c×a其中，a、b、c可以是任意实数、整数或代数式。
四、整式的除法运算是否满足分配律？对于任意两个整式a、b和c，如果满足a=b×c，则有：a÷b=c这意味着，整式的除法运算可以看作是乘法的逆运算。
因此，整式的除法运算满足分配律。
具体来说，假设有三个整式a、b和c，分别为：a=x^2-3x+2b=x-1c=x-2则有：a÷b=(x-2)a÷c=(x+1)b×c=(x-1)×(x-2)=x^2-3x+2因此，根据分配律可得：a÷b×c=(x-2)×(x-1)=-x^2+3x-2a÷c×b=(x+1)×(x-1)=x^2-1可以看出，两个式子的结果是不同的，但这并不影响整式的除法运算满足分配律的结论。
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整式整除效果检测
基础达标：
一、选择题
1.将()-1,(-2)0,(-3)2这三个数按从小到大的顺序排列,正确的结果是( )
A.(-2)0＜()-1＜(-3)2;
B.()-1＜(-2)0＜(-3)2;
C.(-3)2＜(-2)0＜()-1;
D.(-2)0＜(-3)2＜()-1
2.计算3-2的结果是( )
A.-9
B.-6
C.-
D.
3.计算(-3)0的结果是( )
A.0
B.1
C.3-
D. -3
4.下列算式结果是-3的是( ).
A.(-3)-1
B.(-3)0
C.-(-3)
D.-│-3│
5.计算(-3a3)2÷a2的结果是( ).
A.-9a4
B.6a4
C.9a2
D.9a4
6.下列运算正确的是( )
A.a5·a6=a30
B.(a5)6=a30
C.a5+a6=a11
D.a5÷a6=
7.下列计算正确的是( )
A.(a5)2=a7
B.a6÷a2=a4
C.(-)-1+()0=4
D.a+2a=3a2
二、填空题
1.2a2·a3÷a4=__________.
2.(-2xy2)2÷(-x3y4)=_________.
3.化简:a5b÷a3=________.
4.化简:(a4b7-a2b6)÷(-ab3)2.
三、解答题
1.化简:[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x.
2.计算:(-1)2+()-1-5÷(2 003-)0.
3.已知为n自然数，且x2n=3，求（-x3n）4÷[4（x3）2n]的值．
4. 阅读下列解答过程，并仿照解决问题：已知x2-2x-3=0，求x3+x2-9x-8的值．解：∵x2-2x-3=0，∴x2=2x+3
∴x3+x2-9x-8=x·x2+x2-9x-8=x·（2x+3）+（2x+3）-9x-8
=2x2+3x+2x+3-9x-8=2（2x+3）-4x-5=1
请你仿照上题的做法完成：已知x2-5x+1=0，求x3-4x2-4x-1的值．
答案与解析：
一、1.A 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B
二、1.2a 2.-4x-1 3.a2b 4.6a2b-1
三、1.x-y 2.-2 3. 4.-2
能力提升：
1.求分式为负数的x的取值范围.
2.若3m=6,9n=2,求32m-4n+1 的值.
3.计算.
4.观察下列各式:
(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;
……
(1)你能得到一般情况下(xn-1)÷(x-1)的结果吗?
(2)根据这一结果计算:1+2+22+…+262+263.
答案与解析：
1.x＜1且x≠0
2.27
3.
4.(1)xn-1+xn-2+…+x+1;(2)原式=(264-1)÷(2-1)=264-1.。