高中数学人教B版选修1-1：第二章 圆锥曲线与方程1-1 2.2 第2课时

第二章 2.2 第2课时一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 [答案] A[解析] ∵e ＝ca ＝2，由c ＝4得a ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝12.因为焦点在x 轴上，所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．双曲线4x 2＋my 2＝4m 的虚轴长是( ) A ．2m B ．－2m C ．2m D ．2－m[答案] D [解析] 双曲线4x 2＋my 2＝4m可化为：x 2m ＋y 24＝1，∴m <0，∴a 2＝4，b 2＝－m ，b ＝－m ，2b ＝2－m .3．双曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y [答案] B [解析] 双曲线x 2－y 2＝－3可化为y 23－x 23＝1，∴a ＝3，b ＝3，顶点坐标为(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)， ∴它的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .4．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A.2 B ．2 C.3 D ．2 2[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又两渐近线互相垂直，∴a ＝b ，c＝a 2＋b 2＝2a ，∴e ＝ca＝ 2.5．(2014·全国大纲文)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c,0)到渐近线的距离为bca 2＋b 2＝bc c ＝3，∴b ＝3，又ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴c ＝2，故双曲线的焦距为2c ＝4. 6．(2014·天津文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 [答案] A[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由题意得ba ＝2.又双曲线的一个焦点在直线y＝2x ＋10上，∴－2c ＋10＝0，∴c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2c ＝a 2＋b 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝20.故双曲线方程为x 25－y 220＝1.二、填空题7．双曲线的中心在原点，离心率e ＝3，焦距为6，则双曲线方程为__________．[答案] x 2－y 28＝1或y 2－x 28＝1[解析] ∵焦距为6，∴c ＝3，由e ＝3得a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝8. 由于焦点不确定在x 轴或y 轴，所以双曲线方程为x 2－y 28＝1或y 2－x 28＝1. 8．(2013·陕西理)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．[答案] 9[解析] 由已知得a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m ，又e ＝54，∴16＋m 4＝54，∴m ＝9. 三、解答题9．求一条渐近线方程是3x ＋4y ＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程． [解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x ＋4y ＝0， ∴设双曲线的方程为x 216－y 29＝λ，由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝1625.∴所求的双曲线方程为x 225625－y 214425＝1.一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)， 渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.2．(2014·广东文)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[答案] D[解析] ∵0<k <5，∴两曲线都表示双曲线， 在x 216－y 25－k＝1中，a 2＝16，b 2＝5－k ； 在x 216－k －y 25＝1中，a 2＝16－k ，b 2＝5，由c 2＝a 2＋b 2知两双曲线的焦距相等，故选D. 3．方程x 2＋(k －1)y 2＝k ＋1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．k <－1 B ．k >1C ．－1<k <1D ．k <－1或k >1[答案] C[解析] 方程x 2＋(k －1)y 2＝k ＋1，可化为x 2k ＋1＋y 2k ＋1k －1＝1，∵双曲线的焦点在x 轴上，∴k ＋1>0且k ＋1k －1<0，∴－1<k <1.4．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1， ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0) ＝－1＋y 20＝0，故选C. 二、填空题5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.[答案]62[解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1， ∴2a 2＝3，a ＝62. 6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝______，b ＝________.[答案] 1 2[解析] 本题考查双曲线的性质． 由F (5，0)知a 2＋b 2＝5，又两双曲线渐近线相同，则b 2a 2＝164，∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2. 三、解答题7．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．[解析] (1)因为e ＝2，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)， 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点(3，m )在双曲线上， 所以9－m 2＝6，所以，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2. (3)在△F 1MF 2中，底|F 1F 2|＝43， F 1F 2上的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12|F 1F 2|·|m |＝6.8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．[解析] 直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2. ∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2ab c . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤ 5. 9．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求l 的方程．[解析] 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 23－y 22＝1， 得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．∵|AB|＝6，∴365m2－6(m2＋2)＝6.∴m2＝15，m＝±15.由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±15代入上式，得Δ>0，∴m的值为±15，∴所求l的方程为y＝2x±15.[点评]弦长公式：斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2(y1＋y2)2－4y1y2.。