圆的一般式
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆的一般方程和标准方程
圆的一般方程和标准方程圆是一种基本的几何形状，在很多方面都有广泛的应用，其中一个重要的应用就是它能够帮助我们描述和解释几何图形。
在几何学当中，对圆的描述方法主要有两种：一般方程和标准方程。
一般方程是指可以用来描述圆的方程，这种方程的标准形式是：Ax2 + By2 +Cxy +Dx +Ey +F= 0，其中A，B，C，D，E，F都是实数，A和B不能同时为零。
可以看出，一般方程由三部分组成：高次平方项的部分，二次乘积项的部分，一次项的部分，可以根据这三部分构成不同的一般方程。
如果一个圆的中心点和半径都是知道的，那么圆的一般方程可以表示为：(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2，其中（x0，y0）是圆心坐标，r是圆的半径。
从上式可以看出，当A＝1，B＝1，C＝0，D＝-2x0，E ＝-2y0，F＝x0^2 + y0^2-r^2时，这就是一个完整的圆的一般方程了。
标准方程是指可以用来描述圆的另一种方程，它的标准形式是：(x-a)2 + (y-b)2 = r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径。
从上式可以看出，标准方程由三部分组成：两个二次平方项的部分，一个常数r^2。
标准方程比一般方程更容易操作，因为它只有三个参数（a，b，r），只要知道圆心坐标和半径，就可以很轻松地求出标准方程。
因此，标准方程在描述几何结构方面非常有用。
总之，圆的一般方程和标准方程可以有效地帮助我们描述和解释几何图形，它是几何学的基本工具。
一般方程由三部分组成：高次平方项的部分，二次乘积项的部分，一次项的部分，而标准方程只有三个参数（a，b，r），只要知道圆心坐标和半径，就可以求出标准方程。
只要理解它们的原理，就可以更方便地解决几何学问题。
圆的一般方程如何化为标准方程公式
圆的一般方程如何化为标准方程公式圆是一个平面内到定点距离为定值的点的集合，那么圆的一般方程可以表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
我们可以通过一些代数运算将圆的一般方程化为标准方程公式，即：(x-h)²+ (y-k)²= r²其中，(h, k)是圆心坐标。
具体方法如下：1. 将一般方程展开，得到：x²- 2ax + a²+ y²- 2by + b²= r²2. 将x²和y²的系数变为1，即将方程两边同时除以r²，得到：(x²- 2ax + a²)/r²+ (y²- 2by + b²)/r²= 13. 对于第一项，我们可以将x²- 2ax + a²写成(x - a)²的形式，即：(x - a)²= x²- 2ax + a²所以，我们可以将第一项化为：(x - a)²/r²4. 同理，对于第二项，我们可以将y²- 2by + b²写成(y - b)²的形式，即：(y - b)²= y²- 2by + b²所以，我们可以将第二项化为：(y - b)²/r²5. 将第三步和第四步的结果代入原方程，得到：(x - a)²/r²+ (y - b)²/r²= 16. 最后，将r²移到等号右边，即可得到标准方程公式：(x - a)²+ (y - b)²= r²因此，圆的一般方程可以通过一些代数运算化为标准方程公式，使得我们更方便地研究和理解圆的性质和特征。
圆方程的一般式的圆心
圆方程的一般式的圆心圆方程的一般式是指以圆心为中心的圆的方程形式。
在平面几何中，圆是由到圆心的距离恒定的所有点组成的。
圆方程的一般式可以用来表示圆的位置和形状。
下面将详细介绍圆方程的一般式以及其应用。
圆方程的一般式可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
该方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
我们来看一下圆心的坐标(h, k)对圆的位置的影响。
当h为正数时，圆心位于x轴的右侧；当h为负数时，圆心位于x轴的左侧。
同样地，当k为正数时，圆心位于y轴的上方；当k为负数时，圆心位于y轴的下方。
通过改变h和k的值，我们可以将圆心定位于不同的位置，从而得到不同位置的圆。
半径r决定了圆的大小。
半径越大，圆的面积越大，半径越小，圆的面积越小。
半径还决定了圆的周长，圆的周长等于2πr。
因此，圆方程的一般式可以用来计算圆的面积和周长。
圆方程的一般式在实际生活中有广泛的应用。
例如，在地理学中，可以使用圆方程的一般式来表示地球上某个地区的范围。
在建筑设计中，可以使用圆方程的一般式来确定圆形建筑物的尺寸和位置。
在物理学中，圆方程的一般式可以用来计算运动物体的轨迹。
圆方程的一般式还可以与其他方程相结合，形成更复杂的几何问题。
例如，可以将圆的方程与直线的方程相交，求出它们的交点，从而解决相关的几何问题。
圆方程的一般式是描述圆的位置和形状的重要工具。
通过圆心的坐标和半径的值，我们可以确定圆的位置和大小。
圆方程的一般式在几何学和实际应用中有广泛的应用，可以帮助我们解决各种几何问题。
无论是计算圆的面积和周长，还是确定圆的位置和形状，圆方程的一般式都提供了一个简单而有效的方法。
圆的一般式方程配方
圆的一般式方程配方
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
下面我们来讨论如何将一般式方程配方。
一、配方圆心坐标(a,b)：
1.根据一般式方程，将右边的r²移到左边，变成(x-a)²+(y-b)²-
r²=0。
2.将(x-a)²+(y-b)²用二次整式展开得到：
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0。
3.通过对比整理得到：
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。
所以，圆的一般式方程配方的第一步就是确定圆心的坐标。
二、配方半径r：
r=√[(x0-a)²+(y0-b)²]
所以，配方半径r的第一步就是确定圆上的其中一点坐标。
三、总结：
配方圆的一般式方程的步骤包括确定圆心坐标(a,b)和半径r。
确定圆心坐标需要将一般式方程展开整理，确定圆上其中一点坐标可以通过已知条件或者其他几何知识来求解。
一旦确定了圆心坐标和半径，就可以得到圆的一般式方程。
需要注意的是，圆的一般式方程有时候也可以配方成其他形式，例如标准式方程(x-h)²+(y-k)²=r²或截距式方程(x-h)²+(y-k)²=p(x-a)²+q(y-b)²，但配方圆的一般式方程的原理和步骤基本相同。
高二数学圆方程5
由已知条件可得
025396
0 5D
6E 3E
F
F
0， 0，
2
D 2
3
E 2
6
0，
解得D＝－38， E 64 3
，F＝92
故所求圆的方程为 x2 y2 38x 64 y 92 0 3
若点 P(x0，y0) 在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 上，则过 点P的切线方程为
x0 x
y0 y
D
x
x0 2
E
y
y0 2
F
0
(3)切线长
过圆外一点 P(x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 ,则切线长：
y2 x2
1
，即 y1y2 x1x2 0
由①②知
3a2 18a 9 a2 1
15 a2 1
0
，得 a2 6a 8 0
解得a＝2或a＝4．
所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0
说明：本题巧用根与系数的关系，列出 x1x2 y1y2 0 进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程 x＋ay－3＝0可避免讨论。
易知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2．
∵(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为
232 2
7 2
圆方程的各种形式
圆方程的各种形式圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的几何图形。
圆方程描述了圆的性质和特征。
在本文中，我们将讨论圆方程的各种形式。
1.标准方程：圆的标准方程是最基本的形式，它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
如果圆的圆心是(h,k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(x,y)是圆上的任意一点。
2.一般方程：圆的一般方程是另一种形式，它可以将圆的方程转换为一个二次方程。
一般方程的一般形式为：Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0其中A、D、E和F是常数。
要将标准方程转换为一般方程，你可以进行平方展开并将所有项相加。
3.参数方程：圆的参数方程使用参数t来表示圆上的点。
该方程的一般形式为：x = h + r * cos(t)y = k + r * sin(t)其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径。
参数t的范围通常是[0,2π]。
4.极坐标方程：圆的极坐标方程使用极坐标来描述圆。
该方程的一般形式为：r = a + b * cos(θ)其中a和b是常数，θ是角度。
通常情况下，θ的范围是[0,2π]。
5.中心半径形式：中心半径形式是另一种表达圆的方式。
它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
该形式的一般形式为：(h,k)±r其中(h,k)是圆心的坐标，±表示圆的内外部，r是半径。
该形式更加简洁，适用于描述圆的位置关系。
6.过三点圆方程：如果给出了圆上的三个点的坐标，我们可以使用过三点圆方程来定义圆。
给定三个不共线的点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，过三点圆方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²其中a和b是圆心的坐标，r是半径。
7.方程组形式：方程组形式是将两个方程组合在一起来描述圆的方式。
一般形式为：f(x,y)=0g(x,y)=0其中f(x,y)和g(x,y)分别表示两个方程。
圆的一般式的圆心和半径公式
圆的一般式的圆心和半径公式1. 圆的概念嘿，大家好！今天我们来聊聊圆。
这可不是一个普通的几何图形哦，圆的魅力可是无与伦比的！想象一下，圆就像是那杯热腾腾的奶茶，既温暖又舒心，让人忍不住想要一口接一口。
圆的美在于它的对称性，哪怕你从任何一个角度去看，它都不会让你失望。
我们生活中到处都有圆的身影，从车轮到钟表，再到那诱人的披萨，圆真的是无处不在啊！2. 圆的一般式2.1 圆的一般式方程好啦，接下来我们聊聊圆的方程。
圆的方程一般是这样的：(x^2 + y^2 + Dx + Ey+ F = 0)。
看起来是不是有点复杂？其实没关系，咱们慢慢来拆解。
这里的 (D)、(E) 和(F) 就是一些常数，听上去像是数学老师嘴里的咒语，其实他们的作用可大了！通过这些常数，我们可以得到圆的中心和半径。
2.2 圆心和半径的公式接下来最重要的来了，我们要如何从这个方程中找到圆心和半径呢？首先，圆心的坐标其实就是 ((D/2, E/2))。
是不是很简单？就像剥洋葱一样，外面看起来复杂，里面却很简单。
而半径呢，公式是 (sqrt{(D/2)^2 + (E/2)^2 F)。
听起来有点唬人，但只要我们一刀切开，问题迎刃而解。
3. 圆心和半径的应用3.1 实际应用大家可能会问，知道这些公式有什么用呢？嘿，别急！想象一下，如果你要在公园里划一个完美的圆圈，或者在设计一款新产品时需要一个圆形的零件，这些知识就派上用场了！说不定，你的一条创意点子就从这里出发，变成了一件了不起的作品！这就像是烹饪时，掌握了基本的调味比例，后面你就可以随心所欲，做出美味的菜肴。
3.2 常见问题当然，学习这东西总会有点小波折。
比如，有人可能会在计算半径时搞错符号，这就像买披萨时不小心多加了洋葱，最后吃得心里发苦。
不过没关系，多练习几次，就能熟能生巧，像打篮球一样，越练越准。
4. 总结最后，圆的知识虽然看起来有点高深莫测，但其实就像我们的生活一样，深藏着许多简单的道理。
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圆的一般方程
将标准方程222()()x a y b r
-+-=展开，整理，得 22222220x y ax by a b r +--++-=，
①的形式。
将①配方得：22224()()224
D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：
（1）当22
40D E F +->时，方程①表示以(,)22
D E --为圆心， （2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E -
-； （3）当2
240D E F +-<时，方程①不表示任何图形． 结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，
我们把方程①叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1）2
x 和2y 的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy 这样的二次项．
以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示
圆的必要条件，但不是充分条件．
说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数
D 、
E 、
F 就可以了．
例题分析：
例1．求过三点(0,0)O 、1(1,1)M 、2(4,2)M 的圆的方程，
并求这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求的圆方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵(0,0)O 、1(1,1)M 、2(4,2)
M 在圆上， ∴0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴所求的圆方程为22
860x y x y +-+=， 圆心坐标为(4,3)-，半径为5r =
=． 例2．已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为12 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：设(,)M x y 是曲线上任意一点，由题意：||1||2
MO MA =，
∴
12=，化简得
22230x y x ++-=， ①
这就是所求的曲线方程．
把方程①配方得：22(1)4x y ++=，所以方程①的曲线是
以(1,0)-为圆心，2为半径的圆．（作图）
例3．已知圆2280x y x y m +--+=与直线260x y +-=
相交于P 、Q 两点，定点(1,1)R ，若PR QR ⊥，求实数m 的值． 解：设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，
由2280
260x y x y m x y ⎧+--+=⎨+-=⎩
，消去y 得：
254600x m +-=， ①
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴6040m ->，15m <，
由韦答定理：12120
412
5x x x x m +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，
∵PR QR ⊥，∴1PR QR k k =-， ∴1212
11
111y y x x --⋅=---，即1212(1)(1)(1)(1)0x x y y --+--=， 即12121212()()20x x x x y y y y -++-++=， ② ∵1
2
123,322x x
y y =-=-， ∴1
2
1212
12123
(3)(3)9()922244x x x x x x
y y x x =--=-++=+，
126y y +=，代入②得：125
504x x +=，即54
(12)5045m -+=， ∴10m =，适合15m <，所以，实数m 的值为10．
练习：
1．若圆2260x y x y c ++-+=与直线230x y +-=的交点 为P 、Q ，且OP OQ ⊥（O 为原点），求c 的值．
2．已知圆C ：22(2)(2)25x y -+-=，
直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，
（1）证明：不论m 取何实数，直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度及此时直线l 的方程．。