高考适应性考试数学试卷
南通市2023-2024学年高三下学期高考适应性考试(三)数学试题+答案
南通市2023-2024学年高三下学期高考适应性考试(三)数学试题一、単项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}2{1,2,3,4},log (1)2A B x x ==-∣…,则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A.32B.16C.8D.42.在梯形ABCD 中,//AB CD ,且2AB CD =,点M 是BC 的中点,则AM =（ ） A.2132AB AD - B.1223AB AD + C.12AB AD +D.3142AB AD +3.721x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A.-21B.-35C.21D.354.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m,4m ,侧棱长为3m 的正四棱台，则该台基的体积约为（ ）3 B.3C.328m35.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,1)M 为抛物线2:2(0)E x py p =>上一点,若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆22:()2(0)C x y b +-=<相切,则b =（ ）A. B.-2C.-3D.-46.已知40,sin(),tan tan 225πβααβαβ<<<-=-=,则sin sin αβ=（ ）A.12 B.15C.25D.27.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军．已知甲、乙两人水平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件B 表示“比赛进行了五局”,则()P AB =∣（ ） A.12B.14C.38D.5168.设定义域为R 的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=,若2()(1)f x x '++也为偶函数,且()2(24)1f a f a +>+,则实数a 的取值范围是（ ）A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.(3,1)-D.(1,3)-二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知12,z z 都是复数,下列正确的是（ ） A.若12z z =,则12z z ∈R B.若12z z ∈R ,则12z z = C 、若12z z =,则2212z z =D.若22120z z +=,则12z z =10.在数列{}n a 中,若对*n ∀∈N ,都有211n n n na a q a a +++-=-(q 为常数),则称数列{}n a 为“等差比数列”,q 为公差比,设数列{}n a 的前n 项和是n S ,则下列说法一定正确的是( ) A.等差数列{}n a 是等差比数列B.若等比数列{}n a 是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同C.若数列{}n S 是等差比数列,则数列{}1n a +是等比数列D.若数列{}n a 是等比数列,则数列{}n S 等差比数列11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是棱1BB 的中点,点F 在底面ABCD 内运动(含边界),则( )A.若F 是棱CD 的中点,则//EF 平面1A BDB.若EF ⊥平面11AC E ,则F 是BD 的中点C.若F 在棱AD 上运动(含端点),则点F 到直线1A ED.若F 与B 重合时,四面体11AC EF 的外接球的表面积为19π三、填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.已知函数2,0,()sin 2,0,6x x f x x x π⎧<⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩…则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____________. 13.在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是双曲线22:145x y E -=的左,右焦点,设点P 是E 的右支上一点,则1251PF PF -的最大值为_____________. 14.定义:[x ]表示不大于x 的最大整数,{}x 表示不小于x 的最小整数,如[1.2]1,{1.2}2==.设函数(){[]}f x x x =在定义域()*[0,)N n n ∈上的值域为n C ,记n C 中元素的个数为n a ,则2a =___________，12111na a a +++=_____________.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.(本小题满分13分)如图,正方形ABCD 是圆柱1O O 的轴截面,已知4AB =,点E 是AB 的中点,点M 为弦BE 的中点. (1)求证:O 1M ∥平面ADE ;(2)求二面角D —O 1M —E 的余弦值.16.(本小题满分15分)跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能,抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步,某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查,统计结果如下表.（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关?附:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班,据以往经验,张先生跑步上班准时到公司的概率为3,张先生跑步上班迟到的概率为13.对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班,从周二开始,若前一天准时到公司,当天就继续跑步上班,否则,当天就开车上班,且因公司安排,周五开车去公司(无论周四是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .17.(本小题满分15分)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知22,23a c BA BC ==⋅-,其中S 为ABC 的面积. (1)求角A 的大小;(2)设D 是边BC 的中点,若AB AD ⊥,求AD 的长. 18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点,上顶点,若C 的离心率为且O 到直线AB (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,其中点M 在第一象限,点N 在x 轴下方且不在y 轴上,设直线BM ,BN 的斜率分别为12,k k . ①求证:1211k k +为定值,并求出该定值; ②设直线BM 与x 轴交于点T ,求BNT 的面积S 的最大值. 19.(本小题满分17分)已知函数()e cos xf x ax x =--,且()f x 在[0,)+∞上的最小值为0. (1)求实数a 的取值范围;(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=,若()1()x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立,则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S .①求证:函数()f x 在(0,)+∞上具有性质S ;②记1()(1)(2)()ni p i p p p n ==∏,其中*n ∈N ,求证:111sin (1)ni i i n n =⋅>+∏.数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）121314．321 n n+四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：取AE的中点N，连结DN，FN．在△AEB中，M，N分别是EB，EA的中点，所以MN∥AB，且AB＝2MN．在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，又点O1是CD的中点，所以O1D∥AB，且AB＝2O1D．所以MN∥O1D，且MN＝O1D，所以四边形MNDO1是平行四边形，………………………………3分所以O1M∥DN．又DN⊂平面ADE，O1M⊄平面ADE，所以O1M∥平面ADE．………………………………6分（2）解：因为AB是圆O的直径，E是AB的中点，且AB＝4，所以OE⊥OB，且OE＝OA＝OB＝2．以O为坐标原点，以OE，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．依题意，O (0，0，0)，O 1(0，0，4)，B (0，2，0)，E (2，0，0)，M (1，1，0)， A (0，－2，0)，D (0，－2，4)． ………………………………7分 所以()1114O M =-，，，()1020DO =，，，()1204O E =-，，． 设()1111n x y z =，，是平面O 1MD 的法向量，则111100n O M n DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即11114020x y z y +-=⎧⎨=⎩，，取x 1＝4，得y 1＝0，z 1＝1，所以()1401n =，，是平面O 1MD 的一个法向量． ………………………………9分 设()2222n x y z =，，是平面O 1ME 的法向量，则212100n O M n O E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2222240240x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，，取x 2＝2，得y 2＝2，z 2＝1，所以()2221n =，，是平面O 1ME 的一个法向量．………………………………11分所以121212cos 4n n n n n n ⋅===⋅，． 设二面角D－O 1M －E 的大小为θ，据图可知，123cos cos 17n n ==，θ 所以二面角D －O 1M －E ． ………………………………13分 16．（本小题满分15分）解：（1）假设H 0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关． 根据题意，由2×2列联表中的数据， 可得()22401210810400.4040 3.8412020221899χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ………………………3分 因为()2 3.8410.050P =≥χ，所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联． ……………………5分 （2）X 的所有可能取值分别为1，2，3，4． ()113P X ==； ………………………7分 ()2122339P X ==⨯=； ………………………9分 ()2214333327P X ==⨯⨯=； ………………………11分()2228433327P X ==⨯⨯=， ………………………13分 所以()124865123439272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 所以X 的数学期望为6527． ………………………15分 17．（本小题满分15分）解：（1）据223c BA BC =⋅-，可得21cos sin 2c c a B ac B =⋅⋅-，即cos sin c a B B =，………………………2分 结合正弦定理可得sin sin cos sin C A B A B =．在△ABC 中，()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+⎡⎤⎣⎦， 所以sin cos cos sin sin cos sin A B A B A B A B+=，整理得cos sin sin A B A B =． ………………………4分因为()0πB ∈，，sin 0B >，故cos AA =，即tan A = 又()0πA ∈，，所以5π6A =． ………………………6分 （2）法一：因为D 是边BC 的中点，2a =，所以BD ＝CD ＝1．在△ABD 中，AB ⊥AD ，则AD ＝BD sin B ＝sin B ． ………………………8分在△ACD 中，∠CAD ＝5π6－π2＝π3，C ＝π－5π6－B ＝π6－B ，CD ＝1，据正弦定理可得，sin sin CD ADCAD C =∠，即1ππsin sin 36AD B =⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以π6AD B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………11分 所以πsin 6B B ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos 2B B B=， 所以cos B B =， ………………………13分又22sin cos 1B B +=，()0πB∈，， 所以()22sin 1BB +=，解得sin B=， 所以AD ． ………………………15分 法二：因为D 是边BC 的中点，故S △ABD ＝S △ACD ，所以11sin 22c AD b AD DAC ⋅=⋅⋅∠，即115πsin π226c AD b AD ⎛⎫⋅=⋅⋅- ⎪⎝⎭，整理得c ①． ………………………10分 在△ABC 中，据余弦定理得，2222cos a b c bc BAC =+-∠，即224b c += ②．联立①②，可得b =c =． ………………………13分在Rt △ABD 中，据勾股定理得，22221113AD BD AB =-=-=，所以AD ． ………………………15分 法三：延长BA 到点H ，使得CH ⊥AB ．在Rt △CHB 中，AD ⊥AB ，CH ⊥AB ，故AD ∥CH ， 又D 是BC 的中点，所以A 是BH 的中点，所以AH ＝AB ＝c ，CH ＝2AD ，且2224HB HC a +==．………………………10分 在Rt △CHA 中，5ππππ66CAH BAC ∠=-∠=-=，AC ＝b ，AH ＝c ，所以CH ＝b sin CAH ∠＝12b ，且c ＝b cos CAH ∠＝2b ． ………………………12分所以()221242c b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221242b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b =负舍)，所以11112224AD CH b b ==⨯== ………………………15分法四：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连结EB ，EC ． 因为D 是BC 的中点，且AD ＝DE ，故四边形ABEC 是平行四边形，BE ＝AC ＝b ． 又5π6BAC ∠=，所以5ππππ66ABE BAC ∠=-∠=-=． 在Rt △BAE 中，AB ⊥AD ，π6ABE ∠=，AB ＝c ，BE ＝AC ＝b ，所以1sin 2AE BE ABE b =⋅∠=，且cos c BE ABE =⋅∠． ………………………10分 在Rt △BAD 中，AB ⊥AD ，AB ＝c ，AD ＝12AE ＝14b ，BD ＝12a ＝1，据勾股定理222AB AD BD +=，可得22114c b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，………………………13分将c =代入上式，可得b =负舍)，所以14AD b ==． ………………………15分18．（本小题满分17分）解：（1）设椭圆C 的焦距为2c(c ＞0)，因为椭圆Cc a =，即2234c a =， 据222a b c -=，得22234a b a -=，即2a b =． ………………………2分所以直线AB 的方程为12x yb b+=，即220x y b +-=， 因为原点O 到直线AB，=1b =， 所以2a =， ………………………4分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ………………………5分（2）设直线l 的方程为()12y k x -=，其中14k >，且1k ≠，即21y kx k =-+．设直线l 与椭圆C 交于点()11M x y ，，()22N x y ，． 联立方程组222114y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()()22224116816160k x k k x k k +--+-=， 所以212216841k k x x k -+=+，2122161641k kx x k -=+． ………………………8分① 所以()()12121212121212111112222x x x x x x k k y y k x k x k x x ⎛⎫+=+=+=⋅+ ⎪------⎝⎭()()()()()12121212121212222224x x x x x x x x k x x k x x x x -+-+=⋅=⋅---++ 2222222222161616882241414144161616824414141k k k k kk k k k k k k k kk k k ----+++=⋅=⋅=----⨯++++为定值，得证．………………………11分② 法一：直线BM 的方程为11y k x =+，令0y =，得11x k =-，故110T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 设直线BN 与x 轴交于点Q ．直线BN 的方程为21y k x =+，令0y =，得21x k =-，故210Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 联立方程组222114y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()22224180k x k x ++=， 解得2222841k x k =-+或0(舍)，22222222222881114141k k y k x k k k ⎛⎫=+=⋅-+=-+ ⎪++⎝⎭． 所以△BNT 的面积22222221221228411111111224141B k k S QT y y k k k k k k ⎛⎫=-=-+--+=-+⋅ ⎪++⎝⎭，由①可知，12114k k +=-，故12114k k -=+，代入上式， 所以22222222224821424141k k S k k k k =+⋅=+⋅++， 因为点N 在x 轴下方且不在y 轴上，故212k <-或212k >，得2120k +>，所以()22222222222222222821842211244141414141k k k k k k S k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-=+⋅==⋅=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ………………………14分 显然，当212k <-时，2222141441k S k ⎛⎫-=+< ⎪+⎝⎭， 当212k >时，2222141441k S k ⎛⎫-=+> ⎪+⎝⎭， 故只需考虑212k >，令221t k =-，则0t >， 所以()2141414122112t S t t t ⎛⎫⎛⎫⎪⎡⎤ ⎪ =+=++=⎢⎥ ⎪ ++⎢⎥ ⎪⎣⎦++ ⎪ ⎝⎭⎝≤， 当且仅当2t t=，t =2k =时，不等式取等号，所以△BNT 的面积S的最大值为2． ………………………17分法二：直线BM 的方程为11y k x =+，令0y =，得11x k =-，故110T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 设直线BN 与x 轴交于点Q ．直线BN 的方程为21y k x =+，令0y =，得21x k =-，故210Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 由①可知，12114k k +=-，故12114k k --=， 所以点A (2，0)是线段TQ 的中点． 故△BNT的面积1222BAN S S AB d ==⨯⨯=△，其中d 为点N 到直线 AB 的距离． ………………………14分 思路1 显然，当过点N 且与直线AB 平行的直线'l 与椭圆C 相切时，d 取 最大值．设直线'l 的方程为()102y x m m =-+<，即220x y m +-=， 联立方程组221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，整理得222220x mx m -+-=， 据()()2224220m m ∆=---=，解得m =正舍)．所以平行直线'l：20x y ++=与直线l ：220x y +-=之间的=d所以△BNT 的面积S2=．………………………17分思路2 因为直线l 的方程为220x y+-=，所以2222S x y ==+-，依题意，222x -<<，20x ≠，20y <，故22220x y +-<，所以()22222222S x y x y =+-=-++．因为()22N x y ，在椭圆C 上，故222214x y +=，即()222224x y +=， 所以()222222222222x y x y ++⎛⎫=⎪⎝⎭≤，当且仅当222x y ==等号，故222x y -+≤所以()22222S x y =-+++≤即△BNT 的面积S 的最大值为2．………………………17分思路3 因为直线l 的方程为220x y +-=，所以2222S x y ==+-，因为()22N x y ，在椭圆C 上，故222214x y +=， 设22cos x =θ，2sin y =θ，不妨设33πππ2π22⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，θ，所以22π222cos 2sin 224S x y ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭θθθ，当5π4=θ，2x =2y =2S ≤．即△BNT 的面积S 的最大值为2．………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）()e cos x f x ax x =--，0x ≥，()00e 0cos00f a =-⨯-=， ()'e sin x f x a x =-+，()0'0e sin 01f a a =-+=-，()''e cos 1cos 0x f x x x =++≥≥，等号不同时取，所以当0x ≥时，()''0f x >，()'f x 在[)0+∞，上单调递增，()()''01f x f a =-≥． （ⅰ）若10a -≥，即1a ≤，()'10f x a -≥≥，()f x 在[)0+∞，上单调递增， 所以()f x 在[)0+∞，上的最小值为()00f =，符合题意． ………………………3分 （ⅱ）若10a -<，即1a >，此时()'010f a =-<，()()'ln 22sin ln 2210f a a +=++>->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又函数()'f x 在[)0+∞，的图象不间断， 据零点存在性定理可知，存在()()00ln 2x a ∈+，，使得()'0f x =，且当()00x x ∈，时，()'0f x <，()f x 在()00x ，上单调递减， 所以()()0'00f x f <=，与题意矛盾，舍去．综上所述，实数a 的取值范围是(]1-∞，． ………………………6分 （2）① 由（1）可知，当0x >时，()0f x >．要证：函数()f x 在()0+∞，上具有性质S ． 即证：当0x >时，()()'1x f x f x ⋅>．即证：当0x >时，()()'0x f x f x ⋅->．令()()()'g x x f x f x =⋅-，0x >，则()()()e sin e cos x x g x x a x ax x =⋅-+---， 即()()1e sin cos x g x x x x x =-++，0x >，()()'e cos 0x g x x x =+>， 所以()g x 在()0+∞，上单调递增，()()00g x g >=． 即当0x >时，()()'0x f x f x ⋅->，得证． ………………………11分 ② 法一：由①得，当0x >时，()1e sin cos 0x x x x x -++>，所以当0x >时，()1e sin x x x x x -<+．下面先证明两个不等式：（ⅰ）e 1x x >+，其中0x >；（ⅱ）sin cos x x x<，其 中()01x ∈，． （ⅰ）令()e 1x p x x =--，0x >，则()'e 10x p x =->，()p x 在()0+∞，上单 调递增，所以()()00p x p >=，即当0x >时，e 1x x >+．（ⅱ）令()tan q x x x =-，()01x ∈，，则()2221sin '10cos cos x q x x x=-=>， 所以()q x 在()01，上单调递增，故()()00q x q >=， 即当()01x ∈，时，tan x x >，故sin cos x x x >，得sin cos x x x<． ………………………13分据不等式（ⅱ）可知，当()01x ∈，时，()11e sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫-<+<+ ⎪⎝⎭， 所以当()01x ∈，时，()21sin e 1x x x x x ->+．结合不等式（ⅰ）可得，当()01x ∈，时， ()()()()()()()222111111sin e 1111x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+->>>=++++． 所以当()01x ∈，时，sin 11x x x x->+． ………………………15分 当2n ≥，*n ∈N 时，()101n∈，，有1111sin 111n n n n n n -->=++． 所以()2112312sin 34511n i n i i n n n =-⋅>⋅⋅⋅⋅=++∏． 又π11sin1sin62⋅>=， 所以()()11121sin 211n i i i n n n n =⋅>⋅=++∏． ………………………17分 法二：要证：()111sin 1ni i i n n =⋅>+∏． 显然，当1n =时，()π11sin1sin 6111⋅>=⨯+，结论成立． 只要证：当2n ≥，*n ∈N 时，()()1111sin 111n n n n n n n n+->=+-． 即证：当2n ≥，*n ∈N 时，1111sin 11n n n n ->⋅+． ………………………13分 令()()1sin 1x x h x x x -=-+，102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，． 所以()()22'cos 11h x x x =-++，()()34''sin 1h x x x =-++， 所以()()412'''cos 01h x x x =--<+，()''h x 在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减， 所以()1321''''sin 02272h x h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭≥，()'h x 在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增， 所以()()''00h x h >=，()h x 在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，所以()()00h x h >=，即当102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()1sin 1x x x x ->+． ………………………15分所以当2n ≥，*n ∈N 时，1102n ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，有111111sin 111n n n n n n n -->⋅=⋅++， 所以当2n ≥，*n ∈N 时，11sin1n n n n ->+． 所以()12111112311sin 1sin sin 1234511n n i i n i i i i n n n ==-⎛⎫⋅=⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪++⎝⎭∏∏． ………………………17分。
高考数学适应性试卷及答案详解
高考数学适应性试卷及答案详解.学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|4x >1,x ∈N}.则M 的非空子集的个数是( )A. 15B. 16C. 7D. 82. 复数z 的共轭复数满足z −(i +1)=2i −1，则z =( )A. 12+32iB. 12−32iC. −12+32iD. −12−32i3. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，a 8+a 9=9，则S 9=( )A. 15B. 16C. 17D. 184. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 18B. 36C. 54D. 54+18√55. 已知sinα+cosα=12，则cos(2α+π2)=( )A. 34B. −34C. 38D. −386. 如图所示的流程图，最后输出的x 的值为( )A. 54B. 55C. 108D. 1107. 已知向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ，的夹角为60°，且|m ⃗⃗⃗ |=1，|3m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ |=√13，则|n⃗ |=( ) A. 3−√212B. 3+√212C. √21−32D. 28. “ATM ”自动取款机设定：一张银行卡一天最多允许有三次输入错误，若第四次再错则自动将卡吞收一天晚上，李四在“ATM ”自动取款机上取款，一时想不起该卡的密码，但可以确定是五个常用密码中的一个他第一次输入其中的一个密码是错误的，则他在确保不被吞卡的前提下取到款的概率是( )A. 15B. 14C. 12D. 349. 在封闭的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB =6，AA 1=4，则V 的最大值是( )A. 16πB.32π3C. 12πD. 4√3π10. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 2(4−x),x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0，则f(2019)的值为( )A. −1B. −2C. 1D. 211. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，若点F 1关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF 2=∠POF 2(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √212. 已知定义在R 上的函数f(x)，f′(x)是其导函数，且满足f′(x)−f(x)>2，f(1)=e −2，则不等式f(x)+2>e x 的解集为( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1>0，则x 2+(y −2)2的取值范围是______．14. 曲线y =(−3x +1)e x 在点(0,1)处的切线方程为______．15. 在正项等比数列{a n }中，a 1008a 1011+a 1009a 1010=2×10m ，则lga 1+lga 2+⋯+lga 2018=______.(用数字及m 表示)16. 已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，其准线与x 轴交于P 点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设FA ，FB 的斜率分别为m ，n ，则mn =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，中线AD 交边BC 于点D ，BD =16，sinB =513，cos∠ADC =45(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积18.某学校为更好进行校纪、校风管理，争创文明学校，由志愿者组成“小红帽”监督岗，对全校的不文明行为进行监督管理，对有不文明行为者进行批评教育，并作详细的登记，以便跟踪调查．下表是5个周内不文明行为人次统计数据(Ⅰ)请利用所给数据求不文明人次y与周次x之间的回归直线方程y^=b^x+a^，并预测该学校第9周的不文明人次；(2)从第1周到第5周的记录得知，高一年级有4位同学，高二年级有2位同学已经有3次不文明行为学校德育处决定先从这6人中任选2人进行重点教育，求抽到的两人恰好来自同一年级的概率19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB=AD=CD=1，∠BAD=∠CDA=90°，PC=PD=√2，E为PB的中点：(1)求证：平面PAD⊥平面PBC(2)求三棱锥E−PAD的体积．20.已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作斜率为−1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，S△F1AF2=4(1)求椭圆E的方程(2)过线段AB上任意一点M(不含端点)，作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+5+alnx(a∈R)．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．22.已知点M是曲线C1：4x2−y−4=0上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为ρ=2，菱形ABCD的顶点都在曲线C2上，且A，B，C，D按逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,π6)．(1)求曲线C2的直角坐标方程，并写出A，B，C，D的直角坐标；(2)求√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2的最小值23. 设f(x)=|x +a|+|x −a|，当a =12时，不等式f(x)<2的解集为M ；当a =14时，不等式f(x)<1的解集为P (1)求M ，P ；(2)证明：当m ∈M ，n ∈P ，n ∈P 时，|m +2n|<|1+2mn|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：M ={1,2，3}；∴M 的非空子集的个数是：C 31+C 32+C 33=7．故选：C ．可以求出M ={1,2，3}，从而得出集合M 的非空子集的个数为：C 31+C 32+C 33=7．考查描述法、列举法的定义，以及非空子集的定义，组合的知识．2.【答案】B【解析】解：∵z −(i +1)=2i −1， ∴z −=2i−1i+1=(2i−1)(1−i)2=1+3i 2，∴z =1−3i 2．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4=1，a 8+a 9=9， ∴a 1+3d =1，2a 1+15d =9， 解得a 1=−43，d =79， 则S 9=9×(−43)+79×9×82=16，故选：B ．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱， 其底面面积为：3×6=18，故棱柱的高为：3；棱柱的体积为：18×3=54． 故选：C ．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案． 本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5.【答案】A【解析】解：∵已知sinα+cosα=12，∴两边平方可得1+sin2α=14，故sin2α=−34， 则cos(2α+π2)=−sin2α=34， 故选：A ．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值，再利用诱导公式求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：i =1，x =2， i =2，x =2+4． i =3，x =2+4+6，…i =53，x =2+4+6+⋯+106， i =54，x =2+4+6+⋯+106+108，i =55.满足条件i >54，此时x =2+4+6+⋯+106+108=(2+108)×542=55×54则x =55×5455−1=55×5454=55．故选：B ．根据程序框图进行模拟验算，寻找满足条件的i 的值即可．本题主要考查程序题的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵|3m⃗⃗⃗ −2n⃗|=√13，∴9m⃗⃗⃗ 2+4n⃗2−12m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=13，可得2n⃗2−3|n⃗|−2=0，得|n⃗|=2或|n⃗|=−12(舍)，∴|n⃗|=2，故选：D．把所给等式平方即可得到关于|n⃗|的方程，求解即可．此题考查了向量的模与数量积，难度不大．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．本题为条件概率问题，相当于在有一个是正确密码的四个密码中，输入次数不超过两次就能取到钱的概率．【解答】解：确保不被吞卡的前提下取到款可以分为两种情况：①一次输入密码即可取到钱，概率为：14，②第二次输入密码才能取到钱，概率为：34×13=14，所以他在确保不被吞卡的前提下取到款的概率是：14+14=12．故选：C．9.【答案】D【解析】本题考查球的体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．作出过球心且平行于底面的平面截几何体的截面图，求得球的最大半径，则答案可求． 【解答】解：如图，是过球心且平行于底面的平面截几何体的截面图，设△EFG 内切圆的半径为r ，则12×6×3√3=3×12×6×r ， 解得r =√3<2，∴球的最大半径r =√3，则球的最大体积V =43π×(√3)3=4√3π． 故选：D ．10.【答案】B【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 2(4−x),x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0，∴f(x +6)=f(x +5)−f(x +4) =f(x +4)−f(x +3)−f(x +4) =−f(x +3)=−f(x +2)+f(x +1)=−f(x +1)+f(x)+f(x +1)=f(x)，∴f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(2)−f(1)=f(1)−f(0)−f(1)=−f(0)=−log 24=−2． 故选：B ．推导出f(x +6)=f(x)，从而f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(2)−f(1)=f(1)−f(0)−f(1)=−f(0)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11.【答案】B【解析】本题考查双曲线几何性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．连接OP ，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|=c ，O 到PF 1的距离为a ，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值． 【解答】 解：连接OP ，可得|OP|=|OF 1|=|OF 2|=|PF 2|=c ， 所以△OPF 2为等边三角形， F 1到渐近线bx +ay =0的距离为d =√b 2+a 2=b ，在等腰三角形OPF 1中，O 到PF 1的距离为a ， 即sin∠OPF 1=sin30°=a c=12， 可得e =ca =2． 故选：B ．12.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)+2e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)−2e x>0，∴g(x)在R 上单调递增， 又g(1)=f(1)+2e=1，∴g(x)>1的解集为(1,+∞)，即f(x)+2>e x 的解集为(1,+∞)． 故选：B ． 构造函数g(x)=f(x)+2e x，则根据导数可判断g(x)单调递增，而不等式f(x)+2>e x 等价于g(x)>1，根据单调性即可得出不等式的解集．本题考查函数单调性的判断与应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13.【答案】(1,4]【解析】解：画出不等式组{x −y ≤0x +y −4≤0x −1>0表示的平面区域，如图所示；则x 2+(y −2)2的几何意义是点A(0,2)与阴影内的点的距离的平方，且点A 到直线x −1=0的距离d =1，点B 到点A 的距离最大，由{x +y −4=0x −y =0，解得B(2,2)，所以|AB|=2，所以1<x 2+(y −2)2≤4， 即为(1,4]． 故答案为：(1,4]．画出不等式组表示的平面区域，根据x 2+(y −2)2的几何意义是点A(0,2)与阴影内的点的距离的平方，即可求得x 2+(y −2)2的取值范围．本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用问题，也考查了转化思想的应用问题．14.【答案】y =−2x +1【解析】解：由y =(−3x +1)e x ，得y′=−3e x +(−3x +1)e x =(−3x −2)e x ， ∴y′|x=0=−2，则曲线y =(−3x +1)e x 在点(0,1)处的切线方程为y =−2x +1． 故答案为：y =−2x +1．求出原函数的导函数，得到f′(0)，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的运算法则，是基础题．15.【答案】【解析】解：在正项等比数列{a n }中， ∵a 1008a 1011+a 1009a 1010=2×10m ， ∴2a 1009a 1010=2×10m ， ∴a 1009a 1010=10m ，∴lga 1+lga 2+⋯+lga 2018 =lg(a 1×a 2×…×a 2018) =lg(a 1009a 1010)1009 =lg(10m )1009=1009m ． 故答案为：1009m ．推导出a 1009a 1010=10m ，从萨满教lga 1+lga 2+⋯+lga 2018=lg(a 1009a 1010)1009=lg(10m )1009，由此能求出结果．本题考查对数式化简求值，考查等比数列、对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】−1【解析】解：如图所示， F(1,0)，P(−1,0)．设直线l 的方程为：y =k(x +1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 联立{y =k(x +1)y 2=4x ，化为：k 2x 2+(4k 2−4)x +k 2=0， △>0． ∴x 1x 2=1． m =y 1x1−1，n =y2x 2−1． m n=y 1(x 2−1)y 2(x 1−1)=(x 1+1)(x 2−1)(x 2+1)(x 1−1)=x 1x 2+(x 2−x 1)−1x 1x 2+(x 1−x 2)−1=x 2−x1x 1−x 2=−1．故答案为：−1．如图所示，F(1,0)，P(−1,0).设直线l 的方程为：y =k(x +1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).与抛物线方程联立化为：k 2x 2+(4k 2−4)x +k 2=0，根据根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵sinB =513，cos∠ADC =45，∴cosB =1213，sin∠ADC =35， ∵sin∠BAD =sin(∠ADC −B)=sin∠ADCcosB −cos∠ADCsinB =35×1213−45×513=1665，∴由正弦定理可得：AD =BD⋅sinBsin∠BAD =16×5131665=25．(2)∵sin∠BDA =sin(π−∠ADC)=sin∠ADC =35， 由正弦定理可得：AB =AD⋅sin∠BDAsinB =25×35513=39，∴S △ABC =12BA ⋅BC ⋅sinB =12×39×32×513=240．【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos B ，sin∠ADC 的值，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAD 的值，根据正弦定理可得AD 的值．(2)利用诱导公式可求sin∠BDA 的值，由正弦定理可得AB 的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，正弦定理，诱导公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由表格中数据知，x −=3,y −=100，∴b ̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑−5i=15x−2=1415−150055−45=−8.5，a ̂=y −−b ̂x −=125.5，∴所求回归方程为y ̂=−8.5x +125.5， 令x =9，则y ̂=−8.5×9+125.5=49． ∴该学校第9周的不文明人次为49人次；(2)设高一年级的4位同学的编号分别为a ，b ，c ，d ，高二年级的2位同学的编号分别为m ，n ．从这6人中任选2人包含如下基本事件：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)， (a,m)，(a,n)，(b,m)，(b,n)，(c,m)，(c,n)，(d,m)，(d,n)，(m,n)共15个． 其中两人恰好来自同一年级的有7个． ∴所求概率为715．【解析】(1)由已知求得b ^与a ^的值，则回归方程可求，取x =9即可求得该学校第9周的不文明人次；(2)利用枚举法求出从这6人中任选2人包含如下基本事件数，再由随机事件的概率求解．本题考查回归方程的求法，考查随机事件的概率，是中档题．19.【答案】(1)证明：在△PCD 中，PC =PD =√2，CD =2，∴PC 2+PD 2=CD 2，则PC ⊥PD ，∵∠CDA =90°，∴AD ⊥CD ，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ， ∴AD ⊥平面PCD ，则AD ⊥PC ， 又PD ∩AD =D ，∴PC ⊥平面PAD ， ∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ； (2)解：取CD 中点O ，连接PO ，∵PC =PD =√2，∴PO ⊥CD ，且PO =1，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵E 为PB 的中点，∴点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 距离的一半， ∴V E−PAD =12V B−PAD =12V P−ABD =12×13×12×1×1×1=112．【解析】(1)由勾股定理可得PC ⊥PD ，由已知得AD ⊥CD ，结合平面PCD ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质可得AD ⊥平面PCD ，则AD ⊥PC ，再由线面垂直的判定可得PC ⊥平面PAD ，从而得到平面PAD ⊥平面PBC ；(2)取CD 中点O ，连接PO ，可得PO ⊥CD ，且PO =1，再由面面垂直的性质得PO ⊥平面ABCD ，又E 为PB 的中点，则点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 距离的一半，然后利用等积法求三棱锥E −PAD 的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得∠AF2F1=45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1=AF2=a，并且2a2=4c2，即a2=2c2，又S△F1AF2=4，可得a2=8，c2=4，故b2=a2−c2=4，∴椭圆E的方程为x28+y24=1．(2)直线l1的方程为y=−x+2，代入到x28+y24=1，可得3x2−8x=0，从而得A(0,2)，B(83,−23)，∴|AB|=8√23，又设直线l2的方程为y=−x+m，由条件可得−103<m<2，将y=−x+m代入到x28+y24=1，可得3x2+4mx+2m2−8=0，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1+x2=−43m，x1x2=2m2−83，∴|CD|=√2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16m29−4(2m2−8)3=√23⋅√−8m2+96=43⋅√12−m2，∵−103<m<2，∴0≤m2<1009，∴89<12−m2≤12，∴8√29<|CD|≤8√33.，当且仅当m=0时取等号，∵S ACBD=12|AB|⋅|CD|，∴S ACBD>12×8√23×8√29=6427，S ACBD≤12×8√23×8√33=32√69，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是(6427,32√69]【解析】(1)由题意可得AF1=AF2=a，即a2=2c2，根据三角形的面积可得a2=8，c2=4，即可求出椭圆的方程，(2)直线l1的方程为y=−x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y=−x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据−103<m<2，可得|CD|的范围，由S ACBD=12|AB|⋅|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围本题考查曲线方程的求法，考查四边形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．21.【答案】解：(1)a=−1时，f(x)=12x2+5−lnx，f′(x)=x−1x =x2−1x(x>0)，∴当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞)．(2)f′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，若a≤1，则当x∈[1,e]时，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增，∴f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=92−a；若1<a<e，则当1<x<a时，f′(x)<0，当a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在[1,a)上单调递减，在(a,e]上单调递增，∴f(x)在[1,e]上的最小值为f(a)=−a22−a+5+alna；若a≥e，则当x∈[1,e]时，f′(x)≤0，f(x)在[1,e]上单调递减，∴f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=e22−(a+1)e+5+a．综上，当a≤1时，f(x)的最小值为92−a；当1<a<e时，f(x)的最小值为−a22−a+5+alna；当a≥e时，f(x)的最小值为e22−(a+1)e+5+a．【解析】(1)判断f′(x)的符号变化得出f(x)的单调区间；(2)讨论a与区间[1,e]的关系，得出f(x)在[1,e]上的单调性，根据单调性求出f(x)的最小值．本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2，∴ρ2=4，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4．)，∴点A的直角坐标为(√3,1)，∵点A的极坐标为(2,π6菱形ABCD的顶点直角坐标分别为：A(√3,1)，B(−1,√3)，C(−√3,−1)，D(1,−√3).(2)√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2=√(x−√3)2+(y−1)2+(x+√3)2+(y+1)2⋅√(x+1)2+(y−√3)2+(x−1)2+(y+√3)2=√2x2+2y2+8⋅√2x2+2y2+8=2x2+2y2+8，将4x2−y2−4=0代入上式，得√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2=10x2，∵|x|≥1，∴x2≥1，∴√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2≥10，∴当x=±1时，√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2的最小值为10．【解析】(1)曲线C2的极坐标方程转化为ρ2=4，由此能求出曲线C2的直角坐标方程，点A的直角坐标为(√3,1)，由此能求出菱形ABCD的顶点直角坐标．(2)√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2=√(x−√3)2+(y−1)2+(x+√3)2+(y+1)2⋅√(x+1)2+(y−√3)2+(x−1)2+(y+√3)2=2x2+2y2+8，将4x2−y2−4=0代入上式，得√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2=10x2，推导出当x=±1时，√|MA|2+|MC|2⋅√|MB|2+|MD|2的最小值为10．本题考查曲线的直角坐标方程、点的直角坐标的求法，考查代数式的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)当a =12时，f(x)=|x +12|+|x −12|={−2x,x <−121,−12≤x ≤122x,x >12，结合图象知：f(x)<2的解集为M ={x|−1<x,1}同理可得，当a =14时，不等式f(x)<1的解集为P ={−12<x <12} (2)∵m ∈M ，n ∈P ，∴−1<m <1，−12<n <12，∴m 2<1，4n 2<1，∴(m +2n)2−(1+2mn)2=m 2+4n 2−4m 2n 2−1=(m 2−1)(1−4n 2)<0， ∴(m +2n)2<(1+2mn)2， 即|m +2n|<|1+2mn|．【解析】(1)先分3段去绝对值变成分段函数，再画图，并结合图形解不等式可得； (2))根据m ，n 的范围为可得m 2，n 2的范围，然后平方作差可证． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2025届贵州省贵阳第一中学高考适应性考试数学试卷含解析
2025届贵州省贵阳第一中学高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg5．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．7．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 8．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．4311．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 12．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学适应性试卷及答案详解
高高高高高高高高高高高高高高学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A. 3B. 4C. 5D. 62.在复平面内，复数i3−3i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设x∈R，向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(1,−2)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. √5B. 2√5C. 10D. √104.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在()A. 2楼B. 3楼C. 4楼D. 8楼5.函数f(x)=sinx−cosx的值域为()A. [−√2,√2]B. (√2,√2)C. [−√2,2)D. (−√2,2)6.如图所示的程序框图，若f(x)=log3x，g(x)=log2x，输入x=2016，则输出的ℎ(x)=()A. 2016B. 2017C. log22016D. log320167.在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=2π3，且bcosC=3ccosB，则bc的值为()A. √13−12B. 1+√132C. √132D. √1428.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 50B. 50.5C. 51.5D. 609. 用半径为√32的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则该圆柱体积的最大值为( )A. πB. √2πC. √3πD. 2π10. 函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x ∈R ，都有f′(x)>f(x)成立，若f(2)=e 2，则不等式f(x)>e x 的解是( )A. (2,+∞)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,ln2)11. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，λμ=116，则该双曲线的离心率为( ) A. 3√22B. 3√55C. 3D. 212. 对于函数f(x)=x−1x+1，设函数f 2(x)=f[f(x)]，f 3(x)=f[f 2(x)]，…，f n+1(x)=f[f n (x)](n ∈N +,n ≥2)，令集合M ={x|f 2016(x)=x,x ∈R}，则集合M 为( )A. 空集B. 实数集C. 单元素集D. 二元素集二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y ∈R ，且满足{x ≥1x −2y +3≥0y ≥x 则z =2x +3y 的最大值等于______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=5上有且仅有三个点到直线12x −5y +c =0的距离为1，则实数c 的值是______ ．15. 已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2⋅a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 6= ______ ．16. 若α，β∈[−π2,π2]，且αsinα>βsinβ，则下列关系式：①α>β； ②α<β； ③α+β>0； ④|α|>|β|； ⑤α2≤β2． 其中正确的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n−1+2n−1+3(n ≥2,n ∈N ∗).(Ⅰ)证明数{a n −2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =a n −3n ，求b n 的前n 项和T n ．18. 如图所示的三棱台ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1=1，AB =2，BC =4，∠ABB 1=45°． (1)证明：AB 1⊥平面BCC 1B 1；(2)若点D 为BC 中点，求点C 到平面AB 1D 的距离．19. 30岁以后，随着年龄的增长，人们的身体机能在逐渐退化，所以打针 买保健品这样的“健康消费”会越来越多，现对某地区不同年龄段的一些人进行了调查，得到其一年内平均“健康消费”如表： 年龄(岁) 30 35 40 45 50 健康消费(百元)58101418(1)求“健康消费”y 关于年龄x 的线性回归方程；(2)由(1)所得方程，估计该地区的人在60岁时的平均“健康消费”．(附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y .−b ̂x .，其中x .，y .为样本平均值)20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,m)，B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2√2．(1)求抛物线的方程；(2)在抛物线上任取一点P(x0,2)，过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M，N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求1k1+1k2−1k3的值．21.已知函数f(x)=(x2−ax−a)e x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若a∈(0,2)，对于任意x1，x2∈[−4,0]，都有|f(x1)−f(x2)|<(6e−2+2)⋅m恒成立，求m的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程：{x =acosαy =bsinα(α为参数)，曲线C 上的点M(1,√22)对应的参数α=π4，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P 的极坐标是(√2,π2)，直线l 过点P ，且与曲线C 交于不同的两点A 、B.(1)求曲线C 的普通方程； (2)求|PA|⋅|PB|的取值范围．23. 设f(x)=|12x +1|+|x|(x ∈R)的最小值为a ．(1)求a ；(2)已知p ，q ，r 是正实数，且满足p +q +r =3a ，求p 2+q 2+r 2的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2≤2}={x|−√2≤x≤√2}，Z为整数集，∴集合A∩Z={−1,0,1}，∴集合A∩Z中元素的个数是3个．故选：A．先求出集体合A，从而求出A∩Z，由此能求出集合A∩Z中元素的个数．本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2.【答案】B【解析】解：i3−3i =i(3+3i)(3−3i)(3+3i)=−3+3i18=−16+16i，在复平面内，复数i3−3i 对应的点的坐标为：(−16,16)，位于第二象限．故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数i3−3i ，求出在复平面内，复数i3−3i对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为|a⃗+b⃗ |，所以x−2=0，得x=2，所以a⃗+b⃗ =(3,−1)，所以|a⃗+b⃗ |=√32+(−1)2=√10；故选D．首先通过a⃗⊥b⃗ ，得到x值，然后计算|a⃗+b⃗ |.本题考查了向量垂直的性质以及由向量坐标求向量的模，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+8n ≥2√n×8n=4√2，当且仅当n=8n，即n=2√2≈3时，不满意度最小，∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．故选：B．本题主要考查基本不等式的实际应用，是基础题．同学们总的不满意度y=n+8n，由此利用基本不等式求解即可．5.【答案】A【解析】解：因为：f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，又因为：sin(x−π4)∈[−1,1]，所以：f(x)∈[−√2,√2]．故选：A．利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简函数解析式可得f(x)=√2sin(x−π4)，利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简中的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了程序框图的应用及对数值的大小比较，属于基础题．利用对数的运算性质比较可得log32016<log22016，模拟执行程序即可得解．【解答】解：∵f(2016)=log32016<g(2016)=log22016，∴模拟程序框图的运行，可知ℎ(2016)=f(2016)=log32016，∴输出ℎ(x)的值为log32016．故选：D．7.【答案】B【解析】解：△ABC中，A=2π3，且bcosC=3ccosB，∴b×a2+b2−c22ab =3c×a2+c2−b22ac，即a2=2b2−2c2；又cosA=b2+c2−a22bc =−12，∴b2+c2−a2+bc=0，∴3c2−b2+bc=0，即−(bc )2+bc+3=0，解得bc =√13+12或−√13+12(不合题意，舍去)，即bc 的值为1+√132．故选B．利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，即可解出bc的值．本题考查了三角函数的恒等变换以及余弦定理和一元二次方程的解法问题，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=12×3×4+12×3×5+12(5+2)×4+12(5+2)×5+3×5=60．故选：D．几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2√34−(x2)2=√3−x2，∴圆柱的体积V(x)=πx(3−x2)=π(−x3+3x)，0<x<√3，∴V′=3π(−x2+1)，列表如下：∴当x=1时，此圆柱体积最大．最大值为V(x)max=π(−13+3×1)=2π．故选：D．设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=√3−x2，则圆柱的体积V(x)=πx(3−x2)=π(−x3+3x)，0<x<√3，由此能求出该圆柱体积的最大值．本题考查圆柱体体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．10.【答案】A【解析】解：∵∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，∴f′(x)−f(x)>0，于是有(f(x)e x)′>0，令g(x)=f(x)e x，则有g(x)在R上单调递增，∵不等式f(x)>e x，∴g(x)>1，∵f(2)=e2，∴g(2)=f(2)e2=1，∴x>2，故选：A．构造函数g(x)=f(x)e x，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(ln2)=2，求得g(ln2)=1，继而求出答案本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．11.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ−μ=bc ，解之可得λμ的值，由λμ=116，可得a ，c 的关系，由离心率的定义可得答案． 【解答】解：双曲线的渐近线为：y =±b a x ，设焦点F(c,0)， 则A(c,bca )，B(c,−bca )，P(c,b 2a)，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(c,b 2a )=((λ+μ)c,(λ−μ)bca )，所以λ+μ=1，λ−μ=bc ， 解得：λ=c+b 2c ，μ=c−b 2c， 又由λμ=116，得：c 2−b 24c 2=116，解得a 2c 2=14，所以，e =2． 故选D ．12.【答案】B【解析】解：由题设可知f 2(x)=−1x ，f 3(x)=−x+1x−1，f 4(x)=x ， f 5(x)=x−1x+1，f 6(x)=−1x ，f 7(x)=f 3(x)=−x+1x−1，故从f 5(x)开始组成了一个以f(x)为首项，以周期为4重复出现一列代数式， 由2016=504×4，得f 2016(x)=f 4(x)，故x =x ，解得x ∈R ，故选B ．先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值即可．本题主要考查了函数的周期性，解题的关键是求函数的周期，同时考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】15【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =x x −2y +3=0，解得B(3,3)，化目标函数z =2x +3y 为y =−23x +z3，由图可知，当直线过B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】±13(√5−1)【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，属于基础题． 由题意画出图形，把圆x 2+y 2=5上有且仅有三个点到直线12x −5y +c =0的距离为1转化为原点到直线12x −5y +c =0的距离为√5−1，再由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：如图，第12页，共17页由题意可知，原点到直线12x −5y +c =0的距离为√5−1， 由点到直线的距离公式可得：√122+(−5)2=√5−1，∴c =±13(√5−1)．故答案为：±13(√5−1)． 15.【答案】632【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则可得a 1q ⋅a 1q 2=2a 1，即a 4=a 1q 3=2又a 4与2a 7的等差中项为54，所以a 4+2a 7=52，即2+2×2q 3=52，解之可得q =12，故a 1=16故S 6=16(1−126)1−12=632故答案为：632设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q =12，a 1=16，代入等比数列的求和公式可得．本题考查等比数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属中档题．16.【答案】④【解析】解：令f(x)=xsinx ，x ∈[−π2,π2]，f′(x)=sinx +xcosx ， ∴当x ∈(0,π2]时，f′(x)>0；又f(−x)=f(x)，αsinα−βsinβ>0，∴|α|>|β|．∴正确的序号是：④．故答案为：④．令f(x)=xsinx，x∈[−π2,π2]，利用导数研究其单调性奇偶性即可得出答案．本题考查了利用导数研究三角函数的单调性，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：因为a1=4，a n=a n−1+2n−1+3(n≥2,n∈N∗).所以(a n−2n)−(a n−1−2n−1)=3(n≥2,n∈N∗).所以{a n−2n}是等差数列；a1−21=2，所以a n−2n=3n−1，所以{a n}的通项公式a n=2n+3n−1；(Ⅱ)设b n=a n−3n=2n−1，所以{b n}的前n项和T n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．【解析】(Ⅰ)由已知的等式利用等差数列的定义容易证明数{a n−2n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；(Ⅱ)由b n=a n−3n，得到b n的通项公式，进一步求前n项和T n．本题考查了利用定义证明数列为等差数列，从而间接求出{a n}的通项公式，并且利用了分组求和；属于中档题．18.【答案】(1)证明：如图，过点B1作B1N⊥AB∵∠B1BN=45°，故△BNB1为等腰直角三角形，∴B1N=BN=1，∴B1B=√2，∴AB1⊥BB1．又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC．又AB⊥BC，且AB∩AA1=A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，又∵BC∩BB1=B，∴AB1⊥平面BCC1B1;(2)解：△AB1D中，AB1=√2，B1D=√6，AD=2√2，∴AB1⊥B1D，∴S△AB1D =12×√2×√6=√3．点D为BC中点，则点C到平面AB1D的距离=点B到平面AB1D的距离ℎ，由等体积可得13×12×2×2×1=13×√3ℎ，∴ℎ=2√33，∴点C到平面AB1D的距离为2√33．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，点到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(1)过点B1作B1N⊥AB.说明△BNB1为等腰直角三角形，证明AB1⊥BB1.AA1⊥BC.AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后证明AB1⊥平面BCC1B1; (2)点D为BC中点，则点C到平面AB1D的距离=点B到平面AB1D的距离，利用等体积方法，即可求解．19.【答案】解：(1)由题意，x.=50，y.=11，∴b̂=150+280+400+630+900−5×50×11 900+1225+1600+2025+2500−5×2500=39425，â=y.−b̂x.=10917，∴ŷ=39425x+10917；(2)x=60时，ŷ=39425×60+10917≈12．【解析】(1)求出回归系数，即可求“健康消费”y关于年龄x的线性回归方程；(2)由(1)所得方程，代入计算，估计该地区的人在60岁时的平均“健康消费”．本题考查回归方程，考查学生的计算能力，正确求出回归系数是关键．20.【答案】解：(1)∵抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,m)，∴m2=2p，∵B为抛物线的准线与x轴的交点，∴B(−p2,0)．又|AB|=2√2，∴(1+p2)2+m2=8，∵p>0，∴p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．(2)在抛物线上任取一点P(x0,2)，∴4x0=22，解得x0=1，∴P(1,2)．设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM的方程为：y−2=k1(x−1)，第14页，共17页联立{y −2=k 1(x −1)y 2=4x，化为：y 2−4k 1y +8k 1−4=0， 解得y =2或y =4k 1−2.∴x 1=y 124=(2−k 1)2k 12，∴M((2−k 1)2k 12,4k 1−2)．同理可得：N((2−k 2)2k 22,4k 2−2)． ∴k 3=4k 2−2−(4k 1−2)(2−k 2)2k 22−(2−k 1)2k 12=k 1k 2(k 1+k 2)−k 1k 2， 可得1k 1+1k 2−1k 3=1．【解析】(1)抛物线C ：y 2=2px(p >0)过点A(1,m)，可得m 2=2p ，由B 为抛物线的准线与x 轴的交点，可得B(−p 2,0).根据|AB|=2√2，即可得出．(2)在抛物线上任取一点P(x 0,2)，4x 0=22，解得P(1,2).设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线PM 的方程为：y −2=k 1(x −1)，与抛物线方程联立化为：y 2−4k 1y +8k 1−4=0，解得M((2−k 1)2k 12,4k 1−2).同理可得：N((2−k 2)2k 22,4k 2−2).再利用斜率计算公式化简即可得出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=(x 2−x −1)e x ，∴f′(x)=(x 2+x −2)e x ，当f′(x)=(x 2+x −2)e x >0时，解得x >1或x <−2，函数单调递增，当f′(x)=(x 2+x −2)e x <0时，解得−2<x <1，函数单调递减，∴f(x)在(−∞,−2)，(1,+∞)上为增函数，在(−2,1)上为减函数；(2)a ∈(0,2)，对于任意x 1，x 2∈[−4,0]，都有|f(x 1)−f(x 2)|<(6e −2+2)⋅m 恒成立，等价于|f(x 1)−f(x 2)|max <(6e −2+2)⋅m 恒成立，∵f′(x)=[x 2+(2−a)x −2a]e x =e x (x +2)(x −a )，令f′(x )=0，解得：x =−2或x =a ，a ∈(0,2)，令f′(x )>0，解得：x >a 或x <−2，令f′(x )<0，解得：−2<x <a ，∴f(x)在(−∞,−2)单调递增，在(−2,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，∴f(x)在(−4,−2)单调递增，在(−2,0)上单调递减，∵f(−2)=(4+a)e −2，f(0)=−a ，f(−4)=(16+3a)e −4>0>−a ，第16页，共17页∴|f(x 1)−f(x 2)|max =f(−2)−f(0)=(4+a)e −2+a ，则问题转化为对于任意的a ∈(0,2)，(6e −2+2)⋅m >(4+a)e −2+a 恒成立，故m >(4+a)e −2+a 6e −2+2=a(e 2+1)+42(e 2+3)在a ∈(0,2)恒成立， 而a(e 2+1)+42(e 2+3)<2(e 2+1)+42(e 2+3)=1，故m ≥1．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的由来以及转化思想，是一道较难题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题等价于|f(x 1)−f(x 2)|max <(6e −2+2)⋅m 恒成立，求出|f(x 1)−f(x 2)|max ，问题转化为对于任意的a ∈(0,2)，(6e −2+2)⋅m >(4+a)e −2+a 恒成立，即故m >(4+a)e −2+a6e −2+2=a(e 2+1)+42(e 2+3)在a ∈(0,2)恒成立，从而求出m 的范围即可．22.【答案】解：(I)由椭圆参数方程可得{1=acos π4√22=bsin π4，解得a =√2，b =1.∴曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =sinα，其直角坐标方程为：x 22+y 2=1，可得ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ=2． (II)点P 的极坐标是(√2,π2)化为直角坐标为(0,√2)，直线l 的参数方程为{x =tcosθy =√2+tsinθ，代入曲线C 的方程可得：(1+sin 2θ)t 2+4√2sinθt +2=0，∴|PA|⋅|PB|=−t 1t 2=21+sin 2θ∈[1,2]【解析】(I)由椭圆参数方程可得{1=acos π4√22=bsin π4，解得a ，b.可得曲线C 的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x =ρcosθ，y =ρsinθ，可化为极坐标方程．(II)写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|⋅|PB|=−t 1t 2，进而得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．x−1≥2；23.【答案】解：(1)x≤−2时，f(x)=−32x+1∈(1,2)；−2<x<0时，f(x)=−12x+1≥1x≥0时，f(x)=32∴f(x)的最小值为1，即a=1；(2)由(1)知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=32=9，即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．【解析】(1)分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；(2)由柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2，即可求p2+q2+r2的最小值．本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。
浙江省杭州市北斗联盟2025届高考适应性考试数学试卷含解析
浙江省杭州市北斗联盟2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．211-B ．525-C ．25D ．251-2．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．23．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．334．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．35．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2747．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A ．131+ B ．132+ C ．151+D ．152+8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π9．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ． 5B ．52C ．52-D ．-510．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．211．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．812．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ） A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
皖豫联盟体2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
皖豫联盟体2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-3．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164814．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1695．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．36．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 8．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度9．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.3510．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．311．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)12．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省普通高中第二共同体2025届高考适应性考试数学试卷含解析
浙江省普通高中第二共同体2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解: 2．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞ 3．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A B C D 4．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．35．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA =PB =AB ＝4，CA ＝CB =面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π 6．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．57．函数22cos x x y x x--=-的图像大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．8．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD e9．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．11．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-12．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤C ．()2,3D ．{}32x x -≤<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考八省联考数学适应性试卷附答案解析全文
2024年高考八省联考数学适应性试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A⋂B＝（）A．{2，4}B．{1，4}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．（5分）若（1+2i）＝4+3i，则z＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加．主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）A．15B．30C．25D．164．（5分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+1）（0＜a＜1），若f（x）的最小值为﹣2，则a＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知椭圆C：，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若F1、A、F2、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线l：x+y+m＝0和圆C：x2+y2+4y＝0相交于M，N两点，当△CMN的面积最大时，m＝（）A．m＝0或m＝2B．m＝﹣4或m＝4C．m＝0或m＝4D．m＝0或m＝﹣4 7．（5分）在数列{a n}中，a1＝1．若命题，命题是等比数列，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要8．（5分）设，若，则tanθ＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知一组样本数据x i＝2i（1≤i≤10，i∈N+），由这组数据得到另一组新的样本数据y1，y2，…，y10，其中y i＝x i﹣20，则（）A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差相同C．样本数据y1，y2，…，y10的第30百分位数为﹣13D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为10（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在的值域为[﹣，2]D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得函数为g（x）＝2sin2x（多选）11．（5分）已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且，f（0）≠0，则以下结论一定正确的有（）A．f（0）＝1B．f（x）是奇函数C．f（x）关于中心对称D．f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝0（多选）12．（5分）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1内灌进一些水，，AC＝AA1＝4，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）A．当底面AA1C1C水平放置后，固定容器底面一边CC1于水平地面上，将容器绕着CC1转动，则没有水的部分一定是棱柱B．转动容器，当平面AA1C1C水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝a•e x﹣e﹣x是奇函数，则a＝．14．（5分）已知向量，满足，，，则＝．15．（5分）已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为．16．（5分）已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），则|AF|+|BF|＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．18．（12分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．19．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（1，1）的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．20．（12分）如图，三棱台ABC﹣DEF，H在AC边上，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACD＝60°，CH＝2，CD＝4，BC＝，BH⊥BC．（1）证明：EF⊥BD；（2）若，△DEF面积为，求CF与平面ABD所成角的正弦值．21．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，求证：．2024年高考八省联考数学适应性试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A⋂B＝（）A．{2，4}B．{1，4}C．{3，4}D．{2，3，4}【解答】解：由x2﹣2x﹣8≤0，解得﹣2≤x≤4，又因为x∈Z，所以A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，又由log2x＞1，解得x＞2，所以B＝{x|x＞2}，所以A⋂B＝{3，4}．故选：C．2．（5分）若（1+2i）＝4+3i，则z＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：（1+2i）＝4+3i，则＝＝2﹣i，所以z＝2+i．故选：B．3．（5分）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加．主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）A．15B．30C．25D．16【解答】解：5名志愿者分为两组，当两组人数分别为1和4时，此时有种情况，当两组人数分别为2和3时，此时有种情况，综上，不同的安排方案总数为10+20＝30．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+1）（0＜a＜1），若f（x）的最小值为﹣2，则a＝（）A．B．C．D．【解答】解：由，得﹣1＜x＜3，所以函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+1）（0＜a＜1）定义域为（﹣1，3），因为y＝log a（3﹣x）+log a（x+1）＝log a[（3﹣x）（x+1）]由外层函数y＝log a t（0＜a＜1）和内层函数t＝（3﹣x）（x+1）复合而成，当﹣1＜x＜1时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以f（x）单调递减，当1＜x＜3时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝log a4＝﹣2，所以，又因为0＜a＜1，所以．故选：C．5．（5分）已知椭圆C：，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若F1、A、F2、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由对称性可知，四边形F1AF2B为平行四边形，又F1、A、F2、B四点共圆，可得四边形F1AF2B为矩形，∵直线与椭圆交于A、B两点，∴，∴|BF2|＝c，可得|BF1|＝2a﹣c，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得：（2a﹣c）2+c2＝4c2，整理得：e2+2e﹣2＝0，解得e＝（负值舍去）．故选：C．6．（5分）已知直线l：x+y+m＝0和圆C：x2+y2+4y＝0相交于M，N两点，当△CMN的面积最大时，m＝（）A．m＝0或m＝2B．m＝﹣4或m＝4C．m＝0或m＝4D．m＝0或m＝﹣4【解答】解：圆C：x2+y2+4y＝0，圆心为（0，﹣2），半径为r＝2，则圆心到直线l：x+y+m＝0的距离为，则弦长为，则△CMN的面积为＝，令（m﹣2）2＝t，t≥0，则，取得最大值，则当t＝4时，S△CMN此时（m﹣2）2＝4，解得m＝0或m＝4．故选：C．7．（5分）在数列{a n}中，a1＝1．若命题，命题是等比数列，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【解答】解：充分性：若，得，则数列是以为首项，﹣1为公比的等比数列，则p能推出q；必要性：若是等比数列，则，则，则t为不为0的常数，故q不能推出p，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．8．（5分）设，若，则tanθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，所以，即，又因为，所以，则，所以．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知一组样本数据x i＝2i（1≤i≤10，i∈N+），由这组数据得到另一组新的样本数据y1，y2，…，y10，其中y i＝x i﹣20，则（）A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差相同C．样本数据y1，y2，…，y10的第30百分位数为﹣13D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为10【解答】解：由题意可得：，∵y i＝x i﹣20，则，，故A错误，B正确；由于求y i第30百分位数：10×0.3＝3，故为第3个数和第4个数的平均数，y i的排列为：﹣18，﹣16，﹣14，﹣12，﹣10，⋯，0，因此，第30百分位数为，C正确；将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，新样本的平均数为，D错误．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在的值域为[﹣，2]D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得函数为g（x）＝2sin2x【解答】解：由图可知，A＝2，周期T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2cos（2x+φ），因为函数f（x）的图象过点（，﹣2），所以f（）＝2cos（2•+φ）＝﹣2，即cos（+φ）＝﹣1，所以+φ＝π+2kπ，k∈Z，即φ＝﹣+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），选项A，f（）＝2cos（2•﹣）＝2，所以函数f（x）的图象关于直线对称，即选项A正确；选项B，f（）＝2cos（2•﹣）＝﹣1≠0，所以函数f（x）的图象不关于点对称，即选项B错误；选项C，当x∈时，2x﹣∈[﹣，]，所以cos（2x﹣）∈[﹣，1]，2cos（2x﹣）∈[﹣，2]，所以函数f（x）在的值域为[﹣，2]，即选项C正确；选项D，将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2cos[2（x﹣）﹣]＝2sin2x ＝g（x），即选项D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且，f（0）≠0，则以下结论一定正确的有（）A．f（0）＝1B．f（x）是奇函数C．f（x）关于中心对称D．f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝0【解答】解：对A，令x＝y＝0可得，f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），因为f（0）≠0，所以f（0）＝1，A正确；对B，因为f（0）≠0，所以f（x）不是奇函数，B错误；对C，令，则有，所以，所以f（x）关于中心对称，C正确；对D，令x＝0可得，f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y），即f（﹣y）＝f（y），所以函数f（x）是偶函数，由f（x）关于中心对称，可得f（x）＝﹣f（1﹣x），结合函数为偶函数，可得f（x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1）＝﹣[﹣f（2﹣x）]＝﹣[﹣f （x﹣2）]＝f（x﹣2），所以函数f（x）的周期为2，令，可得，所以f（0）+f（1）＝0，所以f（1）＝﹣1，所以f（1）+f（2）＝0，所以f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝1011×[f（1）+f（2）]+f（2023）＝f（2023）＝f（1）＝﹣1，D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1内灌进一些水，，AC＝AA1＝4，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）A．当底面AA1C1C水平放置后，固定容器底面一边CC1于水平地面上，将容器绕着CC1转动，则没有水的部分一定是棱柱B．转动容器，当平面AA1C1C水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为【解答】解A：当平面AA1C1C水平放置时（CC1始终保持水平），则平面ABC∥平面A1B1C1，所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确；B：当平面AA1C1C水平放置时，假设D，E，F，G都为所在棱的中点，设水面到底面的的距离为h，AB＝a，BC＝b，所以水的体积为＝2ab﹣＝ab，又转动前水的体积为，所以D，E，F，G不为所在棱的中点，故B错误；C：在翻滚、转动容器的过程中，当平面ABC水平放置时，三棱锥A1﹣ABC的体积取到最大值，如图，此时，而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；D：取AC，A1C的中点D，D1，连接DD1，取DD1的中点O，连接OA，则D为Rt△ABC的外接圆圆心，O为三棱柱ABC﹣A1B1C外接球的球心，所以OA为外接球的半径，且，所以直三棱柱外接球体积，由选项B可知，容器中水的体积为V＝ab，又a2+b2＝42＝16，所以16＝a2+b2≥2ab⇒ab水＝ab≤8，≤8，当且仅当时等号成立，所以V水则水的体积与直三接柱外接球体积之比为≤＝，即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝a•e x﹣e﹣x是奇函数，则a＝1．【解答】解：∵f（x）＝a•e x﹣e﹣x，∴f（﹣x）＝a•e﹣x﹣e x，又f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即a•e x﹣e﹣x＝﹣（a•e﹣x﹣e x），∴（a﹣1）（e x﹣e﹣x）＝0，解得a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知向量，满足，，，则＝．【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，即，所以，所以．故答案为：．15．（5分）已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为4π．【解答】解：设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，高为h，母线长为l，则h＝（R﹣r）•tan60°＝（R﹣r），所以圆台的轴截面面积为×（2R+2r）×h＝（R+r）×（R﹣r）＝（R2﹣r2）＝6，所以R2﹣r2＝2；所以圆台的侧面积为π（R+r）l＝π（R+r）×2（R﹣r）＝2π（R2﹣r2）＝4π．故答案为：4π．16．（5分）已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），则|AF|+|BF|＝．【解答】解：∵OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），∴，∴k AB＝2，∴AB直线方程为y﹣1＝2（x+2），即y＝2x+5，联立，可得x2﹣4px﹣10p＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∵，∴x1x2+y1y2＝＝﹣10p+＝﹣10p+25＝20，∴p＝，∴抛物线方程为x2＝y，∴|AF|+|BF|＝p+y1+y2＝p+2x1+5+2x2+5＝2（x1+x2）+5+p＝9p+5＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cos B＝﹣，∴sin B＝，由正弦定理有：，∴sin A＝＝，∴sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A＝．18．（12分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．【解答】解：（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则，，故．（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，，，，，＝＝，故．19．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（1，1）的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．【解答】解：（1）因为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x，所以，解得a2＝1，b2＝2，c2＝3，所以双曲线C的方程为x2﹣＝1．（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1，此时与双曲线只有一个交点，不成立，当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以Δ＝（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＝﹣16k+24＞0，即k＜，所以x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+2＝k•﹣2k+2＝，所以＝，＝，所以AB的中点坐标为（，），若P时AB的中点，则，解得k＝2，不符合k＜，所以k无解，所以P不能为AB的中点．20．（12分）如图，三棱台ABC﹣DEF，H在AC边上，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACD＝60°，CH＝2，CD＝4，BC＝，BH⊥BC．（1）证明：EF⊥BD；（2）若，△DEF面积为，求CF与平面ABD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在△ADH中，∠ACD＝60°，CH＝2，CD＝4，由余弦定理得，解得，所以CD2＝CH2+DH2，所以DH⊥AC，又因为平面ACFD⊥平面ABC，平面ACFD∩平面ABC＝AC，DH⊂平面ACFD，所以DH⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以DH⊥BC，又因为BH⊥BC，BH∩DH＝H，BH⊂平面BDH，DH⊂平面BDH，所以BC⊥平面BDH，因为DB⊂平面BDH，所以BC⊥DB，又因为BC∥EF，所以EF⊥DB；解：（2）在Rt△BCH中，BH⊥BC，CH＝2，，所以，所以∠ACB＝30°，因为，ADEF面积为，所以，所以，又因为，解得AC＝3，则AC＝3＝AH+HC，所以AH＝1，由（1）知DH⊥平面ABC，则以H为原点，，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，，C（0，2，0），，所以，，，设平面ABD法向量为，则，令，得平面ABD的一个法向量为，设CF与平面ABD所成角为θ，则sinθ＝＝＝＝，所以CF与平面ABD所成角的正弦值为．21．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由a n+1＝2S n+2，可得a n＝2S n﹣1+2（n≥2），两式相减可得a n+1＝3a n （n≥2），由于{a n}为等比数列，可得a2＝3a1＝2S1+2＝2a1+2，解得a1＝2，所以a n＝2×3n﹣1；（2）由（1）可知a n＝2×3n﹣1，a n+1＝2×3n．因为a n+1＝a n+（n+2﹣1）d n，所以d n＝，假设在数列{d n}中存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则（d k）2＝d m d p，即（）2＝•，化简得＝（*）因为m，k，p成等差数列，所以m+p＝2k，从而（*）可以化简为k2＝mp．联立，可得k＝m＝p，这与题设矛盾．所以数列{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，求证：．【解答】解：（1）由已知条件得函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝x﹣+1﹣a＝＝，因为x＞0，x+1＞0，①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上为单调递增．②当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，a）上为单调递减，在（a，+∞）上为单调递增；综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）上为单调递减，在（a，+∞）上为单调递增；（2）证明：当a＝1时，f（x ）＝x2﹣lnx+1，要证原式成立，需证lnx+1≤x（e x﹣1）成立，即需证xe x﹣lnx﹣x﹣1≥0成立，令g（x）＝xe x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则g′（x）＝e x+xe x ﹣﹣1＝（x+1）（e x ﹣），令u（x）＝e x﹣，则u′（x）＝e x +＞0，故u（x）在（0，+∞）上单调递增，u （）＝﹣2＜0，u（1）＝e﹣1＞0，由零点存在性定理可知，存在x0使u（x0）＝0，则在（0，x0）上u（x）＜0，在（x0，+∞）上u（x）＞0，即在（0，x0）上g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，则g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）单调递增，在x＝x0处取得最小值，由u（x0）＝0可得u（x0）＝﹣＝0，即x0＝1，两边同取对数ln （x0）＝ln1，即x0+lnx0＝0，g（x）的最小值为g（x0）＝x0﹣lnx0﹣x0﹣1＝0，即xe x﹣lnx﹣x﹣1≥0成立，故当a＝0时，成立．第21页（共21页）。
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高考适应性考试数学试卷姓名一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(,)|A x y y x ==，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A 、B 的关系为 ( )A ．AB =B ．A ÜBC ．B ÜAD ．AB =φ2则样本在区间上的频率为（其中+） ( )A ．0.5 B. 0.7 C. 0.25 D. 0.053．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至少有1个白球，都是红球4．由约束条件021y xy x t x t ≤≤⎧⎪≤-⎨⎪≤≤+⎩所确定的区域面积为S ，记()S f t =(01)t ≤≤，则()f t =( )A ．212t t -++B ．222t t -+C ．2112t -D ．21(2)2t - 5．已知双曲线22221x y a b -=和椭圆22221(0,0)x y a m b m b+=>>>的离心率互为倒数，那么以,,a b m 为边的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 6．设一个正多面体的面数为F ，顶点数为V ，若F+V=8，且它的各条棱长都等于4，则这多面体的外接球的球面面积是 ( )A ．12πB ．24πC ．16πD ．28π 7．下列判断中错误的个数是( )（1）命题“若q 则p ”与命题“若p ⌝则q ⌝”互为逆否命题；（2）“22am bm <”是“a b <”的充要条件；（3）在ABC ∆中，若1sin 2A <，则6A π<； （4）命题“1{1,2}4{1,2}⊂∉或”为真命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面 BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于 ( )A ．43 B ．47C ．773D ．34 9.已知(4,3)OA =，函数2()f x x mx n =++的图象按向量OA 平移得到的图象，恰与直线480x y +-=相切于点(1,4)T ，则()y f x =的解析式为( )A ．2()21f x x x =++B ．2()22f x x x =++C ．2()22f x x x =+-D ．2()2f x x x =+10. 函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(1)(1)f f -+的值一定 ( ) A. 等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于2-11、如图,在杨辉三角中,斜线l 的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,……，记其前n 项和为n S ,则19S 等于 ( )A ．129B ．172C ．228D ．28312.2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．已知１个细菌MD 在杀死１个病毒N 后，变成了２个细菌M ，那么１个细菌M 和2047个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是( )A ．1024B ．2047C ．2048D ．2049二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．过点P 和曲线1()f x x x=-(0x >)相切的直线与2y x =平行，则此直线方程为 14．已知数列{}n a 的通项公式为31n a n =+，则在456(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，含3x 的项的系数是数列{}n a 中的第 项。
AC DB(A)O115．已知0a b >>，则216()a b a b +-的最小值为 。
16．点P 是双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 和圆22222:b a y x C +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知锐角△ABC 中，三个内角为A 、B 、C ，两向量)sin cos ,sin 22(A A A +-=，A A A 与若),sin 1,cos (sin +-=是共线向量。
（I ）求∠A 的大小；（II ）求函数y=2sin 2B+cos(32C B-)取最大值时，∠B 的大小18．（12分）现有10条活鱼养在一水池中，其中有6条鲫鱼，4条鲤鱼，某人每天随机从水池中取出3条鱼进行观察，（1）若此人将3条鱼一次取出，求取出的3条鱼中两种鱼均出现的概率；（2）若此人将3条鱼分三次取出，每次取出一条鱼观察后又放回水池中，求第二次、第三次均取到鲤鱼的概率。
19．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=32，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C.（1）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （2）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离； （3）求异面直线1AC 与1BC 所成的角。
20．（12分）已知函数32()f x ax bx c =++的图象过点(0,1)，且在1x =处的切线方程为21y x =-（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[0,]m 上有最小值1927，求实数m 的取值范围。
A B C 1A 1B 1C21．（12分）已知抛物线22x y =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，现某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想： （1）直线PA PB ⊥恒成立； （2）直线AB 恒过定点F ；（3）等式2FA FB FP ⋅=λ中的λ恒为常数。
请你一一进行验证。
22．（14分）设{}n a 、{}n b 为两个数列,记1231ni n n i a a a a a S ==+++=∑(*∈N n )(1)求证:)(1111+-==-+=∑∑i i n i i n n ini i b b S b S ba(2)设数列{}n a 满足11=∑=n i i a ,01=∑=ni i a ,①求证:21≤i S ,(n i ,3,2,1=)； ②)11(211n ia ni i -≤∑=高考适应性考试数学试卷评分标准17、解：(1)p =(2－2sinA,cosA+sinA)，q =(sinA －cosA,1+sinA)，∵//∴（2－2sinA ）(1+sinA)－(cosA+sinA)(sinA －cosA)=0;―――――2分化简得：23sin 4A =―――――――――――――――――――――――――3分 ∵△ABC 为锐角三角形，sinA=23∴A =60° ――――――――――――――6分（2）y=2sin 2B+cos(23B c -)=2sin 2B+cos(23BA B ---π)=2sin 2B+cos(2B －60°)=1－cos2B+cos(2B －60°) =1+sin(2B －30°)―――――――――――――――10分当B=60°时取最大值2―――――――――――――――――――――――――12分 18、解：(1)记“一次取出3条鱼，其中两种鱼均出现”为事件A,――――――――2分则122164643104()5C C C C P A C ⋅+⋅==――――――――――――――――――――――6分 （2）记“每次取出鱼后放回，在三次取鱼中，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B ，“每次取出鱼后放回，第一次取到鲫鱼，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B 1，“每次取出鱼后放回，三次均取到鲤鱼”为事件B 2，则2164()()1010P B =⨯，324()()10P B =－10分 ∴21244()()()()1025P B P B P B =+==―――――――――――――――――――12分 19、（1）取AC 中点D 连A 1D ，则易知A 1D ⊥底面ABC ，取AB 中点E ，连1,DE A E ，可得DE//BC 且DE 21=BC ，∴DE ⊥AB ，由三垂线定理可得A 1E ⊥AB ，∴∠A 1ED 为侧面A 1ABB 1与底面ABC 的所成二面角的平面角∵A 1D=,3DE=1 ∴∠A 1ED=60°，面A 1ABB 1与底面ABC 的所成二面角为60°―4分 （2）设C 到侧面A 1ABB 1的距离为h ，∵h S D A S V B AA ABC ABC A ⋅=⋅=∆∆-1131311又∵3,2221,22111==∴=⋅==∆∆D A h E A AB S S AB A ABC即顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离为3.－8分（3）取D 点为坐标原点，过D 点垂直于DC 的直线为x 轴，DC 为y 轴，1DA 为z 轴建立空间直角坐标系。
易得：1A 、C 、1C 、B ，∴1AC =，1(BC =，∴11,COS AC BC <>1111||||AC BC AC BC ⋅=⋅==∴异面直线1AC 与1BC 所成的角为――――――――――――――12分 20、解：∵2()32f x ax bx '=+，∴(1)322f a b '=+=又(0)1,(1)1f f ==， ∴1c =，1a b c ++=，∴2,2,1a b c ==-=∴32()221f x x x =-+―――――――――――――――――――――――――4分 （2）∵22()646()3f x x x x x '=-=-，∴当2[0,]3x ∈时，()0f x '≤，2[,)3x ∈+∞时，()0f x '≥，∴()f x 在2[0,]3上单调减，在2[,)3+∞上单调增。
――――――――6分又∵3222219()2()2()133327f =⨯-⨯+=，所以①当203m <<时，()f x 在[0,]m 上单调减，故min ()()f x f m =219()327f >=，故203m <<不合题意―――――――――――――――――――――――――――9分②当23m ≥时，32min 22219()()2()2()133327f x f ==⨯-⨯+=，适合题意。