东华大学《线性代数》期末考试题2017-2018(1)线代A试卷A
2017~2018(一)概率统计试卷(理工类)A卷(答案)
X2
...
X 100
1 } （用中心极限定理）
100
3
解： EX
1
xf (x)dx
1
x 2xdx
1
2 x 2 dx
2
0
0
0
3
EX 2 1 x 2 2xdx 1 2x3dx 1 , DX EX 2 (EX )2 1
0
0
2
18
P{ X1
M (M 1)
3.在 H0 为原假设, H1 为备择假设的假设检验中,若显著性水平为 ,则（ C ）。 （A） P （接受 H0 H0 成立）= ； （B） P （接受 H1 H1 成立）= ； （C） P （接受 H1 H0 成立）= ； （D） P （接受 H0 H1 成立）= 。
4. 设随机变量 X 和Y ，若 E( XY ) E( X )E(Y ) ，则下列结论一定成立的是（B ）。
f
(x,
y)
Axe y
,0
x
1,0
y
x
2
0,
其他
求：（1）常数 A；（2）求 X 与 Y 的边缘概率密度 f X (x) 和 fY ( y) ；（3）判断 X 与 Y 的独立
性。
解：（1） f (x, y)dxdy 1
D
f (x, y)dxdy
U W ， 拒绝 H 0 ,认为元器件的平均寿命有显著变化。
（八）（6）
已知 X 1 和 X 2 的概率分布律：
1
X1
~
1
0 1
17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。
设A 为正交矩阵,则A = ；6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。
东华大学 线性代数试题答案
线代B 试卷答案一、填空题（每小题4分，共40分）.1、132. 2、1632816−−⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3、2−. 4、1(2)X A E A −=− 5、7A =. 6、 73⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7、24−.8、可能无解. 9、 101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，1. 10、1,2,2,− 1. 二、3132332131323211421419 6.421214111or C C C −−−++=−+=−−+=− （6+1分）三、2131101100101100[,]111010010110112001011101r r r r A I −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦32132(1)101100100311010110010110001211001211r r r r r +−×−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯⎯→−⎯⎯⎯→−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦， 故 1311110.211A −−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦（6+1分）四、123102*********[]012101210121110201210000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a ab （5分） 122323,2 1.x x x x +=⎧⎨−=−⎩ 有无穷多解。
b 是123,,a a a 线性组合， （1分）且b 123(32)(12)a a a λλλ=−+−++，λ是任意常数. （1分）五、与121u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦正交的向量x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应满足方程20x y z +−= (3分)它的一个基础解系为12110,1,11v v −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2分) 故与u 正交的所有向量 121101,11x y k k z −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 其中12,k k 为任意常数. (1分){}(,,)20T H x y z x y z =+−=是一个平面，它是3 的子空间，维数是2. (2分)六、证 123121912191219[]2575015130151337810152800015v v v p −−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦∼∼2分方程112233++=x v x v x v p 无解，p 不属于ColA . 1分由121902575037810Ap −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得p 属于NulA 1+1分（2）由[]123121121257015378000−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦∼A v v v ， 得123,,v v v 线性相关，故123,,v v v 不可以生成3R . 1分ColA 的基为12122,537⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦v v ，维数为2. 1+1分由1232320,50,x x x x x +−=⎧⎨−=⎩ 得 NulA 的基为951−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，维数为1. 1+1分七、解法一 111111111a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠211101110011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠ 111010(1)(2)0011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠4分（a ） 当1a ≠时，11110010102010200110011a A a a −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎯⎯→+⎯⎯→+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠方程组有唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分（b ） 当1a =时，111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠A对应方程为1231x x x ++=，令2132,x k x k ==，得11221321,,,x k k x k x k =−−+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故通解为12123111100,010x x k k x −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中12,k k 为任意常数. 2+1分解法二 211111111011(1)1101A a a a a aa ==−−=−−−， 4分（a ）当1a ≠时，0A ≠，方程组有唯一解；唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分 （b ）当1a =时，111111111111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 方程组有无穷多解.(通解的求法同解法一）. 2+1分八、二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100032023A ,（2分）0)5()1(100320232=−−−=−−−−−=−λλλλλλE A ,特征值1,5321===λλλ. （2分）当51=λ时，0)5(=−x E A的系数矩阵,000100011~4000220225⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=0111p . （1分）当132==λλ时，0)(=−x E A的系数矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000000011~000022022E A , ,0112⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p .1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p （2分）,1p ,2p 3p 已经正交, 单位化,得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011211e ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011211e ,.1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=e令()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==20001101121321e e e P (1分） 作变换y P x=，二次型化为标准形 2322215y y y f ++=. （1分） 该二次型f 是正定的. （1分）二次型f 在1Tx x =时的最大值是5. （1分）。
《线性代数》东华大学 2016--2017 学年第二学期期末试题 A 卷
矩阵.
a11 a12 a13
4a11 a13 2a11 − 3a12
2、设行列式 a21 a22 a23 = 1 ，则行列式 4a21 a23 2a21 − 3a22 =
.
a31 a32 a33
4a31 a33 2a31 − 3a32
3、设
A
=
⎡1 ⎢⎣4
2⎤ 3⎥⎦
,
B
=
⎡x ⎢⎣2
1⎤ −1⎥⎦
4
b
及特征
⎢⎣−1⎥⎦
⎢⎣−1 b −2 ⎥⎦
向量 v 所对应的特征值 λ 。
2
⎡ 2 2 3⎤
五、（7
分）已知矩阵
A
=
⎢ ⎢
1
−1 0⎥⎥ ，用行化简法求 A−1 .
⎢⎣−1 2 1⎥⎦
⎡1 1 1 4 ⎤
⎡−3⎤
六、（9
分）设
A
=
⎢⎢1 ⎢2
−1 1
3 3
−2⎥⎥ 5⎥
,
u
=
⎢⎢ −1⎥⎥ ⎢−5⎥
7、设向量
⎢ ⎢
2⎥⎥
,
⎢⎢k
⎥ ⎥
,
⎢⎢−1⎥⎥ 线性相关，则参数 k 满足条件
.
⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
⎡ x1 ⎤
8、写出与向量
⎢⎢−2⎥⎥
正交的所有向量
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
.
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦
9、 3× 3 矩阵 A 的特征值为 −2, 1, 3 ，则四个矩阵 2I − A, 2I + A, I − A, A − 3I 中为可逆矩
x4 = − x4
2017级线代试卷A (1) -评分标准
此时
x1 x3 1
x2
x3
1
,令 x3 C
1 1
得通解
X
C 11
2 0
.
其中 C 为任意常数 .
12
故 R 1, 2, 3, 4 =2
1, 2为一个最大无关组
3=
5 2
1
1 2
2
4 3 1 2 2.
12
2
江南大学考试卷专用纸
本题 得分
五、(本题12 分) 求一个正交变换将二次型 f
因此当 l m 1 0 时，上述方程组只有零解.向量组 l 1 2 ， 2 3 , m 3 1 线性无关.
当 l m 1=0 时，上述方程组有非零解.向量组 l 1 2 ， 2 3 , m 3 1 线性相关.
6
3
得分
4= 5，2，4, 10T ,求该向量组的秩以及一个最大无关组，并将其余向量用该最大
无关组线性表示.
解：
1 1 3 5
1 1 3 5
1,
2,
3,
4
2 0
4 2
3 1
2 4
r2 2 r1
r4 2r1
0 0
6 2
3
12
1 4
2
2
6
10
0 0 0 0
1
r2 r3
江南大学考试卷专用纸
2017《线性代数 I》期末考试卷(A)评分标准
使用专业、班级
学号
姓名
l
8
若二次型 f
x1, x2 , x3
x12
x
2 2
2
x
2 3
2 t
x1
x2
东华大学《线性代数》期末考试题2018-2019(1)线代A试卷A答案
东华大学 2018--2019 学年第一学期期末试题A 卷答案 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
考试科目 线性代数 A 使用专业 全校相关专业一1. 1. 设B A ,都是n 阶方阵,且3,2==B A ,则=00BA ()16n- .2. 设A 是n m ⨯矩阵,TA 是A 的转置矩阵,且TA 的行向量组线性无关. 则秩=)(A n3设A 是n m ⨯阶矩阵,B 是s n ⨯阶矩阵,()r A R =,且0=AB ,则()B R 的取值范围是________()min(,)r B s n r ≤-_______4. 若一组非零向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 无关 （线性相关或无关）5.设β1、β2是非齐次方程组A x =b 的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用β1 ,β2α ,表示A x =b 的通解为 122ka ββ++（答案不唯一）6设A 为3阶方阵,*A 为伴随矩阵,81=A ,则*1831A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_____64______ 7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14523121x A 是不可逆矩阵,则=x _____113_______ 8. 设A 是43⨯矩阵,(),2=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ,则()=BA R __2______ 9设可逆方阵A 的特征值为λ，则k A -1的特征值为kλ。
10. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为___负定_____。
二、（10分））计算行列式的值1234523451345124512351234A =解：12345112342345110-5= (33451210)0-504512310-500512341-53123400005= (3000500050005)000000-500-503........30-500-50001875.......1A =----==分分分分三、（12分）设方阵A 满足2+=4A A E ，证明-A E 可逆，并求其逆。
《线性代数》东华大学 2016--2017 学年第一学期期末试题 A 卷
次型 f 化为没有交叉项的形式，并给出正交矩阵 P 和新的二次型.
4
4、向量 x = ⎢
.
⎡5⎤ ⎡1⎤ ⎡ −3 ⎤ 2 相对于 \ 的基 b1 = ⎢ ⎥ , b2 = ⎢ ⎥ 的坐标向量为 ⎥ ⎣ −1⎦ ⎣2⎦ ⎣ −4 ⎦
⎡−2 ⎤ T ，则 u u = ⎥ ⎣ 1 ⎦
， u u =
T
.
5、设向量 u = ⎢
.
6、设 AB = C ，其中 A = ⎢
⎡1 −2 ⎤ ⎡ −5 1 ⎤ , C=⎢ ⎥ ⎥ ，则矩阵 B 的行列式 B = ⎣2 1 ⎦ ⎣ 0 2⎦
东华大学 2016--2017 学年第一学期期末试题 A 卷 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。 使用专业 相关专业 考试科目 线性代数 B 教师
试题 得分
班号____ 学号
一 二 三 四
姓名
五 六 七
考试教室
八 总分
一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）.
1、 一个顶点在原点， 相邻顶点在 (1, 0, −1), (2, −1, 4), (0, −3, 2) 的平行六面体的体积为 .
1 −1 0 3 三、 （7 分）计算行列式 −1 1 1 2
0 2 5 3
1 0 . 6 4
⎡ 1 −2 2 ⎤ ⎢ ⎥ −1 四、 （7 分）已知矩阵 A = −2 4 −5 ，用行化简法求 A . ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 3 −5 6 ⎥ ⎦
2
⎡1 ⎤ ⎡ − 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 五、 （8 分）设 v 1 = 2 , v 2 = 3 , u 与 v1 正交，且 u = v 2 − λ v1 , 求数 λ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ − 1⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦
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东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
一1. 0
3121
111x
中一次项x 的系数为 .
2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则
=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=71413
1000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1
-*
2B
A
6.正交矩阵的行列式为
7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .
8.已知二次型3231212
32
22
142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为
9.已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,02
2=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.
二.（10分）设三阶实对称矩阵
A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量
为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。
三、（10分）已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .
四、（10分）已知
3R 中的向量组321ααα，，线性无关
，向量组
,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。
五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002
（1）求b a 、的值。
（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1
-
六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+=+-=-+1
554212321
321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？
并在无穷多解时写出方程组的通解。
七、(6分)
B A 、均为n 阶矩阵，0=AB ，求证：秩A +秩B n ≤。