线代期末考试题
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线代期末试题及答案解析
线代期末试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个矩阵是零阵？A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}2 & -2 \\ -3 & 3\end{bmatrix}$答案：B解析：零阵是所有元素都为0的方阵，选项B满足此条件。
2. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=I$，其中$I$为单位矩阵，则矩阵$B$是矩阵$A$的：A. 逆矩阵B. 转置矩阵C. 相反矩阵D. 对角矩阵答案：A解析：若矩阵$A$的逆矩阵存在，则$A$的逆矩阵为$B$。
3. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$答案：D解析：对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵，选项D满足此条件。
4. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=BA$，则矩阵$A$和$B$是：A. 可逆矩阵B. 特征矩阵C. 对角矩阵D. 可交换矩阵答案：D解析：可交换矩阵是指满足$AB=BA$的矩阵，选项D满足此条件。
5. 若行矩阵$\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$满足$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$，其中$\mathbf{0}$为零向量，则下列哪个说法是正确的？A. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定不相等B. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定相等C. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$可能相等也可能不相等D. 不能确定$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是否相等答案：C解析：行向量的内积为零意味着两个向量正交，不一定相等，所以选项C是正确的。
期末线代试题及答案
期末线代试题及答案一、选择题（每题2分，共50分）1. 设A为3阶方阵，满足A^2 = I，则A的行列式的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1)，V2 = (2, -1, 3)，V3 = (-1, 2, 0)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 4, 5)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：A4. 设A为3阶方阵，满足行列式det(A) = 3，则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少？A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案：C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的秩是多少？A. 2B. 3C. 1D. 0答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 设A为3阶方阵，满足A^T = 2A，则A的特征值之和是________。
答案：62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的伴随矩阵的元素之和为________。
答案：03. 设向量组V1 = (1, 0, 1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 0, -2)，则V1, V2, V3的秩为________。
答案：24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0，则A的特征值对应的特征向量分别为________。
答案：（2, 0, 1），（0, 1, -1），（1, 1, -1）5. 设矩阵A = [1 2, 3 4]，则A的迹为________。
答案：5三、解答题（每题20分，共60分）1. 设A为2阶方阵，满足det(A) = 3，求A的伴随矩阵。
答案：设A = [a b, c d]，则伴随矩阵的元素为：A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为：A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3]，求A的特征值和特征向量。
大学线代期末试题及答案
大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。
答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。
答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。
答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。
答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。
答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。
然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。
最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（）A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案：C2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（）A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案：D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（）A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案：B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案：D5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（）A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案：C6. 若矩阵A是正交矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案：CD二、填空题（每题5分，共30分）7. 若矩阵A的行列式值为3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
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河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷A一、选择题：（共20分，每小题2分）(一)、设A 为3阶方阵，且行列式0A a =≠，则2A *=（ ）A ．2a B ．1a - C ．82a D ．3a（二）、已知,A B 均为n 阶矩阵，且0,0A AB ≠=，下列结论必然成立的是（ ） A. 0B = B. ()222A B A B +=+ C. ()222A B A BA B -=-+ D. ()()22A B A B A B -+=- （三）、A 为m n ⨯矩阵，n m A r <=)(，下列结论正确的是（ ）A.齐次线性方程组0=Ax 只有零解B. 非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解C. A 中任一个m 阶子式均不等于零D. A 中任意m 个列向量必线性无关。
（四）、设4阶方阵A 的行列式A ＝0，则A 中（）A ．必有一列元素为零B ．必有一列向量是其余向量的线性组合C ．必有两列元素对应成比例D ．任一列向量是其余列向量的线性组合 （五）、已知,A B 都是可逆的对称矩阵，则不一定对称的矩阵是 （ ）A .1()AB - B .AB BA +C . A B +D . 11A B --+（六）、若向量组γβα,,线性无关；δβα,,线性相关，则（ ） A. α必可由δγβ,,线性表示 B.β必不可由线性表示δγα,, C. δ必可由γβα,,线性表示 D. δ必不可由γβα,,线性表示（七）、设123,,ααα都是非齐次线性方程组b Ax =的解向量,若123k ααα+-是导出组0=Ax 的解， 则k =( )A . 0B . 1C . 2D . 3（八）、设向量组123,,σσσ是齐次线性方程组0AZ =的一个基础解系，则向量组( )也是0AZ =的一个基础解系。
A. 122331,,σσσσσσ++-B. 1223123,,2σσσσσσσ++++C. 112122,,σσσσσ+-D. 12123,,σσσσσ+-（九）、设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则( )A. 1r r >B. 1r r <C. 1r r =D. r 与1r 的关系由C 而定 (十)、A 是正定矩阵的充要条件是（ ）A. B. 负惯性指数为零C. 存在n 阶矩阵C ，使D. 各阶顺序主子式均为正数二、填空题：（共20分，每小题2分）（一）、已知四元非齐次线性方程组3)(,==A r b Ax ，321,,ηηη是它的三个解向量，其中T T )3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221=+=+ηηηη，则对应齐次线性方程组的通解为_______。
（二）、设向量组321,,ααα线性无关，则常数l m ,满足____ _ 时，向量组312312,,αααααα---m l 线性无关。
（三）、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知b B a A ==,，则行列式AB = 。
（四）、已知A 为3阶方阵，A 的两个特征值为3，6，并且A 的迹为5，则=A 。
（五）、b Ax =有唯一解的充要条件是 。
0A >T A C C =（六）、设()()1,2,1,2,1,2T Tαβ=-=-，则向量α与β的内积为 。
（七）、当m 满足 时，二次型32212322213212445),,(x mx x x x x x x x x f -+++=是正定的。
（八）、已知三维向量空间的基底为)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(321===ααα，则向量)0,0,2(=β在此基底下的坐标是 。
（九）、设44⨯矩阵),,,,(),,,,(432432γγγβγγγα==B A 其中432,,,,γγγβα均为四维列向量，已知行列式1,4==B A ，则行列式=+B A 。
（十）、已知向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2，则t= 。
三、计算题：（共45分） （一）、计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+。
（7分）（二）、已知,B AX =其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231,113122214B A求矩阵X 。
（8分）（三）、当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解？无解？有无穷多解？并求出其通解。
（10分）（四）、求向量组 )1,4,2,3(),2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(4321-+-=--==-=t t αααα 的秩及其极大无关组。
（10分）（五）、设实对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵。
（10分）五、证明题：（共15分）（一）、设A 为n m ⨯矩阵，证明:若任一个n 维向量都是0=Ax 的解，则O A =。
（8分）（二）、已知A ，B 均为n 阶方阵，并且)()(1A E A E B -+=-，试证B E +可逆，并求其逆矩阵。
（7分）河北大学课程考核参考答案及评分标准A一、选择题（共20分，每小题2分） 考察基础概念和理论(一) – (五)、C C B B A （六） - (十)、C C D C D 二、填空题：（共20分，每小题2分） 考察基础概念和理论(一)、T k )1,1,2,0(--(k 为任意常数)，(二)、1ml ≠，（三）、ab mn )1(-，（四）、72-，（五）、A b A r A r ==),()(的列数，（六）、2-，（七）、22m -<<，（八）、)1,1,1(-，（九）、40，（十）、3。
三、计算题：（共45分） (一)、考察行列式的计算解： 110nn na a D D =1211002,,110100n i a a a x i n xx-=+--第行减第1行………… 3分1211000000nj n j a a a a xx x x=+=∑11n jnj a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑………… 7分 (二)、考察利用初等变换的方法解矩阵方程解：由,B AX =由矩阵A 可逆，得,1B A X -= ………2分故利用初等行变换，将())()(1X E B A E B A =→- ………………………4分⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1000100014121005921022101131132212222101131132212231214)(B A 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X 。
………………………6分所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-110213)(1B A E X 。
………………………8分（三）、考察非线性方程组有解的条件及用初等变换求方程组的解，在有无穷多解的情况下能求其通解 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=010001210012210011111321023101221001111112323101221001111),(a b a a b a a b a b A………………………2分（1）当1≠a 时，方程组有唯一解。
………………………4分 （2）当1=a 且1-≠b 时，方程组无解。
………………………6分 （3）当1=a 且1-=b 时，方程组有无穷多解。
………………………8分此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000122101110100000000001221001111),(b A取43,x x 为自由未知量， 令0,043==x x ，得方程组的一个特解为T )0,0,1,1(0-=η。
令0,143==x x 或1,043==x x ，得其对应导出组的基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2,1(21-=-=ηη故，非齐次线性方程组的通解为22110ηηηk k x ++=，其中21,k k 为任意常数。
………10分（四）、考察用初等变换的方法求向量组的极大无关组及秩解：以4321,,,αααα为列向量构造矩阵),,,(4321TTTTA αααα= ………2分 利用初等行变换把A 化为行简化阶梯形矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---=0000330021103021120145124023021t t t t A ………………………4分 所以，（1）当3=t 时，向量组4321,,,αααα的秩为2，极大无关组为21,αα，……………………7分（2）当3≠t 时，向量组4321,,,αααα的秩为3，极大无关组为321,,ααα。
………………10分（五）、考察矩阵的特征值及特征向量的求解，矩阵的对角化，施密特正交化方法 解：矩阵A 的特征方程为0)4)(2(3113042=--=-----=-λλλλλλA E 。
………2分 解得4,2321===λλλ。
………………………4分对,21=λ由0)2(=-x A E ，解得基础解系T )1,1,0(1-=α。
……………6分 对,432==λλ由0)4(=-x A E ，解得基础解系,)1,1,0(,)0,0,1(32T T ==αα ………………8分由于32,αα正好正交，所以321,,ααα两两正交。
再将321,,ααα单位化，得T T T )21,21,0(,)0,0,1(,)21,21,0(321==-=ηηη。
故所求得正交矩阵,2102121021010),,(321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==ηηηP 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4421AP P 。
………10分五、证明题：（共15分）（一）、考察线性方程组的解的知识，及向量组等价的知识证明：由已知，任一n 维向量都是0=Ax 的解，可知n εεε,,,21 也是齐次线性方程组的解 …2分又因为n εεε,,,21 线性无关，并且任一个n 维向量都可以由n εεε,,,21 线性表示……4分从而 n εεε,,,21 为0=Ax 的基础解系，由n A r n =-)(，知 0)(=A r ，进一步得到O A =……8分（二）、证：由)()(1A E A E B -+=-得A E B A E -=+)(，即E A AB B =++……2分推出E E B A E B 2)(=+++即E A E E B 2))((=++……5分 得E A E E B =++2)(，所以B+E 可逆，且其逆矩阵为2AE +……7分。