线代期中考试卷及答案详解
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中测试题(第一章第二章)
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装订线
1 0 1 2 −1 5．设 3 阶方阵 A, B 满足 A B− A−B = E，且 A = 0 2 0 ，求 B . − 2 0 1
3 0
3．已知矩阵 A = 0
0
1 − 2 ，求 A 的逆矩阵. 0 3 1
0 0 − 1 0 0 −1 0 0 , 求 (2 E + A) −1 . 6. 已知矩阵 A = 0 0 −5 0 0 0 − 6 − 7
a11 4．已知矩阵 A = a 21 a31
0 1 0 1 0 0 a12 a13 P = 0 0 1 P = 0 1 0 ，求 P AP . a22 a23 , 1 2 1 2 1 0 0 0 2 1 a32 a33
东北师范大学测试题
学年度第一学期） （XXXX 学年度第一学期）
课 名 ： 程 称 班级 题 分 得 号 值 分 线性代数 学号 一 40 二 60 三 0
（考试日期： 年 月 日）
7.
a b A= 已知 c d
可逆，则 A =___________ ___.
−1
8. 设 A 为 3 阶方阵，且 A = 2 ，则行列式 A −1 − 3 A * = ________________.
姓 名 四 0 五 0源自成绩 合分人 核分人9. 设 A
1 3 = 2 7 ,
则 A * =______________.
10. 设 A 为 2 阶方阵，B 为 3 阶方阵，且
2A O = A = 2 , B = 3, 则 O B _______________.
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
2019-2020-2 线代期中试卷参考答案 -定稿-2
七、问 为何值时线性方程组 2x1 (5 )x2 4x3 2
,
2x1 4x2 (5 )x3 1
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解. （12 分）
解： 设原方程组系数矩阵为 A ，增广矩阵为 ( A, b) ，则有
2
( A, b) 2
2
2 5
则，4 阶行列式| a3, a2 , a1, b1 b2 |
．
答： n m
三、计算下列各题（每题 6 分，共 12 分）
3 5 2 1
1 1 0 5
1． 已知行列式 D 1 3
1
3 ，求 A11 A12 A13 A14 .
2 4 1 3
1111 1 1 0 5 解： A11 A12 A13 A14 1 3 1 3 2 4 1 3
1 3 0
（1）证明：
A
E
为可逆矩阵；（2）已知
B
2
1
0
，求矩阵
A
。
（12 分）
0 0 2
解：（1）由 A B AB 可得 ( A E)(B E) AB A B E E ，.........2 分
故 A E 可逆。
………….4 分
（2）由（1）得 A E (B E)1 ，故 A (B E)1 E ，而
5)
1
1 2
(
1)
1
0
2( 1)
1 2
(
1)(
6)
1 2
(
1)
0
2
1 2
(
6)
1 2
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1 2 r3 2r2 0 1
1 2
(
5)
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
2023线性代数考试_期中
2019~2020 年第一学期《线性代数》期中考试专业学号姓名一、单选题(每题 3 分,共 15 分)⑴ 如果四阶行列式中每一列的四个元素之和等于 0，则行列式的值为 A ． 1 B. 4 C. 0 D. 不能确定⑵ 若三阶行列式 D= y 1 y 2 y 3 = _ 1 ，则三阶行列式 _ y 1 _ 2y 2 _ 2y 3 = ( )z 1 z 2 z 3 _ z 1 _ 2z 2 _ 2z 3A ． _ 8B ． 8C ． _ 4D ． 4 ⑶ 若矩阵 A = (a ij )m 根l, B = (b ij )l 根n, C = (c ij )n 根m, 则下列运算中( )无意义。
A ． ABCB ． BCAC ． A+BCD ． A T + BC (4) 设A 为n 阶方阵，且A2= A ，则( )成立(A) A = 0； (B) 若A 不可逆则A = 0 (C) A = E (D) 若A 可逆则A = E(5) n 阶方阵 A 经过若干次初等变换后化为矩阵 B ， 则 .A. 必有 | A |=| B |；B. 必有| A |丰| B |；C. 若 | A |= 0 则必有 | B |= 0；D. 若 | A |> 0 则必有 | B |> 0 .二、填空题(每题 3 分,共 15 分)( 1 _ 4 2 ) (|1 2 )|(1) 若矩阵 A = |(_ 1 4 _ 2)||， B = )||，则积C = AB 的元素c 12 =(2) (||( 01 30))||5=(3) 已知四阶行列式 D 中第二行上元素分别是 _ 1，0，2，4 ，第三行上的元素的余子式分别为1，2， a ，4 ，则 a =⑷ 已知二阶方阵 A = (||(11 23))||，则二阶方阵 A 的逆矩阵 A _1 =⑸ 已知线性方程组 AX = B ， 其中系数矩阵 A = ))||， 若 X 0 = (||(21))||为它的解， 则常数项矩阵 B =三、利用行列式的性质计算下列各行列式： (每题 10 分，共 20 分)x 1 x 2 x 3 _ x 1 _ 2x 2 _ 2x 31．2．2 - 5 1 2 x - 1 1x - 1 x + 1 x x - 1 1 x - 1 1x - 1- 1 - 1- 1四、计算下列 n 阶行列式： (每题 10 分，共 20 分)a b 0 … 0 0ab．a bb a．ba(入x 1 + x 2 + x 3 = 0五、问 入 、p 取何值时，齐次方程组〈|x 1 + px 2 +x 3 = 0|l x 1 + 2px 2 +x 3= 0有非零解？ (10 分)六、求解下列矩阵方程： 「1|| |(10 分)2 ] 「 2 ]七 证明下列等式： (每题 10 分，共 20 分) 1． (A -1 + B -1)-1 = B(A+ B)-1A2．若 A 是 n 阶可逆矩阵， A * 是 A 的伴随矩阵，证明 A * = AL0 0 0 … a bb 0 0 … 0 a- 3 7 - 1 4 5 - 9 2 7 4 - 6 1 2 0 a b … 0 0 0 0 a … 0 04 - 3 02． D 2n = 1．n-1 - 2 |X = |- 1 |3 」|| ||L 3 」||0 0。
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
中山大学《线性代数》期中考试卷答案
珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷姓名：专业：学号：成绩：一，填空题（每题3分，共24分）1.在5阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________2.设A是3阶方阵，|A|=1/3，则|（3A）-1+2A*|=110011113.5200=：4.x c b a=;0036x2 0014x3c2c3b2b3a2a35.已知矩阵A=11,B=10,则AB–BA T=;0-1111026.已知矩阵A=1k0的秩为2,则k=;11121117.1211=;8.若A=diag(1,2,3,4),则A-1=;11211112二.判断题（每题2分，共10分）1.任一n阶对角阵必可与同阶的方阵交换。
（）2.n阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（）3.若A为n阶方阵，则（A*）T=(A T)*（）4.设A,B为n阶方阵，则有（AB）3=A3B3（）5.设A与B为同型矩阵，则A~B的充要条件是R（A）=R(B)()三,计算下列行列式(每题8分,共16分)-2-11-1010 (00)D4=-2248101 (00)-2111Dn=010 (00)-2-248.....000 (01)000 (10)-1-10四.已知A=-101且AB=A–2B,求B.2213-1-12五.求矩阵A=10-11的秩及一个最高阶非零子式(8分)-1431六.设A为n阶方阵,且A3+2A–E=0.证明A+2E可逆,并求(A+2E)-1. (8分)七.设P-1A P=K,B=A+E,其中P=11,K=001201求f(B)=B2(B2+B+2E).(10分)(1-k)x1+2x2-2x3=1八.设2x1+(4-k)x2–4x3=2,问k为何值时,此方程组有惟一解,-2x1–4x2+(4–k)x3=-k–2无解,或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.(10分).答案:一. 1.–a13a22a34a45a51;2.3;3.-18;4.(c-x)(b-x)(a-x)(a-b)(b-c)(a-c);115.-30;6.2;7.5;8.diag(1,1/2,1/3,1/4);二.1.wrong2.wrong3.right4.Wrong5.right三.D4=48;Dn:对Dn以第一列拆分.可得:Dn=-D n-2,又可知D1=0;D2= -1.由数学归纳法可得:Dn=( -1)(n-2)/2D2=(-1)n/2当n为偶数时;Dn=0,当n为奇数时.四.具体做法,回顾课本第二章相关例题.96-2B=107-2-12-83五.做法,运用行变换.得R(A)=3;最高阶非零子式可以是:3-1-410-1-143六.原式子可以转化为:(A+2E)(A2 -2A+6E) -13E=0.即.下面的都知道了吧.自己说下.七.f(B)=-2428,具体做法.参照课本第45~46页.-5660八.行等变换后观察.得: 1.R(A)=R(A,b)=3,即得最终k不等于0且k不等于9时,有惟一解.2.R(A)<R(A,b),即得最终k=9时,方程组无解,3.R(A)=R(A,b)<3,方程组有无数多个解.此时,通解为-221X=c11+c20+c30 010具体做法.参照课本第75~76页PS:没有详细解答,有不懂的要自动去问同学哈.把不懂的补上去,后面的内容挺烦人的.。
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2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030000002，因此， (A -E )(B -E )=O A -E =O 或B -E =O ，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2201B 选项(C)错误。
因为(A +B )(A -B )=A 2-AB +BA -B 2，所以，当且仅当A , B 可交换时，才会有(A +B )(A -B )=A 2-B 2.选项(D)正确。
因为AE =EA =A ，即A , E 可交换，所以，(A +E )(A -E )=A 2-AE +EA -E 2=A 2-E .5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是( A )(A) (A 2)-1=(A -1)2 (B) (k A )-1=k A -1 (k0)(C) (A +B )-1= A -1+B -1 (D) A -1BA =B解 选项(A)正确。
根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A 2)-1=(AA )-1 = A -1A -1 =(A -1)2选项(B)错误。
应该是(k A )-1=k -1A -1 (k0)选项(C)错误。
A , B 均为n 阶可逆矩阵时，A +B 不一定可逆；即使A +B 可逆，(A +B )-1也不一定是A -1+B -1。
反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，或者⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1002B 选项(D)错误。
矩阵乘法一般不满足交换律，故A -1BAA -1AB =B 。
二、填空题 (每小题4分，共20分)1. 行列式100000002013000201200020001000= 2013！.解1000000201300020120002000100=10002013002012002001000⋅!2013!2013)1(2)12013(2013=-=-⨯注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式：B A B OO A ⋅=⨯⨯mm kk (注意A ,B 必须是方阵)以及副对角行列式的计算公式nn n nλλλλλλ212)1(21)1(--=2. 行列式阶n 0111101111011110 = (-1)n -1(n -1) .解 阶n 0111101111011110111101111011111 ),3,2(1----=+n n n n n i r r i111101111011111)1( -n 对第一行提取公因子1111111)1( ),3,2(1----=-n n i r r i= (-1)n -1(n -1)注：本题行列式的特点是：各行(列)元素之和都相等.3.3432143214321432130001001001001000 0000100001000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d d d c c c c b b b b a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000001134d d d d 解 用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010*********0左乘矩阵A ，相当于将A 的各行向上移动一行，故 000010000100001043214321432143213⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d dd c c cc b b b b a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000000004321d d d d 另外，用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001001001001000右乘矩阵A ，相当于将A 左右翻转，故 34321432143214321300010010010010000000100001000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d d d c c c c b b b b a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000000001134d d d d 注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义“要点和公式”中的Part II “一些特殊矩阵的乘积”.4. 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7531A ，则A -1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13/15/17/1 解 利用副对角阵的求逆公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121a a a a a a nn 5. 已知A 是4阶可逆矩阵，且A=2，则A -1= 1/2 ，A *= 8 .解 利用可逆矩阵的性质“A -1=A-1”以及伴随矩阵的性质“A *=An -1”，可得 A -1=2-1，A *=24-1=8.注：也可按如下方式求A *： 因为AA *=A E ，将A=2代入，得AA *=2E ，等号两边取行列式，有AA *=2E ，即2A *=24，于是A *=8.三、计算题（每小题7分，共35分）1. 设n 阶爪形行列式1212122222=D , 求D 中所有元素的代数余子式之和.解 将D 的第1行元素全部替换为1，并按第1行展开，得D 的第1行元素的代数余子式之和为121212111111211=+++n A A A11312)1(21),3,2(1nn n i r r i--=-n 23-=将D 的第2行元素全部替换为1，并按第2行展开，得D 的第2行元素的代数余子式之和为012121111222222221==+++n A A A (两行元素成比例)同理，D 的第3, 4,…, n 行元素的代数余子式之和也都是0. 于是，D 的所有元素的代数余子式之和为n A ni nj ij 2311-=∑∑==.注1 如果改变行列式D 的某一行(列)元素，行列式虽然变了，但该行(列)元素的代数余子式不会改变。
注2 本题利用了行列式按行(列)展开法则：ij nk jkik D A a δ=∑=1或ij nk kj ki D A a δ=∑=1(i =1,2,…,n )2. 问：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+02002043214131x x x kx x x kx x 只有零解时，k 必须满足什么条件？解 此方程组为齐次线性方程组，并且方程个数=未知量个数，根据“方程组只有零解系数行列式D0”，有01421000011002001≠-=-=k k k D ，即k1/4.3. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001001001000a a aA ，(1) 求A 的值，并指出当a 满足什么条件时，A 是可逆矩阵；(2) 当A 可逆时，求A -1. 解 对矩阵A 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001001001000a a aA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B O记作 (1) 331)1(a -=⋅-=⨯C B A 当且仅当a0时，A 0，此时A 为可逆矩阵.(2) 根据分块法求逆矩阵的公式，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----O B C DB C A 11111 其中，()11=-B ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----1111a a a C ， 11---DB C ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=------1111111111a a a a a a 于是，A -1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=------0001000000111111a a a a a a 注1 解答中使用了分块法计算行列式的公式(参见第一章习题讲义“要点和公式”)B A *B A O ⋅-=⨯⨯km mm kk )1( 注2 本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式. 虽然也可以用公式A -1=A-1A *，但计算过程繁琐，容易出错.注3 另外，求出逆矩阵后，最好验算是否有AA -1=E .4. 设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=369246123A ，求A k (k 为正整数).解 ()TαβA 记作1,2,3321369246123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.于是，)())((T T T k αβαβαβA = T T T βαβαβα)()( = T k T βαβα1)(-=其中()103211,2,3=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αβTA αβA 111010--==n T n n ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-369246123101n注 当矩阵的任意两行(列)元素对应成比例时，该矩阵可分解为列矩阵和行矩阵的乘积.5. 已知A ,B 都是2阶方阵，且A *BA = 2A *B + E ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112A ，A * 是A 的伴随矩阵，E 为2阶单位矩阵，求矩阵B .解 对A * BA = 2A * B + E 两端左乘A ，得AA *BA =2AA *B +A根据伴随矩阵的性质AA * =A E ，有A BA =2AB +A由于1=A ，于是BA =2B +AB (A -2E )= A其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11102E A ，由于12-=-E A ，故A -2E 可逆，其逆矩阵(A -2E )-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-122301111112)2(1E A A B注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时，可以用“两调一除”公式.四、证明题（每小题8分，共16分）1. 设A 是n 阶反对称矩阵，n 为奇数，证明：齐次线性方程组Ax =O 有非零解.证 A 是n 阶反对称矩阵A T =-A .对上式两边取行列式，有A T =-AA =(-1)n A由于n 为奇数，故A = -A ，即A =0.因此，当A 是奇数阶反对称矩阵时，齐次线性方程组Ax =O 的系数行列式等于0，于是该方程组有非零解.注 A 是方阵，所以Ax =O 是“方程个数=未知量个数”的齐次线性方程组，于是，要证明Ax =O 有非零解，就是证A =0.2. 已知A , B 均为n 阶方阵，且AB =A +B . (1) 证明：A -E 和B -E 均可逆，且互为逆矩阵； (2) 证明：如果A 可逆，则A +B 也可逆. 证 (1) AB =A +BAB -A -B+E =E (A -E )(B -E )=EA -E 和B -E 均可逆，且互为逆矩阵(定理：“若A 和B 均为n 阶方阵，且AB =E ，则BA =E .亦即，A ,B 均可逆，且互为逆矩阵”)(2) AB =A +BA (B -E ) =B已知A 可逆，又由(1)知B -E 可逆，所以B = A (B -E )可逆(定理：n 阶可逆矩阵的乘积仍是n 阶可逆矩阵).A 和B 可逆，所以AB 可逆. 由于A +B = AB ，故A +B 可逆.也可按如下方式证明：A 可逆 A 0，于是AB =A +B(A -E )B =A A -E B =A 0B于是，A +B =AB =A B 0 ，故 A +B 可逆注：下列错误不得分：在第(1)题中使用了A -1或B -1；在第(2)小题中认为两个可逆矩阵的加和也必然是可逆矩阵.五、解答题（9分）在某地，每年有比例为30%的农村居民移居城镇，有比例为10%的城镇居民移居农村，假设该地总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例分别记为a n 和b n (a n +b n =1).(1) 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n b a x ，求关系式1-=n n Ax x 中的矩阵A ；(2) 已知(1)中的矩阵A 满足关系式AP =PB ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1311P ，求矩阵B ；(3) 设目前农村人口和城镇人口相等，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5.05.00x ，求n x .解 (1) 依题意，有⎩⎨⎧+=+=----11119.03.01.07.0n n n n n n b a b b a a ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11 9.03.01.07.0n n n n b a b a 故 9.03.01.07.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A(2)P =4，故P 可逆，其逆矩阵为 1311411⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-P .对AP =PB 两边左乘P -1，得B =P -1AP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311 9.03.01.07.0 131141 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6.0001 (3) 由x n = Ax n -1 递推可得x n = Ax n -1 = A 2x n -2 = … = A n x 0对AP =PB 两边右乘P -1，得A =PBP -1，于是A n = (PBP -1) (PBP -1)… (PBP -1)= PB n P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1311 6.0001131141n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯--⨯+=n n n n 6.036.0336.016.03141 因此，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.0 9.03.01.07.0nn n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯--⨯+=5.05.0 6.036.0336.016.03141n n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n 6.036.0141 (从长期趋势看，农村人口趋于总人口的1/4，城镇人口趋于总人口的3/4.)。